ôn thi tốt nghiệp công thức cơ bản toán 12

1





ÔN THI TỐT NGHIỆP
CÔNG THỨC CƠ BẢN
MÔN TOÁN LỚP 12









2
PHẦN 1: HÀM SỐ
Đạo hàm
Hàm số hợp
Các quy tắc tính
 
'
0C 
( C là hằng số )

 
 
 

'
'
'
''
'
''
'
''
2
. . ,
. . .

k u k u k R
u v u v
u v u v u v
u u v uv
vv

  








 
'
1x 

 
'
1
xx





 
'
'1
u u u





 
'
1
2
x
x


 
'

'
2
u
u
u


 
'
2
ax b ad bc
cx d
cx d








'
2
11
xx





'
'
2
1 u
uu





 
'
sin cosxx

 
'
os sinc x x

 
'
sin '.cosu u u

 
'
'
cos .sinu u u

 
'
2

1
tan
os
x
cx


 
'
2
1
cot
sin
x
x


 
'
'
2
tan
os
u
u
cu


 
'

'
2
cot
sin
u
u
u


 
 
'
'
.ln
xx
xx
a a a
ee



 
 
'
'
'
'
. .ln
.
uu

uu
a u a a
e u e



 
 
'
'
1
log
ln
1
ln
a
x
xa
x
x



 
 
'
'
'
'
log

ln
ln
a
u
u
ua
u
u
u



3
I. ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN - CỰC TRỊ:
Dạng 1: Tìm m để hàm số luôn đb hoặc nb trên D.
Phƣơng pháp:
- Hàm số
axb
y
cx d



đồng biến trên D
'
0y x D   

- Hàm số
axb
y

cx d



đồng biến trên D
'
0y x D   

- Hàm số
32
ay x bx cx d   
đồng biến trên R
'
0
0
0
a
yx


    




- Hàm số
32
ay x bx cx d   
nghịch biến trên R
'

0
0
0
a
yx


    




Chú ý:
32
ay x bx cx d   
nếu a có chứa tham số ta xét thêm
trƣờng hợp
0a 
khảo sát sự biến thiên xem có thỏa bài toán không.

Dạng 2: Tìm m để hàm số
 
y f x
đạt cực trị tại
0
x

Phƣơng pháp:
- Tìm TXĐ
- Tìm đạo hàm

'
y

- Hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì:
 
'
0
0fx
giải tìm tham số m
Chú ý: Muốn kiểm tra xem hàm số đạt CĐ hay CT ta thế giá trị m vào
hàm số sau đó khảo sát tính tăng giảm của hàm số, rồi kết luận.

Dạng 3: : Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu:
-
32
ay x bx cx d   
có cực đại cực tiểu
'
0y
có 2 nghiệm phân biệt
-
42
ay x bx c
có cực đại cực tiểu
'
0y
có 3 nghiệm phân biệt

4
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Dạng : Tìm GTLN_GTNN của hàm số
 
y f x
trên đoạn
 
;ab












Phƣơng pháp:
- Tìm đạo hàm
'
y

- Giải phương trình
1
2
'
0

i
xx
xx
y
xx










(chỉ nhận
 
;x a b
)
- Tính
         
12
, , , ,

i
y a y b y x y x y x
so sánh chúng và kết
luận giá trị LN và NN.

Nhận xét:
- Nếu hàm số không chỉ rõ đoạn
 
;ab
ta tìm giá trị LN và NN
trên tập xác định của nó.
- Dùng bảng biến thiên để tìm giá trị LN và NN trong các
trường hợp không phải xét trên
 
;ab

- Nếu đặt ẩn phụ t phải tìm điều kiện của ẩn phụ đó (có thể dùng bbt)
2
2
1 sin 1 0 sin 1
1 os 1 0 os 1
2 sin o 2
xx
c x c x
x c x
     
     
   

5
III. MỘT SỐ BÀI TỐN THƢỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ:
1. Giao điểm của hai đồ thị :
Dạng: Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Hãy tìm các giao điểm của (C
1
) và (C
2
).

2. Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị:
Dạng: Cho hàm số
 
y f x
có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) hãy biện
luận số nghiệm của phƣơng trình
 
 
1
,0F x m 
theo tham số m.

Phƣơng pháp:
- Chuyển pt
     
,0F x m f x g m  

- Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đường: (C) và
đường thẳng
 
y g m

- Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ biện luận số nghiệm pt (1) theo m.
Lƣu ý :
 
y g m
có đồ thị song song ox. Cắt oy tại g(m)
Phƣơng pháp:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có
nghiệm x
0
-
Thay x
0
vào một trong hai hàm số ta có y
0
.

-
Tọa độ giao điểm là M(x
0
,y
0
).

Nhận xét:
- Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm phương trình
f(x) = g(x)
-
6
3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến:
Dạng 1: Tiếp tại điểm thuộc đồ thị của hàm số.

Dạng 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết trƣớc hệ số góc của nó:

Dạng 3: Phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm:

Cho hàm số
 
y f x
có đồ thị là (C).
   
00
;M x y C

phương
trình tiếp tuyến tại M là:
- Tìm
'y

- Tính
 
'
0
yx

- Tìm
 
00
;M x y

- Pttt tại
 
00
;M x y
là
  
'
0 0 0
: y y x x x y   

Cho hàm số
 
y f x
có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp

tuyến

với (C) biết

có hệ số góc là k.
Phƣơng pháp:
- Gọi
 
00
;M x y
là tọa độ tiếp điểm
- Giải pt
 
'
0
y x k
tìm
 
0 0 0
x y f x

- Phương trình
 
00
: y k x x y   

Nhận xét:
a a . 1y x b k a y x b k a           

Cho hàm số
 
y f x
có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp
tuyến

với (C) biết

đi qua
 
;
AA
A x y

- Gọi
 
00
;M x y
là tọa độ tiếp điểm
 
00
y f x

-
 
'
0
y x k

- Phương trình

00
: ( )y k x x y   

-
   
0 0 0 0
;
A A A A
A x y y k x x y x y        

7

PHẦN 2: MŨ-LÔGARIT

I. Công thức mũ:
1
1
1 1 1
1
n
n
a a a
a a a


   
  
   
   

1
2
n
n
m
n
m
n
a a a a  

   
 
.
3.
4
5
6 . .
7
n m n m
n
nm
m
mn
n m n m
m
mm
m
m
m
a a a

a
a
a
a a a
a b a b
aa
bb











II. Công thức lôgarit:
1 log , lg 10 ,ln
m m m
a
b m a b b m b b m e b        
log
2
b
a
ab

 

3 log . log log
4 log log log
a a a
a a a
A B A B
A
AB
B






5 log .log
m
aa
A m A

8
1
1
6 log log .log
1
7 log log
m
m
m
a a a
a

a
A A A
m
AA
m



1
8 log
lg
a
b
b
oa


log
9 log
log
a
b
a
c
c
b



III. Phƣơng trình mũ – lôgarit:

Pt Mũ
Pt Lôgarit
Dạng cơ bản:
log
x
a
a b x b  

Dạng cơ bản:
 
   
   
log ( )
lg 10
ln
b
a
b
b
f x b f x a
f x b f x
f x b f x e
  
  
  

Đƣa về cùng cơ số:
   
   
f x g x

a a f x g x  

Đƣa về cùng cơ số:
log ( ) log ( )
aa
f x g x

Điều kiện:
 
( ) 0 or ( ) 0f x g x

PT trở thành:
( ) ( )f x g x

Đặt ẩn phụ:
- Đƣa về dạng:
 
2
. . 0
xx
A a B a C  

- Đặt
x
ta

- Điều kiện:
0t 

Đặt ẩn phụ:

- Đƣa về dạng:
 
2
. log .log 0
aa
A x B x C  

- Điều kiện:
0x 

- Đặt:
log
a
tx






9
IV. Bất phƣơng trình mũ-lôgarit:
Bpt mũ
Bpt lôgarit
Cùng cơ số:
   
   
   
   
1:

0 1:
f x g x
f x g x
a
a a f x g x
a
a a f x g x

  

  

Cùng cơ số:
   
log log
aa
f x g x

Đk:
 
 
0
0
fx
gx









   
   
1:
log log
aa
a
f x g x
f x g x




   
   
0 1:
log log
aa
a
f x g x
f x g x




Giải xong so với điều kiện, và kl.
Đặt ẩn phụ:
- Đƣa pt về cùng cơ số

- Đặt
 
fx
ta

Điều kiện:
0t 

- Giải BPT theo t
- So đk
0t 

- Giải BPT tìm x
Đặt ẩn phụ:
- Tìm điều kiện của logarit
- Đƣa pt về cùng cơ số
- Đặt
 
log
a
t f x

- Giải BPT theo t
- Giải BPT theo x
- So đk ban đầu, kết luận

10
PHẦN 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I. BẢNG NGUYÊN HÀM:
ĐN:
 
 
 
'
( ) ( )f x dx G x C G x C f x    


1
2
1 0 , 1
2
1
11
3
1
4 ln
dx C dx x C
x
x dx C
dx C

xx
dx x C
x




  


  






 
 
1
1
2.
1
11
4 .ln
ax b
ax b dx C
a
dx ax b C
ax b a






  

  




5
ln
x
x x x
a
e dx e C a dx C
a
   


1
5.
ax b ax b
e dx e C
a




6 sin cos
7 cos sin
xdx x C
xdx x C
  




 
 
1
6 sin( ) .cos
1
7 cos( ) .sin
ax b dx ax b C
a
ax b dx ax b C
a
    
   



2
2
1
8 tan
os

1
9 cot
sin
dx x C
cx
dx x C
x

  



 
 
 
 
2
2
11
8 .tan
os
11
9 cot
sin
dx ax b C
c ax b a
dx ax b C
ax b a
  


   





II. TÍCH PHÂN- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
ĐN:
 
( ) ( )
b
a
f x dx F b F a


1. Đổi biến số:
 
. '( ).
b
a
I f u x u x dx




- Đặt:
 
'( )t u x dt u x dx  

- Đổi cận:

 
 
x a t u a
x b t u b
  
  

11
- Thế vào:
   
 
 
. '( ).
ub
b
a u a
I f u x u x dx f t dt





2. Công thức từng phần:





Chú ý:
a/

a
22
( ).sina
( ). osa
( ).
( ) ( )
sin cos
x
I P x xdx
I P x c xdx
I P x e dx
P x P x
I dx I dx
xx


















đặt
()u P x

b/
( ).ln(a )I P x x b dx

đặt
ln(a )u x b


3/ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 
b
a
I f x dx


- Giải phương trình
 
0fx
tìm các nghiệm
 
1 2 3
; ; ;x x x a b

-
     
3
1

2

n
x
x
b
a x x
I f x dx f x dx f x dx   
  

4/ Tích phân hàm số hữu tỉ:
()
()
b
a
Px
I dx
Qx



- Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì lấy P(x) chia Q(x).
- Đặt
 
t Q x

-
11
.ln a
a

I dx x b C
x b a
   




bb
b
a
aa
I u dv u v vdu  


12
-
2
1 2 1 2
1 1 1 1
a ( )
I dx dx
x bx c a x x x x x x

  

    



Công thức phân tích đa thức:

 
       
1 2 1 2
22

( ) ( )
nm
n m n m
Px
AB
A A B B
x a x a x a x a
x a x b x a x a
       
   
   


III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:
1/ Tính điện tích hình phẳng:
 
 
0 ( )
:
b
a
y f x
y Ox
H S f x dx
xa

xb














 
 
()
: ( ) ( )
b
a
y f x
y g x
H S f x g x dx
xa
xb






  








Chú ý: giải pthđgđ:
 
()f x g x
tìm a và b (nếu chưa có)
2/ Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox:
 
 
2
0 ( )
:
b
a
y f x
y Ox
H V f x dx
xa
xb


















 
 
   
2
:
b
a
y f x
y g x
H V f x g x dx
xa
xb







  










Chú ý: giải pthđgđ:
 
0fx
tìm a và b (nếu chưa có)

13
PHẦN 4: SỐ PHỨC
2
1i 

1 , ( )
0
0
z a bi a b z x yi
z lathuanao a
z lathuanthuc b
    

  
  

2
2 2 2 2
z a b z a b
z a bi
     
  

 
;z x yi M x y Oxy    


2
2
3 : 0
40
0
2
2
0
2
Pt az bz c
b ac
b
z
a
bi
z

a
bi
z
a
  
   
     

  



   

  




12
12
12
12
2
1 2 0
; à : 0
b
S z z
a
Viet

c
P z z
a
z z S
z z P
z z l n pt Z SZ P


  













   


 
  
22
2 ' ' '
'

'
'
' ' '
. ' ' '
. ' . '
' ' '
.'
z a bi and z a b i
aa
zz
bb
z z a a b b i
z z a bi a b i
z z z z z
z a b
zz
   


  



     
   
  


14
PHẦN 5 : KHỐI ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NÓN
Hình Chóp
1
.
3
V Bh

- B diện tích đáy
- h chiều cao
Lăng trụ
.V Bh

Hình nón
2
11

33
xq

V B h r h
S rl





- B diện tích đáy
- h chiều cao
- r bán kính
- l đường sinh
Hình trụ
2
.
2
xq
V B h r h
S rl





- B diện tích đáy
- h chiều cao
- r bán kính
- l đường sinh
Hình cầu
3
2

4
3
4
Vr
Sr





- r bán kính mặt cầu

15
PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHÔNG GIAN

I. CÔNG THỨC TỌA ĐỘ:
   
1 2 3 1 2 3
; ; ; ;a a a a b b b b

 
 
1 2 2
1 1 2 2 3 3
11
22
33
1 . ; ;
2 ; ;
3
k a ka ka ka
a b a b a b a b
ab
a b a b
ab

    




  





1 1 2 2 3 3
4 . . . .a b a b a b a b  

33
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
5 ; , ,
aa
a a a a
b b b b b b
ab







 
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
6 cos ,

.
a b a b a b
ab
ab
ab
a a a b b b


   


- Hai vectơ
;ab
vuông góc
.0ab

- Hai vectơ
;ab
cùng phương
3
12
1 2 3
;0
a
aa
ab
b b b

    


   
; ; ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z

 
     
2 2 2
1 ; ;
2
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB x x y y z z
   
     

3
M là trung điểm của AB thì
;;
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x y z
  
  

Nhận xét:

 
 
( ,0,0)
0, ,0
0,0,
M
M
M
M Ox M x
M Oy M y
M Oz M z




16
II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
1. Phƣơng trình tổng quát của mp :
 
A 0 : ; ;x By Cz D VTPT n A B C     

2. PT mp đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
và có
 
;;VTPT n A B C
là:
     

0 0 0
A0x x B y y C z z     

Nhận xét: nếu mp có 2
   
1 2 3 1 2 3
: ; ; , ; ;VTCP a a a a b b b b

Thì
:;VTPT n a b




- Mp qua
   
A ;0;0 , (0; ;0), 0;0;a B b C c
là:

 
:1
x y z
ABC
a b c
  

3. Khoảng cách từ
( ; ; )
M M M
M x y z

đến mp
 
:A 0x By Cz D

   

là
 
 
2 2 2
. . .
,
M M M
A x B y C z D
dM
A B C

  



Chú ý:
- Mp:
     
Ox : 0 Ox ; ;0
MM
y z M y M x y   

- Mp:
     

Oxz : 0 Oxz ;0;
MM
y M M x z   

- Mp:
     
O : 0 O 0; ;
MM
yz x M yz M y z   


III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:
Đường thẳng

đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
có VTCP
 
;;u a b c

- Pt tham số
0
0
0
:
x x at
y y bt
z z ct




  





-
0abc 
Pt chính tắt
0 0 0
:
x x y y z z
a b c
  
  

Nhận xét:
 
0 0 0
;;M M x at y bt z ct    



17
IV. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
- Mặt cầu (S) tâm
( ; ; )I a b c
bán kính R có phương trình là:

     
2 2 2
2
x a y b z c R     

- PT:
2 2 2
2a 2 2 0x y z x by cz d      

Là phương trình mặt cầu nếu:
2 2 2
0a b c d   

Tâm:
( ; ; )I a b c
bán kính
2 2 2
R a b c d   


V. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI:
1. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng:
 
0
0
0
: ; ;
x x at
y y bt u a b c

z z ct



    




và
 
0
0
0
' ' '
': ' ' ' ' '; '; '
' ' '
x x a t
y y b t u a b c
z z c t



    





Xét hệ phƣơng trình:

00
00
00
' ' '
' ' '
'
' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
  




   




  


TH1: nếu hệ có nghiệm thì 2 đƣờng cắt nhau tại
( ; ; )
I I I
I x y z
là
nghiệm của hệ.
TH2: nếu hệ vô nghiệm

-
,'uu
cùng phƣơng thì
'

-
,'uu
không cùng phƣơng thì

chéo với
'

Chú ý:
' . ' 0uu    











18
2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
0
0
0

:
x x at
y y bt
z z ct



  




và
 
:0Ax By Cz D

   


Xét hệ phƣơng trình:
 
 
0
0
0
:0Ax By Cz D
x x at
y y bt
z z ct



   

















TH1: hệ vô nghiệm
 



TH2: hệ có nghiệm duy nhất
 
I

  
tọa độ là n

o
của hệ
TH3: hệ vô số nghiệm
 

 


3. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mp
 
:0Ax By Cz D

   

Và mặt cầu (S) tâm
 
;;I a b c
bán kính R
Tính:
 
;( )dI


TH1:
 
dR


tiếp xúc với (S)

TH2:
 
dR


cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính
22
r R d

TH3:
 
dR


và (S) không có điểm chung.


Thầy chúc các em học tốt !