Phương pháp khảo sát hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 1
PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1 Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( )=C y f x
suy ra đồ thị hàm số
1 1
( ) : ( )=C y f x

Ta có:
1 1
0
( ) :
0
≥

= =

− ≤

y y
C y y
y y
Nếu
Nếu

Do đó đồ thò

1 1
( ) : ( )=C y f x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía dưới Ox
lấy đối xứng qua Ox

Dạng 2
Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( )=C y f x
suy ra đồ thị hàm số
2 2
( ) : ( )=C y f x

Nhận xét :
2 2
( ) : ( )=C y f x
là hàm số chẵn
Nên
2 2
( ) : ( )=C y f x
nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta có:
2 2
( ) 0 (1)
( ) : ( )

( ) 0
= ≥

= =

− ≤

f x y
C y f x
f x
Nếu x
Nếu x

Do đó đồ thò
2 2
( ) : ( )=C y f x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía bên phải Oy
( Do (1) ta có)
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn

Dạng 3
Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( )=C y f x
suy ra đồ thị hàm số
3 3
( ) : ( )=C y f x

Nhận xét : Nếu
0 0 3 0 0 3
( ; ) ( ) ( ; ) ( )∈ ⇒ − ∈
M x y C M x y C

Nên
3 3
( ) : ( )=C y f x
nhận Ox làm trục đối xứng.
Ta có:
3 3 3
( ) : ( ) 0= = ⇒ = ≥C y f x y y y y Nếu



Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 2
Do đó đồ thò
3 3
( ) : ( )=C y f x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Ox .

Dạng 4
Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( ) ( ). ( )= =C y f x u x v x

suy ra đồ
thị hàm số
4 4
( ) : ( ) . ( )=C y u x v x

Ta có:
4 4
( ). ( ) ( ) ( ) 0
( ) : ( ) . ( )
( ). ( ) ( ) ( ) 0
= = ≥

= =

− = − = − ≤

u x v x f x y u x
C y u x v x
u x v x f x y u x
Nếu
Nếu
Do đó đồ thò
4 4
( ) : ( ) . ( )=C y u x v x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm trên miền
( ) 0≥u x

+ Phần 2: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm trên miền
( ) 0≤u x

lấy đối xứng qua Ox

Ta hay gặp dạng đơn giản sau:


Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( ) ( ). ( )= = −C y f x x a v x

suy ra đồ thị hàm số
4 4
( ) : . ( ),= − ∈ ℝC y x a v x a

Ta có:
4 4
( ). ( ) ( )
( ) : . ( )
( ). ( ) ( )
− = = ≥

= − =

− − = − = − ≤

x a v x f x y x a
C y x a v x

x a v x f x y x a
Nếu
Nếu


Do đó đồ thò
4 4
( ) : . ( ),= − ∈ ℝC y x a v x a

có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1:
là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm bên phải đường thẳng x = a
+ Phần 2: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm bên trái
đường thẳng x = a lấy đối xứng qua Ox.



Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 3
TỔNG QUÁT
Từ 4 dạng đồ thò có chứa dấu giá trò tuyệt đối cơ bản trên ta có thể suy ra
nhiều dạng đồ thò có chứa dấu giá trò tuyệt đối khác chẳng hạn:

Dạng 5
Dựa vào đồ thị hàm số

( ) : ( )=C y f x
suy ra đồ thị hàm số
5 5
( ) : ( )=C y f x

Để vẽ
5 5
( ) : ( )=C y f x
ta làm 2 bước như sau:
+ Bước 1: vẽ
51
( ) ( )= =y f x g x
dựa vào dạng 2
+ Bước 2: vẽ
5
( ) ( )= =y f x g x
dựa vào dạng 1

Dạng 6
Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( )=C y f x
suy ra đồ thị hàm số
6 6
( ) : ( )=C y f x

Để vẽ
6 6
( ) : ( )=C y f x
ta làm 2 bước như sau:
+ Bước 1: vẽ

61
( ) ( )= =y f x g x
dựa vào dạng 2
+ Bước 2: vẽ
6
( )=y g x
dựa vào dạng 3

Dạng 7
Dựa vào đồ thị hàm số
( ) : ( )=C y f x
suy ra đồ thị hàm số
7 7
( ) : ( )=C y f x

Để vẽ
7 7
( ) : ( )=C y f x
ta làm 3 bước như sau:
+ Bước 1: vẽ
71
( ) ( )= =y f x g x
dựa vào dạng 2
+ Bước 2: vẽ
72
( ) ( ) ( )= = =y f x g x h x
dựa vào dạng 1
+ Bước 3: vẽ
7 7
( ) : ( )=C y h x

dựa vào dạng 3






Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 4
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − +
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại giao điểm của (C)
với đường thẳng x =
− 1.
3) Tìm tham số m để phương trình
3
2
2 3 2x x m− + =
có bốn
nghiệm phân biệt.

Giải

1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.


 TXĐ: D = R



2
' 6 6y x x= −
;
' 0 0y x= ⇔ =
hoặc
1x =



 HSĐB trên khoảng (
−∞ ;0) ; ( 1; +∞ ). HSNB trên khoảng ( 0;1 )
Hàm số đạt cực đại tại
0; 1x y= =
CĐ
; Hàm số đạt cực tiểu tại
1; 0x y= =
CT




lim

x
y
→±∞
= ±∞



 BBT
x
−∞
0 1
+∞

y’ + 0 – 0 +
1
+∞

y CĐ CT
−∞ 0




'' 12 6y x= −
; '' 0y x= ⇔ = 1/2
x −∞ 1/2 +∞
y ’ – 0 +
ĐTHS Lồi ĐU Lõm
I(1/2;1/2)

2) Viết PTTT của đồ thò (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x =
− 1
x =
− 1 => y = f(− 1) = − 4 => giao điểm M( − 1;− 4)
pttt có dạng
d:
000
)).((' yxxxfy +−=
.
0
'( ) '( 1) 12f x f= − = => pttt d:
12( 1) 4 12 8y x x= + − = +
.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
P
Q

O
ĐĐB:
P(
−
1;
−
4)
Q(2;5)
3 2
2 3 1y x x= − +
NX: Đồ thò nhận
điểm uốn I làm
tâm đối xứng
Hình 1



Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 5
3) Tìm tham số m để phương trình
3
2
2 3 2x x m− + =
có bốn nghiệm
phân biệt.
Ta có:
3 3
2 2
2 3 2 2 3 1 1x x m x x m− + = ⇔ − + = −

Đây là PT HĐGĐ của đồ thò
1
( )C
:
3
2
1
2 3 1y x x= − +
và đường thẳng
d: y = m
−
1
T a có
1
( )C
:
3 2
1
3 2
2 3 1 0
2 3 1 0
x x x
y
x x x

− + ≥

=


− − + <


ne
nếu

=>
1
( )C
có 2 phần đồ thò:
Phần I : Đồ thò (C) nằm bên phải trục Oy (cả điểm nằm trên Oy)
Phần II : Lấy đối xứng đồ thò Phần I qua Oy
vì hàm số
1
y
là hàm số chẵn
Vẽ
1
( )C (
Hình 2)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

5
x
y
Q
O
3
2
1
2 3 1y x x= − +
Hình 2


Dựa vào
1
( )C
ta có: 0 < m − 1 < 1 <=> 1 < m < 2

Ví dụ 2.
Cho hàm số
4 2
1
4 3
2
y x x= − +
có đồ thò là (C)
a)
Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.


Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 6
b) Đònh m để phương trình :
4 2
1
4 3 lg
2
x x m− + =
có 4 nghiệm phân
biệt.
c) Đònh m để phương trình :
4 2
1
4 3 lg
2
− + =x x m
có 8 nghiệm phân
biệt.

Giải


a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.


 TXĐ: D = R.Hàm số chẵn




3
' 2 8y x x= −
; y ’= 0 <=> x = 0 hoặc x = ± 2


 Giới hạn :
lim
x
y
→±∞
= +∞

BBT :

x
−∞ –2 0 2 +∞
y ’ – 0 + 0 – 0 +
+∞ 3 +∞
y CT CĐ CT
–5 –5



 HSĐB trên khoảng (–2;0) và (2; +∞ ).
HSNB trên khoảng (
−∞ ;–2) và (0;2)



2

'' 6 8y x= −
;
'' 0 2 3 / 3y x= ⇔ = ±

BXD y ’’
x
−∞ – 2
3 / 3 2 3 / 3 +∞

y ’’ + 0 – 0 +
ĐT
(C) Lõm ĐU Lồi ĐU Lõm
(–2
3 /3
;–13/9) (2
3 / 3
;–13/9)


 Đồ thò:
o NX: đồ thò nhận Oy làm trục đối xứng
o ĐĐB: A(–3; 15/2), B(3;15/2)


Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.


Trang 7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-7

-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
O
CĐ
CT
CT
←→
4 2
1
4 3
2
y x x= − +
←→
←→
B
A

b) Đònh
m để phương trình :
4 2
1
4 3 lg
2
x x m− + = có 4 nghiệm phân biệt.
YCBT <=>
5 lg 3m− < <
<=>
5 3 5 3
lg10 lg lg10 10 10m m
− −
< < ⇔ < <

c) Đònh m để phương trình :
4 2
1
4 3 lg
2
− + =x x m
có 8 nghiệm phân biệt.
Đây là PT HĐGĐ của đồ thò
1
( )C
:
4 2
1
1

4 3
2
= − +y x x
và đường thẳng
d: y = m
−
1
T a có :
1 1
0
( ) :
0
≥

= =

− ≤

y y
C y y
y y
Nếu
Nếu

Do đó đồ thò
1 1
( ) : ( )=C y f x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x

nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía dưới Ox
lấy đối xứng qua Ox
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
4 2
1
1
4 3
2
= − +y x x



Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Trang 8
YCBT <=>
0 lg 3< <m
<=>
3
lg1 lg lg10 1 1000< < ⇔ < <m m

Ví dụ 3.
Vẽ đồ thị hàm số
2
1 1
( ) :
1
=
−
x
C y
x

Ta vẽ đồ thò hàm số
2
( ) :
1
=
−
x
C y
x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
( ):
1
=
−
x
C y
x


Dựa vào (C) ta có:
2
1 1
( ) :
1
=
−

x
C y
x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm bên phải đường thẳng x = 1
+ Phần 2: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm bên trái
đường thẳng x = 1 lấy đối xứng qua Ox.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
1 1
( ):
1
=

−
x
C y
x



Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.


Trang 9
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số
1 1
1
( ) :
1
−
=
+
x
C y
x

Ta vẽ đồ thò hàm số
1
( ) :
1
−
=
+

x
C y
x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1
( ):
1
−
=
+
x
C y
x

Dựa vào (C) ta có:
1 1
1

( ) :
1
−
=
+
x
C y
x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Ox .
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1 1
1
( ):
1

−
=
+
x
C y
x



Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.


Trang 10
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số
2
5 5
( ) :
1
=
−
x
C y
x

Dựa vào đồ thò hàm số
2
( ) :
1
=
−

x
C y
x
ở ví dụ 3 ta có:

2
5 5
( ) :
1
=
−
x
C y
x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
( ) : ( )=C y f x
nằm phía bên phải Oy
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

6
7
8
x
y
2
5 5
( ) :
1
=
−
x
C y
x

Ví dụ 6.
Vẽ đồ thị hàm số
2
6 6
( ) :
1
=
−
x
C y
x

Dựa vào đồ thò hàm số
2
5 5

( ) :
1
=
−
x
C y
x
ở ví dụ 5 ta có:


Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.


Trang 11

2
6 6
( ) :
1
=
−
x
C y
x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
5
( )C
nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò

5
( )C
nằm phía dưới Ox
lấy đối xứng qua Ox
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
6 6
( ) :
1
=
−
x
C y
x

Ví dụ 7.
Vẽ đồ thị hàm số
2
7 7
( ) :
1
=
−
x
C y
x

Dựa vào đồ thò hàm số
2
6 6
( ) :
1
=
−
x
C y
x
ở ví dụ 6 ta có:

2
7 7
( ) :
1
=

−
x
C y
x
có 2 phần đồ thò :
+ Phần 1: là phần đồ thò
6
( )C
nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Ox .


Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.


Trang 12
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6

7
x
y
2
7 7
( ):
1
=
−
x
C y
x