Bai giang chu de tu chon dai so 8

Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
CHỦ ĐỀ 1. NHÂN CHIA ĐA THỨC
1. Kiến thức cơ bản
Với A, B, C, … là các đơn thức tùy ý
Ta có:
( )A B C AB AC+ = +

( )( )A B C D AC AD BC BD+ + = + + +

( ) : : : :A B C D A D B D C D+ + = + +
Với A, B là các đa thức một biến thì luôn tồn tại hai đa thức Q và R sao cho
.A B Q R= +

( bậc của
R
nhỏ hơn bậc của
B
)
Nếu
0R =
thì
A
chia hết cho
B
Nếu
0R
≠
thì
A
không chia hết cho
B

2. Nâng cao
a. Định lý Bê – zu
Số dư trong phép chia đa thức
( )f x
cho đa thức
x a−
đúng bằng
( )f a
.
b. Hệ quả của định lý Bê – zu
Nếu
a
là nghiệm của đa thức
( )f x
thì
( )f x
chia hết cho
x a−
.
* Đặc biệt:
Nếu tổng các hệ số của đa thức
( )f x
bằng
0
thì
1
là nghiệm của
( )f x
và
( )f x

chia
hết cho
1x −
.
Nếu
( )f x
có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì
1−
là nghiệm của
( )f x
và
( )f x
chia hết cho
1x +

3. Các ví dụ minh họa
VD. Thực hiện phép tính
(a)
2
2 ( 1)xy x y y− +
,
2 2
1
( ) (2 1)
2
b x y xy y− − +
,
(c)
2 2
( )( )x y x xy y− + +

,
2
1
( ) ( 3)( 2 ),
2
d x xy x y+ − −
(e)
4 3 2 2 2
(12 6 3 ) : 3x y x y x y xy+ −
, (f)
3 2
(2 3 4) : ( 1)x x x x− + − −
.
Lời giải.
2 2
3 2 2
( ) 2 ( 1) 2 . 2 . 2 .1
2 2 2 .
a xy x y y xyx y xyy xy
x y xy xy
− + = − +
= − +
2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2
1 1 1 1
( ) (2 1) .2 . .1
2 2 2 2
1 1
.
2 2

b x y xy y x y xy x yy x y
x y x y x y
− − + = − + −
= − + −
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
3 3
( )( )( ) . . . . . .

.
c x y x xy y x x x xy xy yx y xy yy
x x y xy x y xy y
x y
− + + = + + − − −
= + + − − −
= −
GV: Lữ Ngọc Triệu
1
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
2 2 2
3 2 2 2
3 2 2
1 1 1
( ) ( 3)( 2 ) . .2 . .2 3. 3.2
2 2 2
1
2 3 6
2
3
3 6 .

2
d x xy x y x x x y xyx xy y x y
x x y x y xy x y
x x y xy x y
+ − − = − + − − +
= − + − − +
= − − − +
4 3 2 2 2 4 3 2 2 2
3 2
( ) (12 6 3 ) : 3 12 : 3 6 : 3 3 : 3
4 2 .
e x y x y x y xy x y xy x y xy x y xy
x y xy x
+ − = + −
= + −
(f)
3 2
(2 3 4) : ( 1)x x x x− + − −



3 2
2 3 4x x x− + −

1x −

-

3 2
2 2x x−

2
2 2x x− +


2
3 4x x+ −
-

2
x x−

2 4x −
-

2 1x −
0
Vậy:
3 2 2
(2 3 4) : ( 1) 2 2x x x x x x− + − − = − +
.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Thực hiện phép tính
3 2 2
2 2 3
1 2
( ) 3 ( 2 3 ), ( ) (3 ),
3 3
2 5 1
( ) (5 2 ) , ( ) (2 - )(- ).

3 2 4
a x x x b x x x
c xy x y x y d x xy x xy
− + − − −
− + +
Bài 2. Thực hiện phép tính
2
( ) (2 1)(2 1), ( )(5 2 )( 1),
1
( ) ( 1)(2 3) ( ) ( 1)( 1)( 2),
2
a x x b x y x xy
c x x d x x x
− + − − +
− − + − +
3 2 2 3
( ) ( 2 2) : ( 1) ( )( 8) :( 2)e x x x x f y y− − + − − −
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
( ) ( 2) ( 2)( 2)a x x x x+ − + −
tại
2x = −
,
( ) ( ) ( )b x x y y x y− + −
tại
1,5x =
và
10y =
.
GV: Lữ Ngọc Triệu
2

Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Hướng dẫn: Rút gọn các biểu thức rồi thay các giá trị
, x y
vào biểu thức.
Bài 4. Tìm
x
, biết:
2
( ) ( 2) 2 0a x x x− − + =
,
( ) 2 ( 5) (3 2 ) 26b x x x x− − + =
,
( )( 3)(2 1) ( 3)( 2) 0.c x x x x+ − − + − =
Hướng dẫn: Nhân các đa thức với nhau rồi rút gọn các số hạng đồng dạng.
Bài 5. Xác định
a
để đa thức
3 2
2 3x x x a− + −
chia hết cho đa thức
1x −
.
Hướng dẫn: Thực hiện chia đa thức
3 2
2 3x x x a− + −
cho
1x −
được dư là
R
, cho

0R =
suy ra giá trị
a
cần tìm hoặc sử dụng định lý Bê – zu, tính
(1)f
và cho
(1) 0f =
suy ra giá trị
của
a
.
GV: Lữ Ngọc Triệu
3
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
CHỦ ĐỀ 2
HẰNG ĐẲNG THỨC
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. HẰNG ĐẲNG THỨC (5 tiết)
A. Kiến thức cơ bản
( )
2
2 2
1) 2A B A AB B+ = + +
( )
2
2 2
2) 2A B A AB B− = − +
( ) ( )
( )
2 2

3
3 2 2 3
3) – –
4) 3 3
A B A B A B
A B A A B AB B
= +
+ = + + +
( )
( )
( )
( )
( )
3
3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
5) 3 3
6)
7)
A B A A B AB B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
− = − + −
+ = + − +
− = − + +
* Lưu ý:
2 2
( ) ( )A B B A− = −
B. Các ví dụ minh họa

VD1: Tính
2 2 2
3 3 3
( ) (2 1) , ( ) ( 3 ) , ( ) 16,
( ) ( 3) , ( )(5 2 ) , ( ) 8.
a x b x y c x
d x e y f x
+ − −
+ − +
Lời giải.

2 2 2
2
( ) (2 1) (2 ) 2.2 .1 1
4 4 1.
a x x x
x x
+ = + +
= + +

2 2 2
2 2
( ) ( 3 ) 2. .3 (3 )
6 9 .
b x y x x y y
x xy y
− = − +
= − +

2 2 2

( ) 16 4 ( 4)( 4).c x x x x− = − = − +

3 3 2 2 3
3 2
( ) ( 3) 3. .3 3. .3 3
9 27 27.
d x x x x
x x x
+ = + + +
= + + +

3 3 2 2 3
2 3
( ) (5 2 ) 5 3.5.2 3.5.(2 ) (2 )
125 150 60 8 .
e y y y y
y y y
− = − + −
= − + −

3 3 3 2 2
2
( ) 8 2 ( 2)( 2 )
( 2)( 4).
f x x x x xy
x x xy
+ = + = + + +
= + + +
VD2. Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
2 2

( ) 2 1, ( ) 16 8 , ( ) (2 3)(2 3),a x x b y y c x x− + + + + −
3 2 2 2
( ) 8 12 6 1, ( ) (2 3 )(4 6 9 ).d x x x e x y x xy y+ + + − + +
Lời giải.
GV: Lữ Ngọc Triệu
4
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
2 2 2 2
( ) 2 1 2. .1 1 ( 1)a x x x x x− + = − + = −
2 2 2 2
( ) 16 8 4 2.4. (4 )b y y y y y+ + = + + = +
2 3 2
( ) (2 3)(2 3) (2 ) 3 4 9.c x x x x+ − = − = −
3 2 3 2 2 3
3
( ) 8 12 6 1 (2 ) 3.(2 ) .1 3.2 .1 1
(2 1)
d x x x x x x
x
+ + + = + + +
= +
2 2 2 2
3 3 3 3
( ) (2 3 )(4 6 9 ) (2 3 ) (2 ) 2 .3 (3 )
(2 ) (3 ) 8 27
e x y x xy y x y x x y y
x y x y
 
− + + = − + +
 

= − = −
VD3. Tính giá trị của các biểu thức sau
2
( ) 10 25a x x− +
tại
15x =
,
2 3
( ) 1 3 3b x x x− + −
tại
9,x = −
3 2 2 3
( ) 8 12 6c x x y xy y+ + +
tại
6, 2.x y= = −
Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số gồm các
bước sau
- Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho (phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng
hằng đẳng thức)
- Thay biến bởi giá trị đã cho, lưu ý với các giá trị của biến đã cho là số âm, ta cần đặt
trong dấu ngoặc
- Thực hiện các phép tính (lũy thừa, nhân, chia, cộng và trừ)
Lời giải.
(a) Ta có
2 2 2 2
10 25 2. .5 5 ( 5)x x x x x− + = − + = −
Thay
15x =
vào
2

( 5)x −

Ta được:
2 2
(15 5) 10 100.− = =
Vậy giá trị của các biểu thức
2
10 25x x− +
tại
15x =
là
100
.
(b) Ta có
2 3 3 2 2 3 3
1 3 3 1 3.1. 3.1. (1 )x x x x x x x− + − = − + − = −
Thay
9x = −
vào
3
(1 )x−

Ta được:
3 3
(1 9) 10 1000.+ = =
Vậy giá trị của các biểu thức
2 3
1 3 3x x x− + −
tại
9x = −

là
1000.
(c) Ta có

3 2 2 3 3 2 2 3
3
8 12 6 (2 ) 3.(2 ) . 3.2 .
(2 )
x x y xy y x x y xy y
x y
+ + + = + + +
= +
Thay
6, 2x y= = −
vào
3
(2 3 )x y+

Ta được:
3 3
(2.6 2) 10 1000.− = =
Vậy giá trị của các biểu thức
3 2 2 3
8 12 6x x y xy y+ + +
tại
6, 2.x y= = −
là
1000.
C. Bài tập tự luyện
Bài 6. Tính nhanh

GV: Lữ Ngọc Triệu
5
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
2 2 2 2
( ) 13 26.3 3 , ( ) 25 5 50.5,
( ) 75.65, ( ) 96.104.
a b
c c
− + + +
Bài 7. Tính
2 2 2
3 3 3
1 1
( ) ( 3 ) , ( ) ( ) , ( ) (3 ) ,
2 2
( ) 27 1, ( ) 125 8, ( ) (3 ) .
a x y b x c x y
d x e y f x y
− + −
+ − −
Bài 8. Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
2 2
3 2 2 2
( ) 4 4, ( ) 10 25, ( ) ( 5 )( 5 ),
( ) 3 3 1, ( ) ( 1)( 1), ( ) (3 2 )(9 6 4 ).
a x x b x x c x y x y
d y y y e x x x f y y y
− + + + − +
− + − + − + − + +
Bài 9. Tìm

x
, biết:
2
2
2 2
( ) 1 0,
( ) 1 2 ,
( ) 2 3 4.
a x
b x x
c x x x x
− =
+ =
+ = − −
II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (4 tiết)
A. Kiến thức cơ bản
* Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của
những đa thức. ta có thể viết bằng công thức sau:


1 2
( ) ( ). ( ) ( )
n
f x f x f x f x=
* Cách giải :
Để giải được các bài toán dạng này ta dùng các phương pháp sau:
1. Đặt nhân tử chung,
2. Dùng hằng đẳng thức,
3. Nhóm hạng tử,
4. Phối hợp nhiều phương pháp.

Ngoài bốn phương pháp trên ta có thể sử dụng các phương pháp sau
1. Tách hạng tử,
2. Thêm bớt cùng một hạng tử,
3. Biến đổi,
4. Phương pháp đồng nhất hệ số( hay còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
B. Các ví dụ minh họa
VD. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2 2
2 3
1
( ) 6 3 , ( ) 2 ,
2
2
( ) ( ) ( ), ( ) 3 ( 1) 9(1 ),
3
( ) 64, ( ) 64 1.
a xy y b x y x y xy
c x x y xy x y d x x x
e x f x
− − +
− − − − + −
− −
Lời giải.

( ) 6 3 3 .2 3 .1 3 (2 1).a xy y y x y y x− = − = −
GV: Lữ Ngọc Triệu
6
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8

2 2 2

1 1
( ) 2 . . .2
2 2
1
( 2)
2
b x y x y xy xy x xy xy xy
xy x xy
− + = − +
= − +

2 2
( ) ( ) ( ) ( ). ( ).
3 3
2
( )( )
3
c x x y xy x y x x y x x y y
x x y y
− − − = − − −
= − −

( ) 3 ( 1) 9(1 ) 3 ( 1) 9( 1)
3( 1)( 9).
d x x x x x x
x x
− + − = − − −
= − −

2 2 2

( ) 64 8 ( 8)( 8)e x x x x− = − = − +
.

3 3 3 2 2
2
( ) 64 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 .1 1
(4 1)(16 4 1)
f x x x x x
x x x
 
− = − = − + +
 
= − + +
C. Bài tập tự luyện
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
3 3 2 2
3
( ) 5 10 , ( ) 3 6 ,
5
7 7
( ) ( 1) ( 1), ( ) 6 ( ) 3 ( ),
3 3
1
( ) 4 4, ( ) 16,
4
1
( ) 27 , ( ) 12 48
27

a xy y b x y x xy
c x x xy x d x x y y y x
e x x f x
g x h x x y xy
− + −
− + − − − −
+ + −
− + +
3
2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 4 2
64 ,
( ) 2 1 , ( ) ,
( ) 5 5 7 7 , ( ) 2 ,
( ) 4 4 , ( ) 4 .
y
i x x y k x xy x y
l x xy x y m x xy y z
n x x y xy xz u y y
+
− + − − + −
− − + + + −
− + − −
Bài 11. Tính giá trị của các biểu thức sau
( ) ( 10) (10 )a x x y x− + −
tại
2010x =
và
2009y =

,
2 2
( ) 2 1b x y xy+ + −
tại
10x =
và
1y =
,
2
1 1
( )
2 16
c x x− +
tại
0,25x =
,
2 2
( ) 2 1d y z z− − −
tại
2003y =
và
6z =
.
Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 4
( ) 2 3, ( ) 7 6,
( ) 6, ( ) 4.
a x x b x x
c x x d y

− − − +
− − +
Hướng dẫn: Ở câu (a), (b) và (c) dùng phương pháp tách và nhóm hạng tử, riêng ở câu (d)
dùng phương pháp thêm bớt hạng tử
2
(4 )y
vào đa thức.
GV: Lữ Ngọc Triệu
7
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Bài 13. Tìm
x
, biết
2 2
3
3 2
( ) 5 0, ( ) 1 ( 1)
( ) 0, ( ) 5 ( 1) 1,
( ) 4 0, ( ) 10 25.
a x x b x x
c x x d x x x
e x x f x x
+ = + = +
+ = − = −
− = − = −
Bài 14. Tính giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của các đa thức sau
2 2 2
( ) 6 11, ( ) 2 10 1, ( ) 5 .a A x x b B x x c C x x= − + = + − = −
Hương dẫn: Ở bài toán dạng này ta biến đổi các biểu thức về dạng
2

( ) ( )f x x a b= + +
hoặc
2
( ) ( )f x x a b= − + +
, vậy ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu ta biến đổi biểu thức về dạng
2
( ) ( ) ( )f x x a b f x b= + + ⇒ ≥
nên: GTNN
( )f x b=
hay (
( )max f x b=
) khi
x b= −

TH2: Nếu ta biến đổi biểu thức về dạng
2
( ) ( ) ( )f x x a b f x b= − + + ⇒ ≤
nên: GTLN
( )f x b=
hay (
( )min f x b=
) khi
x b= −

GV: Lữ Ngọc Triệu
8
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
CHỦ ĐỀ 3. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa
Phân thức đại số là biểu thức có dạng
A
B
, với
,A B
là những đa thức và
B
khác đa thức
0
* Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức là 1
Hai phân thức bằng nhau:
A C
B D
=
nếu
. .A D B C
=
2. Tính chất cơ bản của phân thức
.
( )
.
A A M
a
B B M
=
(M là đa thức khác 0)
:
( )
:

A A N
b
B B N
=
( N là một nhân tử chung của A và B)
* Đặc biệt :
A A
B B
−
=
−
(quy tắc đổi dấu)
3. Rút gọn phân thức
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung,
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
4. Quy đồng mẫu của nhiều phân thức
- Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung,
- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức,
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức cho nhân tử phụ tương ứng.
B. Bổ sung
Phân số
a
b
là một trường hợp đặc biệt của phân thức
A
B
khi
,A B
là những đa thức bậc 0.
Vì vậy tính chất cơ bản của phân số là một trường hợp đặc biệt của tính chất cơ bản của

phân thức đại số.
C. Các ví dụ minh họa
VD1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
2
2 6 5 ( 3) 5
( ) , ( ) .
3 9 7( 3) 7
y xy x y x
a b
xy y
+
= =
+
Lời giải.
2
2 6
( )
3 9
y xy
a
xy
=
Ta có :
2
2
2 2
2 .9 18
2 6
3.6 18
3 9

y xy xy
y xy
xy xy
xy

=

⇒ =

=


GV: Lữ Ngọc Triệu
9
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
5 ( 3) 5
( )
7( 3) 7
x y x
b
y
+
=
+
Ta có :
5 ( 3).7 35 105
5 ( 3) 5
7( ).5 35 105
7( ) 7
x y xy x

x y x
y y x xy x
y y

+ = +
+

⇒ =

+ = +
+


VD2: Rút gọn các phân thức sau
3 2 3
5 2 2
2 3 2
3 2
14 9 ( )
( ) , ( ) ,
7 6 ( )
3
( ) , ( ) .
1 3
x y xy x y
a b
xy xy x y
x x x x y x y
c d
x

x x y x y
−
−
− − − +
−
+ − −
Lời giải.
3 2 2 2 2
5 2 3 3
14 7 .2 2
( ) .
7 7 .
x y xy x x
a
xy xy y y
= =

( )b
Ta thấy
3
9xy
và
6xy
đều có nhân tử chung là
3xy

x y−
và
2 2
x y−

đều có nhân tử chung là
x y−
.
Do đó bài này được giải như sau

3 2 2 2
2 2
9 ( ) 3 . ( ) 3 .( ).

3 .2( )( ) 3 .( ).2( ) 2( )
6 ( )
xy x y xyy x y xy x y y y
xy x y x y xy x y x y x y
xy x y
− − −
= = =
− + − + +
−

( )c
Ta có
2
3 (3 1)x x x x− = −
mà mẫu thức là
1 3x−
như vậy không có nhân tử chung. Để
làm xuất hiện nhân tử chung ở bài này ta dùng quy tắc đổi dấu
A A
B B
−

=
−
. Ta giải như sau:

2 2
3 (3 ) (3 1)
1 3 (1 3 ) 3 1
x x x x x x
x
x x x
− − − − −
= = = −
− − − −
( )d
Ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung, cụ thể ta phân tích như sau
Tử thức ta nhóm hạng tử thứ nhất với thứ hai, hạng tử thứ ba với thứ tư (lưu ý về dấu)
Mẫu thức ta cũng nhóm tương tự. Do đó ta có lời giải sau:

3 2 3 2
3 2 3 2
2 2
2 2
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( ) ( )( 1) ( )
.
( )
( ) ( ) ( )( 1)
x x y x y x x y x y

x x y x y x x y x y
x x y x y x y x x y
x y
x x y x y x y x
− − + − − −
=
+ − − + − −
− − − − − −
= = =
+
+ − + + −

VD3. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau

2 3 2 2
2
7 5 2 3
( ) à , ( ) à ,
3 6
3 2 4
10 1 5
( ) à , ( ) à .
2 6 3 3 6
4 4
a v b v
x
x y xy x
x x
c v d v
x x x

x x
+
−
+
− − +
+ +

GV: Lữ Ngọc Triệu
10
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Lời giải.
2 3 2
7 5
( ) à
3 2
a v
x y xy
Đây là bài đơn giản mẫu thức của hai phân thức đều là đơn thức do đó khi quy đồng ta cần
chú ý phần biến và phần hệ số.
Phần hệ số ta tìm bội chung nhỏ nhất,
Biến số lấy biến có lũy thừa cao nhất xuất hiện trong đơn thức.
Ta có lời giải sau
MTC:
2 3
6x y


2 3 2 3 2 3
7 7 2 14
.

2
3 3 6x y x y x y
= =


2 2 2 3
5 5 3 15
.
3
2 2 6
xy xy
xy
xy xy x y
= =


2
2 3
( ) à
3 6
4
b v
x
x
+
−
Ta thấy mẫu thức của hai phân thức là những đơn thức do vậy khi giải bài này ta cần phân
tích mẫu thức thành nhân tử

3 6 3( 2)x x+ = +

2
4 ( 2)( 2)x x x− = − +

Từ đó ta có mẫu thức chung là
3( 2)( 2)x x− +

2 2 ( 2) 2( 2)
.
3 6 3( 2) ( 2) 3( 2)( 2)
x x
x x x x x
− −
= =
+ + − + −


2
3 3 3 9
.
( 2)( 3) 3 3( 2)( 3)
4
x x x x
x
= =
− + − +
−
10 1
( ) à
2 6 3

c v
x x− −
Từ
6 3 3(2 )x x− = −
ta nhận thấy
2 2x x− ≠ −
, vậy ta quy đồng mẫu như thế nào? (dùng
quy tắc đổi dấu
A A
B B
−
=
−
biến đổi phân thức thứ hai
1 1 1
6 3 (6 3 ) 3 6x x x
− −
= =
− − − −
)
Ta có lời giải sau
MTC:
3( 2)x −

10 10 3 30
.
2 2 3 3( 2)x x x
= =
− − −

1 1 1 1
6 3 (6 3 ) 3 6 3( 2)x x x x
− − −
= = =
− − − − −
GV: Lữ Ngọc Triệu
11
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
2
5
( ) à .
3 6
4 4
x x
d v
x
x x
+
+
+ +
Dùng hằng đẳng thức
2 2 2
2 ( )a ab b a b+ + = +
để phân tích
2
4 4x x+ +
thành nhân tử (
2 2 2 2
4 4 2. .2 2 ( 2)x x x x x+ + = + + = +
)

MTC:
2
3( 2)x +

2 2 2 2
5 5 5 3 3( 5)
.
3
4 4 ( 2) ( 2) 3( 2)
x x x x
x x x x x
+ + + +
= = =
+ + + + +

2
( 2) ( 2)
.
3 6 3( 2) 3( 2) ( 2)
3( 2)
x x x x x x
x x x x
x
+ +
= = =
+ + + +
+
D. Bài tập tự luyện
Bài 15. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
2 3 2 3 3 4

2 5
2 2
2 2
3 9 7
( ) , ( ) ,
5 35
2 6
( 2) 3 6 9
( ) , ( ) .
2 3
( 2) 9
x x y x y x y
a b
xy
y xy
x x x x x x
c d
x x
x x x
= =
+ − − +
= =
+ +
+ −
Bài 16. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
2 2
2 2
2 2 2
2
3 6 3

( ) , ( ) ,
1
1 4 1
2 1 2 2
( ) , ( ) .
1 2
2 3 2
A x x x x x
a b
x A
x x
x x A x x x x
c d
x x A
x x
+ +
= =
−
− −
− + − +
= =
−
− −
Bài 17. Rút gọn các phân thức
3 2 2
2 3 2
2 5
2 2
15 ( 25) 4 4
( ) , ( ) , ( ) ,

2 ( 5)
3 ( 4)
9 14 (2 3 ) 8 (2 1
( ) , ( ) , ( )
3 ( 3)
21 (2 3 )
x y x x x x
a b c
xy x
x y x x
x xy x y xy x
d e f
x x
x y x y
− − +
+
−
− − −
−
−
3
2 2 2
2 3 2
)3
,
12 (1 2 )
20 45 5 10 9 ( 5)
( ) , ( ) , ( ) .
(2 3) 2(2 ) 4 4
x x

x x xy x
g h i
x y x x x
−
− − − +
+ − + +
B
ài 18. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau
2 5 4 3
4 2 3 2 4 3
5 3 11 3
( ) à , ( ) à ,
3 12 102 34
3 1 2 1 1
( ) à , ( ) à ,
12 9 9 4
4 4
( ) à
2 ( 3)
a v b v
x y xy x y xy
x y x x
c v d v
xy x y x y xy
x x
e v
x x
+ − + −
−
+

2 2
3 2 2
, ( ) à .
3 ( 1)
( 2) 2 ( )
x x
f v
x x
x x x
− −
+
+ +
GV: Lữ Ngọc Triệu
12
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
5. Phép cộng, trừ, nhân và chia phân thức đại số.
* Các quy tắc
a. Qui tắc cộng
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên
mẫu thức.

A B A B
M M M
+
+ =
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các
phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

1 1 1 1
A B A B

A B
B C M M M
+
+ = + =
(với
1 1
,A B
là tích của
,A B
với nhân tử phụ
tương ứng,
M
là mẫu thức chung của hai phân thức)
b. Quy tắc trừ
Muốn trừ phân thức
A
B
cho phân thức
C
D
, ta cộng
A
B
với phân thức đối của
C
D
tức là
A C A C
B D B D
 

− = + −
 ÷
 
.
c. Qui tắc nhân
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.
.
.
.
A C AC
B D B D
=
d. Qui tắc chia
Muốn chia phân thức
A
B
cho đa thức
C
D
khác 0 ta nhân
A
B
với phân thức nghịch đảo của
C
D
.
: .
.
A C A D A D
B D B C B C

= =
* Các ví dụ minh họa
VD1. Thực hiện phép tính

2 2
2 2
5 3 8 3 6 5 3 5
( ) ; ( ) ;
13 13 3 3
1 11 4 9 3 3 9 5
( ) ; ( ) .
2 2 2 2 2 2
x x x y x x y x
a b
xyz xyz
x x x x x x x
c d
x x x x x x
− + + −
+ +
+ − + − − −
+ + + +
− − − − − −
Lời giải.
5 3 8 3 5 3 8 3 13
( ) = = = .
13 13 13 13
x x x x x
a x
− + − + +

+
2 2 2 2 2
6 5 3 5 6 5 3 5 9 3
( ) .
3 3 3 3
x y x x y x x y x x y x x y x
b
xyz xyz xyz xyz z
+ − + + −
+ = = =
GV: Lữ Ngọc Triệu
13
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
1 11 4 1 11 4 3 6 3( 2)
( ) 3.
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
c
x x x x x x
+ − + + + − + + − −
+ + = = = =
− − − − − −
2 2 2 2
2 2 2 2
2
9 3 3 9 5 9 (3 3 ) 9 5
( )
2 2 2 2 (2 ) 2
9 3 3 9 5 9 3 3 9 5

2 2 2 2
4 8 4 ( 2)
4 .
2 2
x x x x x x x x
d
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x x
− − − − − − −
+ + = + +
− − − − − − −
− − − − + − + −
= + + =
− − − −
− −
= = =
− −
VD2. Thực hiện phép tính
( )
5 5 10 10
x x
a
x x
−
+ −
;

2
7 54
( ) .
6
6
x
b
x x
x x
− −
+
+
Lời giải.
( )
5 5 10 10
x x
a
x x
−
+ −
=
5( 1) 10( 1)
x x
x x
−
+ −
=
.2( 1) ( 1)
5( 1).2( 1) 10( 1)( 1)
x x x x

x x x x
− +
−
+ − − +
=
2 ( 1) ( 1)
10( 1)( 1)
x x x x
x x
− − +
+ −
=
2 2
2 2
10( 1)( 1)
x x x x
x x
− − −
+ −
=
2
3
10( 1)( 1)
x x
x x
−
+ −
2
7 54
( )

6
6
x
b
x x
x x
− −
+
+
=
7 54
6 ( 6)
x
x x x x
− −
+ +
=
7( 6) . 54
( 6) ( 6). ( 6)
x x x
x x x x x x
+
− −
+ + +
=
2
7( 6) 54
( 6)
x x
x x

+ − −
+
=
2
7 42 54
( 6)
x x
x x
+ − −
+
=
2
7 12
( 6)
x x
x x
− −
+
.
* Bài tập tự luyện
Bài 19. Thực hiện phép tính
2 3 2 3
2 2
2 2 2
2 2
7 3 8 7 4 3 11 3
( ) ; ( ) ;
5 5
5 5
6 3 2 3 3 2 3 3 1 4

( ) ; ( ) .
2 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1
xy xy x y xy x y xy
a b
x y x y
x x x x x x
c d
x x x x
x x x x
− − + −
+ +
− − − − −
+ + + +
− − − +
+ + + +
Hướng dẫn: Câu a, b, c các phân thức có cùng mẫu ta thực hiện theo quy tắc (cộng tử và giữ
nguyên mẫu thức). Ở câu d ta nên phân tích mẫu thức thứ nhất và thứ ba thành nhân tử sau
đó quy đồng mẫu ba phân thức rồi thực hiện như ba câu trên.
Bài 20. Thực hiện phép tính
GV: Lữ Ngọc Triệu
14
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
2 2 3 2 3
2 3
2 3 2
5 7 11 4 2 5 3 1
( ) ; ( ) ;
18
6 12 15 9 5

3 3 3 2 1 2 2 1
( ) ; ( ) .
2 2 1 1
4 2 1 1
x y x
a b
xy
x y xy x y x y xy
x x x x
c d
x x x
x x x x x
+ − +
+ + + +
− + +
+ + + +
− +
− + − +
Bài 21. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép tính
2 2
2
2 2 2 3 2
4 2 5 6 1 3 3 2 3 2
( ) ; ( ) ;
2 2 2 2 1
4 2 4
1 2 5 6 2 2 1
( ) ; ( ) .
1
6 9 6 9 9 1 1

x x x x
a b
x x x x
x x
x x
c d
x
x x x x x x x x
− − − −
+ + + +
+ − −
− −
− +
+ + + +
−
+ + − − − − + +
Bài 22. Làm tính cộng các phân thức
2
2 2 2
4
3 2
2 2 3
11 13 15 17 2 1 3 1 2
( ) ; ( ) ;
3 3 4 4
2 1 4 2
1 1 2
( ) ; ( ) 1.
1
1 1

x x x x x
a b
x x
x x x x x
x x
c d x x x
x
x x x x x
+ + + −
+ + +
− −
− − +
+ + + + + +
−
+ + − −
Bài 23. Làm tính chia
a/
2
2
5 15 9
:
4 4
2 1
x x
x
x x
− −
+
+ +
c/

2
2
6 48 64
:
7 7
2 1
x x
x
x x
+ −
−
− +
b/
2
2
4 24 36
:
5 5
2 1
x x
x
x x
− −
+
+ +
d/
2
2
3 21 49
:

5 5
2 1
x x
x
x x
+ −
+
+ +
6. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức đại số
a. Kiến thức
Biểu thức hữu tỉ là những biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép
toán trên phân thức.
Biến đổi biểu thức hữu tỉ là dùng các phép tính cộng, trừ, nhân và chia dể đưa biểu
thức hữu tỉ về phân thức.
Giá trị của phân thức: để tìm giá trị của một phân thức trước hết phải tìm điều kiện
của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0, đó là điều kiện để giá trị của phân thức
xác định.
b. Ví dụ minh họa
Cho phân thức A =
2 3 6 5
2 3 2 1 (2 3)(2 3)
x
x x x x
+
+ −
+ + + −

(a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
(b) Rút gọn A
(c) Tìm x để A = -1

Lời giải. (a) Để giá trị biểu thức A được xác định thì
3
2 3 0
2
2 1 0 1
2
x
x
x
x

≠ −


+ ≠
 
⇔
 
+ ≠



≠ −


GV: Lữ Ngọc Triệu
15
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Vậy để giá trị của biểu thức A được xác định thì
3 1

,
2 2
x x≠ − ≠ −
(b)
2 3 6 5
2 3 (2 1) (2 3)(2 1)
2(2 3) 3(2 3) 6 5

(2 3)(2 1) (2 3)(2 1) (2 3)(2 1)
2(2 3) 3(2 3) (6 5)

(2 3)(2 1)
4 6 6 9 6 5 4 2 2

(2 3)(2 1) (2 3)(2 1) (2 3)
x
A
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x x
+
= + −
+ + + +
− + +
= + −
+ + + + + +

− + + − +
=
+ +
− + + − − +
= = =
+ + + + +
(c)
2 5
1 1 2 2 3 2 5
2 3 2
A x x x
x
= − ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ − = ⇔ = −
+
.
c. Bài tập tự luyện
Bài 24. Cho phân thức A =
1 2 2 10
5 5 ( 5)( 5)
x
x x x x
+
+ −
+ − + −


(a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
(b) Rút gọn A
(c) Cho A = -3. Tính giá trị của biểu thức
2

9 – 42 49x x +
Bài 25. Cho phân thức A =
2
3 1 18
3 3
9
x x
x
+ −
+ −
−

(a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
(b) Rút gọn A
(c) Tìm x để A = 4
Bài 26. Cho phân thức A =
2
2
2 10 50 5
5 25
5
x x x
x x
x x
− +
+ +
+
+

(a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định

(b) Rút gọn A
(c) Tìm
x
để A = - 4
GV: Lữ Ngọc Triệu
16
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
* MỤC TIÊU
- Nắm được các khái niệm về các dạng phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình bậc nhất một ẩn và các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc
nhất một ẩn.
+ Phương trình tích.
+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Nhận dạng và giải được các dạng phương trình trên và giải bài toán bằng cách lập phương
trình.
I. Phương trình bậc nhất một ẩn
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng
0ax b+ =
, với
0a ≠
.
2. Cách giải
0
b
ax b ax b x
a
−
+ = ⇔ = − ⇔ =

Tập nghiệm của phương trình (*) là
b
S
a
 
−
=
 
 
.
Đối với phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn ta sử dụng các phép
biến đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân), đưa phương trình đã cho về dạng
0ax b+ =
với
,a b
là hằng số,
0a ≠
.
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
.
3. Ví dụ minh họa
VD1. Giải các phương trình sau

( )2 7 0; ( )2 9 7 3 7.a x b x x x− = + − = −
Lời giải.

7
( ) 2 7 0 2 7 .
2
a x x x− = ⇔ = ⇔ =
Vậy tập nghiệm của phương trình là
7
.
2
S
 
=
 
 

( ) 2 9 7 3 7 2 7 3 7 9b x x x x x x+ − = − ⇔ − − = − −

8 16
2
x
x
⇔ − = −
⇔ =
GV: Lữ Ngọc Triệu
17
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
2 .S =
VD2. Giải các phương trình sau

2 3 3 5 7 1
( ) ; ( ) 5 2.
5 2 3
x x x
a b x x
− − −
= − = +
Lời giải.

2 3 3 5 2(2 3) 5(3 5)
( )
5 2 5.2 2.5
x x x x
a
− − − −
= ⇔ =

4 6 15 25
4 15 25 6
11 19
19
11
x x
x x
x
x
⇔ − = −
⇔ − = − +
⇔ − = −

⇔ =
Vậy tập nghiệm của phương trình là
19
11
S
 
=
 
 
.
7 1 7 1 3 3(5 2)
( ) 5 2
3 3 3 3
7 1 3 15 6
7 3 15 6 1
11 7
7
.
11
x x x x
b x x
x x x
x x x
x
x
− − +
− = + ⇔ − =
⇔ − − = +
⇔ − − = +
⇔ − =

⇔ = −
Vậy tập nghiệm của phương trình là
7
11
S
 
= −
 
 
.
4. Bài tập tự luyện
Bài 27. Giải các phương trình

( ) 7 21 0; ( ) 5 2 0;
( ) 12 6 0; ( ) 2 14 0;
( ) 0,25 1,5 0; ( ) 6,36 5,3 0;
4 5 1
( ) ;
3 6 2
a x b x
c x d x
e x f x
g x
+ = − =
− = − + =
+ = − =
− =
5 2
( ) 1 10.
9 3

h x x− + = −
Bài 28. Giải các phương trình
GV: Lữ Ngọc Triệu
18
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8

( )3 1 7 11; ( )3 7 21 10 ;
2 1
( )2 3 3( 1) 2; ( ) 1;
3
3 1 2 3 2 3 2( 7)
( ) 6 ; ( ) 5 ;
5 3 6 4
5 2 7 3
( ) ;
6 4
a x x b x x x
x
c x x x d x
x x x x
e f
x x
g x
+ = − + − = −
−
− = − + + = −
− − − − +
= − − =
+ −
− =

2
(3 1)( 2) 2 1 11
( ) .
3 2 2
x x x
h
− + +
− =
II. Phương trình tích
1. Định nghĩa
Phương trình tích là phương trình có dạng
( ). ( ) 0A x B x =
2. Cách giải

( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x

=
= ⇔

=


Ngoài ra ta dùng các phép biến đổi tương đương, đặt nhân tử chung… để đưa phương trình
về dạng
( ). ( ) 0A x B x =

rồi suy ra nghiệm của phương trình.
3. Ví dụ minh họa
VD1. Giải phương trình

( )( 7)( 2) 0; ( )(4 10)(24 5 ) 0.a x x b x x− + = − + =
Lời giải.

7 0
( )( 7)( 2) 0
2 0
7

2
x
a x x
x
x
x

− =
− + = ⇔

+ =



=
⇔

= −



Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
7; 2 .S
= −
4 10 0
( )(4 10)(24 5 ) 0
24 5 0
5
2

24
5
x
b x x
x
x
x

− =
− + = ⇔

+ =



=

⇔



= −


Vậy tập nghiệm của phương trình là
5 24
; .
2 5
S
 
= −
 
 
VD2. Giải các phương trình sau
( )( 2)(3 5)(4 20) 0; ( )2 ( 7) 6( 7) 0;
2( 3) 4 3
( )( 1)(5 3) (3 8)( 1); ( )(3 2)( ).
7 5
a x x x b x x x
x x
c x x x x d x
− + − = − + − =
+ −
− + = − − − −
GV: Lữ Ngọc Triệu
19
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Lời giải.
2

2 0
5
( )( 2)(3 5)(4 20) 0 3 5 0
3
4 20 0
5
x
x
a x x x x x
x
x

=

− =



− + − = ⇔ + = ⇔ = −



− =

=


Vậy tập nghiệm của phương trình là
5
2; ;5 .

3
S
 
= −
 
 
( )2 ( 7) 6( 7) 0 ( 7)(2 6) 0
7 0 7

2 6 0 3
b x x x x x
x x
x x
− + − = ⇔ − + =
 
− = =
⇔ ⇔
 
+ = = −
 
 
Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
7; 3 .S
= −
( )( 1)(5 3) (3 8)( 1) ( 1)(5 3) (3 8)( 1) 0
( 1) (5 3) (3 8) 0
( 1)(5 3 3 8) 0

c x x x x x x x x

x x x
x x x
− + = − − ⇔ − + − − − =
 
⇔ − + − − =
 
⇔ − − − + =
( 1)(2 5) 0
1 0

2 5 0
1

5
2
x x
x
x
x
x
⇔ − + =

− =
⇔

+ =



=


⇔

= −


Vậy tập nghiệm của phương trình là
5
1; .
2
S
 
= −
 
 
2( 3) 4 3 10( 3) 7(4 3)
( )(3 2)( ) 0 (3 2)( ) 0
7 5 7.5 7.5
10 30 28 21)
(3 2)( ) 0
35
51 18 )
(3 2)( ) 0
35

x x x x
d x x
x x
x
x

x
+ − + −
− − = ⇔ − − =
+ − +
⇔ − =
−
⇔ − =
2
3 2 0
3

51 18
51
0
35
18
x
x
x
x


− =
=


⇔ ⇔

−


=

=




GV: Lữ Ngọc Triệu
20
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Vậy tập nghiệm của phương trình là
2 51
; .
3 18
S
 
=
 
 
4. Bài tập tự luyện
Bài 29. Giải các phương trình
( )(2 11)(3 12) 0; ( )(3,5 7 )(0,1 2,3) 0;
7 2 2(1 3 )
( )(3,3 11 )( ) 0; ( )7 ( 2) 3( 2) 0;
5 3
( )3 (25 15) 35(5 3) 0; ( )(2 3 )( 11) (2 3
a x x b x x x
x x
c x d x x x
e x x x f x x

− + = − + =
+ −
− + = − + − =
+ − + = − + = − )(2 5 ).x x−
Bài 30. Giải các phương trình
2 2
3 2
( )(2 1) (2 )(2 1) 0; ( )( 2)(3 4 ) 4 4;
( ) 1 ( 1); ( ) 5 4 0.
a x x x b x x x x
c x x x d x x
− + − − = + − = + +
+ = + − + =
Hướng dẫn:
Câu (a) phân tích
2
(2 1) (2 1)(2 1)x x x− = − −
sau đó đặt nhân tử chung.
Câu (b) dùng hằng đẳng thức phân tích vế phải thành nhân tử để xuất hiện nhân tử
chung.
Câu (c) làm tương tự câu (b).
Câu (d) phân tích thành nhân tử bằng cách phân tích
5 4x x x− = − −
hoặc
4 5 1= −
,
sau đó nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung.
III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Khái niệm
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng

( ) ( )
( ) ( )
A x C x
B x D x
=
trong đó
( ), ( ), ( ), ( )A x B x C x D x
là những đa thức.
2. Cách giải
Để giải phương trình này ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Đặt điều kiện xác định phương trình (ĐKXĐ).
Bước 2. Quy đồng rồi khử mẫu thức.
Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4. Loại các giá trị không thõa mãn ĐKXĐ. Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là các
nghiệm của phương trình đã cho.
3. Ví dụ minh họa
VD. Giải các phương trình sau

2 1 2 2
( ) 1; ( ) 1 .
2 1 2
x x
a b
x x x
+
= = +
− − +
Lời giải.
(a). ĐKXĐ:
2.x ≠

2 1 2 1 2
1 2 1 2 3.
2 2 2
x x x
x x x
x x x
+ + −
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ = −
− − −
GV: Lữ Ngọc Triệu
21
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
3 .S = −
(b) ĐKXĐ:
1, 2.x x≠ ≠ −
2 1 3 2( 2) ( 1) 3

1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)
2( 2) ( 1) 3
2 4 2

x x
x x x x x x x x x x
x x
x x
+ −
= + ⇔ = +

− + − + − + − + − +
⇔ + = − +
⇔ + = +
2. x⇔ = −
Vì
2x = −
không thõa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
.S
φ
=
4. Bài tập tự luyện
Bài 31. Giải phương trình
2 2
3 2 2
( ) 2; ( ) 1;
1 1
1 2 3 ( 2) 10
( ) 3 ; ( ) 1 .
1 1 2 3 2 3
x x
a b x x
x x
x x x x
c d
x x x x
− +
= + = +
+ −

− + + +
+ = − =
+ + − −
Bài 32. Giải phương trình
2
5 1 8 6 1 2 5
( ) ; ( ) ;
1 3 ( 1)( 3) 3 2 3
1 1 4 5 2 ( 1)( 1) ( 2)(1 3 )
( ) = ; ( ) .
1 1 3 3 1 9 3
1
x x x x
a b
x x x x x x
x x x x x x x
c d
x x x x
x
+ + − − +
− = =
− − − − + −
+ − − − + + −
− + =
− + − −
−
IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
1. Cách giải
Giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Lập phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biễu thị mối liên hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3. Nhận định kết quả và trả lời.
2. Ví dụ minh họa
VD1. Năm nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi em của Nam. Nam tính sau 5 năm nữa thì tuổi của mẹ
chỉ còn 3 lần tuổi em của Nam thôi. Hỏi năm nay em của Nam bao nhiêu tuổi?
Lời giải.
Phân tích: Tuổi mẹ = 4 (tuổi con)
Sau năm năm thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con tức là : tuổi mẹ + 5 = 3(tuổi con + 5) do đó bài
toán được giải như sau
Gọi
x
là tuổi của con (
*
x ∈ ¥
)
Nên tuổi của mẹ là
4x
Sau 5 năm thì tuổi mẹ là
4 5x +
và tuổi con là
5x +
GV: Lữ Ngọc Triệu
22
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Theo giả thiết bài toán ta có phương trình sau :
4 5 3( 5)x x+ = +
(*)

(*) 4 5 3 15 4 3 15 5 10x x x x x⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ =
.
Vậy năm nay em của Nam được
10
tuổi.
VD2. Tử số của một phân số lớn hơn mẫu của nó 20 đơn vị. Sau khi tăng cả tử và mẫu của
nó thêm 5 đơn vị thì được một số nguyên là 2. Tìm phân số bân đầu?
Lời giải.
Phân tích: Tử = mẫu + 20 hoặc mẫu = tử - 20
Sau khi tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì được một số nguyên là 2 tức là
(tử +5):(mẫu +5) = 2
Do đó ở bài toán này ta có thể giải theo 2 cách (đặt ẩn là tử hoặc đặt ẩn là mẫu)
Cách 1. Gọi
x
là tử số,
0x ≠
Nên mẫu số là
20, 20x x− ≠
Theo giả thiết ta có phương trình
5
2
15
x
x
+
=
−
(ĐKXĐ:
15x ≠
)

5 5 2( 15)
2 5 2 30 35.
15 15 15
x x x
x x x
x x x
+ + −
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ =
− − −

Vậy tử số là
35
và mẫu là
15
. Nên phân số cần tìm là
35
.
15
Cách 2. Gọi
x
là mẫu số,
0x ≠
Nên tử số là
20, 20x x+ ≠ −
Theo giả thiết ta có phương trình
25
2
5
x

x
+
=
+
(ĐKXĐ:
5x ≠ −
)

25 25 2( 5)
2 25 2 10 15.
5 5 5
x x x
x x x
x x x
+ + +
= ⇔ = ⇔ + = + ⇔ =
+ + +
Vậy mẫu số là
15
và tử số là
35
. Nên phân số cần tìm là
35
.
15
3. Bài tập tự luyện
Bài 33. Tìm hai số, biết rằng:
(a) Tổng của hai số đó là 80 và hiệu của chúng là 14.
(b) Tổng của hai số bằng 90 và số này gấp đôi số kia.
Bài 34. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử của nó 4 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó

thêm 5 đơn vị thì được một phân số mới là
2
3
. Tìm phân số ban đầu?
Bài 35. Trong một buổi lao độn, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành hai nhóm: nhóm thứ
nhất trồng cây và nhóm thứ hai vệ sinh. Nhóm trồng cây dông hơn nhóm làm vệ sinh 8 người
Hỏi nhóm trồng cây có bao nhiêu người?
Bài 36. Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố và hai lần tuổi của Bình thì
bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là 130. Hãy tính tuổi của Bình.
GV: Lữ Ngọc Triệu
23
Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
CHỦ ĐỀ VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
1. Khái niệm
Bất phương trình dạng
0ax b+ <
( hoặc
0, 0, 0ax b ax b ax b+ > + ≥ + ≤
) trong đó
,a b
là hai số đã cho,
0a ≠
, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương pháp giải
Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta sử dụng các phép biến đổi tương
đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, quy tắc nhân).
Ta có
0ax b ax b
+ > ⇔ > −
(*)

Nếu
0a >
thì (*)
⇔
b
x
a
> −
.
Nếu
0a <
thì (*)
⇔
b
x
a
< −
.
Đối với các dạng khác (
0, 0, 0ax b ax b ax b+ < + ≥ + ≤
) ta cũng thực hiện tương tự.
3. Các ví dụ
VD1. Giải các bất phương trình sau
(a)
− >
3 2 7x
; (b)
− ≤3 0x
;
(c)

− ≤5 2 1x
; (d)
− − <2 1 3x
.
Hướng dẫn Đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc biến đổi tương
đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân) để suy ra nghiệm của bất phương trình.
Lời giải. (a)
− >
3 2 7x
3 7 2x
⇔ > +
3 9x
⇔ >
3x
⇔ >
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 3 S x x
= >
(b)
− ≤3 0x

0x
⇔ ≥
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 0S x x
= ≥

(c)
− ≤5 2 1x

2 1 5x
⇔ − ≤ +

2 6x
⇔ − ≤
⇔
3x ≥ −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 3S x x
= ≥ −
(d)
− − <2 1 3x

2 3 4x
⇔ − < +

2 4x⇔ − <

⇔

2x > −
.
GV: Lữ Ngọc Triệu
24

Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 2S x x= > −
Ngoài việc học sinh giải được bất phương trình thì việc biểu diễn nghiệm của bất
phương trình trên trục số là một kĩ năng rất quan trọng nên trong phần tiếp theo tôi đưa thêm
một số ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số.
VD2. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
(a)
4 8x − < −
; (b)
1
2
3
x >
;
(c)
3 1
2
4
x −
≥
; (d)
6 4
1
5
x−
≥
.
Hướng dẫn. Ở câu (c) và (d) học sinh sẽ lúng túng hoặc không giải được nên giáo viên cần

hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu) về dạng
0ax b+ >

hoặc
0, 0, 0ax b ax b ax b+ < + ≥ + ≤
, rồi áp dụng các quy tắc đã học để tìm nghiệm. Khi
biểu diễn nghiện trên trục số cần lưu ý các trường hợp
x
lớn hơn “>” và
x
lớn hơn hoặc
bằng “
≥
”, hoặc
x
nhỏ hơn “<” và
x
nhỏ hơn hoặc bằng “
≤
”.
Lời giải. (a)
4 8x − < −

6x⇔ >
8 4x⇔ < − +
4x⇔ < −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 4S x x= < −

.
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(b)
1
2
3
x >

6x
⇔ >
Vậy nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 6S x x
= >
Biểu diễn nghiệm trên trục số
GV: Lữ Ngọc Triệu
25
.
0
(
6
.
0
)
-4