Mở rộng công thức vectơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng

Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 1
MỞ RỘNG CÔNG THỨC VECTƠ VỀ
TRỌNG TÂM TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Nguyễn Văn Thiết
GV trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế
I. CÔNG THỨC MỞ RỘNG
Trong SGK Hình Học lớp 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục năm 2006, trang 20 có
Bài toán 2 nh
ư sau:
Bài toán 2: (SGK) Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì,
ta có
3
MG MA MB MC
  
   
(a)
Nh
ư đã quy ước, ta ký hiệu:

BC = a, CA = b, AB = c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.

G, H lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

I, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bây gi
ờ, bình phương vô hướng hai vế của công thức (a) ta được:

2 2 2 2
9 2 . 2 . 2 .
MG MA MB MC MA MB MB MC MC MA
     
     
(a’)
Áp d
ụng kết quả sau:
V
ới mọi vectơ
u

,
v

ta có:


2 2 2
1
.
2
u v u v u v
   
     
Ta được:

2 2 2 2 2 2
2 .

MA MB MA MB AB MA MB c
     
 

2 2 2 2 2 2
2 .
MB MC MB MC BC MB MC a
     
 

2 2 2 2 2 2
2 .
MC MA MC MA CA MC MA b
     
 
Khi đó công thức (a’) trở thành:





2 2 2 2 2 2 2
9 3
MG MA MB MC a b c
     
Từ đó ta được hai định lí sau là sự mở rộng của Bài toán 2 ở trên:
Định lí 1: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với điểm M bất kì ta có






2 2 2 2 2 2 2
9 3
MG MA MB MC a b c
      (i)
Định lí 2: Với mọi tam giác ABC và với mọi điểm M ta luôn có bất đẳng thức:

 
2 2 2 2 2 2
1
3
MA MB MC a b c
     (ii)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
Ti
ếp theo chúng ta xem ứng dụng của các công thức (i) và (ii) như thế nào?
II. ÁP DỤNG
1) Trong bất đẳng thức (ii) khi cho M trùng với trực tâm H ta được:
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 2

 
2 2 2 2 2 2
1
3
HA HB HC a b c
     (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H trùng với trọng tâm G hay tam giác ABC đều.
2) Trong b
ất đẳng thức (ii) khi cho M trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC ta được:

 
2 2 2 2 2 2
1
3
OA OB OC a b c
    
hay
 
2 2 2 2 2 2
1
3
R R R a b c
    
Suy ra
 
2 2 2 2
1
9
R a b c
  
(2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O trùng với trọng tâm G hay tam giác ABC đều.
Áp d
ụng định lí SIN ta có a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC thì bất đẳng thức (2) trở thành:

 
2 2 2 2 2 2 2
1
4 sin 4 sin 4 sin
9
R R A R B R C
  
Hay
2 2 2
9
sin sin sin
4
A B C
  
(3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
3) Trong b
ất đẳng thức (ii) khi cho M trùng với tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC ta được
 
2 2 2 2 2 2
1
3
IA IB IC a b c
     (4)
Vì
sin
2

r
IA
A


nên
2
2 2 2
2
1 cot
2
sin
2
r A
IA r
A
 
  
 
 
Tương tự, ta có:
2 2 2
1 cot
2
B
IB r
 
 
 
 

2 2 2
1 cot
2
C
IC r
 
 
 
 
Khi đó bất đẳng thức (4) trở thành:

 
2 2 2 2 2 2 2
1
3 cot cot cot
2 2 2 3
A B C
r a b c
 
     
 
 
Hay
2 2 2
2 2 2
2
3 cot cot cot
2 2 2 3
A B C a b c

r
 
   
(5)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I trùng với trọng tâm G hay tam giác ABC đều.
r
r
r
I
C
B
A
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 3
4) Trong công thức (i) khi cho M trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ta được:







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 3 9
OG OA OB OC a b c R a b c
         

Suy ra
 
2 2 2 2 2
1
9
OG R a b c
    (6)
Sau
đây là các kết quả khá thú vị và đẹp mắt:
Ta
đã biết rằng trong tam giác nhọn ABC luôn có bất đẳng thức:

2 2 2 2 2 2
a b c
a b c h h h
    
với
a
h
,
b
h
,
c
h
lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C.

Vậy thì hiệu





2 2 2 2 2 2
a b c
a b c h h h
     bằng bao nhiêu?
Ta có các bài toán sau:
III. VÀI BÀI TOÁN THÚ VỊ
Bài toán 1: G là trọng tâm của tam giác nhọn ABC và D, E, F lần lượt là chân các đường cao
h
ạ từ các đỉnh A, B, C, ta có đẳng thức:







2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
a b c
a b c h h h GD GE GF
       

F
E
D
C
B
A

Lời giải:
Trong công thức (i) cho M trùng với điểm D ta được:





2 2 2 2 2 2 2
9 3
GD DA DB DC a b c
     





2 2 2 2 2 2 2 2
3
DA AB DA AC DA a b c
       





2 2 2 2 2 2
3
AB AC DA a b c
     





2 2 2 2 2 2
3
a
c b h a b c
     
Tương tự, khi cho M lần lượt trùng với các điểm E và F ta được:





2 2 2 2 2 2 2
9 3
b
GE a c h a b c
     





2 2 2 2 2 2 2
9 3
c
GF b a h a b c
     

Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế:
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 4







2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 3
a b c
GD GE GF a b c h h h
 
       
 
Hay






2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
a b c
GD GE GF a b c h h h

       
Bài toán 2: Đường tròn ( O; R) ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, các
điểm A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua tâm O. Khi đó ta có:
a)


2 2 2 2 2 2 2
' ' ' 4 cos cos cos
A G B G C G R A B C
    
b)
2 2 2 2
' ' ' 3
A G B G C G R
  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Lời giải:

O
C '
B '
A '
C
B
A
a) Trong công thức (i) cho M trùng với điểm A’ ta được:






2 2 2 2 2 2 2
9 ' 3 ' ' '
A G A A A B A C a b c
     
Vì tam giác
ABA’ vuông góc ở B nên ta có:


' ' cosAA'B 2 cos
A B A A R C
 
Và tam giác
AA’C vuông góc ở C nên:


' ' cosAA'C 2 cos
A C A A R B
 
Khi đó ta được:





2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 ' 3 4 4 cos 4 cos
A G R R C R B a b c
     





2 2 2 2 2 2
12 1 cos cos
R C B a b c
     
Tương tự, khi cho M lần lượt trùng với các điểm B’ và C’ ta được:





2 2 2 2 2 2 2
9 ' 12 1 cos cos
B G R C A a b c
     





2 2 2 2 2 2 2
9 ' 12 1 cos cos
C G R A B a b c
     
Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế ta được:







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 ' ' ' 12 3 2cos 2cos 2cos 3
A G B G C G R A B C a b c
        
Hay






2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 ' ' ' 4 3 2cos 2cos 2cos
A G B G C G R A B C a b c
        
Áp dụng định lí SIN ta có:





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 sin sin sin 4 3 cos cos cos
a b c R A B C R A B C
        

Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 5
Khi đó ta có:






2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 ' ' ' 4 3 2cos 2cos 2cos 4 3 cos cos cos
A G B G C G R A B C R A B C
         



2 2 2 2
12 cos cos cos
R A B C
  
Vậy:


2 2 2 2 2 2 2
' ' ' 4 cos cos cos
A G B G C G R A B C
    
b) Từ bất đẳng thức (3) ta có:

2 2 2
9
sin sin sin
4
A B C
  
2 2 2
3
cos cos cos
4
A B C
   


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Theo k
ết quả câu a) ta có:

 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
' ' ' 4 cos cos cos 4 . 3
4
A G B G C G R A B C R R
      

V
ậy:
2 2 2 2

' ' ' 3
A G B G C G R
  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Bài toán 3:
Các đường phân giác trong của các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác tại D, E, F và G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có:
a)
 
2
2 2 2 2
3
3 2 cos cos cos
2
DG EG FG R A B C
 
      
 
 

 
2 2 2
2
1 1 1
2 cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2
R A B C A B C
 
     
        

 
     
     
 
 
b)


2 2 2 2
2 cos cos cos
DG EG FG R A B C
    
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Lời giải:


O
I
F
E
D
C
B
A
a) Trong công thức (i) cho M trùng với điểm D ta được:






2 2 2 2 2 2 2
9 3
DG DA DB DC a b c
      (*)
Xét tam giác
ABD ta có:
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 6


2 sin 2 sin
2
A
DA R ABD R B
 
  
 
 
Xét tam giác ACD ta có:


2 sin 2 sin
2
A
DA R ACD R C
 
  

 
 
Từ đó ta có:
2 2 sin sin 2 2sin .cos 4 cos
2 2 2 2 2
A A A B C B C B C
DA R B C R R
 
   
     
     
     
 
     
 
Suy ra 2 cos
2
B C
DA R





 
2 2 2 2 2
1 cos
4 cos 4 . 2 1 cos
2 2
B C

B C
DA R R R B C
 

      
 
Và
2 sin
2
A
DB DC R 
Suy ra
 
2 2 2 2 2 2
1 cos
4 sin 4 . 2 1 cos
2 2
A A
DB DC R R R A

    
Do đó ta có



2 2 2 2
2 1 cos 1 cos 1 cos
DA DB DC R B C A A
          
 





2
2 3 cos cos cos
R B C B C A
       
 



2
2 3 2cos .cos cos
R B C A
  
Thế vào công thức (*) ta được





2 2 2 2 2
9 6 3 2cos .cos cos
DG R B C A a b c
     
Tương tự, khi cho M trùng với E, F ta được






2 2 2 2 2
9 6 3 2cos .cos cos
EG R C A B a b c
     





2 2 2 2 2
9 6 3 2cos .cos cos
FG R A B C a b c
     
Cộng ba đẳng thức sau cùng này vế theo vế, ta được




2 2 2 2
9 6 9 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cos
DG EG FG R A B B C C A
      






2 2 2 2
6 cos cos cos 3
R A B C a b c
     
Hay




2 2 2 2
3 2 9 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cos
DG EG FG R A B B C C A
      





2 2 2 2
2 cos cos cos
R A B C a b c
     




2 2
2 9 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cos 2 cos cos cosR A B B C C A R A B C
       



2 2 2 2
4 3 cos cos cos
R A B C
   


2
2 3 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cos cos cos cosR A B B C C A A B C
         
 



2 2 2 2
4 cos cos cos
R A B C
  
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 7
 


 
2
2 2 2 2
2 3 cos cos cos cos cos cos cos cos cos

R A B C A B C A B C
 
         
 
 
 
2
2 2 2 2
3 3
2 cos cos cos cos cos cos 2 cos cos cos
4 2
R A B C A B C A B C
 
 
          
 
 
 
 
 
2
2
3
2 cos cos cos
2
R A B C
 
    
 
 

 
2 2 2
2
1 1 1
2 cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2
R A B C A B C
 
     
        
 
     
     
 
 
b) Theo kết quả câu a) ta có
 
2
2 2 2 2
3
3 2 cos cos cos
2
DG EG FG R A B C
 
      
 
 

 

2 2 2
2 2
1 1 1
2 cos cos cos 6 cos cos cos
2 2 2
R A B C R A B C
 
     
        
 
     
     
 
 
Suy ra




2 2 2 2
3 6 cos cos cos
DG EG FG R A B C
    
Hay


2 2 2 2
2 cos cos cos
DG EG FG R A B C
    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có

0
3
cos cos cos
2
60
1
cos cos cos
2
A B C
A B C
A B C

  


    


  


Tam giác ABC đều
Bài toán 4: Các đường phân giác trong AD, BE, CF của tam giác ABC cắt các cạnh đối diện
lần lượt tại D, E, F và G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có:
a)
 
     
2 2 2 2 2 2

2 2 2
3 2
a b c
a b c
DG EG FG l l l abc
b c c a a b
 
       
 
  
 
 
trong đó
, ,
a b c
l l l
lần lượt là độ dài các đường phân giác trong AD, BE, CF.
b)
   
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
3 6
a b c
DG EG FG l l l a b c
       
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Lời giải:
a) Trong công thức (i) khi cho M trùng với điểm D ta được:





2 2 2 2 2 2 2
9 3
DG DA DB DC a b c
      (**)
M
ặt khác, theo tính chất đường phân giác, ta có

DB AB c
DC AC b
 
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 8
Suy ra
DB DC DB DC BC a
c b c b b c b c

   
  

F
E
D
C
B

A
Hay
ac
DB
b c


,
ab
DC
b c


Từ đó ta có:

     
 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a
a c a b a
DA DB DC l l b c
b c b c b c
       
  

 
 
 

2
2
2 2 2
2 2
2
2 1
a a
a bc
l b c bc l a
b c b c
 
 
      
 
 
 
 
 

 
2
2 2
2
2
a
a bc
l a
b c
  


Khi đó công thức (**) trở thành:

 
 
2
2 2 2 2 2 2
2
2
9 3
a
a bc
DG l a a b c
b c
 
     
 

 
 
Tương tự, trong công thức (i) khi cho M lần lượt trùng với các điểm E, F ta được

 
 
2
2 2 2 2 2 2
2
2
9 3
b
ab c

EG l b a b c
a c
 
     
 

 
 

 
 
2
2 2 2 2 2 2
2
2
9 3
c
abc
FG l c a b c
a b
 
     
 

 
 
Cộng ba đẳng thức sau cùng vế theo vế ta được
   
     
2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 3
a b c
a bc ab c abc
DG EG FG l l l a b c
b c a c a b
 
           
 
  
 
 



2 2 2
3
a b c
  

 
     
2 2 2
2 2 2
3 6
a b c
a b c
l l l abc

b c a c a b
 
     
 
  
 
 
Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 9
Vậy
 
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 2
a b c
a b c
DG EG FG l l l abc
b c a c a b
 
       
 
  
 
 
b) Theo kết quả câu a) ta có

 

     
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 2
a b c
a b c
DG EG FG l l l abc
b c a c a b
 
       
 
  
 
 


     
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
. . .
a b c
bc ac ab
l l l a b c
b c a c a b
     
  
Áp dụng bất đẳng thức sau: với hai số dương x và y ta có

 

2
2 1
2
xy
x y


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Ta
được

     
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
3
2
a b c
DG EG FG l l l a b c
       
Vậy
   
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
3 6
a b c
DG EG FG l l l a b c
       
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC đều.

Chú thích: Bài viết này đã được đăng ở Tập San Giáo Dục Đào tạo Thừa Thiên Huế, liên tục
hai số tháng 5.2008 và tháng 9.2008 Sở Giáo Dục & Đào Tạo Thừa Thiên Huế.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết
Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế