Đề thi HSG toán lớp 9 (5)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (2 điểm)
1. Chứng minh rằng: 2(x² + 6x + 1) =
4 4
( x 1) ( x 1)+ + −
với mọi x không
âm;
2. Giải hệ phương trình:
2
4 4
x 5x 1 x
( x 1) ( x 1) 0

+ = −


+ + − =


3. Giải phương trình:
2 2
10 x 5 x 3x 10 3x
− − − − +
= 0
Bài 2: (2 điểm)
1. Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho a² + b² + c² cũng là số
nguyên tố?
2. Cho hai số x, y thỏa mãn: x² + 9y² – 4xy = 2xy – |x – 3|. Hãy tính giá
trị của biểu thức

2
3 2 2
x 16 y 2
A :
x 8x 16x y y 2
− −
=
− + − −
3. Tìm các số nguyên a để phương trình x² – (3 + 2a)x – a = 0 có nghiệm
nguyên?
Bài 3 (2,5 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x² + y² – xy – x – y + 1 = 0;
2. Giải phương trình:
2 2 2
x x 1 x x 1 x x 2.
+ − + − + + = − +
Bài 4 (1 điểm): Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn
1
x
y
+
≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức sau
x y
P 16 2006
y x
= +
?
Bài 5 (2,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R và điểm A
thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc

A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A). Hạ AH vuông góc với
BC.
Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao
cho S đạt giá trị lớn nhất. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² +
HK² luôn là một đại lượng không đổi. Tính số đo góc B của tam giác
ABC biết
AH 3
HK 5
=
.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Chứng minh rằng
2
A 2 2 12n 1
= + +
là số chính phương khi A ∈ N
và n ∈ N.
Câu 2: Cho đa thức P(x) nguyên và P(x) chia hết cho 3 khi x ∈ {k; k +
1; k + 2} với k ∈ Z. Chứng minh rằng: P(m) chia hết cho 3 với ∀m ∈ Z.
Câu 3:
a) Giải phương trình
( x 1 1)( x 1 3x 10) x 2− + − + − = −
b) Giải hệ phương trình
2 3
6 6
(x y) (x y)
x y x y a


− = −


+ = + +


(a là tham số và a > 0)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; R) và M là một
điểm trên đường tròn đó. Gọi độ dài MA, MB, MC, MD lần lượt là a, b,
c, d. Chứng minh rằng: a²b² + b²d² = 10R
4
.
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2a 2b 2c 2d
S (1 )(1 )(1 )(1 )
3b 3c 3d 3a
= + + + +