Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Hải Dương (2003 - 2004)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TỈNH HẢI DƯƠNG
Năm học 2003 – 2004
Môn toán 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2,5 điểm)
Giải phương trình:
2 2 2 2
xy x y a x y x y xy xy 4b 0− − + + + + + − =
( ) ( )
a 57 3 6 38 6 57 3 6 38 6= + + + − − +
b 17 12 2 3 2 2 3 2 2= − + − + +
Bài 2: (2,5 điểm)
Hai phương trình:
2
x (a 1)x 1 0+ − + =
;
2
x (b 1)x c 0+ + + =
có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình:
2
x x a 1 0+ + − =
và
2
x cx b 1 0+ + + =
cũng có nghiệm chung.
Tính giá trò của biểu thức
2004a
b+c
.
Bài 3: (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn tâm
1
O
và tâm
2
O
cắt nhau tại A, B. Đường thẳng
1
O A
cắt đường tròn tâm
2
O
tại D, đường thẳng
2
O A
cắt đường tròn tâm
1
O
tại C.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm
1
O
tại M và cắt đường tròn tâm
2
O
tại N.
Chứng minh rằng:
1) Năm điểm B; C; D;
1
O

;
2
O
cùng nằm trên một đường tròn.
2)
BC BD MN+ =
.
Bài 4: (2,0 điểm)
Tìm các số thực x và y thỏa mãn
2 2
x y 3+ =
và
x y+
là một số nguyên.