ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 (2010-2011)(DUNG TOT CHO ON THI VAO LỚP 10)

Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
đề cơng ôn tập toán 9
Năm học 2010 - 2011
A- dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn thức
I- Kiến thức cần nhớ:

2
2 3
A.B A. B(A,B 0)
A A
(A 0;B 0)
B
B
A B A B
A 1
A.B
B B
A 0;A ( A) ;A A ( A)
A xỏc dinh A 0
=
= >
=
=
= =



- Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0

- Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu
- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

- Quy tắc rút gọn và đổi dấu phân thức, quy tắc dấu ngoặc
- Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia phân thức
*) Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Biểu thức trong dấu căn

0 , Mẫu

0 , biểu thức chia

0
2)Rút gọn biểu thức:
-Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thờng tìm cách đa thừa số ra ngoài dấu căn .Cụ thể là :
+ Số thì phân tích thành tích các số chính phơng
+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn
- Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn đồng dạng
- Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở mẫu trớc,có
thể không phải quy đồng mẫu nữa.
- Nếu biểu thức chứa các phân thức cha rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trớc khi
- Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - , cách viết căn
Chú ý : Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào
biến cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức trớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá trị của biến vào
rồi mới rút gọn tiếp
-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trớc khi thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
- Cần rút gọn biểu thức trớc
- Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
Trang 1

Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
II-Các dạng bài tập
Dạng 1: Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn đơn giản
1)
2 2
2 2
149 76
457 384


2)
34
1
23
1
12
1
+
+
+
+
+
3)
1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
+
4)
0a Với + a49a16a9

5)
9 4 5 9 80 +

6)
243754832 +

7)
246223 +

8)
222.222.84 ++++

8 2 2 2 3 2 2
9)
3 2 2 1 2
+ +
+


Dạng 2 : Bài tập rút gọn biểu thức hữu tỉ
1.
2 2
2x 2x x
A
x 3x x 4x 3 x 1
= + +
+
2.

2

x 2 4x
B
x 2 x 2 4 x
= +
+
3.
2
1 x 1 2x x(1 x)
C
3 x 3 x 9 x
+
=
+
4.
2
2 2
5 4 3x
D 3
2x 6x x 9

=
+
5.
2 2 2
3x 2 6 3x 2
E
x 2x 1 x 1 x 2x 1
+
=
+ + +

6.
2 3
5 10 15
K
x 1 x (x 1) x 1
=
+ + +
Dạng 3: Bài tập tổng hợp
Bài 1 Cho biểu thức A =
2 1
1 1 1

+
+ +
ữ
+ +

x x
x x x x x
:
x 1
2

a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh A =
2
x x 1+ +
c. Tính giá trị của A tại x = 8 -
28
d. Tìm GTLN của A.

Bài2 Cho biểu thức P =
n 3 n 1 4 n 4
4 n
n 2 n 2
+
+

+
( với n

0 ; n
4
)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
Bài3 Cho biểu thức M =
2
( ) 4a b ab a b b a
a b ab
+

+
( a , b > 0)
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm a , b để M = 2
2006
Bài 4: Cho biểu thức : M =

+


+









xx
x
xx
x
x
x
x 2
1
11
:

1
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4
3
c) Tìm x sao cho M =1/2
Bài 5: Cho biểu thức : B =








++











+

+
1

2
1:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
c) Với giá trị nào của x thì B.
x
= 4/5
Bài 6: Cho biểu thức : M =










+

+

+
1
1
3
1
:
3
1
9
72
xxx
x
x
xx
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 7: Cho biểu thức : A = 1 :

+
+
+


+
+
1
1
1
1
1
22
xxx
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4
3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài 8: Cho biểu thức : P =

+


+








+



+
1
2
11
1
:

1
1
1
1
x
x
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
347
c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 9: Cho biểu thức : A =








+
+

+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 10: Cho biểu thức : B =








+

+++

+
1
2
2:
1
2
1
1
x
xx
xxxxx
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2
5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
b- toán về hệ phơng trình
I) Kiến thức cần nhớ:
1)Các phơng pháp giải HPT

a) Phơng pháp thế : Thờng dùng giải HPT đã có 1 phơng trình 1 ẩn , có hệ số của ẩn bằng 1 và hệ chứa
tham số
b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT về đúng dạng cơ bản sau đó xét hệ số của cùng 1 ẩn
trong 2 phơng trình :- Nếu đối nhau thì cộng .Nếu bằng nhau thì trừ .Nếu khác thì nhân .
Nếu kết quả phức tạp thì đi vòng.
c) Phơng pháp đặt ẩn phụ : Dùng để đa HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn
2)Một số dạng toán quy về giải HPT:
- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng
- Giao điểm của hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của HPT)
- Ba đờng thẳng đồng quy
- Xác định hệ số của đa thức , phơng trình
3)Giải phơng trình bậc nhất 1 ẩn
II) Các dạng bài tập
1-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phơng pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất
nhiều trong SGK, SBT hoặc có thể tự ra
2-Dạng 2 : Hệ phơng trình chứa tham số
Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
1)Cho HPT :
9 3
x my o
mx y m
=


=

a) Giải HPT với m = -2
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m

c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x 5y = 7
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên
f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m
Chú ý : Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng . Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của tham số
đề HPt có 1 nghiệm ,VN,VSN .
2)
Cho hệ phơng trình:
mx y 3
9x my 2m 3
+ =


+ = +

a. Giải phơng trình với m = 2, m = -1, m =
5
b. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.
c. Tìm m để 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2
d. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
e. Tìm m để phơng trình có nghiệm nguyên âm.
3)Cho hệ phơng trình



=+
=+
2y)1m(x
myx)1m(
; có nghiệm duy nhất (x ; y)

a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;
b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x
2

- 7y = 1
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A =
2x 3y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
4)Cho hệ phơng trình



=+
=
2myx
1ymx
a.Giải hệ phơng trình theo tham số m.
b.Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
5)Cho hệ phơng trình :

( 1) 3
.
a x y
a x y a
+ =

+ =

a) Giải hệ với
2= a
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0
6) Cho hệ phơng trình:
2
3 5
mx y
x my
=


+ =

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y =

3 1
8) Cho hệ phơng trình:

( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
=


= +

a) Giải hệ phơng trình với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x
2
+y
2
đạt giá trị nhỏ nhất
C- các dạng toán về phơng trình bậc hai
I- kiến thức cần nhớ
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx +c = 0 (
a 0
) (1)
1. Cỏc dng v cỏch gii
Dng 1: Phng trỡnh khuyt c (c = 0) khi ú:
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=


+ = =

=

Dng 2: Phng trỡnh khuyt b (b = 0) khi ú

Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a

+ = =
- Nu
c
0
a


thỡ
c
x
a

=
.
- Nu
c
0
a

<
thỡ phng trỡnh vụ nghim.
Dng 3: Tng quỏt

CễNG THC NGHIM TNG QUT CễNG THC NGHIM THU GN
2
b 4ac =
2
' b' ac =
0 >
: phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit
1 2
b b
x ; x
2a 2a
+
= =
' 0 >
: phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
+
= =
0 =
: phng trỡnh cú nghim kộp
1 2
b
x x
2a

= =
' 0 =

: phng trỡnh cú nghim kộp
1 2
b'
x x
a

= =
0 <
: phng trỡnh vụ nghim
' 0 <
: phng trỡnh vụ nghim
Dng 4: Cỏc phng trỡnh a c v phng trỡnh bc hai
Cn chỳ ý dng trựng phng, phng trỡnh vụ t v dng t n ph, cũn dng cha n
mu v dng tớch.
3. H thc Viet v ng dng
- Nu phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) cú hai nghim x
1
, x
2
thỡ:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + =




= =


- Nu cú hai s u v v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P

thỡ u, v l hai nghim ca phng trỡnh
x
2
Sx + P = 0.
- Nu a + b + c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim l x
1
= 1; x
2

=
c
a
.
- Nu a b + c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim l x
1
= -1; x
2
=
c
a

.
4. iu kin cú nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
- (1) cú 2 nghim
0
; cú 2 nghim phõn bit
0 >
.
- (1) cú 2 nghim cựng du
0
P 0



>

.

- (1) cú 2 nghim dng
0
P 0
S 0



>


>

Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
- (1) cú 2 nghim õm
0
P 0
S 0



>


<

- (1) cú 2 nghim trỏi du ac < 0 hoc P < 0.
5. Tỡm iu kin ca tham s 2 nghim ca phng trỡnh tha món iu kin no ú.
2 2
1 2 1 2

1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
+ = + = + =
+ + =
Trong nhng trng hp ny cn s dng h thc Viet v phng phỏp gii h phng trỡnh.
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phơng trình vô nghiệm thờng vội kết luận ngay là hai
phơng trình đó không tơng đơng với nhau:
VD3: Tìm m để hai phơng trình x
2
mx + 2m -3 = 0 (1); x
2
(m
2
+ m - 4)x + 1= 0 (2) tơng đ-
ơng.
H ớng dẫn: Hai phơng trình trên tơng đơng trong hai trờng hợp
* Tr ờng hợp 1: PT(1) và PT(2) vô nghiệm



<
<

0
0

2
1

( )





<+
<+

044
0128
2
2
2
mm
mm





<<
<<
<<

21
23

62
m
m
m
(không
xảy ra)
* Tr ờng hợp 2: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x
1
; x
2
thì

theo định lý Vi-ét ta có:
2
042
04
132.
4
2
21
2
21
=



=
=

==
++==+
m
m
m
mxx
mmmxx
.
Thử lại với m = 2 thì hai phơng trình tơng đơng vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2
Với loại toán này ta cần lu ý học sinh: Khi cả hai phơng trình vô nghiệm thì hai phơng trình đó cũng
là hai phơng trình tơng đơng. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai trờng hợp, trờng hợp cả hai phơng
trình vô nghiệm và trờng hợp cả hai phơng trình có cùng một tập hợp nghiệm.
VD4: Tìm m, n để phơng trình x
2
(m + n)x -3 = 0 (1)
và phơng trình x
2
2x + 3m n 5 = 0 (2) tơng đơng.
H ớng dẫn:
PT(1) có
( )
nmnm ,012
2
>++=
nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

Do đó PT(1) và PT(2) tơng đơng khi hai phơng trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:



=
=




=
=+




==
=+=+
1
1
23
2
533.
2
21
21
n
m
nm
nm

nmxx
nmxx
. Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm
Với bài toán này ta đã chỉ ra đợc một phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, nên để cho hai phơng
trình tơng đơng thì phơng trình còn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm của phơng trình trên. áp
dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm đợc m, n
B. bài tập
Bài 1:Cho phơng trình : x
2
(m + 5)x m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 13
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
- 2mx + m = 7
a. Giải phơng trình với m = 7, m = - 4, m =
3
b. Cm phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m
c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x
1
theo x
2
.
d. Tính theo m:

3
1
1
x
+
3
2
1
x
, 3x
2
1
- 2mx
1
+ 2x
2
2
+ m
e. Tính m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dơng.
g. Với điều kiện nào của m thì
21
xx
= 4 ; 2x
1
+ x
2
= 0 ;
(x
1
+ 3x

2
)(x
2
+ 3x
1
) = 8 ; x
2
2
- (2m + 1)x
2
- x
1
+ m > 0
h. Tìm giá trị lớn nhất của A = x
,1
(x
2
x
1
) - x
2
2
.
Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm phơng trình trên.
Bài 3 : Cho phơng trình: x
2
-(m+1)x + m = 0
a) giải phơng trình với m = 3

a) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 17
b) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Giải phơng trình trong trờng hợp tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m 1 = 0
a) Giải phơng trình với m= 4
a) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 10.
b) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m sao cho : 2(x
1
2
+x
2
2
)- 8x
1
x
2
= 65
Bài 5: Cho phơng trình : x
2
-(2k+1)x +k
2
+2 = 0
a) Tìm k để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
a) Tìm k để phơng trình có x
1
2
+x

2
2
nhỏ nhất .
D - GII BI TON BNG CCH
LP PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH
I. KIN THC C BN
Phng phỏp gii
Bc 1. Gi n v t iu kin: Gi mt (hai) trong s nhng iu cha bit lm n v t iu
kin cho n.
Bc 2. Biu din cỏc i lng cha bit cũn li qua n.
Bc 3. Lp phng trỡnh (h phng trỡnh): Da vo mi quan h gia i lng ó bit v cha
bit.
Bc 4. Gii phng trỡnh (h phng trỡnh) va lp trờn.
Bc 5. Kt lun: Kim tra giỏ tr tỡm c vi iu kin ri kt lun.
*Chỳ ý vic túm tt bi toỏn trc khi lm.
II. một số bài tập
Bi 1: Mt ngi i xe mỏy t A n B vi vn tc trung bỡnh 30km/h. Khi n B, ngi ú ngh 20 phỳt
ri quay tr v A vi vn tc trung bỡnh 25km/h. Tớnh quóng ng AB, bit rng thi gian c i ln v l 5
gi 50 phỳt.
HD: Gi di quóng ng AB l x km (x > 0).
Ta cú phng trỡnh:
x x 1 5
5
30 25 3 6
+ + =
. Gii ra ta c: x = 75 (km)
Bi 2: Mt ụtụ d nh i t tnh A n tnh B vi vn tc trung bỡnh 40km/h. Lỳc u ụtụ i vi vn tc
ú, khi cũn 60km na thỡ i c mt na quóng ng AB, ngi lỏi xe tng thờm vn tc 10km/h trờn
quóng ng cũn li, do ú ụtụ n tnh B sm hn 1gi so vi d nh. Tớnh quóng ng AB.
HD: Gi di quóng ng AB l x km (x > 120)

Ta cú phng trỡnh:
x x x
60 : 40 60 :50 1
2 2 40

+ + =
ữ ữ

. Gii ra ta c: x = 280 (km)
Bi 3: Mt tu thy chy trờn mt khỳc sụng di 80km, c i ln v mt 8gi 20phỳt. Tớnh vn tc ca tu
thy khi nc yờn lng, bit rng vn tc ca dũng nc l 4km/h.
HD: Gi vn tc ca tu thy khi nc yờn lng l x km/h (x > 0)
Ta cú phng trỡnh:
80 80 1
8
x 4 x 4 3
+ =
+
. Gii ra ta c:
1
4
x
5
=
(loi), x
2
= 20 (km)
B i 4 : Mt i xe cn chuyờn ch 100 tn hng. Hụm lm vic, cú hai xe c iu i lm nhim v mi
nờn mi xe phi ch thờm 2,5 tn. Hi i cú bao nhiờu xe? (bit rng s hng ch c ca mi xe l nh
nhau)

HD: Gi x (xe) l s xe ca i (x > 2 v x N)
Ta cú phng trỡnh:
100 100 5
x 2 x 2
=

. Gii ra ta c: x
1
= 8 (loi), x
2
= 10 (tha món)
Bi 10: Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau 1 gi 20 phỳt b y. Nu m vũi th nht chy trong
10 phỳt v vũi th hai trong 12 phỳt thỡ y
2
5
b. Hi nu mi vũi chy mt mỡnh thỡ phi bao lõu mi
y b.
Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
HD: Gi thi gian chy mt mỡnh y b ca vũi I, II ln lt l x, y phỳt (x, y > 80)
Ta cú h:
80 80
1
x 120
x y
10 12 2 y 240
x y 15

+ =

=




=


+ =


Bi 11: Hai ngi th cựng lm mt cụng vic trong 16gi thỡ xong. Nu ngi th nht lm 3gi v
ngi th hai lm 6gi thỡ h lm c 25% cụng vic. Hi mi ngi lm cụng vic ú mt mỡnh thỡ
trong bao lõu s hon thnh cụng vic.
HD: Gi x, y (gi) l thi gian ngi th nht, hai lm mt mỡnh xong cụng vic (x > 0, y > 16)
Ta cú h:
16 16
1
x 24
x y
3 6 1 y 48
x y 4

+ =

=

=


+ =


(tha món iu kin u bi)
Bi 12: Mt phũng hp cú 360 gh ngi c xp thnh tng dóy v s gh ca mi dóy u bng nhau.
Nu s dóy tng thờm 1 v s gh ca mi dóy cng tng thờm 1 thỡ trong phũng cú 400 gh. Hi trong
phũng hp cú bao nhiờu dóy gh v mi dóy cú bao nhiờu gh?
HD: Gi s dóy gh trong phũng hp l x dóy (x Z, x > 0)
Ta cú phng trỡnh:
360
(x 1) 1 400
x

+ + =
ữ

. Gii ra ta c: x
1
= 15, x
2
= 24
S: 15 dóy vi 24 ngi/dóy, 24 dóy vi 15 ngi/dóy.
Trang 1
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
E-PHN HèNH HC
A. KIN THC C BN
Phng phỏp chng minh

- Chng minh bn nh ca t giỏc cựng cỏch u mt im.
- Chng minh t giỏc cú hai gúc i din bự nhau.
- Chng minh hai nh cựng nhỡn on thng to bi hai im cũn li hai gúc bng nhau.
- Chng minh tng ca gúc ngoi ti mt nh vi gúc trong i din bự nhau.
- Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB thỡ t giỏc ABCD nt tip. (Trong ú
M AB CD; N AD BC= =
)
- Nu PA.PC = PB.PD thỡ t giỏc ABCD ni tip. (Trong ú
P AC BD=
)
- Chng minh t giỏc ú l hỡnh thang cõn; hỡnh ch nht; hỡnh vuụng;
Nu cn chng minh cho nhiu im cựng thuc mt ng trũn ta cú th chng minh ln lt 4 im
mt lỳc. Song cn chỳ ý tớnh cht Qua 3 im khụng thng hng xỏc nh duy nht mt ng trũn
Bi 1: Cho ABC vuụn ti A, ng cao AH. Gi O l tõm ng trũn ngoi tip ABC, d l tip tuyn
ca ng trũn ti A. Cỏc tip tuyn ca ng trũn ti B v C ct d theo th t D v E.
a) Tớnh
ã
DOE
b) Chng minh: DE = BD + CE
c) Chng minh BD.CE = R
2
(R l bỏn kớnh ng trũn tõm O)
d) Chng minh BC l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh DE
HD: a)
à
à
ã
ã
( )
0

1 1
1
D E BDE CED 90
2
+ = + =
(Vỡ BD // CE)
ã
0
DOE 90=
b) DE = AD + AE = BD + CE (Vỡ BD = AD v CE = AE)
c) v.DOE ng cao OA: OA
2
= AD.AE = BD.CE BD.CE = R
2
d) Gi M l trung im ca DE ni OM ta cú: OM l ng trung bỡnh
ca hỡnh thang BDEC OM // BD m BD BC OM BC m O thuc
ng trũn ng kớnh DE do
ã
0
DOE 90=
. Vy: BC l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh DE.
Bi 2: Cho c.ABC (AB = AC), cỏc ng cao AD v BE ct nhau ti H. Gi O l tõm ng trũn ngoi
tip AHE. a) Chng minh ED =
1
BC
2
b) Chng minh rng DE l tip tuyn ca ng trũn (O)
c) Tớnh di DE bit DH = 2cm, HA = 6cm
HD: a) v.BEC cú DE l trung tuyn DE =
1

BC
2
b) BDE cõn
à à
à
à
0
1 2 1 2
E E B D 90+ = + =

ã
0
DEO 90=
DE l tip tuyn
c) BDH ADC
BD DH BD 2
AD DC 8 BD
= =
DE = BD = 4cm
Bi 3: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB. T A v B k hai tip tuyn Ax, By. Qua mt im M
thuc na ng trũn ó cho, k tip tuyn th ba ct cỏc tip tuyn Ax, By ln lt C v D. Cỏc ng
thng AD v BC ct nhau N. Chng minh rng:
a) CD = AC + BD
b) MN // AC
c) CD.MN = CM.DB
d) M v trớ no trờn na ng trũn ó cho thỡ tng AC + BD
cú giỏ tr nh nht?
HD: a) CD = CM + MD = AC + BD (Vỡ AC = CM v BD = DM)
b) AC // BD
AC AN

BD ND
=
hay:
CM AN
MD ND
=
MN // AC
c) MN // BD
MN CM
BD CD
=
CD.MN = CM.DB
Trang 1
1
1
M
H
D
E
O
B
C
A
x
1
2
2
1
1
1

O
H
E
D
B
C
A
y
x
D'
N
C
D
O
A
B
M
Đề CƯƠN ÔN TậP TOáN 9 Biên soạn và Su tầm: Nguyễn Thanh Tuấn
d) AC + BD nh nht CD nh nht CD = AB M l im nm chớnh gia
ằ
AB
Bi 4: T mt im A bờn ngoi ng trũn (O, R), k hai tip tuyn AB v AC vi ng trũn. T mt
im M trờn cung nh BC k mt tip tuyn th ba ct hai tip tuyn kia ti P v Q
a) Chng minh rng khi im M chuyn ng trờn
ằ
BC
thỡ chu vi APQ cú giỏ tr khụng i
b) Cho
ã
0

BAC 60=
v R = 6cm. Tớnh di ca tip
tuyn AB v din tớch phn mt phng c gii hn bi
hai tip tuyn AB, AC v cung nh BC
HD: a) Gi chu vi ca APQ l p. Ta cú:
p = AP + (BP + CQ) + AQ = AB + AC = Const.
(Vỡ PQ = MP + MQ = BP + CQ do BP = MP, MQ = CQ)
b)
ã
0
BAC 60=
ABC u AOB l mt na ca
tam giỏc u nờn:
AB = 2.OB = 2R = 2.6 = 12 (cm)
Bi 5: Cho c.ABC (AB = AC), I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip
à
A
, O l trung
im ca IK
a) Chng minh rng bn im B, I, C, K cựng thuc mt ng trũn tõm O
b) Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn (O)
c) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (O), bit AB = AC = 20cm, BC = 24cm
HD: a)
ã
ã
0
KBI KCI 180+ =
(Tớnh cht phõn giỏc) BICK ni tip (O)
b)
à

ã
à
0
1
1 2
C OCI C I 90+ = + =
$
OC AC AC l tip tuyn ca (O)
c)
2 2 2 2
AH AC HC 20 12 16= = =
(cm).
2 2
CH 12
OH 9
AH 16
= = =
(cm)
Vy: OC =
2 2 2 2
OH HC 9 12 225 15+ = + = =
(cm)
Trang 1
D
Q
P
C
B
O
A

M
2
1
1
H
B
C
O
A
K
I