Chuyên đề: hệ thống hoá các dạng bài tập về tứ giác nội, ngoại tiếp đường tròn

Chuyên đề: hệ thống hoá các dạng bài tập
về tứ giác nội, ngoại tiếp đờng tròn
I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:

O
A
B
C
D
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đ-
ờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
thì tứ giác
đó nội tiếp đờng tròn.
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp
đờng tròn.
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc).
Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới
một góc .
- Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn
- Sử dụng định lí : Tổng 2 cạnh đối của một tứ giác bằng nhau thì tứ

giác đó ngoại tiếp một đờng tròn
- Trờng hợp chứng minh một đa giác ngoại tiếp một đờng tròn ta phảI
chứng minh các đờng phân giác trong của đa giác đó đồng quy tại một
điểm
- Dựa vào định nghĩa : PhảI chứng minh đợc các cạnh của đa giác tiếp
xúc với một đờng tròn
II) Bài tập
1. Bài toán 1.( Bài toán 5 trang 49 SGK Hình học 9)
1
Cho tam giác ABC, các đờng phân giác của góc trong tại B và C gặp nhau tại
S, các đờng thẳng chứa phân giác của 2 góc ngoài B và C gặp nhau tại E.
Chứng minh rằng BSCE là một tứ giác nội tiếp.

Phân tích, tìm lời giải
Muốn chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp ta cần chứng minh theo định lí :
Tứ giác BSCE có tổng hai góc đối bằng 180
0

Khai thác bài toán
2
Nhận xét 3.
Theo chứng minh trên thì O nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC mặ khác S là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và E là tâm đờng
tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC nên cũng có thể diễn đạt nhận
xét 2 nh sau: Chứng minh rằng đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp với tâm
đờng tròn bàng tiếp của tam giác bị đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy chia
thành hai phần bằng nhau.
Nhận xét 4
Từ kết quả chứng minh đợc ở nhận xét 3 ta có bài toán sau: Gọi O, O
1

,O
2
là
trung điểm của các đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với
tâm 3 đờng tròn bàng tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, O
1
,O
2
nằm
trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nhận xét 5
Dựa vào kết quả đã chứng minh đc ở nhận xét 4, ta thấy khi biết đợc S và E
ta xác định đợc O. Gọi T là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có TB
= TO = TC có nghĩa là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC xác định
đợc. Mặt khác OS = OB = OC lên suy ra cách xác định B,C và sau đó dễ
dàng xác định đợc A, ta có bài toán dung hình sau:
Dựng tam giác ABC cho biết T là tâm đờng tròn ngoại tiếp , S là tâm đờng
tròn nội tiếp và E là tâm đờng tròn bàng tiếp trong góc A.
2.Bài tập 2.
Li dng cỏc tam giỏc vuụng cú cnh huyn chung.
Nu hai hay nhiu tam giỏc vuụng cú cnh huyn chung thỡ ta cú th
chng minh a giỏc to thnh bi cỏc nh ca cỏc tam giỏc ú ni tip
trong ng trũn.
3
2
G
D
E
A
B

Ví dụ minh hoạ: Cho đường tròn tâm O và đường thẳng xy không cắt
đường tròn đó. Từ O hạ OA vuông góc xy (A
∈
xy); từ A kẻ một cát tuyến
bất kỳ cắt đường tròn tại B và C; tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt xy
ở D và E. Chứng minh các tứ giác ODAB và OCEA nội tiếp được.
Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB
vuông góc với BD (tiếp tuyến vuông góc với
bán kính tại tiếp điểm ) => góc OBD = 90
0
và có thêm góc OAD = 90
0
(gt) => tứ giác
ODAB nội tiếp (A và B nhìn đoạn OD dưới
góc 90
0
không đổi).
Dễ dàng chỉ ra được tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ giác này là trung điểm của DO.
-Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp
được
Hãy giải tương tự 3 bài tập sau:
a) Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB
và cát tuyến MCD của đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây CD.
Chứng minh 5 điểm M, A, O, I, B thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng nếu từ một điểm vẽ các tiếp tuyến với hai đường
tròn đồng tâm thì tất cả các tiếp điểm tạo thành một tứ giác nội tiếp.
3.Bµi tËp 3.
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180
0

thì tứ giác đó
nội tiếp được đường tròn (định lý trang 88 SGK Toán 9 tập 2). Hay nếu một
tứ giác có một góc ngoài bằng góc trong đối diện với góc kề của nó thì tứ
giác đó nội tiếp được.
Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A là điểm chính giữa của cung BC từ A kẻ
hai dây cung AD và AE bất kỳ, cắt BC tại F và G. Chứng minh tứ giác
DFGE nội tiếp được.
Gợi ý:
Cách 1: Để chứng minh tứ giác
DFGE nội tiếp được ta cần chúng minh
góc D + góc G
1
= 180
0
. Vậy thử xét quan
hệ giữa tổng số đo hai góc này với số đo
các cung có liên quan như thế nào ? Ta có
góc D =
2
1
sđ cung AE (số đo góc nội tiếp
4
y
x
O
A
C
B
ED
C

O .
1 G
2
A
D
C
B
F
2
bằng nữa số đo cung bị chắn) => góc D =
(sđ cung AC + sđ cung CE) : 2 (vì C
thuộc cung AE) (1). Còn góc G
1
= (sđ
cung AC + sđ cung BDE) : 2 (G là góc có
đỉnh ở bên trong đường tròn) => góc G
1
=
(sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung
DE) : 2 = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung
DE) : 2 (vì cung AB = cung AC) (2).
Cộng từng vế (1) và (2) ta có góc D +
góc G
1
= 360
0
: 2 = 180
0
= > DFGE nội
tiếp được.

Cách 2: Ta có thể chứng minh góc D = góc G
2
mà góc G
1
+ G
2
= 180
0
(hai góc kề bù) => góc D + góc G
1
= 180
0
=> điều phải chứng minh.
Các em có thể áp dụng phương pháp này để làm các bài tập 54, 58
(SGK Toán 9 tập 2).
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai đường thẳng
cắt tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B ở E và F, cắt đường tròn ở C và D.
Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được.
Để chứng minh tứ giác CDFE nội
tiếp được ta cần chứng minh góc E
2

+ góc
D
2
= 180
0
là được nhưng góc D
1
+ góc D

2
= 180
0
(hai góc kề bù). Vậy chỉ cần chứng
minh góc E
2
= góc D
1

Ta có góc D
1
= góc B
1
(hai góc nội
tiếp cùng chắn cung AC). Như vậy cần
chứng minh góc E
2
= góc B
1
là được. Dễ
thấy hai góc này cùng phụ với góc A
1
(do
góc ACB = 90
0
và góc ABE = 90
0
).
Bµi tËp 4.
Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai

đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên
AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
5
E
O .
Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc
chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên
cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng
thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:
Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát
tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm),
gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng
thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác
OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Từ đó ta có , theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với
AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ
dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
Hướng dẫn giải
6
Tam giỏc OCA vuụng ti C, CH l ng cao nờn ta cú:
Dõy cung BC v DE ca (O) ct nhau ti H nờn ta cú

T ú ta cú , chng minh tng t bi 1 ta cú t giỏc
ADOE ni tip.
III. Các bài tập yêu cầu HS vận dụng kiến thức đã đợc
trang bị để luyện tập
1. Các bài tập có hớng dẫn tìm lời giải
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB< AC ) ni tip trong ng
trũn tõm I; bỏn kớnh r. Gi P l trung im ca AC; AH l ng cao
ca tam giỏc ABC.
a/ Chng minh t giỏc APIH ni tip c trong ng trũn tõm
K. Xỏc nh tõm K ca ng trũn ny.
b/ Chng minh hai ng trũn ( I ) v ( K ) tip xỳc nhau.
@ Gi ý:
a/ Chỳng minh IP

AC

à
0
90p =
. Da vo du hiu 1 chng
minh APIH ni tip c trong mt ng trũn (
ả
à
0
180H P+ =
)
- Xỏc nh tõm K ng trũn ngoi tip t giỏc APIH: im P nhỡn
on thng AI di mt gúc vuụng nờn P thuc ng trũn ng kớnh
AI. Chng minh tng t i vi im H. T ú xỏc nh c tõm K ( l
trung im on AI ).

( HS cn nm li kt lun sau: Qu tớch cỏc im nhỡn on thng AB
di mt gúc vuụng l ng trũn ng kớnh AB SGK lp 9/ tp 2
trang 85)
b/ Nhc li kin thc v hai ng trũn tip xỳc nhau:
- Tip xỳc ngoi nu khong cỏch hia tõm bng tng hai bỏn
kớnh. OO = R + r
- Tip xỳc trong nu khong cỏch hai tõm bng hiu hai bỏn
kớnh. OO = R r> 0
- Tớnh IK kt lun (I) v ( K ) tip xỳc trong ti A.
Bi 2: CHo ng trũn tõm O, ng kớnh AB c nh. im I nm
gia A v O sao cho AI =
2
3
AO. K dõy MN

AB ti I. Gi C l mt
im tựy ý thuc cung ln MN sao cho C khụng trựng vi M, N v B.
Ni AC, ct MN ti E.
a/ Chng minh t giỏc IECB ni tip c trong 1 ng trũn.
Xỏc nh tõm ng trũn ny.
7
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. Và
chứng minh
2
.AM AE AC=
c/ Chứng minh
2
. .AE AC AI IB AI− =
@ Gợi ý:
câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở bài 1 ở trên.

Câu b, c : HS tự ch. minh.
* Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A (
µ
0
90A <
). Đường vuông góc với
AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN
⊥
AC. Gọi M là trung điểm
của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong
đường tròn. Xác định tâm các đường tròn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
@ Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để
chứng minh AMNE nội tiếp.
b/ Tính
·
·
?AEB MAE+ =
và tính
·
·
?BAM MAE+ =
. So sánh
·
AEB
và
·
BAM

. So sánh
·
BAM
và
·
MAC
( 1)
- Tứ giác AMNE nội tiếp nên
·
MAC
và
·
MEN
thế nào với nhau, vì sao.
( 2)
Từ ( 1) và ( 2) nêu ra kết luận.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Kẻ tia Ax và Ay sao cho
·
0
45
xAy
=
. Tia
Ax cắt CB và ND lần lượt tại E và P. Tia Ay cắt CD và BD lần lượt tại F
và Q.
a/ Chứng minh EBAQ và FDAP nội tiếp được trong đường tròn.
b/ Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường
tròn.
@ Gợi ý:
a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD là đường chéo của hình vuông

ABCD nên
·
?DBC =
- Dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh EBAQ nội tiếp (
Hướng dẫn HS lập luận như sau: Hai đỉnh A và B của hai góc QAE và
BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh còn lại của tứ giác EBAQ cùng
dưới một góc
0
45
nên EBAQ nội tiếp được trong đường tròn.
- Chứng minh tương tự đối với tứ giác FPAD.
b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường
tròn.
HS cần nắm được kiến thức sau: Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội
tiếp thì bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó. (Định lý)
- Góc FQE là góc ngoài tại đỉnh Q của tứ giác nội tiếp EBAQ nên
góc EQF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?
- Góc EPF là góc ngoài tại đỉnh P của tứ giác nội tiếp APFD nên
góc EPF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?
8
- Xét các điểm P, Q, C có cùng nhìn đoạn thẳng EF dưới cùng một
góc vuông không? Vậy P, Q, C thuộc đường tròn nào? Từ đó kết luận 5
điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một
khoảng OK= a ( 0 < a < R ). Từ một điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai
tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp điểm; O và B
nằm cùng phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D
và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường

tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác
AMKS nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:
Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh 5 điểm thuộc đường
tròn.
Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMKS nội tiếp.
Bài 6: Từ một điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC, lấy điểm
D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với
đường tròn (O), có tiếp điểm là M; tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở
K.
a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
b/ Chứng minh D, B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.
@ Gợi ý:
- Câu a/ - So sánh góc MOE và góc MBC.
- So sánh góc MOD và góc MBD
- Hai điểm O và B cùng nhìn đoạn thẳng DM dưới một góc bằng
nhau. Vậy kết luận gì về tứ giác DBOM?
- Câub/ Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn ( dấu hiệu 1).
Rồi kết luận 5 điểm B, O, M, K, D cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập vận dụng dấu hiệu 2 (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc
trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.)
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn
tâm O; đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB ;K là trung điểm
của OI; H là trung điểm của EB.
a/Chứng minh HK
⊥
EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường

tròn.
@ Gợi ý:
9
Câu a/ B thuộc nửa đường tròn đường kính AI
·
0
?AIB⇒ =
- Chúng minh HK là đường trung bình của hình thang
EBOI, từ đó kết luận HK
⊥
EB
Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân tại K để suy ra
· ·
BEK EBK=
(1)
- Chứng minh
·
·
AKCEBK =
(2)
- Từ (1) và (2) suy ra
·
·
BEK ACK=
Góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc
ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E). Do đó, căn cứ vào dấu hiệu 2, kết
luận AEKC nội tiếp được trong đường tròn.

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx và
lấy điểm P chính giữa nửa đường tròn. Trên cung PN, lấy điểm Q

( không trùng với P, N ). Các tia MP và MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ
tự tại S và T.
a/ Chứng minh NS và MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:
a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn, vậy góc PMN bằng bao
nhiêu độ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 đường tròn). Kết
luận tam giác MNS là tam giác gì? ( cân?), suy ra điều cần chứng minh.
b/ HS tự chứng minh 2 tam giác đề ra là đồng dạng( trường hợp
góc-góc).
c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch. minh trên)
nên
·
·
TMN TNQ=
( 1) và
·
·
QNM NTQ=
( 1)
Mà góc SPQ có bằng góc QNM không?( nhớ lại định lý về góc
ngoài tại 1 đỉnh của tứ giác nội tiếp để trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp
phải không?)(2)
Từ (1) và (2) có thể kết luận góc NTQ bằng góc SPQ không?. Xét vị
trí hai góc này đối với tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp
được hay không. ( dựa vào dấu hiệu 2)
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB
cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC
tại F.

Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.
@ Gợi ý:
Chứng minh tương tự bài 7.
Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:
10
Cho ng trũn tõm O. K ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi nhau.
Gi E l im chớnh gia cung nh CB. EA ct CD ti F; ED ct AB ti
M.
a/ Cỏc tam giỏc CEF v EMB l nhng tam giỏc gỡ?
b/ Chng minh bn im D, C, M, B thuc ng trũn tõm E.
@ Gi ý:
Cõu a: Gúc CEF l gúc cú nh nm bờn trong ng trũn; gúc
FCE l gúc ni tip chn cung ED. Lp cỏc biu thc v s o cỏc gúc ú,
so sỏnh thy 2 gúc ú bng nhau. Kt lun tam giỏc CEF l tam giỏc
gỡ? ( Cõn?)
- Chng minh tng t i vi tam giỏc EMB.
- T ú suy ra EC = EB = EF = EM. Da vo du hiu kt
lun iu phi chng minh.
2. Các bài tập đề nghị HS về nhà tìm lời giải
Bài tập 1
Cho

ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC.
Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b)
ã
ã
ABD ACD=

c) CA là phân giác của
ã
SCB
Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của BCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập 3
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt
nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt
11
đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh
:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD
Bài tập 4
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đ-
ờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại
các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .
Bài tập 5
Cho tam giác vuông ABC (
0
90A =

; AB > AC) và một điểm M nằm trên
đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai
của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa
AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng
minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn.
b. CM là phân giác của góc
BCS

.
c.
TA TC
TD TB
=
.
Bài tập 6
Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp
tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất
kì cắt đờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của
ã
MLN
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA
2
= AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh

KLN cân.

Bài tập 7
Cho ng trũn (O; R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H
khụng trựng vi im A v AH <R. Qua H k ng thng vuụng gúc vi d,
ng thng ny ct ng trũn ti hai im E v B ( E nm gia B v H)
1. Chng minh gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc ABH ng dng
vi tam giỏc EAH.
12
2. Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng
thng CE ct AB ti K. Chng minh AHEK l t giỏc ni tip.
3. Xỏc nh v trớ im H AB= R .
Bài tập 8
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao
AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Các tứ giác AEHF, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài tập 9
Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi
E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M,
N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:
a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD.
b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF.
Bài tập 10
Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến ADE với đờng tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà
trung điểm của DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của

đờng tròn này.
b) Chứng minh: HA là tia phân giác
ã
BHC
.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB
2
= AI.AH
d) BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11
Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát
tuyến SCD của đờng tròn đó.
a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng
thuộc một đờng tròn
b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao?
c) Chứmg minh rằng:
.
. .
2
AB CD
AC BD BC DA
= =
Bài tập 12
Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C
và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B
và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 13

13
Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng
bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông
góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P.
1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn .
2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình
thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 14
Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng
tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ
giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi
O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài tập 16
T im M ngoi ng trũn (O) v 2 tip tuyn MA v MB. Trờn
cung nh AB ly 1 im C. V CD

AB; CE

MA; CF

MB. Gi I l
giao im ca AC v DE; K l giao im ca BC v DF. Chng minh rng:
a) T giỏc AECD; BFCD ni tip c.
b) CD
2
= CE.CF
c) IK

CD
Bài tập 17
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung
nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh
DMC

đều.
b) Chứng minh MB + MC = MA.
c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc.
d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định
nào ?
Bài tập 18
Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên
đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là
trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD
MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

14
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d.
Bài tập 19
Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất
kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE
và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung
điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:
1. AE
2
= AB.AC
2. Tứ giác AEOF
3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn.
4. ED song song với Ac.
5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc
một đờng thẳng cố định.
Bài tập 20
Cho ABC có các góc đều nhọn và
à
0
45A =
. Vẽ đờng cao BD và CE của

ABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b) Tính tỉ số
DE
BC
c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA DE
Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đ-
ờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng
tròn đờng kính BC ở điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn.
Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn ấy.
b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF =
AN.AE
Bài tập 22
Cho tam giác vuông ABC (
0
90A =
); trên đoạn AC lấy điểm D (D không
trùng với các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ
hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng
với D). Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.
Bài tập 23
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn
(O). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao
điểm của hai đờng chéo AC và BD

15
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp
b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R
và S. Chứng minh:
* I là trung điểm của RS
*
RSCDAB
211
=+
Bài tập 24
Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau.
Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến
Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của
Fx và Ey
a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?
c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?
Bài tập 25
Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn
(A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đ-
ờng kính HC cắt AC tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích
lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài tập 26
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi
đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O)

a) Chứng minh: PT
2
= PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua
M, N thì T, T thuộc một đờng tròn cố định.
b) Gọi giao điểm của TT với PO, PM là I và J. K là trung điểm của
MN.
Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì
TT luôn đi qua điểm cố định.
d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc

TPT = 60
0
.
Bài tập 27
Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (MA và C). Vẽ đờng
tròn đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn.
Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng
tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:
a) Tứ giác ABTM nội tiếp
b) Khi M chuyển động trên AC thì
ã
ADM
có số đo không đổi.
c) AB//ST.
Bài tập 28
Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc
với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung
16
nhỏ BC của đờng tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đ-

ờng tròn (O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P.
a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?
b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn.
c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh
rằng BQ // CP.
Bài tập 29
Cho

ABC vuụng ti A (AB < AC). H bt k nm gia A v C.
ng trũn (O) ng kớnh HC ct BC ti I. BH ct (O) ti D.
a) Chng minh t giỏc ABCD ni tip.
b) AB ct CD ti M. Chng minh 3 im H; I; M thng hng
c) AD ct (O) ti K. Chng minh CA l tia phõn giỏc ca
ã
KCB
Bài tập 30
Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc
cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E.
1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Chứng minh AM
2
= AE.AC.
4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI
2
.
5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 31

Cho na ng trũn (O;R) ng kớnh AB, dõy AC. Gi E l im
chớnh gia cung AC bỏn kớnh OE ct AC ti H, v CK song song vi BE ct
AE ti K.
a) Chng minh t giỏc CHEK ni tip.
b) Chng minh KH

AB
c) Cho BC = R. Tớnh PK.
Bài tập 32
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đ-
ờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài tập 33
Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE
đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng
tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của
ã
BHC
.
c) DE cắt BC tại I. Chứng minh :
2
AB AI.AH=
.
17
d) Cho

AB=R 3
và
R
OH=
2
. Tính HI theo R.
Bài tập 34
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng
tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp
tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn
tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
c) Chứng minh BAF là tam giác cân.
d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài tập 35
Cho hai ng trũn (O
1
), (O
2
) cú bỏn kớnh bng nhau v ct nhau A v B.
V cỏt tuyn qua B khụng vuụng gúc vi AB, nú ct hai ng trũn E v
F. (E (O
1
); F (O
2
)).

1. Chng minh AE = AF.
2. V cỏt tuyn CBD vuụng gúc vi AB ( C (O
1
); D (O
2
)). Gi
P l giao im ca CE v DF. Chng minh rng:
a. Cỏc t giỏc AEPF v ACPD ni tip c ng trũn.
b. Gi I l trung im ca EF chng minh ba im A, I, P
thng hng.
3. Khi EF quay quanh B thỡ I v P di chuyn trờn ng no?
Bài tập 36
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho
ã
0
45EAF
=
. Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh:
a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp
b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài tập 37
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là
trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy
điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a. Chứng minh:
BMD
=
BAC
, từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b. Chứng minh: HK // CD.

c. Chứng minh: OK.OS = R
2
.
Bài tập 38
Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O
sao cho AI =
2
3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý
thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN
tại E.
a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b. Chứng minh
V
AME đồng dạng với
V
ACM và AM
2
= AE.AC.
18
c. Chứng minh AE.AC

AI.IB = AI
2
.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 39
Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d
vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M

bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai
N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc.
b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm
M.
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đ-
ờng tròn cố định.
Bài tập 40
Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đ-
ờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đ-
ờng tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ
từ M xuống BC; CA; AB.
a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp.
b/ Chứng minh:
ã
ã
MHI MK H=
.
c/ Chứng minh: MH
2
= MI.MK.
Bài tập 41
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng
tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho MA, MQ, QA. Các đ-
ờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P.
Chứng minh:
1. Tích BN.BM không đổi.
2. Tứ giác MNPQ nội tiếp.
3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R

Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của
cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F.
Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau
tại K. Chứng minh rằng:
a. Góc CID bằng góc CKD.
b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn.
c. IK // AB.
Bài tập 43
Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E,
B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc
với AB.
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC =
BH.BA.
c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt
nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD.
19
d. Cho biết
0
45BAM =
và
0
30BAE =
. Tính diện tích tam giác
ABC theo R.
Bài tập 44
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung
điểm H của OB. Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc với
MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI.

a/ Chứng minh rằng: BN// MC
b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi
D là giao điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác
DMEF nội tiếp
Bài tập 45
Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60
0
; trên tia đối của tia AC
lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao?
b) Kéo dài đờng cao CH của ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E
tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này.
Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đờng tròn.
c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là
hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh: MBG cân.
Bài tập 46
Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn
tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp
tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB,
đờng thẳng OH cắt tia CN tại K.
a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM,
CN và MN.
d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN
lần lợt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam
giác CEF là nhỏ nhất.
Bài tập 47

Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một
điểm di động trên cung lớn BC sao cho

ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE;
CF cắt nhau tại H (D

BC; E

CA; F

AB)
4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB
5. Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6. Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích

ABC, 2p là chu vi

DEF. Chứng minh:
a. d // EF
b. S = p.R
Bài tập 48
20
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn
tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O
tại B và D cắt nhau tại điểm K.
a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh IK song song với BC.
c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là
hình bình hành.
Bài tập 49

Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 90
0
quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm
thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO cắt
AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P.
Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng
a) AMON là hình chữ nhật
b) MN//BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp
d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn
nhất.
Bài tập 50
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và
O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn
MN (C khác M, N khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
a) Tứ giác IECB nội tiếp.
b) AM
2
= AE.AC
c) AE.AC AI.IB = AI
2
Bài tập 51
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn
sao cho cung AC nhỏ hơn 90
0
và góc COD = 90
0
. Gọi M là một điểm trên
nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt
OC, OD lần lợt tại E, F

a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC,
OD lần lợt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đ-
ợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho
5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đờng tròn.
Bài tập 52
Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng
thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M
khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là
các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo
thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH.
a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh: OH.OI = OK. OM
c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Bài tập 53
21
Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B
khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE
vuông góc với AB. CD cắt đờng tròn đờng kính BC tại I.
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.
Bài tập 54
Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp
tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn
và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đ-

ờng thẳng CE với đờng tròn.
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh: góc AOC bằng góc BIC
c) Chứng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài tập 55
Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O
tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm
giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I
là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM
lần lợt tai E và F. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn.
b.
IAB AMO
=
.
c. O là trung điểm của FE
Bài tập 56
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên
nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đờng
thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM
cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp
b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành
Bài tập 57
Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn. Đờng thẳng đi qua O
vuông góc với xy tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đ-
ờng thẳng AM cắt xy tại E, đờng thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt
xy tại I, đờng thẳng AF cắt (O) tại K. Nối E với K.

a) Chứng minh: IM = IF
b) Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng tròn.
c) Chứng minh: IK là tiếp tuyến của (O).
d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp

AMH khi M di động trên (O)
Bài tập 58
Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O.
Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R)
tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song
22
với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H. Hãy
chứng minh:
1) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM.
2) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R)
3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng
Bài tập 59
Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC
lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt
các đờng thẳng SO ; OM tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
b) Chứng minh SA
2
= SD. SC.
c) Chứng minh OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
d) Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và
BC // SA.
Bài tập 60
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K

thuộc cung BM ( K khác M và B ). AK cắt MO tại I.
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b) Gọi H là hình chiếu của M lên AK. Chứng minh : Tứ giác AMHO nội
tiếp .
c) Tam giác HMK là tam giác gì ?
d) Chứng minh : OH là phân giác của góc MOK.
e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình
chiếu của K lên AB)

Bài tập 61
Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0). Tia phân giác
trong của góc B, góc C cắt đờng tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác
này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh
AB, AC.
a) Chứng minh: các tam giác EBF, DAF cân.
b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng
thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK.
Bài tập 62
Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao
cho
AI =
OA.
3
2
. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc
cung lớn MN ( C không trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp.
b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM

2
= AE . AC
c) Chứng minh : AE .AC - AI .IB = AI
2
.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đ-
ờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 63
23
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ; CP cắt AB tại F và
cắt DA tại I.
a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc
b) Chứng minh: IK // AB.
c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
d) Chứng minh: AP
2
= PE .PD = PF . PC
e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED.
f) Gọi R
1
, R
2
là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED và
BED.Chứng minh: R
1
+ R
2
=
2 2

PA4R
Bài tập 54
Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a. E là điểm đi chuyển
trên đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F, đờng
thẳng vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K.
1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vuông cân .
2) Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua
A , C, F , K.
3) Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đ-
ờng tròn .
Bài tập 65
Cho góc vuông xOy , trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A và B sao cho OA =
OB . M là một điểm bất kỳ trên AB. Dựng đờng tròn tâm O
1
đi qua M và
tiếp xúc với Ox tại A, đờng tròn tâm O
2
đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B ,
(O
1
) cắt (O
2
) tại điểm thứ hai N .
1) Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác
của góc ANB .
2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi .
3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O
1
O
2

là ngắn nhất .
Bài tập 66
Cho im A bờn ngoi ng trũn (O ; R). T A v tip tuyn AB, AC v
cỏt tuyn ADE n ng trũn (O). Gi H l trung im ca DE.
a) Chng minh nm im : A, B, H, O, C cựng nm trờn mt ng
trũn.
b) Chng minh HA l tia phõn giỏc ca
ã
BHC
.
c) DE ct BC ti I. Chng minh :
2
AB AI.AH=
.
Bài tập 67
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong
của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân
giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N .
1) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
3) Tứ giác CMIN là hình gì ?
Bài tập 68
24
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường
kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và
AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung
điểm của BC. Tính tỉ số

OK
BC
khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm và HC > HE. Tinh HC.
Bµi tËp 69
Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iĨm cđa OA vµ d©y MN vu«ng
gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iĨm t ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iĨm
cđa AK vµ MM .
a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) TÝnh AH.AK theo R.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ (KM+KN+KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸
trÞ lín nhÊt ®ã
Bµi tËp 70
Cho hai ®êng trßn (O
1
) vµ (O
2
) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i
qua A c¾t ®êng trßn (O
1
) , (O
2
) lÇn lỵt t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iĨm cđa AC
vµ AD .
1) Chøng minh tø gi¸c O
1
IJO
2
lµ h×nh thang vu«ng .
2) Gäi M lµ giao diĨm cđa CO

1
vµ DO
2
. Chøng minh O
1
, O
2
, M , B
n»m trªn mét ®êng trßn
3) E lµ trung ®iĨm cđa IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A . T×m tËp hỵp
®iĨm E.
4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa d©y CD ®Ĩ d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt .
Bµi tËp 71
Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän . C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh
AB , AC c¾t nhau t¹i D . Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB ,
AC lÇn lỵt t¹i E vµ F .
1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng .
2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn .
3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®êng th¼ng qua A ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt .
Bµi tËp 72
Cho ®êng trßn t©m O vµ c¸t tun CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) . Tõ
®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung lín AB kỴ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®-
êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F
1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp .
2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB .
3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB
Bµi tËp 73
25