SKKN Hướng dẫn HS vẽ đường phụ trong hình học

Trêng THCS Liªn M¹c A – Mª Linh – Hµ Néi SKKN To¸n 2010-2011
Ngêi thùc hiÖn Gv: Ph¹m Phóc §inh
===================================================================
Môc lôc
I. Nh÷ng vÊn ®Ò chung Trang 2
1. LÝ do viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trang 2
2. Môc ®Ých viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trang 3
II. Néi dung Trang 3
A. C¸c bíc tiÕn hµnh Trang 3
1. §iÒu tra Trang 3
2. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn Trang 4
B. KÕt qu¶ ®Ò tµi Trang 18
III. KÕt luËn Trang 19
IV. Tµi liÖu tham kh¶o Trang 20
===================================================================
Email:
1
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
I. Những vấn đề chung
1. Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm.
1.1- Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đờng phụ là các bài toán khó đối
với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học
sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất
định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra đợc một đờng phụ liên kết tờng minh các mối
quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết
luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác t duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự
hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đờng phụ là một
sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đờng phụ để giải một bài toán hình về mặt phơng pháp là một

biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một
định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. ở đó khoảng cách từ lạ
đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán hình có
lời giải phải kẻ thêm đờng phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ
và t duy khoa học của học sinh.
1.2- Cơ sở thực tiễn:
Giải bài toán hình có kẻ thêm đờng phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao
tác t duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt t duy hình học thuật phát
triển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng
việc vẽ đờng phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài
toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bài tập thì
SGK cũng đa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài
toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đờng phụ.
Trên thực tế, đối với hc sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất
nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải
bài toán có vẽ thêm đờng phụ đối với hc sinh còn rất ít. Còn đối với đa số học sinh
việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đờng kẻ phụ cũng nh kiến thức về một
số loại đờng phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất
hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên
để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm
đờng phụ.
===================================================================
Email:
2
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
2. Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm:
Việc gợi mở lại cho hc sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ

thêm đờng phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiến
thức này cho học sinh. Với việc phân dạng đợc các bài toán hình mà lời giải có sử
dụng đờng phụ, đồng thời đi sâu vào hớng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều kiện
để hc sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phơng pháp
gii các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đờng
phụ.
II. NI DUNG
A. Các b ớc tiến hành.
1. Điều tra:
Trớc khi đa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và có kỹ
năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đờng phụ đối với học sinh nh sau:
- Đối tợng điều tra: Học sinh lớp 7A, 8A trờng THCS Liên Mạc A, năm học
2010-2011.
- Thời gian điều tra: Bắt đầu t ngày 15/09/2010.
- Tổng số học sinh đợc điều tra: 78 em.
- Thống kê điều tra nh sau:
01. Số học sinh nắm đợc sơ lợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong giải Toán
THCS có: 39 em chiếm 50 %
02. Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng sử dụng trong giải
toán THCS có: 29 em chiếm 37,2%.
03. - Số học sinh dựng đợc các đờng kẻ phụ hợp lý và giải đợc một số bài toán
trong chơng trình toán lớp 7, 8 gồm có: 20 em chiếm 25,6%.
===================================================================
Email:
3
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
04. Số học sinh lúng túng, cha giải quyết đợc các bài toán hình học có vẽ thêm
đờng phụ trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %

05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải đợc các bài toán
tơng đối khó : 0 em chiếm 0%
2. Quá trình thực hiện:
Trớc hết giáo viên cần giúp học sinh thấy đợc và nắm vững các yêu cầu khi vẽ
(dựng) các đờng phụ.
2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đờng phụ.
01- Vẽ đờng phụ phải có mục đích:
Đờng kẻ phụ, phải giúp cho đợc việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải
là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tơng tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích
xác định là gắn kết đợc mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài
toán và kết luận phải tìm. Do đó không đợc vẽ đờng phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là
mày mò, dự đoán) vì nếu đờng phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ
làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đ-
ờng phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đờng phụ này có đạt đợc mục đích mình muốn
không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay.
02- Đờng phụ phải là những đờng có trong phép dựng hình và phải xác
định đợc.
03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đờng phụ:
Đờng phụ thờng thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đờng phụ là rất
quan trọng. Tuy cùng là một đờng phụ vẽ thêm nhng do các cách dựng khác nhau nên
dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.
04. Một số loại đờng phụ thờng đợc sử dụng trong giải toán hình ở chơng
trình THCS.
a) Đờng phụ là điểm:
Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trớc theo một tỷ số
thích hợp.
===================================================================
Email:
4
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011

Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Xác định giao điểm của các đờng thẳng hoặc đờng thẳng với đờng tròn.
b) Đờng phụ là đờng thẳng, đoạn thẳng:
- Kéo dài một đờng thẳng cho trớc với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trớc hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trớc dựng đờng song song với một đờng thẳng đã xác
định.
- Từ một điểm cho trớc dựng đờng vuông góc với một đờng thẳng xác định.
- Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc.
Dựng đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc hợp thành với đờng thẳng khác
một góc bằng góc cho trớc.
- Từ một điểm cho trớc dựng tiếp tuyến với đờng tròn cho trớc.
- Hai đờng tròn giao nhau thì dựng đợc dây cung chung.
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ đợc tiếp tuyến chung hoặc
đờng nối tâm.
Vẽ tia đối của một tia
Dựng các đờng đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác,
đờng cao)
c) Đờng phụ là đờng tròn:
- Vẽ thêm các đờng tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
- Vẽ đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn hoặc đờng thẳng đã có
- Vẽ đờng tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đờng phụ, giáo viên cần phân dạng đ-
ợc các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đờng phụ.
2.2 Các cơ sở để xác định đờng phụ:
===================================================================
Email:
5
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011

Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Ta có thể đa dựa trên các cơ sở sau để xác định đờng phụ sẽ vễ là đờng gì? và
vẽ từ đâu?
01- Kẻ thêm đờng phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất
các hình để giải quyết bài toán.
02- Kẻ thêm đờng phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để
giải quyết bài toán.
03- Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan
hệ để giải quyết bài toán.
04- Kẻ thêm đờng phụ để sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng.
05. Kẻ thêm các đờng phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tơng đ-
ơng để giải quyết bài toán.
2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đờng phụ:
01. Dựa vào các bài toán đã biết:
Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinh
nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tơng đồng rồi từ đó vẽ đ-
ờng phụ thích hợp để đa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc.
Ví dụ 1:

Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD
= AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD.
Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đờng phụ.
Phân tích:
Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các
cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau.
===================================================================
Email:

6
A
C
M
D
B
E
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE =CM
hoặc CE = DM. Chọn CE = CM.
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh đợc:
EBC = MBC thì ta có đợc CE = CM là điều phải chứng minh.
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh EBC = MBC,
hai tam giác này bằng nhau theo trờng hợp c.g.c
Việc hớng dẫn học sinh kẻ đờng phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể
đa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam
giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đờng phụ nào và chứng minh
điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải
chứng minh điều gì?
Ví dụ 2: Bài tập 38 SGK lớp 7 tập 2 trang 73
Cho hình vẽ.
a. Tính góc KOL
b. Kẻ IO, hãy tính góc KIO
c. Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?
Đứng trớc bài toán này tôi hớng dẫn học sinh nh sau:

Đọc kĩ đề bài và quan sát hình vẽ thì với câu c, nhận định điểm O là giao điểm
của 2 đờng phân giác góc B và góc C
Nên có 2 cách giải câu a) khác nhau sau:
Cách 1: Tính góc KOL dựa vào tam giác KOL
Góc
0
180 ( )KOL OKL OLK = +
nhng KO, LO lần lợt là tia phân giác góc B, góc
C nên

0 0
1
180 ( ) 180 ( )
2
KOL OKL OLK B C = + = +
===================================================================
Email:
7
62
0
L
I
K
O
D
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================

0 0 0 0 0 0

1 1 1
180 (180 ) 90 90 62 121
2 2 2
A A= = + = + =
Cách 2: Căn cứ vào nhận định O là giao điểm của 2 tia phân giác góc B và góc C nên ta
kẻ tia IO cắt KL tại D Khi đó dựa vào góc ngoài của 2 tam giác KOI và tam giác LOI
1
2
KOD OKI KIO IKL KOI = + = +
1
2
LOD OLI LIO ILK LOI = + = +
( )KOL DOK DOL OKI OLI OIK OIL = + = + + +
0 0
1 1 1
( ) (180 ) 90
2 2 2
KOL K L I I I I = + + = + = +
0 0 0
90 31 121KOL = + =
Nội dung ở đây tôi đề cập đến vấn đề kẻ đờng phụ IO
Khai thác thêm
a, Nếu quay OI thành qua O kẻ đờng thẳng song song với KL cắt IK tại E cắt IL
tại F
Chứng minh rằng EF = KE + LF
b, Hoặc gợi mở điểm O nằm trong tam giác thì
0
1
90
2

KOL I = +
còn đúng
nữa không?
Việc còn lại học sinh đi giải tiếp câu b, câu c

Ví dụ 2: Định lí
Trong tam giác đờng phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn
thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.
(Sách giáo khoa Toán 8 tập 2)
ở SGK ngời ta chứng minh bằng cách từ B kẻ đờng thẳng song song với AC
cắt AD tại E.
Lúc đó áp dụng dịnh lí Talet thì
BE BD
= (1)
AC DC
và chứng minh tam giác ABE cân
tại B để có AB = AE(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
===================================================================
Email:
8
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Mổ xẻ
Câu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại đột ngột kẻ nh vậy?
Nếu không kẻ thì có chứng minh đợc không?
- Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì?
Câu trả lời mong đợi:
- Sử dụng định lí Talet (để có tỉ số bằng nhau) và tạo đợc hai

đoạn thẳng bằng nhau (dựa vào tam giác cân)
Tôi tự hỏi và cùng đa ra cho học sinh cùng tháo gỡ
Liệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh đợc định lí không?
Có rất nhiều ý kiến
Thế là bài học của tôi rất hấp dẫn học sinh vô cùng háo hức sôi nổi hơn cả sự mong đợi
của tôi.
Kết quả là chỉ sau một thời gian thầy trò tôi có đợc 9 đến 10 cách giải khác nhau ứng
với các cách kẻ của hình vẽ.
Cách 2: Từ B kẻ BE sao cho góc ABE = góc ACB
Để
~AEB ADC
suy ra tỉ số và
BED
cân tại B
Cách 3: Từ B kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AC tại E
- Khi đó phải chứng minh đợc
Tam giác ABE cân tại A
- Khi BE//AD vận dụng định lí Te lét
Cách 4: Từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc với AD.
- Dựa vào tam giác đồng dạng: DBE và DCF
- Dựa vào tam giác đồng dạng: AEB và AFC
===================================================================
Email:
9
L
B
D
C
E

D
B
A
C
E
Hình 1
D
B C
A
E
B
D
C
A
E
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Cách 5: Dựa vào diện tích
Từ D kẻ
DH AB và DK AC
khi đó
ABD
ACD
S
BD AB
S DC AC
= =
Cách 6: Từ D kẻ DE, DF lần lợt song song với AC và AB

Cách 7: Từ A và D lần lợt kẻ Ax//BC và Dy//AB chúng cắt nhau tại E
Cách 8: Từ B, và C kẻ
,BF AC CE AB

, từ C kẻ Cx//AD cắt CF tại I

Cách 9: Tại B và C kẻ
,Bx BA Cy CA
chúng cắt nhau tại K
Từ kẻ Bz//AD cắt Cy tại G, AD cắt Cy tại F.
Với các cách giải trên tôi tìm hớng khai thác định lí này:
Cho tam giác ABC có góc A bằng 120
0
, phân giác góc A căt BC tại D.
Chứng minh rằng:
1 1 1
AD AB AC
= +
===================================================================
Email:
10
F
B
D
C
A
E
F
B
D

C
A
E
F
y
B
D
C
A
E
x
y
I
B
D
C
A
E
F
x
A
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Hớng dẫn làm nh cách 6
Khi đó tam giác AED, AFD là các tam giác đều

(1)
AD DF CD
AB AB BC

= =
(2)
AD DF BD
AC AC BC
= =
Từ (1) và (2) ta có:
1 1 1
1
AD AD CD BD
AB AC BC AB AC AD
+
+ = = +
02. Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ
để giải quyết bài toán:
Đối với trờng hợp này (dạng này) thờng là các bài toán chứng minh các đờng
thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến của một tam giác, tam
giác cân vì có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến
Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD và
N là một điểm trên đờng chéo AC sao cho
ã
0
BNM 90=
. Gọi F là điểm đối xứng của A
qua N, chứng minh:FB AC
Ta phân tích nội dung kẻ đờng phụ và gợi ý chứng minh.
Phân tích:
Ta thấy
ã
BFC
là một góc của BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một

tam giác bằng 180
O
thì có
ã ã ã
0
FBC BCF BFC 180+ + =
, nhng ta cha thể tính đợc
ã ã
FBC BCF+

bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra đợc số đo góc
ã
BFC
. Vậy không
thể vận dụng định lý trên để chứng minh.
- Nhng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của
đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán này
bằng cách nào?
Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hớng dẫn các em có
thể tự đặt ra các câu hỏi nh vậy.
===================================================================
Email:
11
F
N
C
M
DA
B
E

I
K
B
D
C
E
F
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Liệu BF có là đờng cao của BNC đợc không?
Để chứng minh BF là đờng cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi
qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của BNC.
Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE BC tại E.
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh đợc CI //
MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI là một đờng cao của
BNC.
Vậy I là trực tâm của BNC (Vì I NE CK). Do đó suy ra điều phải chứng
minh là: BF AC
Tóm lại việc kể thêm NE BC tại E là nhằm tạo ra điểm I NE BF để chứng
minh I là trực tâm của BNC.
Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mở
cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng những câu
hỏi nh:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đờng gì của
BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của BCN thì ta phải có điểm nào?
- Ta phải kẻ thêm đờng phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đờng
cao của BNC?

- Với NE là đờng cao của BNC và NE BF tại I, ta phải chứng minh I là
điểm có tính chất gì?
Ví dụ 4: Cho

ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong

. Nối M với các đỉnh A, B, C
cắt các cạnh đối diện lần lợt tại A, B, C qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt
AB; AC tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tơng đối khó với học sinh .
===================================================================
Email:
12
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả. Ta chú ý đến giả thiết của
bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với
nó nhất?
Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet
- ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC đợc chia thành mấy đoạn nhỏ?
- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA và CA, BC
- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
Ta có lời giải nh sau
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét
MKMH
MK
MH

CA
BA
BA
CB
CB
CA
MQ
MP
MK
MQ
MP
MH
CA
BA
MQ
MP
BA
BC
MK
MQ
CB
CA
MP
MH
==>==>
==>
=
=
=
1

'
'
.
'
.
'

'
'
'
'
03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đờng phụ
Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Chứng minh
rằng OA + OC < AB + BC
Hớng dẫn:
- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức
cần chứng minh ?
- Bài này áp dụng bất dẳng thức của tam giác hay không?
- Nếu đợc ta phải bắt đầu từ đâu?
===================================================================
Email:
13
K
H
M
A
B
C
A'
B'

C'
P
Q
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Gv: Vẽ hình phân tích cùng học sinh
Tìm hớng chứng minh
áp dụng ngay bất đẳng thức tam giác ta có:

+ > < +ABC có AB BC AC mà AC OA OC
Vậy làm trực tiếp ngay thì không thể có hớng giải.
Khiến chúng ta nghĩ tới việc phải kẻ thêm hình phụ. Kẻ thế nào đây?
Kẻ BO hay kéo dài CO
Những câu hỏi đó gợi cho học sinh suy nghĩ tích cực hơn.
Từ đó ta dùng phơng pháp loại trừ đi đến kẻ CO cắt AB tại M
Giải
Xét tam giác AOM có OA < OM + MA
Muốn có vế bên trái ta chỉ việc cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên,
ta có: OA + OC < OM + MA + OC
hay OA + OC < CM + MA (1)
Xét tam giác MBC có: MC < MB + BC muốn tìm vế bên trái của (1) ta cộng hai vế của
MC < MB + BC với MA,
ta có: MA + MC < BM + MA + BC
hay MA + MC < AB + BC (2)
Từ (1) và (2) ta đợc: OA + OC < AB +BC
Khai thác thêm
Do điểm O bất kì nằm trong tam giác ta luôn chứng minh đợc:
OA + OC < AB +BC (a)
Vậy có thể dùng phơng pháp tơng tự hóa ta cũng có:

OA + OB < AC +BC (b)
OB + OC < AB +AC (c)
Vì thế cộng vế với vế của (a), (b) và (c) ta đợc:
OA + OB + OC < AB + BC + AC
Và một điều hiển nhiên ta có bài toán sau:
Gọi điểm O là một điểm nằm trong tam giác ABC.
===================================================================
Email:
14
A
M
B
C
O
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Chứng minh rằng
2
AB BC CA
OA OB OC AB BC CA
+ +
< + + < + +
Ví dụ 6 : Cho

ABC có
à à
2A B=
Chứng minh rằng: BC
2

= AC
2
+ AC.AB
Hớng dẫn:
- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức
cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này,
ở đây GV cần hớng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra
đợc các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay đợc
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa về dạng tỷ số để gắn vào
tam giác đồng dạng
( )
2 2 2
.BC AC AC AB BC AC AC AB= + = +
Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh
hệ thức ab = cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng
AB+AC
- Từ đó học sinh đa ra hai cách vẽ đờng phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn
bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB
? Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng đợc giả thiết
à à
2A B=
?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó

ABC cân tại A nên:
ã
ã ã
2 2BAC ABD ADB= =
Xét

ABC và

BDC có:
ã
ã
ã
1
2
BDC ABC BAC= =
à
C
chung nên

ABC đồng dạng với

BDC (g.g)
===================================================================
Email:
15

Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================

ABACACABACACADACACCDACBC
BC
AC
CD
BC
.)()(.
22
+=+=+===>=
Nh vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm
đờng phụ không chỉ đơn thuần là đa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp
học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đờng phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đa
vào gợi mở để cho học sinh tìm đợc lời giải cho từng bài toán cụ thể. Trong quá trình
đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đờng phụ trong giải các bài toán hình
học.
2.4 Một số bài tập đã hớng dẫn học sinh giải
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đờng tròn ngại tiếp cac tam giác
ABC và ABD lần lợt là 3 và 4.
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đờng cao BH.
Chứng minh rằng :
2
2
AB AC
CH BC

=
ữ


Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có
à

0
20A =
Chứng minh rằng :
2
2
3
AB BC
BC
AB
+ =
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A
Chứng minh rằng :
ã
1
2 2
ABC AC
tg
p AC
+ =

với p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lợt lấy hai điểm M và N
sao cho OM +ON = 2a không đổi.
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox, Oy thì trung điểm của MN luôn
nằm trên một đoạn thẳng cố định
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất
Bài 6: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của BC;AC
và AB. Kẻ các đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh các
đờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7: Cho đờng tròn (O) và một điểm A bên trong đờng tròn đó kẻ cát tuyến BAC

bất kỳ. Gọi (P) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B.
(Q) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C.
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
===================================================================
Email:
16
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E

A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho
OP + OQ = 2011 . Vẽ đờng tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đờng tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đờng tròn (P) và (Q) chứng minh đờng
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AH. Đờng trung trức AB cắt BC tại
M và cắt đờng vuông góc BC ở B tại P. Gọi PC cắt AH tại E.
a) Chứng minh rằng: E là trung điểm của AH
b) Chứng minh AH.PM
2
= 2PB.MB
2
(Đề thi HSG lớp 9 Phòng GD Mê Linh năm 2008-2009)
Bài 10: Cho tam giác ABC (AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đờng
thẳng vuông góc với tia phân giác của BAC, đờng thẳng đó cắt các tia AB và AC theo
thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh tam giác AMN cân.

b) Chứng minh BM = CN
c) Cho AB = c, AC = b. Tính AM và BM theo c và b.

B. Kết quả của đề tài
===================================================================
Email:
17
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phơng pháp dạy vừa trình bày ở trên (Từ
15/10/2008 đến nay) đối với 40 em học sinh lớp 8A và 38 em học sinh lớp 7A trờng
THCS Liên Mạc A Mê Linh đã thu đợc kết quả nh sau:
01. Số học sinh nắm đợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong giải toán THCS
có: 78 em chiếm 100%.
02. Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng đợc sử dụng trong
giải toán THCS có: 70 em chiếm 89.7%.
03. Số học sinh vẽ (dựng) đợc các đờng phụ hợp lý và giải đợc một số bài toán hình
trong chơng trình Toán lớp 7 và 8 có: 55 em chiếm 70,5%.
04. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải đợc các bài toán
tơng đối khó : 2 em chiếm 26,9%
Trong quá trình dạy học sinh theo phơng pháp này, tôi đã thu đợc nhiều
kết quả tốt.
Bảng kết quả thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó:
Với lớp 8A
Với lớp 7A
===================================================================
Email:
Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 40 6 10 22 2

KH I 40 11 14 14 1
Giữa KH II 40 14 18 8 0
Cuối KH II 40 15 23 2 0
Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 38 7 8 19 4
KH I 38 10 12 14 2
Giữa KH II 38 13 17 8 0
Cuối KH II 38 14 20 4 0
18
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
III. Kết luận
Kinh nghiệm rút ra
Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đờng phụ tuy là những bài
toán khó nhng lại là những bài toán hay, nó giúp cho t duy logic của học sinh phát
triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác t duy cho học sinh.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và đề
tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trờng THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lu ý là trớc hết phải giúp học sinh
nắm vững đợc các yêu cầu về vẽ (dựng) các đờng phụ sau đó mới phân dạng bài toán
và đa ra hớng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã chia. Việc củng cố kỹ cho
học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện cha cho phép nên đề tài cha nghiên cứu đợc ở phạm vi rộng và
cũng cha thể trình bày đợc hết các phơng pháp dạy đối với các dạng bài toán đã nêu do
gới hạn của đề tài.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy
tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy cô giáo trong tổ toán trờng
THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội, các thầy cô giáo khác trong trờng đã tham
gia góp ý kiến để tôi hoàn thành đề tài này.

Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội dung
phong phú hơn. Mọi ý kiến đóng góp quý của các bạn xin gửi về theo địa chỉ email:
. Mong đợc sự góp ý chân thành của bạn đọc./.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

===================================================================
Email:
19
Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================
ý kiến hội đồng khoa học nhà trờng Ngời thực hiện

Phạm Phúc Đinh
IV. tài liệu tham khảo
- SGK Toán 7 - Nhà xuất bản GD
- SGK Toán 8 Nhà xuất bản GD tập 2
- Một số vấn đề phát triển Hinh 9 - Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dỡng 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8- Nhà xuất bản GD 1995
- Toán nâng cao và phát triển Toán 7
- 36 bộ đề thi HSG cấp 2 Nhà xuất bản trẻ
- Để học tốt 8 - Nhà xuất bản GD 1999
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000
- 23 chuyên đề toán học tuổi trẻ
- Các số báo của toán tuổi thơ năm 2007 đến tháng 04/2011
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan.
===================================================================
Email:
20

Trờng THCS Liên Mạc A Mê Linh Hà Nội SKKN Toán 2010-2011
Ngời thực hiện Gv: Phạm Phúc Đinh
===================================================================

phòng giáo dục và đào tạo Mê Linh
Trờng THCS Liên Mạc A

sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài:
Hớng dẫn học sinh vẽ đờng phụ
trong giải toán hình học
********
Họ và tên giáo viên: Phạm Phúc Đinh
Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên
Năm học: 2010 - 2011
===================================================================
Email:
21
Trêng THCS Liªn M¹c A – Mª Linh – Hµ Néi SKKN To¸n 2010-2011
Ngêi thùc hiÖn Gv: Ph¹m Phóc §inh
===================================================================
*********
===================================================================
Email:
22