TUYEN TẬP ÔN THI TOÁN ĐẠI HỌC 2011

A – ĐẠI SỐ
PHẦN 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
• Phương pháp giải ( hàm số y = f(x) )
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính y
!
và tìm nghiệm y
!
= 0
3. Xét sự biến thiên
4. Tìm cực trị của hàm số ( nếu có )
5. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có )
6. Tìm các đường tiệm cận của hàm số
7. Lập bảng biến thiên
8. Xác định một số điểm đặc biệt
9. Nhận xét: chỉ ra tâm đối xứng hoặc trục đối xứng ( nếu có )
• Phân dạng hàm số
1. Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 0). Đồ thị của hàm số luôn có một điểm uốn và điểm đó là tâm đối xứng
của đồ thị.
2. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 0). Hàm trùng phương là hàm số chẳn nên đồ thị nhận trụ tung làm trục đối
xứng.
3. Hàm số y = ( c 0 và ad – bc 0).hàm nhất biến là hàm số có hai tiệm cận là tịm cận: tiệm cận
đứng x = và tiệm cận ngang y = .Hàm số luôn có đạo hàm cấp một là y

!
= .
4. Hàm số y = (a 0, c 0). Hàm số này có hai tiệm cận là tiệm cận
đứng x = và tiệm cận xiên y = . Hàm số luôn có đạo hàm cấp một là y
!
=
.
• Các bài toán liên quan:
Chủ đề Công cụ xử lí Kiến thức bổ trợ
Tính tăng, giảm
Tính y
!
: y
!
hs tăng
y
!
hs giảm
Dấu y
!
=ax
2
+ bx + c : y
!
cùng dấu với a
y
!
trong trái ngoài cùng
1
Cực trị

-Lập pt: y
!
= 0 (1).
-Có yêu cầu cực đại, cực tiểu
dùng bảng biến thiên hoặc đạo
hàm cấp hai.
-Pt (1) có nghiệm đơn thì hàm số có cực trị ; nghiệm kép hoặc
vô nghiệm thì không có cực trị.
Cực đại: , Cực tiểu: ,Cực trị: .
GTLN và
GTNN
-Biến đổi đại luơng tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất thành một
hàm số một biến: A = f(t).
-Lập bảng biến thiên hs f(t).
-Miền xác định phụ thuộc vào điều kiện của biến t.
-Khi f(x) M,f(x) m thì M và m chỉ được gọi là GTLN,NN
khi có hai điều kiện: + M,m là hằng số
+ tồn tại một giá trị của x sao cho f(x) = M
, f(x) = m.
Tương giao
Lập pt hoành độ điểm chung. -Nghiệm đơn thì cắt.
-Nghiệm kép thì tiếp xúc
-Vô nghiệm thì không điểm chung
Biện luận pt bằng đồ
thị
-Từ pt tạo hai hs (một hàm
không tham số và một hàm có
tham số).
-Khảo sát và nvẽ đồ thị hàm số

trên cùng hệ trục, dùng sự
tương giao để biện luận.
-Nghiệm đơn thì cắt.
-Nghiệm kép thì tiếp xúc
-Vô nghiệm thì không điểm chung
Tiếp xúc
Điều kiện tiếp xúc: hai hàm số
bằng nhau và hai đạo hàm
bằng nhau.
Nghiệm của hệ là hoành độ điểm chung.
Lập phương trình tiếp
tuyến (tt) theo cách
một
Tìm tọa độ tiếp điểm M
0
(x
0
;y
0
)
bằng các giả thiết.
- Tt song song với (d) thì f
!
(x
0
) = k
d
.
- Tt vuông góc với (d) thì f
!

(x
0
).k
d
= -1.
- Tt tạo với chiều dương ox một góc α thì f
!
(x
0
) = tanα.
- Tt tạo với ox một góc α thì f
!
(x
0
) = ±tanα.
Lập phương trình tiếp
tuyến (tt) theo cách
hai
Lập phương trình tt dạng: y =
kx + b
Lập điều kiện tiếp xúc giửa
(C): y = f(x) và tt: y = kx + b.
- Tổng quát y = kx + b
- Qua một điểm M thì pt dạng: y – y
M
= k( x - x
M
)
- Qua gốc tọa độ thì pt là: y = kx
- Tt song song vời (d): y =lx thì pt là: y = lx + m

- Tt vuông góc với (d): y = lx thì pt là: y = lx + m
Điểm cố định của
một họ đường
Chuyển hs họ đường thành pt
tham số của m dạng:
a
n
.m
n
+ a
n-1
.m
n-1
+…+ a
0
= 0
- Điểm tất cả các đồ thị đi qua thì các hệ số pt bằng 0.
- Điểm không có đồ thị đi qua thì các hệ số của m bằng không
cò hệ số độc lập khác 0.
Tâm đối xứng và trục
đối xứng
-Dùng công thức dời trục:
- Để chuyển hs y = f(x) thành
hs Y = F(X) chẵn hoặc lẽ.
- Hàm bậc ba I là điểm uốn.
- Hàm hửu tỉ I là giao điểm hai đường tiệm cận.
- Hàm chẵn trục đới xứng là IY, hàm lẻ tâm đối xứng là I.
Vẽ đồ thị hàm trị
tuyệt đối
(C): y = f(x) vẽ (C

!
):
y = | f(x) |
Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C
!
), lấy đối
xứng phần dưới ox làm phần hai của (C
!
).
(C): y = f(x) vẽ (C
!
): Giữ nguyên phần (C) bên phải oy làm phần một của
2
y = f(| x |) (C
!
), lấy đối xứng phần giữ nguyên làm phần hai của (C
!
).
(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
| y | = f(x)
Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C
!
), lấy đối
xứng phần giữ nguyên qua ox làm phần hai của (C
!
).
(C): y = vẽ (C
!

):
y =
Giữ nguyên phần (C) bên phải TCĐ, bỏ phần bên trái TCĐ
làm phần một của (C
!
), lấy đối xứng phần bỏ qua ox làm phần
hai của (C
!
).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) ; b) y = x
3
– 6x
2
+ 9x; c) y = - x
3
+ 3x
2
-2 ;
d) y = - x
3
+ 3x
2
; e) y = 2x
3
+ 3x
2
– 1; e) y = -x
3

+ 3x
2
- 9x +1.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 1; b) y = -x
4
+ 3x
2
+ 4; c) y = x
4
- 3x
2
+ 4;
a/ y = x
4
– 2x
2
– 1 b/ y = c/ y = - x
4
+ 2x
2
d/ y = x
4
+ x
2
– 2

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a/ y = b/ y = c/ y = d/ y =
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x
3
+ 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
–3x–2+m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n
0
; * m = 4: 2 n
0
; * 0 < m < 4: 3 n
0
; * m = 0: 2 n
0
; * m < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) có dạng: . ĐS: y = 2x + 2

Bài 5: Cho hàm số (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x
3
+ 3x
2
– k = 0
ĐS: * k > 4: 1 n
0
; * k = 4: 2 n
0
; * 0 < k < 4: 3 n
0
; * k = 0: 2 n
0
; * k < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 ĐS: y = -3x
3
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1
Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x
4
+ 2x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x
4
+ 2x
2
+ 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n
0
; * m = 2: 2 n
0
; * 1 < m < 2: 4 n
0
; * m = 1: 3 n
0
; * m < 1: 2 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 ĐS: y = 2
Bài 7: Cho hàm số (C): y = x
4
– 2x
2
– 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24x– 43
Bài 8: Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4 .a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = .
ĐS: y = ; y =

Bài 9: Cho hàm số (C): y =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 10: Cho hàm số (C
m
): y = 2x
3
+ 3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y =
Bài 11: Cho hàm số (C
m
): y = x
4
– (m + 7)x
2
+ 2m – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x
4
– 8x
2

– k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
ĐS: -14 < k < 0
Bài 12: Cho hàm số (C
m
): y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C
2
)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; ). ĐS: m = 2
4
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C
2
) tại điểm (1; ). ĐS: y =
Bài 13: Cho hàm số (C
m
): y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( ; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = 0 vào (C) y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1
Bài 14: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
+ (m + 3)x
2

+ 1 – m
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m =
HD: * Tìm y
’
, tìm y
”
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x =
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại x = -2 ĐS: m =
Bài 15: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
– 3mx
2
+ 3(2m – 1)x + 1
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
HD: * Tìm y
’
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định y
’
0 (hay y
’
0)

* m
2

– 2m + 1 m = 1
(vì m
2
– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu ĐS: m 1
c) Xác định m để y
”
(x) > 6x. ĐS: m < 0
5
Bài 16: Cho hàm số (C
m
): y =
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ĐS: - 3 < m < 1
* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu
b) Tìm trên (C
-1
) những điểm có tọa độ ngun ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)
Bài 17: Xác định m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m + 2)x – m đồng biến trên R. ĐS:
Bài 18: Định m để hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị. ĐS: m < 2
Bài 19: Định m để hàm số y = x
3
+ mx

2
– 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. ĐS: m =
Bài 20: Định m để hàm số y = x
3
+ mx
2
– (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1 ĐS: m = -4
Bài 21: tìm max, min của các hàm số sau:
a. A = cos4x + 2sin2x – 3(DS: Max A= , Min A = - 6) b. B = (DS: Max B = 19, Min B = 0)
PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ
VÀ LOGARÍT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
@ @ @
@ @ ( )
@
2. Các tính chất :
@ @ @ @ @
6
3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , a 1 )
• Tập xác đònh :
• Tập giá trò : ( )
• Tính đơn điệu: * a > 1 : đồng biến trên * 0 < a < 1 : nghòch biến trên
• Đồ thò hàm số mũ :
0<a<1
y=ax
a>1
y=ax
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a 1 và N > 0

Điều kiện có nghóa: có nghóa khi
2. Các tính chất :
• ; ;
• ;
•
7
•

Đặc biệt :
3. Công thức đổi cơ số :
• ;
* Hệ quả: và
* Công thức đặc biệt:
4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a 1 )
• Tập xác đònh :
• Tập giá trò
• Tính đơn điệu:
* a > 1 : đồng biến trên * 0 < a < 1 : nghòch biến trên
• Đồ thò của hàm số lôgarít:
8
0<a<1
y=logax
a>1
y=logax

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a 1 thì : a
M
= a
N

M = N
2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N
M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N
M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N M < N (đồng biến)
III.BÀI TẬP ÁP DỤNG
9
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. b. c.

d. e. f.
Bµi 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k.
Bµi 3:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. b.
c. d.
Bµi 4:Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:
a. b. c. d.
e. f. g.
h. k. l.
Bµi 5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
Bµi 7: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a. b. c. d.e.
10
Bài 8: Giải bất phơng trình sau:
Bài 9: Cho bất phơng trình:
a. Giải bất phơng trình khi m= . b. Định m để bất phơng trình thỏa .
Bài 12: Giải các phơng trình:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. k.
PHN 3:NGUYấN HM & TCH PHN
Lý thuyt:
Đ1. NGUYấN HM:
nh ngha :
Tớnh cht:
a.

Nu thỡ .
Nguyờn hm ca nhng hm s cn nh :
11
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
2). Tính chất:
a. b.
c. d.
e. Nếu thì
f. Nếu thì
12
g. Nếu thì
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
Công thức tổng quát:
a). TH1: . Đặt hoặc
→ hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
b)TH2: . Đặt hoặc
→ hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
c) TH3: . Đặt hoặc
→ hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
13
d)TH4: . Đặt hoặc
→ hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
e) TH5: . Đặt hoặc
hoặc nếu như biểu thức nằm trong
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
Công thức tổng quát: hay (1)
Các bước thực hiện:
• Bước 1:
• Bước 2: Thế vào công thức (1).

• Bước 3: Tính và suy nghĩ tìm cách tính tiếp
§5. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu
một hoặc cả hai).
a) Công thức: (2)
b) Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
2).Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công
thức (2).
Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.
3).Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:
(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai).
Công thức: (3)
b).Các bước thực hiện:Bước 1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình (PTHĐGĐ của và trục Ox) để tìm. Bước 2: Áp dụng công thức (3).
Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. b. c. . d. . e.
f. g. h. k. l.
m. n. o. p.
q. t. u. v. y.
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a. b. c. d. e.
f. g. h. k. l.

Bài 3:Tính các tích phân sau đây:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12. 13.
14. 15. 16. 17.
18. 19. 20. 21.
22 23. 24. 25.
26. 27. 28. 29.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng
.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; đường tiệm cận xiên
của ; Ox; .
Bài 9: Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của tại gốc tọa độ O.
Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và .
Bài 10: Cho parabol . Viết phương trình các tiếp tuyến của tại các giao điểm của
với trục Ox. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và các tiếp tuyến.
Bài 11: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; và trục Ox.
Bài 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng .
Bài 13: Cho parabol . Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm tung độ bằng 4.Tính diện
tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục Ox và tiếp tuyến
Bài 14: Cho đường cong . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: .
Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 15: Cho đường cong . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox. Tính thể tích
của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 20: tính các tich phân sau:
a) I = b) J = c) K = d) L =

e) M = f) N = g) P = h) O =
PHẦN 4 : SỐ PHỨC
I.CÁC KHÁI NIỆM VÀ PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC
Lý thuyết
1) Số i: i
2
= -1
2) Số phức : biểu thức z = a + bi (a,b ) gọi là số phức .Khi đó a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo
3) Số phức liên hợp: số phức liên hợp của số phức z = a + bi là = a – bi
4) Modul của số phức z = a + bi là số thực . Khi đó
5) Hai số phức bằng nhau : a + bi = c + di
6) Các phép toán: cho z
1
= a
1
+ b
1
i , và z
2
= a
2
+ b
2
i
a/ z
1
+ z
2
= (a

1
+ a
2
) + ( b
1
+ b
2
) i
b/ z
1
– z
2
= (a
1
– a
2
) + ( b
1
– b
2
) i
c/ z
1
. z
2
= (a
1
+ b
1
i)( a

2
+ b
2
i) (thực hiện tương tự như nhân 2 nhị thức)
d/
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Lý thuyết
1) Phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c với a, b, c R
2) Cách giải
• Tính
• Biện luận
a) Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực
b) Nếu = 0 thì phương trình có 1 nghiệm thực x =
c) Nếu < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức
III.CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Lí thuyết
@ Số phức w = x + yi (x,y R) là căn bậchai của số phức z = a + bi
w
2
= z
IV. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Lí thuyết
@ Số phức w = x + yi (x,y R) có dạng lượng giác là z = r(cos + isin )
Với
@ Định lí : Nếu : z = r(cos + isin ) ; z
’
= r

’
(sin
’
+cos
’
)
Thì z.z
’
= r.r
’
[ cos( +
’
) +isin( +
’
)]
[cos(
’
- ) + isin( ’- )]
@ công thức Moa – vrơ: [r(cos + isin )]
n
= r
n
(cos n + isin n )
BÀI TẬP
Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ;
Bài 2. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ;
Bài 3. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ;
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức: Đáp số:
Bài 5. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ;
Bài 6. Giải phương trình trên tập số phức Đáp số: ;

Bài 7. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ;
Bài 8. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ;
Bài 9. Cho hai số phức: , . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 10. Cho hai số phức: , . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7
Bài 11. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức
. Đáp số: A = 20
Bài 12. Tìm số phức z thỏa mãn và . Đáp số: z = 3 + 4i
∨
z = 5
Bài 13. Cho số phức z thỏ mãn: . Xác định phần thực và phần ảo của z.
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 14. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ; .
Bài 15. Tìm phần ảo của số phức z, biết: . Đáp số:
Bài 16. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của . Đáp số:
Bài 17. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện và z
2
là số thuần ảo.
Đáp số: z
1
= 1 + i; z
2
= 1 – i; z
2
= –1 –i; z

4
= –1+ i.
Bài 18. Cho số phức z thỏ mãn: . Xác định phần thực và phần ảo của z.
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 19. Giải phương trình trên tập số phức. Đáp số: ; .
Bài 20. Hãy tìm dạng lượng giác của số phức:
a) z = 1+ b) z = - c) z = d) z = - sin - icos
Bài 21/ Tính :
1. (5 + 2i )– 3(-7+ 6i)
2.
3.
4.
5.
6. (4 – 5i)
2
7. (3i + 1)
3
8.
9.
10.
Bài 22: Xác định phần thực phần ảo của các số phức sau.
a) z = (0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z = (0 - i)(2+3i)(5+2i).
c) z = (7 – 3i)
2
– (2 - i)
2
d)
Bài23: Cho số phức z = 4 – 3i.Tìm :
a) z
2

b) c) d) |z+z
2
+z
3
|
Bài 24: Tìm số thực x, y thỏa :

c) x+2i = 5+yi d) (x+y) + 3(y - 1)i = 5 – 6i
B – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC
b) Đường phân giác AK:
Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
O
A
B
C
c) Đường cao AH
Giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm
d) Đường trung trực a : M là trung điểm BC
Giao điểm của 3 đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G : GA= AM G là trọng tâm
3) Định lý : là trung điểm AC
4) Đường trung bình MN của :
A
B
C
K
A
B

C
H
A
M
a
B
C
I.VECTO TRONG KHÔNG GIAN
A
B
C
M
N
MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh AB, AC của . Có:
5) Hệ thức lượng trong vuông
a) b) c)
d) e) f)
g) ; ;

6) có AM là trung tuyến
7) đều cạnh a: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
Đường cao AH = Diện tích
8) Định lý Talet:

9) Hình chữ nhật: Diện tích 10) Hình vuông

11) vuông 12) Tam giác thường

13) Hình thang

14) Hình bình hành

A
B
C
H
A
B
C
M
N
A
B
C
D
H
A
B
D
H
B
C
A
A
D
B
C
H
D C
A

B
15) Hình thoi ,
16) Hình tròn:

17 ) Tam giác, tứ giác
a) Tổng hai cạnh của 1 lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1 nhỏ hơn cạnh thứ ba
c) Góc ngoài của 1

d) Tổng 3 góc trong 1 bằng 180
0
e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng
Các phương pháp chứng minh
18) CM 2 bằng nhau
a) Tam giác thường (3 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
b) vuông (5 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông ; Cạnh huyền, 1 góc nhọn
19) CM cân a) 2 cạnh bằng b) 2 góc bằng
c) 1 đường có 2 trong 3 tính chất: cao, phân giác, trung tuyến
3) CM đều a) 3 cạnh bằng b) 3 góc bằng c) cân, có 1 góc bằng
20) CM hình thang: CM tứ giác có 2cạnh //
21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng nhau)
CM tứ giác là hình thang có: a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 180
0
)
c) Hai đường chéo bằng nhau
22) CM tứ giác là hbh

a) 2 cặp cạnh đối song song b) 2 cặp cạnh đối bằng nhau
c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau d) 2 cặp góc đối bằng nhau

e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
23) CM tứ giác là hình thoi: CM tứ giác
a) là hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau b) là hbh có 2 đường chéo vuông góc
c) là hbh có 1 đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
d) có 4 cạnh bằng nhau
e) có mỗi đường chéo của tứ giác là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
24) CM tứ giác là hcn: CM tứ giác
a) là hbh có 1 góc vuông b) là hbh có 2 đường chéo bằng nhau
c) có 3 góc vuông d) là hình thang cân có 1 góc vuông
x
A
B
C
D
A
B
C
25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác
a) là hình thoi có 1 góc vuông b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại đầu mút
của bán kính
OB là bán kính đường tròn
a OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau :
a) CM 2 bằng nhau b) Cùng bằng cạnh thứ ba c)
d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một thì bằng nhau
e) có 2 góc = cân 2 cạnh bằng nhau

f) cân đường phân giác hay đường cao ở đỉnh chia đôi cạnh đáy g) Áp dụng đl I)3
h) Tính chất đoạn chắn i) CM tứ giác là hbh 2 cạnh đối bằng nhau
j) vuông tại A có AM là trung tuyến
k) Khoảng cách từ tâm đến 2 dây cung bằng nhau thì 2 dây cung bằng nhau
l) Giao điểm 2 tiếp tuyến trong 1 đường tròn cách đêu 2 tiếp điểm m)
28) CM 2 góc bằng nhau:
a) CM 2 bằng nhau b) có 2 cạnh bằng cân 2 góc bằng
c) cân thì đường cao hay trung tuyến cũng là phân giác
d) 2 cặp góc bằng đồng dạng cặp góc thứ ba bằng e) 2 góc đối đỉnh
f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường thẳng thứ ba 2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc đồng vị bằng
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một song song
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một vuông góc i) cùng bằng góc thứ ba
j) cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba k) cùng cộng với góc thứ ba bằng
l) m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh 2 góc đối bằng nhau o) Hai tiếp tuyến cắt nhau

29) CM 2 đường thẳng song song:
O
M
A
B
B
a
O
a) 2 góc so le trong bằng nhau 2 đt // b) 2 góc đồng vị bằng nhau 2 đt //
c) 2 góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau 2 đt // d) 2 đt cùng // với đt thứ ba 2 đt //
e) 2 đt cùng với đt thứ ba 2 đt //
f) CM tứ giác là một trong các hình: hbh, hcn, h.thoi, h.vuông 2 cạnh đối //
g) Đường trung bình trong một thì // với cạnh thứ ba h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau

a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề = 2 đt b) 2 đt tạo thành góc 90
0
, mục I) 6)
c) có 2 góc phụ nhau góc còn lại bằng 2đt d)
e) a // c, b // d, c d f) cân đ.phân giác hay trung tuyến cũng là đcao
g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc h) Định lý Pitago đảo
i) Đường cao thứ 3 trong 1 j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua tâm đường kính dây cung
k) Tiếp tuyến bán kính đi qua tiếp điểm l ) 2 cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
31 ) CM 3 điểm thẳng hàng
a) A, B, C thẳng hàng b) A, B, C thẳng hàng
c) A, B, C thẳng hàng d) A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1 f) Đường tròn (O) có AB là đường kính A, O, B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc nhau tại A O, A, O
’
thẳng hàng
32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn
a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn, h.vuông
c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc vuông
e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
33) Quy tắc hình bình hành 34) Quy tắc ba điểm:
35) Quy tắc trừ: 36) I là trung điểm AB
37) G là trọng tâm 42) Tích vô hướng của hai véctơ
43) Tam giác ABC
44) Định lý Cô sin a
2
= b

2
+ c
2
-2bc cos b
2
= a
2
+ c
2
-2ac cosB c
2
= a
2
+ b
2
-2ab cosC