De thi& DA HSG Toan 8 Huyen Anh Son - BXT

ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG CẤP THCS
MÔN: TOÁN 8
Năm học 2010 - 2011
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho biểu thức: A =
2 2
1 1 2
:
x 2x 1 1 x x 1
 
+
 ÷
− + − −
 
a) Nêu ĐKXĐ của x. Rút gọn A
b) Tìm x để A > 0
Bài 2: Giải các phương trình:
a)
x 2x 1 x
x
3 2 6
+
− = −
b)
x 4 x 1 3− + − =
Bài 3:
a) Cho a < b chứng minh rằng: -7a – 3 > -7b – 3
b) Tìm GTNN của biểu thức: B = 2x
2
+ y
2

– 2xy + 2x – 4y + 9
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với
đường thẳng AD tại H. Từ trung điểm M của cạnh AB kẻ đường thẳng vuông góc với CH
tại K cắt cạnh CD tại N.
a) Tứ giác BCNM là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh rằng
·
·
DAB 2 AHM=
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với BM là trung tuyến. Từ A kẻ AH vuông góc
với BM (H thuộc BM) cắt cạnh BC tại N. Chứng minh rằng :
a) AM
2
= BM.MH
b) BN = 2NC
1
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1:
a) ĐKXĐ : x
≠ ±
1. A =
2
1
x 1−
b) Với x
≠ ±
1 ; A > 0
⇔
2
2

1
x 1 0 (x 1)(x 1) 0
x 1
⇔ − > ⇔ + − >
−
Cách 1:
x 1 0
x 1 0
x 1
(x 1)(x 1) 0
x 1
x 1 0
x 1 0

+ <



− <
< −



+ − > ⇔ ⇔


>
+ >





− >



Cách 2: Lập bảng xét dấu : x -1 1
x + 1 - 0 + +
x – 1 - - 0 +
(x+1)(x-1) + 0 - 0 +
Dựa vào bảng ta được kết quả x < -1 hoặc x > 1 (thoả mãn ĐKXĐ).
Bài 2:
a) x = 3
b) Cách 1: Áp dụng BĐT GTTĐ:
x y x y+ ≥ +
; dấu = xảy ra
⇔
xy
≥
0, ta có :

x 4 x 1 4 x x 1 4 x x 1 3− + − = − + − ≥ − + − =
Dấu = xảy ra
⇔
(4-x)(x-1)
≥
0
⇔
1 x 4≤ ≤
Cách 2: Lập bảng xét dấu : x 1 4

x - 1 - 0 + +
x - 4 - - 0 +
Dựa vào bảng ta chia ra các trường hợp sau :
•
Với x
≤
1 : PT đã cho tương đương với 1 – x + 4 – x = 3
⇔
x = 1 (t/m)
•
Với 1<x<4 : PT đã cho tương dương với x -1 + 4 – x = 3
⇔
0x = 0 vô số nghiệm
trong khoảng đang xét.
•
Với x
≥
4 : PT đã cho tương đương với x - 1 + x - 4 = 3
⇔
x = 4 (t/m)
Vậy nghiệm của pt là
1 x 4≤ ≤
Bài 3:
a) Dễ dàng CM.
b) B =
( )
2 2 2
x y 4 2xy 4y 4x (x 2x 1) 4+ + − − + + − + +
=
2 2

(x y 2) (x 1) 4 4− + + − + ≥
MinB = 4
⇔
x = 1 ; y = 3
Bài 4:
2
K
N
M
D
C
A
B
H
a) BCNM là hình bình hành (vì MN // BC và MB // NC)
Mặt khác MB = BC (vì cùng =
1
2
AB)
Nên BCNM là hình thoi.
b) Ta thấy MK // AH (vì cùng vuông góc với HC)
Mà M là trung điểm của AB nên K là trung điểm của HC.
Nên
∆
HMC cân tại M.
Do đó MK là tia phân giác của góc HMC
Nên góc HMK = góc KMC
Mà góc KMC = góc BMC (vì MC là tia phân giác của góc BMN)
Nhưng góc AHM = góc HMK (slt của AD // MN)
Do đó góc AHM = góc BMC

Mà góc DAB = góc BMN = 2.góc BMC
Nên góc DAB = 2.góc AHM
Bài 5:
a)
∆
AHM
∆
BAM (g.g) (Vì 2 tam giác vuông có 1 góc nhọn M chung)
Nên
2
AM BM
AM BM.MH
HM AM
= ⇒ =
b) Từ A kẻ AD
⊥
BC (D
∈
BC) cắt BM tại G.
Xét
∆
ABN thì G là trực tâm. Nên NG
⊥
AB. Mà AC
⊥
AB. Do vậy NG // AC hay
NG // CM
⇒
BG BN
GM NC

=
(Theo ĐL Ta-lét)
Mặt khác: Xét
∆
ABC thì G là trọng tâm
⇒
BG
2
GM
=
Nên
BN
2
NC
=
. Do đó BN = 2. NC.
3
G
N
H
M
D
B
A
C