Đề giao lưu môn Toán HSG lớp 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CHƯƠNG MỸ
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút.
(Đề gồm 01 trang)
Bài 1 (3,5 điểm).
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( )
−
−+
cba
222
2
4.a
2
.b
2
< 0
b) Cho x, y,t thoả mãn điều kiện: x
2
+ y
2
+ t
2
– 2(x + y – t) = - 3
Tính giá trị của biểu thức P = (x – 2)
2009
+ (y – 2)
2010

+ (t + 2)
2011
Bài 2 (4 điểm).
Cho biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2
.
. 1 . 1 1 . 1x y y x y x x y
y y
x
x
− −
+ − + + + −
a) Rút gọn M
b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức M có giá trị là - 2010.
Bài 3 (3,5 điểm).
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô cùng đi từ A đến B,
khởi hành lần lượt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ (cùng ngày) với vận tốc theo thứ tự là 10 km/h,
30 km/h, 40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy.
Bài 4 (2 điểm).
Tìm các số nguyên x thoả mãn đồng thời hai bất phương trình sau:
1 2. 3
1 1
3 2 3
x x x
x
− +
− − < + −

(1) và
4 3 2
5
5 3 2
x x x
x
− + −
− + > −
(2)
Bài 5 (7 điểm).
1. Cho hình bình hành ABCD có AD > CD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =
2AE, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho DF = 2CF. Gọi K là giao điểm của tia AF và
BC.
a) Tứ giác AECF là hình gì? Chứng minh.
b) Tính độ dài CK, diện tích của tam giác FDA và tam giác FCK biết AD = 8 cm, CD =
6 cm và góc BAD = 30
0
.
c) Đường thẳng AK cắt BD tại I. Chứng minh rằng:
1 1 1
AI AF AK
= +
d) Chứng minh rằng khi điểm F chuyển động trên đoạn CD thì DF.BK không đổi.
2) Trên cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, lấy tương ứng 3 điểm M, N, P sao cho
MA NB CP
k
MB NC PA
= = =
. Chứng minh rằng
( )

2
1
AMP
ABC
k
S
S
k
=
+
V
V
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC