Chuyên đề Phương trình Lượng giác-ThachYMB
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 48 trang )
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
1
1. Công thức cơ bản:
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1
22
22
11
1tan ;1cot
cos sin
aa
aa
+= +=
2. Công thức quy gọn góc
Cung
GTLG
x
x
x+
x
2
x+
2
sin -sinx sinx -sinx cosx cosx
cos cosx -cosx -cosx sinx -sinx
tan -tanx -tanx tanx cotx -cotx
cot -cotx -cotx cotx tanx -tanx
3. Bảng giá trị lợng giác đặc biệt
4. Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba+= +
sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba=
cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b+=
cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b= +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab
+
+=
tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab
=
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
xx
xx
xx
+
+= =
+
5. Công thức nhân đôi, nhân ba.
1)
sin 2a=2sina.cosa
0
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3
1 0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
1
0
a. công thức LợNG GIáC
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
2
2)
22 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina aa a a= − = −=−
3)
2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
aa
aa
a
a
−
= =
−
4)
3
sin3 3sin 4sinaa a= −
5)
3
cos3 4cos 3cosa aa= −
6)
a
aa
a
2
3
tan31
tantan3
3tan
−
−
=
6. C«ng thøc h¹ bËc
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
−
=
+
=
−
=
+
)3sinsin3(
4
1
sin
3
aaa −=
)3coscos3(
4
1
cos
3
aaa +=
7. C«ng thøc biÕu diÔn sinx, cosx, tanx theo
2
tan
x
t =
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
a
t
−
=
+
;
2
2
tan
1
t
a
t
=
−
8. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch
1)
sin sin 2sin .cos
22
ab ab
ab
+−
+=
2)
sin sin 2cos .sin
22
ab ab
ab
+−
−=
3)
cos cos 2cos .cos
22
ab ab
ab
+−
+=
4)
cos cos 2sin .sin
22
ab ab
ab
+−
−=−
5)
sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab
+
+=
6)
sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab
−
−=
7)
sin( )
cot cot
sin .sin
ab
ab
ab
+
+=
8)
sin( )
cot cot
sin .
ba
ab
a sinb
−
−=
sin cos 2.sin 2.cos
44
aa a a
+ = += −
ππ
§Æc biÖt:
sin cos 2 sin 2 cos
44
aa a a
− = −=− +
ππ
9. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b ab ab
a b ab ab
a b ab ab
= −+ +
= −− +
= −+ +
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
3
I. Phơng trình lợng giác cơ bản
1. Phơng trình sinx = a
a/
2
sin sin ( )
2
xk
x kZ
xk
= +
=
=+
b/
sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a ẹieu kieọn a
x ak
xa kZ
x ak
=
= +
=
=+
c/
sin sin sin sin( )uv uv= =
d/
sin cos sin sin
2
uv u v
==
e/
sin cos sin sin
2
u v uv
==
Các trờng hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x xk kZ==
sin 1 2 ( )
2
x x k kZ==+
sin 1 2 ( )
2
x x k kZ= =+
22
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x kkZ= = = = =+
2. Phơng trình cosx = a
a/
cos cos 2 ( )x x k kZ= =+
b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a ẹieu kieọn a
x a x ak k Z
=
== +
c/
cos cos cos cos( )uvu v==
d/
cos sin cos cos
2
uv u v
==
e/
cos sin cos cos
2
uv u v
= = +
Các trờng hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k kZ==+
cos 1 2 ( )x xk kZ==
cos 1 2 ( )x x k kZ= =+
22
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x xk k Z= = = = =
3. Phơng trình tanx = a
a/
tan tan ( )x x kkZ= =+
b/
tan arctan ( )x a x ak kZ== +
c/
tan tan tan tan( )uvuv==
b. PHơNG TRìNH LợNG GIáC
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
4
d/
tan cot tan tan
2
uv u v
==
e/
tan cot tan tan
2
uv u v
= = +
Các trờng hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x xk kZ==
tan 1 ( )
4
x x k kZ= =+
4. Phơng trình cotx = a
cot cot ( )x x kkZ= =+
cot arccot ( )x a x ak k Z== +
Các trờng hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k kZ= =+
cot 1 ( )
4
x x k kZ= =+
5
( ).
2
x k kZ+
. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phơng trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phơng trình xác định.
* Phơng trình chứa tanx thì điều kiện:
* Phơng trình chứa cotx thì điều kiện:
()xk k Z
* Phơng trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
()
2
xk k Z
* Phơng trình có mẫu số:
sin 0 ( )x xk kZ
cos 0 ( )
2
x x k kZ+
tan 0 ( )
2
x xk k Z
cot 0 ( )
2
x xk k Z
b/ Khi tìm đợc nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thờng dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đờng tròn lợng giác.
3. Giải các phơng trình vô định.
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
5
II. Phơng trình đa về phơng trình bậc 2, bậc 3
đối với một hàm số lợng giác
Daùng ẹaởt ẹieu kieọn
2
sin 0asin x b x c+ +=
t = sinx
11t
2
cos cos 0a x b xc+ +=
t = cosx
11t
2
tan tan 0a xb xc+ +=
t = tanx
()
2
x k kZ+
2
cot cot 0a xb xc+ +=
t = cotx
()xk kZ
Neỏu ủaởt:
2
sin sin : 0 1.t x hoaởc t x thỡ ủieu kieọn t= =
Bi 1: Gii phng trỡnh: sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
2
1
1 sin 2
2
x
Gii:
Ta cú: 2(cos
4
x + sin
4
x) = 2[(cos
2
x + sin
2
x)
2
2sin
2
xcos
2
x]= 2 = 2 sin
2
2x
Vy ta c phng trỡnh: sin
2
2x + sin2x - 2 = 0
t t = sin2x vi iu kin -1 t 1 ta c phng trỡnh:
t
2
+ t 2 = 0
=
=
)(2
1
loait
t
Vi t = 1 ta cú phng trỡnh: sin2x = 1
Zkkxkx +=+= ,
4
2
2
2
.
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho:
Zkkx += ,
4
.
Bi 2: Gii phng trỡnh: sin
2
x.(tanx 1) = cosx.(5sinx cosx) 2.
1
3
t
t
=
=
Gii:
iu kin ca phng trỡnh l: cosx 0
Chia hai v ca phng trỡnh cho cos
2
x ta c:
tan
2
x (tanx 1) = 5tanx 1 2(1+tan
2
x)
tan
3
x tan
2
x = 5tanx 3 2 tan
2
x
tan
3
x + tan
2
x 5tanx + 3 = 0
t t = tanx ta c phng trỡnh.
t
3
+ t
2
5t +3 = 0 (t 1)(t
2
+ 2t 3) = 0
Vi t = 1, phng trỡnh: tanx = 1
4
xk
= +
, k Z
Vi t = -3, phng trỡnh: tanx = -3 x = arctan(-3) + k, k Z
Cỏc giỏ tr ny tha món iu kin ca phng trỡnh ó cho.
Vy phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim: x =
4
k
+
; x = arctan(-3) + k, k Z.
Bi 3:
2cos5 .cos3 sin cos8 xxx x+=
Gii phng trỡnh:
PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
6
⇔ 1- 2sin
2
x + sinx = 0 ⇔
=
=
2
1
- sinx
1 sinx
⇔
7
2; 2; 2,( )
2 66
x kx kx k kZ
π ππ
π ππ
=+=−+=+ ∈
Bài 4:
9
6
5
sin4
3
2cos5 −
−=
+ xx
ππ
Giải phương trình:
.,2
3
2
26
)(,
10
14
6
sin
1
6
sin
014
6
sin4
6
sin10
9
6
sin4
6
sin215
2
2
Zkkxkx
loaix
x
xx
xxPT
∈+=⇔+=+⇔
−=
+
=
+
⇔=−
++
+⇔
−
+−=
+−⇔
π
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π
π
Bài 5:
( )
44
2
1 cot 2 cot
2 sin cos 3
cos
xx
xx
x
+
+ +=
Giải phương trình: (6)
§iÒu kiÖn: sin2x ≠ 0.
Ph¬ng tr×nh (6)
(
)
2 42
2
21
2 1 sin 2 3 sin 2 sin 2 2 0
2
sin
x xx
x
⇔ + − =⇔ + −=
( )
2
2
2
sin 2 2
sin 2 1 cos2 0
44
sin 2 1
x
k
x xx k
x
= −
ππ
⇔ ⇔ =⇔ =⇔= + ∈
=
Bài 6:
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
7
Bi 7:
Bài tập
Baứi 1. Giải các phơng trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x 4cosx 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
( )
2
tan 1 3 tan 3 0xx+ =
5)
( )
2
4sin 2 3 1 sin 3 0xx + +=
6)
3
4cos 3 2 sin2 8cosx xx+=
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x 4cot2x + 3 = 0
Baứi 2. Giải các phơng trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )
2 3 1 cos3 3x+
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 6x) + 16cos
2
(1 3x) = 13 4)
( )
2
1
33tan330
cos
x
x
+ + =
5)
3
cos x
+ tan
2
x = 9 6) 9 13cosx +
2
4
1 tan x+
= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)
2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x 3cosx =
2
4cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Baứi 3. Cho phơng trình
sin3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin2 5
xx x
x
x
++
+=
+
.
Tìm các nghiệm của phơng trình thuộc
( )
0;2
.
Baứi 4. cho phơng trình: cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1.
Tìm các nghiệm của phơng trình thuộc
( )
;
.
Baứi 5. giải phơng trình:
44 4
5
sin sin sin
4 44
xx x
+++=
.
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
8
III. PHNG TRèNH BậC NHấT Đẩi với sinx, cosx
asinx + bcosx = c
Cách 1
22
ab+
:
Chia hai vế phơng trình cho ta đợc:
(1)
22 22 22
sin cos
ab c
xx
ab ab ab
+=
++ +
Đặt:
( )
22 22
sin , cos 0, 2
ab
ab ab
= =
++
phơng trình trở thành:
22
sin .sin cos .cos
c
xx
ab
+=
+
22
cos( ) cos (2)
c
x
ab
= =
+
Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:
22 2
22
1.
c
ab c
ab
+
+
(2)
2( )x k kZ =+
Cách 2
2
22
x
xk k=+ =+
:
a/ Xét có là nghiệm hay không?
b/ Xét
2 cos 0.
2
x
xk+
Đặt:
2
22
21
tan , sin , cos ,
2
11
x tt
t thay x x
tt
= = =
++
ta đợc phơng trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ + =
Vì
2 0,x k bc + +
nên (3) có nghiệm khi:
2 22 22 2
' ( )0 .a cb ab c= +
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phơng trình:
0
tan .
2
x
t=
Ghi chú
22 2
.ab c+
:
1/ Cách 2 thờng dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phơng trình có nghiệm:
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
22 2 2 22
.sin .cos . sin cosya xb x ab x x ab= + + + =+
22 22
sin cos
min max tan
xx a
y abvaứ y ab x
ab b
=+ = + = =
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
9
Bài 1:
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
Giải phương trình: (*)
Bài 2:
3
Giải phương trình: 4cosx + 2 sinx + cos2x +
3
sin2x + 3 = 0
3
Giải:
Ta có: 4cosx + 2
sinx + cos2x +
3
sin2x + 3 = 0
⇔ 4cosx + 2
3
sinx + 2cos
2
x – 1 + 2
3
sinxcosx + 3 = 0
⇔ 2
3
sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)
2
= 0
⇔ 2(cosx +1)(
3
sinx + cosx + 1) = 0
⇔
cos 1 0
3sin cos 1 0
x
xx
+=
+ +=
−=
+
+=
⇔
−=+
−=
⇔
6
sin
6
sin
2
2
1
cos
2
1
sin
2
3
1cos
ππ
ππ
x
kx
xx
x
⇔
(2 1)
2
3
xk
xk
π
π
π
= +
=−+
Bài 3:
2
Giải phương trình:
2cos
3
x – sin2x(sinx +cosx) +cos2x(sinx + ) -
2
(sin2x +1) – 2cosx –sinx = 0.
2
Giải:
Ta biến đổi phương trình đã cho:
2cos
3
x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) -
2
(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0
⇔
2
(cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos
3
x – sin2xcosx – 2cosx = 0
⇔ (cos2x – sin2x – 1) (
2
+ sinx) + cosx(2cos
2
x – sin2x – 2) = 0
⇔ (cos2x – sin2x – 1) (
2
+ sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0
⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx +
2
) =0
⇔
cos2 sin 2 1 0
cos sin 2 0
xx
xx
− −=
+ +=
⇔
2
cos 2
42
cos 1
4
x
x
π
π
+=
−=−
⇔
22
44
2
4
xk
xk
ππ
π
π
ππ
+=±+
−=+
⇔
4
5
2
4
xk
xk
xk
π
π
π
π
π
=
=−+
= +
(k ∈ Z)
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
10
IV. phơng trình đẳng cấp
a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d
Cách 1
2
sin 1 sin 1.
2
xk x x=+ = =
:
Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lu yự: cosx = 0
Khi
cos 0x
, chia hai vế phơng trình (1) cho
2
cos 0x
ta đợc:
22
.tan .tan (1 tan )a xb xc d x+ += +
Đặt: t = tanx, đa về phơng trình bậc hai theo t:
2
() . 0a d t bt c d + + =
Cách 2
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
222
xx x
a bc d
+
++ =
: Dùng công thức hạ bậc
.sin2 ( ).cos2 2b x ca x dac + =
(đây là phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Bi 1: Gii phng trỡnh:
Bi 2: Gii phng trỡnh:
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
11
Bài 3:
33
2 31 3 1
sin cos sin 2 sin cos
3 2 23
x xx x x
−
+ = +−
Giải phương trình:
33
2 3 1 33 2
sin cos 2sin cos sin cos
3 26
x x xx x x
−−
+− +
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho:
=0
⇔
3 2 2 32 2
22
sin 3sin cos sin cos cos sin cos 3sin cos 0
33
x xx x x x xx x x
− + ++ − =
⇔
22
2
sin 3sin cos cos (sin cos ) 0
3
x xx x x x
− + +=
⇔
22
sin cos 0 (1)
2
sin 3sin cos cos 0 (2)
3
xx
x xx x
+=
− +=
• Giải phương trình (1) ta được:
π
π
kxxxxxx +−=⇔−=⇔−=⇔=+
4
1tancossin0cossin
, k ∈ Z
• Giải phương trình (2): sin
2
x -
3
sinxcosx +
2
3
cos
2
x = 0
Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình.
Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos
2
x, ta được:
tan
2
x -
2
3 tan 0
3
x +=
+=
+=
⇔
=
=
⇔
π
π
π
kx
kx
x
x
3
32
arctan
6
3
32
tan
3
1
tan
(k ∈ Z).
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm :
π
π
π
π
kxkx +=+−=
6
;
4
; x = arctan
23
3
+ kπ, k∈Z.
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
12
IV. PHNG TRèNH đối xứng:
a(sinx
cosx) + bsinx.cosx = c
Đặt:
2;
4
sin2cossin
== txxxt
22
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t xx xx t= =
Thay vào phơng trình đã cho, ta đợc phơng trình bậc hai theo t.
Giải phơng trình này tìm t thỏa
2.t
Suy ra x.
Lu ý :
sin cos 2.sin 2.cos
44
aa a a
+ = +=
sin cos 2 sin 2 cos
44
aa a a
= = +
Bi 1:
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
13
Bài 2:
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
14
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
15
Bài 3: Giải phương trình:
BT - GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU:
a/
02cos22sincossin1 =++++ xxxx
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
16
(Loại do điều kiện)
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VÒ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH –
Pt chøa Èn ë mÉu – C¸c bµi tËp tæng hîp.
Bài 1:
3
Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
3
Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0
Ta biến đổi: 3tan2xcot3x +
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
⇒ 3tan2xcot3x +
3
tan2x – 3
3
cot3x – 3 = 0
⇒ tan2x (3cot3x +
3
) -
3
(3cot3x +
3
) = 0
⇒ (3cot3x +
3
) (tan2x -
3
) = 0
⇒
2
3
3
cot3
3
3
3
tan 2 3
3
xk
x
xk
x
π
π
π
π
= +
= −
⇒
= +
=
(k ∈ Z)
⇒
2
93
62
xk
xk
ππ
ππ
= +
= +
(k ∈ Z)
C¸c giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x =
2
93
k
ππ
+
và x =
62
k
ππ
+
, k ∈ Z
Bài 2:
1 tan
2 sin
1 cot
x
x
x
+
=
+
Giải phương trình:
1 tan cos sin sin
2 sin . 2 sin
1 cot cos sin cos
x xx x
xx
x x xx
++
=⇒=
++
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1.
Ta biến đổi phương trình đã cho:
⇒
sin
2 sin
cos
x
x
x
=
⇒ sinx
1
20
cos x
−=
⇒
sin 0
2
cos
2
x
x
=
=
⇒ x = ±
2
4
k
π
π
+
, k∈ Z
Giá trị x = -
2
4
k
π
π
+
, (k∈Z) bị loại do điều kiện cotx ≠ -1.
Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là: x =
2
4
k
π
π
+
, k∈ Z.
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
17
Bài 3: Giải phương trình: tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0; 2π)
sin8 2sin 4
0
cos3 cos5 cos4
xx
xx x
−=
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0.
Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒
⇒
2sin 4 cos4 2sin 4
0
cos3 cos5 cos4
xx x
xx x
−=
⇒ 2sin4x.
2
cos 4 cos3 cos5
0
cos3 cos4 cos5
x xx
xxx
−
=
⇒ 2sin4x.sin
2
x = 0 ⇒
sin 4 0
sin 0
x
x
=
=
⇒
4
4
4
xk
xk
xk
xk
xk
π
π
π
π
π
=
=
⇒ ⇒=
=
=
(k ∈ Z) .
- Từ giả thiết : x
∈ (0; 2π)
802
4
020 <<⇔<<⇔<<⇔ kkx
π
π
π
{ }
7;6;5;4;3;2;1∈⇒∈ kZk
- KÕt hîp víi điều kiện cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0.
Nghiệm của phương trình là:
12 34 5
3 57
; ;; ;
44 4 4
xx xx x
ππ ππ
π
= = = = =
.
Bài 4:
);0(
π
∈x
T×m tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cotx – 1 =
xx
x
x
2sin
2
1
sin
tan1
2cos
2
−+
+
.
®K:
−≠
≠
1tan
02sin
x
x
PT
xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos
2
−+
+
=
−
⇔
xxxxxx
x
xx
cossinsincossincos
sin
sincos
22
−+−=
−
⇔
⇔
0)1sincos)(sinsin(cos
2
=−−− xxxxx
(cos )( 2 sin(2 ) 3) 0
4
x sinx x
π
⇔ − + −=
cos 0
2 sin(2 ) 3( )
4
x sinx
x voly
π
−=
⇔
+=
Ta cã:
( )
4
3
4
1
444
00;0 <<−⇔−<<−⇔<+<⇔<<⇔∈ kkkxx
π
ππ
π
ππ
π
ππ
⇔
)2sin1(sinsincos xxxx −=−
⇔
0)32cos2)(sinsin(cos =−+− xxxx
⇔
0sincos =− xx
⇔
tanx = 1
)(,
4
Zkkx ∈+=⇔
π
π
(tm®k)
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
18
Vì
4
0
== xkZk
. Vậy trên
);0(
phơng trình có nghiệm:
4
=x
.
Cách 2: Đặt t = tanx.
Bi 5: Gii phng trỡnh:
ĐK:
Zm
m
xx
xx
x
+
,
24
02cos
0cossin
02cos
.
( )
=
=
=
=+++
12sin
02sin
02sin2sin
02cos2sin2cossin
2
2
2
x
x
xx
xxxxPT
Do sin2x =1 thì cos2x = 0 nên trờng hợp này loại.
Chỉ có
Zk
k
xx == ,
2
02sin
.
Bi 6: Gii phng trỡnh:
Bi 7:
2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3cc
Gii phng trỡnh:
2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3cc
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2
3
cos
2
x
os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x
cos 0
os5x=cos(x- )
6
x
c
=
2
24 2
2
42 7
xk
k
x
k
x
= +
=+
= +
Bi 8:
( )
66
8 sin 3 3sin 4 3 3 2 9sin 2 11x cos x x cos x x++ = +
Gii phng trỡnh: .
Ta có:
( )
66 2
3
sin 1 sin 2 (1)
4
x cos x x+=
.
Thay (1) vào phơng trình ta có :
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
19
( )
66
8 sin 3 3sin 4 3 3 2 9sin2 11x cos x x cos x x++ = − +
2
2
2
3
8 1 sin 2 3 3sin4 3 3 2 9sin 2 11
4
3 3sin 4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3
3sin 4 3 2 2sin 2 3sin2 1
x x cos x x
x cos x x x
x cos x x x
⇔− + = − +
⇔ − = −+
⇔ − = −+
( )
( )
( )
3 2 . 2sin2 1 (2sin 2 1)(sin2 1)
2sin 2 1 3 2 sin 2 1 0
cos x x x x
x cos x x
⇔ −= − −
⇔ − − +=
2sin 2 1 0 2sin 2 1 (2)
3 2 sin 2 1 0 sin2 3 2 1 (3)
xx
cos x x x cos x
−= =
⇔⇔
− += − =
Gi¶i (2) :
12
()
5
12
xk
kZ
xk
Π
= +Π
∈
Π
= +Π
; Gi¶i (3)
4
()
7
12
xk
kZ
xk
Π
= +Π
∈
Π
= +Π
KÕt luËn :
Bài 9:
2
4
(2 sin 2 )sin3
os
xx
cx
−
Giải phương trình: tan
4
x +1 = .
- ĐK: cosx
≠
0
⇔
sinx
≠
±
1.
- Ta có phương trình
⇔
sin
4
x + cos
4
x = ( 2 – sin
2
2x)sin3x
⇔
( 2 – sin
2
2x)(1 – 2 sin3x) = 0
⇔
sin3x =
1
2
( do ( 2 – sin
2
2x
≥
1)
⇔
3sinx – 4sin
3
x =
1
2
. Thay sinx =
±
1 vào đều không thỏa mãn.
Vậy các nghiệm của PT là
2 52
; ()
18 3 18 3
kk
x x kZ
ππ ππ
=+=+∈
Bài 10:
cos2 5 2(2 -cos )(sin - cos )x xxx+=
Giải phương trình:
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
- 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos -sin -1
cos -sin 5( cos -sin 2)
xx
x x loai vi x x
=
⇔
= ≤
2
2
2 sin( ) 1 sin( ) sin ( )
4 44
2
xk
x x kZ
xk
π
π
π ππ
ππ
= +
⇔ −=⇔ −= ⇔ ∈
= +
Bài 11:
2
3 2 sin2 1
13
2cos sin 2 tanx
+
+ = ++
x
xx
Giải phương trình: .
- §k:
2
xk
π
≠
- Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
( )
2
32
13
2 sin2
+ + −=tan cot xx
x
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
20
22
2
2
2(sin cos )
3 32
sin cos
3 2 30
+
⇔ + −=
⇔ + −=
tan cot
tan tan
xx
xx
xx
xx
⇔
3
3
1
3
6
π
= −
=− +π
⇔
π
=
= +π
tan
tan
x
xk
x
xk
,k∈Z
So s¸nh víi ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
62
ππ
= +xk
; k∈Z
Bài 12:
3
2 2 cos2 sin 2 cos( ) 4sin( ) 0
44
x xx x
ππ
+ + − +=
Giải phương trình: .
3
2 2 cos2 sin 2 cos( ) 4sin( ) 0
44
x xx x
ππ
+ + − +=
⇔
33
2 2 cos2 sin 2 (cos .cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 0
4 4 44
x xx x x x
π π ππ
+ − − +=
⇔
4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0
⇔
(sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0
sinx+cosx=0 (2)
4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3)
⇔
.
-PT (2) có nghiệm
4
xk
π
π
=−+
.
-Giải (2) : Đặt
sinx-cosx= 2 sin( ), §iÒu kiÖn t 2 (*)
4
tx
π
= −≤
2
sin 2 1xt⇒=−
,
thay vào (2) được PT: t
2
-4t-5=0
⇔
t = -1( t/m (*)) hoặc t = 5(loại )
Với t = -1 ta tìm được nghiệm x là :
3
2 hoÆc x= 2
2
xk k
π
ππ
= +
.
Bài 13:
=−+
=−
)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x
Giải phương trình: 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin
2
x = 8
6cosx(1 – sinx) – (2sin
2
x – 9sinx + 7) = 0
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
π
π
2
2
kx +=
Bài 14:
( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x cx c x x+− − + − − =
Giải phương trình: .
033)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2
033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin
232
3
=−−++−−+⇔
=−−+−−+
xxxxxxxx
xxxxxx
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=−+−−−−⇔ xxxxxxxx
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
21
0)8cos6cos2
)(sincos3(
2
=+−−−⇔ xxxx
=
=
=
⇔
=−+
=−
⇔
)(4cos
1cos
3tan
04cos3cos
0sincos3
2
loaix
x
x
xx
xx
Ζ∈
=
+=
⇔ k
kx
kx
,
2
3
π
π
π
Bài 15: Giải phương trình:
Bài 16: Giải phương trình:
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
22
Bài 17: Giải phương trình:
Bài 18: Giải phương trình:
Bài 19:
6
x
π
+
Giải phương trình: cosx = 8sin
3
cosx = 8sin
3
6
x
π
+
⇔
cosx =
( )
3
3sinx+cosx
⇔
3 2 23
3 3sin 9sin osx +3 3sinxcos os osx = 0x xc x c x c+ +−
(3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) ⇔
32
3 3 tan 8t an x + 3 3 tanx = 0x +
tanx = 0 x = k
π
⇔⇔
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
23
Bài 20:
1cos44cos32
4
cos2
22
−=+
− xxx
π
Giải phương trnh: .
Phương trình tương đương với
2
1 cos 4 3 cos 4 4cos 1
2
x xx
π
⇔+ − + = −
( )
2
sin 4 3 cos4 2 2cos 1
13
sin 4 cos 4 cos2
22
cos 4 cos2
6
xx x
x xx
xx
π
⇔+ = −
⇔+ =
⇔ −=
( )
12
36 3
xk
k
k
x
π
π
ππ
= +
⇔∈
= +
Bài 21:
xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33
+=−
Giải phương trnh:
x2sin
2
1
xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3
33
+=−
( )
xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2
x
cos
2
x
sin3 +=
+
−⇔
( )
+
−+=
+
−⇔
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
0
2
3
2
x
cos
2
x
sin)xsin2(
2
x
sin
2
x
cos =
+++
−⇔
*
xx x x
sin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 24 24 2
πππ
− = ⇔ − = ⇔ − = π⇔ = + π ∈
Z
*
2xsin0xsin2 −=⇔=+
(v« nghiÖm)
*
22
3
4
xsin
2
3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos
2
x
sin −=
π
+⇔−=
π
+⇔−=+
(v« nghiÖm)
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:
( )
x k2 k
2
π
=+π ∈
Z
Bài 22:
( )
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
xx
x
+
= +
Giải phương trnh: (1)
§iÒu kiÖn:
sin 2 0x ≠
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
xx
x xx
−
⇔=+
2
2
1
1 sin 2
11
2
1 sin 2 1 sin2 0
sin 2 sin 2 2
x
xx
xx
−
⇔ = ⇔− = ⇔ =
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
Bài 23:
⇔
Giải phương trnh: 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Ph¬ng tr×nh ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos
2
x – sin
2
x) = 0
⇔
( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0
inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang
24
( sinx cosx).( 1 2cosx) = 0
=
=
2
1
cos
1tan
x
x
+=
+=
.
3
.
4
lx
kx
( k,l
Z).
Bi 24:
gxtgx
x
x
x
x
cot
sin
2cos
cos
2sin
=+
Gii phng trnh: (1)
(1)
x
x
x
x
xx
xxxx
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin2sincos2cos
=
+
( )
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin
xx2cos
22
=
cosx cos2x sin2x 0=
2
2cos x cosx 1 0 sin2x 0 + =
1
cosx (cosx 1 :loaùi vỡ sinx 0)
2
= =
+
= 2k
3
x
Bi 25:
2
1
3sin sin2 tan
2
x xx+=
Gii phng trnh:
- Đk: cosx
0
x
2
k
+
.
- PT đã cho
3
sin
2
x + sinxcosx -
sinx
cos x
= 0
sinx.(
3
sinx + cosx -
1
cos x
) = 0
sinx 0
1
3sinx cos 0
osx
x
c
=
+=
* Sinx = 0
x = k
.
*
3
sinx + cosx -
1
cos x
= 0
3
tanx + 1 -
2
1
cos x
= 0
tan
2
x -
3
tanx = 0
t anx 0
t anx 3
=
=
x
x
3
k
k
=
= +
Vậy PT có các họ nghiệm: x = k
, x =
3
k
+
Bi 26:
2
3 4 2sin2
2 3 2(cotg 1)
sin2
cos
x
x
x
x
+
+ = +
Gii phng trnh: .
- Đk:
2
xk
- Phơng trình đã cho tơng đơng với:
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Phương trình lượng giác - Trang
25
( )
2
22
2
2
4
31 2 3 2
sin2
2(sin cos )
3 32
sin cos
3 2 30
tg cotg
tg cotg
tg tg
xx
x
xx
xx
xx
xx
+ + −=
+
⇔ + −=
⇔ + −=
⇔
3
3
1
3
6
tg
tg
xk
x
x
xk
π
=− +π
= −
⇔
π
=
= +π
KL: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
62
xk
ππ
= +
; k∈Z
Bài 27:
sin4 cos4 4 2 sin( ) 1
4
xx x
π
+ = +−
Giải phương trnh: .
PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos
2
2x = 4(sin x + cos x)
⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x)
⇔
sinx cos 0
(cos sinx)(sin 2 os2 ) 2
x
x xc x
+=
− +=
⇔
4
os3 sinx 2
xk
cx
π
π
=−+
−=
Chøng minh ®îc ph¬ng tr×nh: cos 3x sin x = 2 v« nghiÖm
KL: x =
4
k
π
π
−+
Bài 28:
2sin 2x 4sin x 1 0.
6
π
− + +=
Giải phương trnh:
Ta cã :
2sin 2x 4sin x 1 0.
6
π
− + +=
⇔
3
sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0
⇔
3
sin2x + 2sin
2
x + 4 sinx = 0
⇔
sinx (
3
cosx + sinx + 2 ) = 0
⇔
sinx = 0 (1) hoÆc
3
cosx + sinx + 2 = 0 (2)
+, (1)
x⇔=πk
+, (2)
31
cosx sin x 1
22
⇔ +=−
sin x 1
3
π
⇔ +=−
5
x2
6
π
⇔=− + πk
