Tích của một số vectơ

Bµi 3:TÍCH CUÛA VECTO VÔÙI MOÄT SOÁ

1
Cho
a 0
Xác định độ dài và h ớng của véc tơ
a + a
aa
A
B
C
a = AB
BC = a
=>
a + a
AB + BC = AC
=
a + a
Độ dài: a + a = 2 a
H ớng:
cùng h ớng với a
Ta viết
a + a = 2a

a a
A
B
C
AB + BC = AC = 2a
2a

§é dµi:
2 a  = 2 a 
H íng: cïng h íng víi a

1.Định ngh a
Cho số k 0 và véc tơ
a 0 Tích của véc tơ a
Với một số k là một véc tơ, kí hiệu là
k a
= ka
H ớng của
k a
k > 0 =>
k a
cùng h ớng
a
k < 0 =>
k a
ng ợc h ớng a
0 a = 0, k 0 = 0
ẹoọ daứi
Quy ửụực:

VÝ dô :Cho G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC,D vµ E lÇn l ît lµ trung
®iÓm cña BC vµ AC
B
C
A
•
D

/ /
•
G
GA = ( - 2 ) GD
AD = 3 GD
• E
Khi ®ã ta cã
DE = ( - 1/2 ) AB
//
//

2.TÝnh chÊt Víi hai vÐc t¬ a vµ b bÊt k×,víi mäi sè h vµ k, ta cã
k ( a + b) = k a + k b
( h + k) a = h a + k a
h ( k a ) = (hk) a
1.a = a
( -1).a = - a

1
T×m vÐc t¬ ®èi cña vcs t¬ 3a vµ 3a – 4 b
VÐc t¬ ®èi cña vÐc t¬ 3 a lµ vÐc t¬ - (3 a ) = (- 3) a
VÐc t¬ ®èi cña vÐc t¬ 3 a – 4 b lµ vÐc t¬ - (3 a - 4 b )
= - 3 a + 4b

3.Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
MA + MB = 2 MI
b)Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
MA + MB +MC = 3 MG
a)Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA + IB = 0

b)Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC GA + GB + GC = 0
Hãy sử dụng tính chất
Để chứng minh tính chất trên
3
IA + IB = 0
IM + MA + IM +MB = 0
MA + MB + 2 IM = 0
MA + MB = 2 MI
GA +GB + GC = 0
GM + MA + GM +MB + GM + MC= 0
MA + MB + MC + 3GM = 0
MA + MB + MC = 3MG

4.Điều kiện hai véc tơ cùng ph ơng
Điều kiện cần và đủ để hai véc tơ a và b ( b 0 ) cùng ph ơng là có
một số k để a = k b
Chứng minh:
=>
Nếu a = k b thì a và b cùng ph ơng
<= Giả sử a và b cùng ph ơng.
Ta lấy k =
a
b
nếu a và b cùng h ớng
Ta lấy k = -
a
b
nếu a và b ng ợc h ớng
=> a = k b
Nhận xét:

A,B,C thẳng hàng
AB = k AC

A
B
C
* 2 vÐc t¬ céng thµnh 1 vÐc t¬
? Mét vÐc t¬ cã ph©n tÝch thµnh
tæng cña hai vÐc t¬ nµo ®ã kh«ng?

6.Ph©n tÝch mét vÐc t¬ theo hai vÐc t¬ kh«ng cïng ph ¬ng
Cho a = OA vµ b = OB kh«ng cïng ph ¬ng
O
A
B
Vµ vÐc t¬ x tuú ý
a
b
xx
C
A’
B’
x = OA’+ OB’ = h a + k b
Bé sè h vµ k lµ duy nhÊt
khi ba vÐc t¬ a, b, x cho tr íc
Víi vÐc t¬ a, b kh«ng cïng ph ¬ng

1. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD.Chøng minh r»ng: AB + AC + AD = 2AC

2.Cho AK vµ BM lµ hai trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC.H·y ph©n tÝch

C¸c vÐc t¬ AB, BC, CA theo hai vÐc t¬ u = AK, v = BM

3.Trên đ ờng thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm m sao
cho MB = 3 MC
Hãy phân tích véc tơ AM theo hai véc tơ u = AB và v = AC

4.Gäi AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC vµ D lµ trung ®iÓm cña AM
Chøng minh r»ng:
a)
2DA + DB + DC = 0
b)
2OA + OB + OC = 4OD
,víi O lµ ®iÓm tuú ý.

5.Gọi M và N lần l ợt là trung điểm các cạnh Ab và CD của tứ giác
ABCD.Chứng minh rằng:
2MN = AC + BD = BC +AD

6.Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.T×m ®iÓm K sao cho 3KA + 2 KB = 0

7. Cho tam gi¸c ABC.T×m ®iÓm M sao cho MA + MB + 2 MC = 0

8.Cho lục giác ABCDF ,gọi M,N.P,Q,R.S lần l ợt là trung điểm của
các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA.Chứng minh rằng hai tam giác MPR
và NQS có cùng trọng tâm.

9.Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tuỳ ý
trong tam giác.Gọi D,E,F lần l ợt là chân đ ờng vuông góc hạ từ M
đến BC,AC,AB.Chứng minh rằng
MD + ME +MF = MO

3
2




I-Lý thuyết:
*)Định nghĩa tích của một số với một véc tơ.
*) Cách xác định véc tơ ka.
*) Điều kiện để hai véc tơ cùng ph ơng.
*) Ph ơng pháp phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng ph ơng
II- Bài tập: từ bài 1 đến bài 9 (sgk)