Tóm tắt công thức toán cấp 3 đầy đủ (bản đẹp)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (382.95 KB, 20 trang )
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 1
CĂN BẬC HAI
1.
2
A A
2.
. 0, 0AB A B A B
3.
0, 0
A A
A B
B
B
4.
2
. 0A B A B B
5.
2
0, 0A B A B A B
6.
2
0, 0A B A B A B
7.
0
A A B
B
B
B
8.
1
0, 0
A
AB AB B
B B
9.
2
2
0,
C A B
C
A A B
A B
A B
10.
C A B
C
A B
A B
0, 0,A B A B
11.
0 A B A B
HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1.
2
2 2
2A B A AB B
2.
2
2 2
2A B A AB B
3.
2 2
A B A B A B
4.
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B
5.
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B
6.
3 3 2 2
A B A B A AB B
7.
3 3 2 2
A B A B A AB B
2
2 2
2A B A B AB
3
3 3
3A B A B AB A B
2 2
4A B A B AB
NHỚ 1:
PHƯƠNG TR
ÌNH VÀ B
ẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT
0ax b ax b
0:a
pt có nghiệm duy nhất
b
x
a
.
0a
và
0b
: pt vô nghiệm.
0a
và
0b
: pt nghiệm đúng
x
.
0ax b ax b
0:a
b
x
a
0:a
b
x
a
0a
và
0b
: pt vô nghiệm.
0a
và
0b
: pt nghiệm đúng
x
.
NHỚ 2: HỆ PHƯƠNG TR
ÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng:
' ' '
ax by c
a x b y c
Cách biện luận: Tính các hệ thức
' '
' '
a b
D ab a b
a b
' '
' '
x
c b
D cb c b
c b
' '
' '
y
a c
D ac a c
a c
(Nhớ: anh bạn, cầm bát, ăn cơm)
0D
:Hệ có nghiệm duy nhất:
x
y
D
x
D
D
y
D
0D
và
0
x
D
hoặc
0D
và
0
y
D
Hệ vô nghiệm
0
x y
D D D
: Hệ nghiệm đúng
.x
Các phương pháp giải chính:
Phương pháp cộng đại số.
Phương pháp thế.
Dùng hệ thức như đi biện luận.
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 2
NHỚ 3:
PHƯƠNG TR
ÌNH
BẬC HAI MỘT ẨN
2
0ax bx c
0a
2
4b ac
0
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
0
Nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
0
Vô nghiệm
2
' 'b ac
Với
2 'b b
' 0
1 2
' ' ' '
,
b b
x x
a a
' 0
Nghiệm kép
1 2
'b
x x
a
' 0
Vô nghiệm
Chú ý:
0a b c
: Nghiệm
1 2
1,
c
x x
a
0a b c
: Nghiệm
1 2
1,
c
x x
a
Cho tam thức
2
( )f x ax bx c
( 0)a
Có:
2
4 , ,
b c
b ac S P
a a
.
( ) 0f x
có hai nghiệm
0
( ) 0f x
có nghiệm kép
0
( ) 0f x
vô nghiệm
0
( ) 0f x
có 2 nghiệm trái dấu
0P
( ) 0f x
có 2 nghiệm cùng dấu
0P
( ) 0f x
có 2 nghiệm âm
0
0
0
S
P
( ) 0f x
có 2 nghiệm (+)
0
0
0
S
P
0
( ) 0,
0
a
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
NHỚ 4: DẤU NHỊ THỨC
( )f x ax b
0a
(Nhớ: phải cùng, trái khác)
x
/b a
( )f x
trái dấu
a
0
cùng dấu
a
NHỚ 5: DẤU TAM THỨC
2
( )f x ax bx c
0a
(Nhớ: trong trái, ngoài cùng)
Nếu
0
x
1
x
2
x
f(x)
cùng dấu a
0
trái dấu a
0
cùng dấu a
Nếu
0
thì
( )f x
cùng dấu
,
2
b
a x
a
Nếu
0
thì
( )f x
cùng dấu
,a x
Hoặc:
2
( )f x ax bx c
( 0)a
0
. ( ) 0,a f x x
0
. ( ) 0,
2
b
a f x x
a
0
1 2
. ( ) 0, ; ;a f x x x x
1 2
. ( ) 0, ;a f x x x x
NHỚ 6: SO SÁNH HAI NGHIỆM CỦA
TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ
Cho tam thức
2
( )f x ax bx c
( 0)a
Có:
2
4 , ,
b c
b ac S P
a a
.
,
là hai số thực (
)
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 3
1.
1 2
( ) 0x x af
2.
1 2
0 ; ( ) 0
0
2
af
x x
S
3.
1 2
0 ; ( ) 0
0
2
af
x x
S
4.
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
5.
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
6.
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
7.
1 2
1 2
( ). ( ) 0
x x
f f
x x
8.
1 2
0
( ) 0 ; ( ) 0
0 ; 0
2 2
x x af af
S S
1 2
0 0x x P
1 2
0
0 0
0
x x P
S
1 2
0
0 0
0
x x P
S
NHỚ 7: PHƯƠNG TR
ÌNH
BẤT PHƯƠNG TR
ÌNH CH
ỨA CĂN
0 ( 0)A hay B
A B
A B
2
0B
A B
A B
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
0A
A B
A B
2
0
0
A
A B B
A B
2
0
0
0
B
A
A B
B
A B
NHỚ 8: PHƯƠNG TR
ÌNH
BẤT PHƯƠNG TR
ÌNH
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
0
0
A khi A
A
A khi A
;
2
2
,A A A
A B A B
0B
A B
A B
2 2
A B A B
0B
A B
B A B
0
0
B
B
A B
A B
A B
NHỚ 9: BẤT ĐẲNG THỨC
Các tính chất bất đẳng thức:
a b
a c
b c
a b a c b c
a c b a b c
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 4
0c
ac bc
a b
0c
ac bc
a b
a b
a c b d
c d
0
0
a b
ac bd
c d
*
0
n n
a b
a b
n N
0a b a b
3 3
a b a b
1 1
0a b
a b
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
,a a a a R
0x a a x a a
0
x a
x a a
x a
( , )a b a b a b a b R
Bất đẳng thức Cô-Si
Cho n số tự nhiên không âm
1 2
, , ,
n
a a a
1 2
1 2
n
n
n
a a a
a a a
n
Hay:
1 2
1 2
n
n
n
a a a
a a a
n
Đẳng thức xảy ra khi:
1 2
n
a a a
.
* Cho hai số không âm
,a b
:
2a b ab
hay
2
a b
ab
Đẳng thức xảy ra khi:
.a b
* Cho ba số không âm
, ,a b c
:
3
3
a b c
abc
Đẳng thức xảy ra khi:
.a b c
Bất đẳng thức Bunhia Côpski
2 2 2 2
( )( )ab cd a c b d
Đẳng thức xảy ra khi:
ad bc
.
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
a b a b c b a a a b b b
Đẳng thức xảy ra khi:
1 2 3
1 2 3
a a a
b b b
.
Bất đẳng thức BecnuLi
Cho
1,a n
.
1 1
n
a na
Đẳng thức xảy ra khi:
0
1
a
n
.
NHỚ 10:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. Hệ thức cơ bản (6 công thức)
2 2
2 2
2 2
sin
1) sin cos 1 2)tan
cos
cos
3) cot 4)tan .cot 1
sin
1 1
5)1 tan 6)1 cot
cos sin
x
x x x
x
x
x x gx
x
x x
x x
Ghi nhớ: Điều kiện tồn tại:
tan x
là
( )
2
x k k
cot x
là
( )x k k
sin x
là
1 sin 1x
cosx
là
1 cos 1x
B. Công thức cộng (8 công thức)
7) sin( ) sin .cos cos .sin
8) sin( ) sin .cos cos .sin
9) cos( ) cos .cos sin .sin
10)cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
tan tan
11)tan( )
1 tan .tan
tan tan
12)tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
a b
a b
a b
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 5
cot .cot 1
13)cot( )
cot cot
cot .cot 1
14)cot( )
cot cot
a b
a b
b a
a b
a b
b a
C. Công thức nhân
I. Nhân đôi: (3 công thức)
2 2
2 2
2
15)sin2 2sin cos
16)cos2 2cos 1 1 2sin
cos sin
2tan
17)tan2
1 tan
a a a
a a a
a a
a
a
a
II. Nhân ba: (3 công thức)
3
3
3
2
18) sin3 3sin 4sin
19) cos3 4cos 3cos
3tan tan
20)tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
III. Hạ bậc: (5 công thức)
2 2
2 2
2
3
3
1 cos2
21)sin 1 cos2 2sin
2
1 cos2
22)cos 1 cos2 2cos
2
1 cos2
23)tan
1 os2
3sin sin3
24)sin
4
3cos cos3
25)cos
4
a
a a a
a
a a a
a
a
c a
a a
a
a a
a
IV. Góc chia đôi
Biểu diễn sinx, cosx theo
tan
2
x
t
2
2
2
2
2
26)sin
1
1
27)cos
1
2
28)tan
1
t
x
t
t
x
t
t
x
t
D. Biến tổng thành tích (8 công thức)
29)cos cos 2cos cos
2 2
30)cos cos 2sin sin
2 2
31)sin sin 2sin cos
2 2
32)sin sin 2cos sin
2 2
sin( )
33)tan tan
cos .cos
sin( )
34)tan tan
cos .cos
sin( )
35)cot cot
sin .s
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
in
sin( )
36)cot cot
sin .sin
b
a b
a b
a b
E. Biến tích thành tổng (3 công thức)
1
37)cos .cos cos( ) cos( )
2
1
38)sin .sin cos( ) cos( )
2
1
39)sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
F. Cung liên kết
Cos đối-sin bù-phụ chéo-hiệu pi tang
Góc đối nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
Góc bù nhau
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
Góc phụ nhau
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
x x
x x
x x
x x
Góc hơn kém pi
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 6
MỘT SỐ CÔNG THỨC
THƯỜNG SỬ DỤNG KHÁC
2
1 sin2 sin cosx x x
2
1 sin sin cos
2 2
x x
x
2
1 sin2 sin cosx x x
2
1 sin sin cos
2 2
x x
x
2
1 cos2 2cosx x
2
1 cos 2cos
2
x
x
2
1 cos2 2sinx x
2
1 cos 2sin
2
x
x
sin cos 2sin( ) 2cos( )
4 4
x x x x
sin cos 2sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x
G. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt
0
6
4
3
2
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
cot
3
1
3
3
0
NHỚ 11:
PHƯƠNG TR
ÌNH LƯ
ỢNG GIÁC
A. Phương tr
ình c
ơ b
ản
2
sin sin ( )
2
u v k
u v k
u v k
2
cos cos ( )
2
u v k
u v k
u v k
tan tanu v u v k
cot cotu v u v k
sin 0u u k
sin 1 2
2
u u k
sin 1 2
2
u u k
cos 0
2
u u k
cos 1 2u u k
cos 1 2u u k
B. Phương tr
ình b
ậc nhất đ/v sin và cos
Dạng:
sin cosa x b x c
2 2
0a b
Cách giải:
Chia 2 vế cho
2 2
a b
ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
Đặt:
2 2 2 2
sin , cos
a b
a b a b
Phương tr
ình tr
ở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
2 2
sin( )
c
x
a b
* Điều kiện để phương tr
ình có nghi
ệm
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
Cách giải khác:
Xét
2
2 2
x
x k k
có là
nghiệm hay không?
Xét
2 cos 0.
2
x
x k
Đặt:
tan
2
x
t
Thay
2
2 2
2 1
sin , cos ,
1 1
t t
x x
t t
ta được
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 7
phương tr
ình b
ậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (1)b c t at c b
Vì
2 0,x k b c
nên (1) có
nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c
Giải (1), với mỗi nghiệm
0
t
, ta có
phương trình:
0
tan .
2
x
t
Giải tìm
x
.
C. Phương tr
ình b
ậc hai
2
sin 0asin x b x c
Đặt
sin ( 1 1)t x t
2
cos cos 0a x b x c
Đặt
cos ( 1 1)t x t
2
tan tan 0a x b x c
( )
2
x k
Đặt
tant x
2
cot cot 0a x b x c
( )x k
Đặt
cott x
Phương tr
ình đ
ẳng cấp bậc hai
Dạng 1:
2 2
sin sin .cos cos 0.a x b x x c x
(1)
Kiểm tra
cos 0x
có thoả mãn hay
không?
Lưu
ý
:
cos 0x
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x
Khi
cos 0x
, chia hai vế phương trình
(1) cho
2
cos 0x
ta được:
2
.tan .tan 0a x b x c
Đặt:
tant x
, đưa về phương tr
ình b
ậc
hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc, phương
trình (1) t
ương đương:
1 cos2 sin2 1 cos2
. . . 0
2 2 2
x x x
a b c
.sin2 ( ).cos2b x c a x a c
(đây là phương tr
ình b
ậc nhất đối với
sin2x và cos2x)
Dạng 2:
3 2 2
3
sin sin cos sin cos
cos 0.
a x b x x c x x
d x
Kiểm tra
cos 0x
có thoả mãn hay
không?
Khi
cos 0x
, chia hai vế phương tr
ình
(1) cho
2
cos 0x
ta được phương tr
ình
bậc ba theo
tan x
.
Phương tr
ình đ
ối xứng
.(sin cos ) .sin .cos 0a x x b x x c
Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
2
1
sin .cos ( 1).
2
x x t
Thay vào phương tr
ình đã cho, ta đư
ợc
phương trình bậc hai theo t. Giải phương
trình này tìm t thỏa
2.t
Suy ra x.
D. Phương tr
ình
đặc biệt
1. Tổng bình ph
ương:
2 2 2
0 0A B Z A B Z
2. Đối lập:
Giả sử phương trình
A B
(*).Nếu ta
chứng minh được:
A k
B k
thì (*)
A k
B k
3.
A k
A k
B l
B l
A B k l
4.
1, 1A B
Từ đó:
1
1
1
A
AB
B
hoặc
1
1
A
B
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 8
NHỚ 12: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC
1. Tam giác thường
1. Định lí côsin
2 2 2
2 .cosa b c bc A
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
2. Định lí sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
3. Độ dài trung tuyến
2 2 2
2
2( )
4
a
b c a
m
4. Diện tích tam giác
1 1 1
2 2 2
a b c
S ah bh ch
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S bc A ca B ab C
4
abc
S
R
S pr
( )( )( )S p p a p b p c
(công thức Hê–rông)
Lưu
ý:
R, r lần lượt là bán kính đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
2
a b c
p
là nửa chu vi tam giác
B. Tam giác vuông
2 2 2
BC AB AC
(định lí Pi–ta–go)
2
.AH BH CH
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
2
.AB BC BH
2
.AC BC CH
. .AH BC AB AC
.sin .cos tan cotb a B a C c B c C
.sin .cos tan cotc a C a B b C b C
NHỚ 13:
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định Lý: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và
f(a). f(b)< 0 thì ph
ương tr
ình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm c (a; b).
NHỚ 14:
HÀM SỐ M
Ũ
( 0, 1)
x
y a a a
Tập xác định: D = R.
Hàm số liên tục trên R.
Tập giá trị: T = (0; +).
Khi a > 1 hàm số đồng biến,
a a
Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
a a
1.
.a a a
2.
a
a
a
3.
.
( )a a
4.
( ) .ab a b
5.
a a
b b
6.
.
n n n
ab a b
7.
n
n
n
a a
b
b
8.
p
n
p n
a a
9.
m
n mn
a a
10.
0
1a
,
1
n
n
a
a
11.
m
n m
n
a a
Phương tr
ình m
ũ:
Với a > 0, a 1:
0
log
x
a
b
a b
x b
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
Bất phương tr
ình mũ:
Với a > 0, a 1:
( ) ( )
( ) ( )
1 : ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a a f x g x
a a a f x g x
c
a
b
h
a
m
a
M
H
A
B
C
c
a
b
h
a
H
A
B
C
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 9
NHỚ 15:
HÀM SỐ LÔGARIT
log ( 0, 1)
a
y x a a
Tập xác định: D = (0; +).
Tập giá trị: T = R.
Khi a > 1 hàm số đồng biến,
log log
a a
b c b c
Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
log log
a a
b c b c
1.
log 1 0
a
2.
log 1
a
a
3.
log
b
a
a b
4.
log
( 0)
b
a
a b b
5.
log ( ) log log
a a a
bc b c
6.
log log log
a a a
b
b c
c
7.
log log
a a
b b
8.
1
log log
a
a
b b
9.
log log
a
a
b b
10.
1
log log
a a
b
b
11.
1
log log
n
a a
b b
n
12.
log
log log .log log
log
a
b a b a
a
c
c b c c
b
13.
1
log
log
a
b
b
a
14.
log logc a
b b
a c
Phương tr
ình lôgarit:
Với a,b >0, a 1:
log
a
b a b
log log
0
a a
f x g x
f x g x
f x
Bất phương tr
ình lôgarit:
Với a >0, a 1:
1
log log 0
a a
a
f x g x f x
f x g x
0 1
log log 0
a a
a
f x g x g x
f x g x
NHỚ 16:
ĐẠO HÀM
Bảng đạo hàm
Đạo hàm cơ bản
Đạo hàm hàm hợp
u u x
' 0c
(c là hằng số)
1
' .x x
1
'
2
x
x
2
1 1
'
x x
1
' . . 'u u u
'
'
2
u
u
u
2
1 '
'
u
u u
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
cot '
sin
x x
x x
x
x
x
x
2
2
sin ' cos . '
cos ' sin . '
'
tan '
cos
'
cot '
sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u
'
' ln
x x
x x
e e
a a a
' . '
' ln . '
u u
u u
e e u
a a au
1
ln '
1
log '
ln
a
x
x
x
x a
'
ln '
'
log '
ln
a
u
u
u
u
u
u a
Quy tắc tính đạo hàm
Giả sử
, ,u u x v v x w w x
là các
hàm số có đạo hàm. Khi đó:
1.
' ' ' 'u v w u v w
2.
' ' 'uv u v v u
3.
' ' ( )ku ku k
4.
2
' '
'
u u v v u
v v
5.
2
1 '
'
v
v v
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 10
Một số công thức đạo hàm đặc biệt
2
'
ax b ad bc
cx d
cx d
2 2
2
2
'
ax bx c adx aex be cd
dx e
dx e
NHỚ 17:
TÍCH PHÂN
1. Công thức NewTon-Leibnitz
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
(Với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên
;a b
)
2. Tích phân từng phần
b b
b
a
a a
udv uv vdu
(Với u, v liên tục và có đạo hàm trên
;a b
)
NHỚ 18:
NGUYÊN HÀM
u là hàm số theo biến
x. Tức
u u x
.
Nguyên hàm các hàm số cơ bản
dx x C
du u C
. .k dx k x C
(Với k là hằng số)
. .k du k u C
1
1
x
x dx C
(Với
1)
1
1
u
u du C
1
lndx x C
x
1
lndu u C
u
2
1 1
dx C
x x
2
1 1
du C
u u
1
2dx x C
x
1
2du u C
u
Nguyên hàm hàm số m
ũ
x x
e dx e C
u u
e du e C
x x
e dx e C
u u
e du e C
ln
x
x
a
a dx C
a
(Với cơ số a:
0 1a
)
ln
u
u
a
a du C
a
Nguyên hàm hàm số lượng giác
cos sinxdx x C
cos sinudu u C
sin cosxdx x C
sin cosudu u C
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1
tan
cos
du u C
u
2
1
cot
sin
dx x C
x
2
1
cot
sin
du u C
u
Chú ý:
2 2
2 2
1 1
1 tan ;1 cot
cos sin
x x
x x
Bảng nguyên hàm mở rộng
1.
1
1
1
ax b
ax b dx C
a
2.
1 1
lndx ax b C
ax b a
3.
1
ax b ax b
e dx e C
a
4.
1
, 0
ln
mx n
mx n
a
a dx C m
m a
5.
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
6.
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
7.
2
1
tan
cos
dx ax b C
ax b
8.
2
1
cot
sin
dx ax b C
ax b
NHỚ 19:
HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HỢP
1. Hoán vị:
!
n
P n
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 11
2. Tổ hợp:
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
k n k
n n
C C
0
1
n
n n
C C
1
1 1
k k k
n n n
C C C
0 1
2
n n
n n n
C C C
3. Chỉnh hợp:
!
( )!
k
n
n
A
n k
4. Nhị thức Newtơn
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
NHỚ 20:
SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
Tập hợp số phức: C
Số phức (dạng đại số) :
z a bi
(
,a b R
, a là phần thực, b là phần ảo, i là
đơn vị ảo,
2
–1i
)
z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0).
z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0).
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau
'
' ' ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
2. Biểu diễn hình học:
Số phức z = a + bi (a, b
)R
được biểu
diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
( ; )u a b
trong mp(Oxy) (mp phức).
3. Cộng và trừ số phức:
' ' ' 'a bi a b i a a b b i
' ' ' 'a bi a b i a a b b i
Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
u
biểu diễn z,
'u
biểu diễn z' thì
'u u
biểu diễn z + z’ và
'u u
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i
( ) ( )k a bi ka kbi k R
5. Số phức liên hợp
của số phức z = a + bi là
z a bi
; ' ';z z z z z z
1 1
2 2
. ' . ';
z z
z z z z
z z
;
2 2
.z z a b
.
z là số thực
z z
;
z là số ảo
z z
6. Môđun của số phức : z = a + bi
2 2
z a b zz OM
0,z z C
0 0z z
. ' . 'z z z z
' '
z z
z z
' ' 'z z z z z z
7. Chia hai số phức:
1
2
1
z z
z
(z 0)
1
2
' '. '.
'
.
z z z z z
z z
z z z
z
'
'
z
w z wz
z
8. Căn bậc hai của số phức:
z x yi
là căn bậc hai của số phức
w a bi
2
z w
2 2
2
x y a
xy b
w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
w
0
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là
a
Hai căn bậc hai của a < 0 là
.a i
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 12
9. Phương trình bậc hai
2
0Az Bz C
(*)
(A, B, C là các số phức cho trước, A
0
).
2
4B AC
0
: (*) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A
(
là 1 căn bậc hai của )
0
: (*) có 1 nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
Chú ý: Nếu z
0
C là một nghiệm của (*)
thì
0
z
c
ũng l
à m
ột nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
(cos sin )z r i
(r > 0) là dạng lượng
giác của z = a + bi (z 0).
2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r
là một acgumen của z,
( , )Ox OM
1 cos sin ( )z z i R
.
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng
giác
Cho
(cos sin )
' '(cos ' sin ')
z r i
z r i
. ' '. cos( ') sin( ')z z rr i
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
12. Công thức Moa–vrơ:
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
,
(
*
n N
)
cos sin cos sin
n
i n i n
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng
lượng giác:
Số phức
(cos sin )z r i
(r > 0) có
hai căn bậc hai là:
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i vaø r i
NHỚ 21: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông
góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần
lượt là
,i j
. O là gốc toạ độ, Ox là trục
hoành, Oy là trục tung.
Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
( ; ) . .u x y u x i y j
.
Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
( ; ) . .M x y OM x i y j
.
a. Tọa độ điểm
( ; )
B A B A
AB x x y y
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng
AB:
2
2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
3
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
.
Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số
1k
:
;
1 1
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
.
(M chia đoạn AB theo tỉ số k
MA kMB
).
Cho ABC với đường phân giác trong
AD và phân giác ngoài AE (D, E BC) ta
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 13
có:
.
AB
DB DC
AC
,
.
AB
EB EC
AC
.
b. Tọa độ vectơ Cho
1 2 1 2
( ; ), ( ; )a a a b b b
1 1
2 2
a b
a b
a b
1 1 2 2
( ; )a b a b a b
1 2
( ; ) ( )ka ka ka k
1 1 2 2
.a b a b a b
1 1 2 2
0a b a b a b
2 2
1 2
a a a
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
a b a b
a b
a a b b
b
cùng phương với
0a
1 1
2 2
:
b ka
k
b ka
NHỚ 22:
PHƯƠNG TR
ÌNH
ĐƯ
ỜNG THẲNG
1. Phương tr
ình tham s
ố
Đường thẳng đi qua
0 0 0
( ; )M x y
và có
VTCP
1 2
( ; )u u u
có phương tr
ình tham s
ố
là:
0 1
0 2
x x tu
y y tu
( t là tham số).
Phương tr
ình chính t
ắc của là:
0 0
1 2
x x y y
u u
(u
1
0, u
2
0).
Chú ý: Trong trường hợp u
1
=0 hoặc u
2
=0
thì
đư
ờng thẳng không có phương tr
ình
chính tắc.
2. Phương trình tổng quát
Đường thẳng đi qua
0 0 0
( ; )M x y
và có
VTPT
( ; )n a b
thì ph
ương trình c
ủa là:
0 0
( ) ( ) 0a x x b y y
Nếu có phương tr
ình
0ax by c
thì có VTPT là
( ; )n a b
và VTCP
( ; )u b a
hệ số góc
a
k
b
.
Phương tr
ình c
ủa đi qua điểm
0 0 0
( ; )M x y
và có hệ số góc k là:
0 0
( )y y k x x
Phương tr
ình c
ủa đi qua hai điểm
; , ;
A A B B
A x y B x y
là:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
Phương tr
ình c
ủa đi qua hai điểm
;0 , 0; ( , 0)A a B b a b
: Phương tr
ình
của là:
1
x y
a b
3. Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm
0 0 0
( ; )M x y
đến
một đường thẳng :
0ax by c
là.
0 0
0
2 2
( , )
ax by c
d M
a b
4. Góc giữa hai đường thẳng
1
:
1 1 1
0a x b y c
(có VTPT
1 1 1
( ; )n a b
)
2
:
2 2 2
0a x b y c
(có
VTPT
2 2 2
( ; )n a b
)
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
n n khi n n
n n khi n n
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos( , )
.
a b a b
a b a b
Chú ý:
1
2
1 2 1 2
0a a bb
.
Cho
1
:
1 1
y k x m
,
2
:
2 2
y k x m
thì:
1
//
2
k
1
= k
2
1
2
k
1
. k
2
= –1
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 14
Để tính góc A trong
ABC
, ta có thể sử
dụng công thức:
.
cos cos ,
.
AB AC
A AB AC
AB AC
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
:
1 1 1
0a x b y c
và
2
:
2 2 2
0a x b y c
.
Toạ độ giao điểm của
1
và
2
là nghiệm
của hệ phương tr
ình:
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
(1)
1
cắt
2
hệ (1) có một nghiệm
1 1
2 2
a b
a b
(nếu
2 2 2
, , 0a b c
)
1
//
2
hệ (1) vô nghiệm
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
(nếu
2 2 2
, , 0a b c
)
1
2
hệ (1) có vô số nghiệm
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
(nếu
2 2 2
, , 0a b c
)
Vị trí tương đối của hai điểm đối với
một đường thẳng
Cho đường thẳng :
0ax by c
và
hai điểm
( ; ), ( ; )
M M N N
M x y N x y
.
– M, N nằm cùng phía đối với
( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c
.
– M, N nằm khác phía đối với
( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c
.
Phương tr
ình các đư
ờng phân giác
của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
:
1 1 1
0a x b y c
và
2
:
2 2 2
0a x b y c
cắt nhau.
Phương trình các
đư
ờng phân giác của
các góc tạo bởi hai đường thẳng
1
và
2
là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
NHỚ 23:
PHƯƠNG TR
ÌNH ĐƯ
ỜNG TRÒN
Phương tr
ình đư
ờng tròn có tâm I(a; b) và
bán kính R là:
2 2 2
( ) ( )x a y b R
.
Nhận xét:
Phương tr
ình
2 2
2 2 0x y ax by c
,
với
2 2
0a b c
, là phương tr
ình đư
ờng
tròn tâm I(–a; –b), bán kính
2 2
R a b c
.
1. Tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R
và đườngthẳng .
tiếp xúc với (C)
( , )d I R
2. Vị trí tương đối của đường thẳng d
và đường tròn (C)
Để biện luận số giao điểm của đường
thẳng d:
0Ax By C
và đường tròn
(C):
2 2
2 2 0x y ax by c
, ta có thể
thực hiện như sau:.
Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I
đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+
( , )d I d R
d cắt (C) tại hai điểm
phân biệt.
+
( , )d I d R
d tiếp xúc với (C).
+
( , )d I d R
d và (C) không có điểm
chung.
Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của
d và (C) là nghiệm của hệ phương tr
ình:
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 15
2 2
0
2 2 0
Ax By C
x y ax by c
(*)
+ Hệ (*) có 2 nghiệm d cắt (C) tại hai
điểm phân biệt.
+ Hệ (*) có 1 nghiệm d tiếp xúc với
(C).
+ Hệ (*) vô nghiệm d và (C) không
có điểm chung.
3. Vị trí tương đối của hai đường tròn
(C
1
) và (C
2
).
Để biện luận số giao điểm của hai đường
tròn
(C
1
):
2 2
1 1 1
2 2 0x y a x b y c
,
(C
2
):
2 2
2 2 2
2 2 0x y a x b y c
.
ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm
I
1
I
2
với các bán kính R
1
, R
2
.
+)
1 2 1 2 1 2
R R I I R R
(C
1
) cắt
(C
2
) tại 2 điểm.
+)
1 2 1 2
I I R R
(C
1
) tiếp xúc ngoài
với (C
2
).
+)
1 2 1 2
I I R R
(C
1
) tiếp xúc trong
với (C
2
).
+)
1 2 1 2
I I R R
(C
1
) và (C
2
) ở ngoài
nhau.
+)
1 2 1 2
I I R R
(C
1
) và (C
2
) ở trong
nhau.
Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có)
của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của hệ phương
trình:
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 0
2 2 0
x y a x b y c
x y a x b y c
(*)
+) Hệ (*) có hai nghiệm (C
1
) cắt (C
2
)
tại 2 điểm.
+) Hệ (*) có một nghiệm (C
1
) tiếp xúc
với (C
2
).
+) Hệ (*) vô nghiệm (C
1
) và (C
2
) không
có điểm chung.
NHỚ 24:
PHƯƠNG TR
ÌNH ELIP
PT chính tắc
2 2
2 2
1
x y
a b
0a b
Độ dài trục lớn
2a
trục nhỏ
2b
Mối liên hệ a,b,c
2 2 2
c a b
Tiêu điểm
1 2
( ;0), ( ;0)F c F c
Tiêu cự
2c
Đỉnh
1 2
1 2
( ;0), ( ;0)
(0; ), (0; )
A a A a
B b B b
Tâm sai
c
e
a
Đường chuẩn
0
a
x
e
Bán kính qua tiêu
1
2
c
MF a x
a
c
MF a x
a
NHỚ 25: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong
không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với
nhau từng đôi một và chung một điểm
gốc O. Gọi
, ,i j k
là các vectơ đơn vị,
tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ
ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac
vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa
độ Oxyz.
2 2 2
1i j k
và
. . . 0i j i k k j
.
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 16
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định ngh
ĩa
; ;u x y z u xi y j zk
b) Tính chất:
Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
0 (0;0;0), (1;0;0)
(0;1;0), (0;0;1)
i
j k
a
cùng phương
( 0)b b
1 1
2 2
3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( )
, ( , , 0)
a kb
a kb k R a kb
a kb
a a a
b b b
b b b
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b
2 2 2 2
1 2 3
a a a a
2 2 2
1 2 2
a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
.
a b a b a b
a b
a a a b b b
(với
, 0a b
).
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
( ; ; ) ( ; ; )M x y z OM x y z
(x : hoành đ
ộ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
M (Oxy) z = 0;
M (Oyz) x = 0;
M (Oxz) y = 0
M Ox y = z = 0;
M Oy x = z = 0;
M Oz x = y = 0
b) Tính ch
ất:
Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
To
ạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số
k
(k
≠ 1):
; ;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
To
ạ độ trung điểm M của đoạn thẳng
AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
To
ạ độ trọng tâm G
c
ủa tam giác ABC:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
To
ạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
4. Tích có hư
ớng của hai vectơ:
a) Định nghĩa:
Cho
1 2 3
a a a a( , , )
,
1 2 3
b b b b( , , )
.
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ; ;
; ;
a a a a
a a
a b a b
b b b b
b b
a b a b a b a b ab a b
Chú ý: Tích có hư
ớng của hai vectơ là một
vectơ, tích vô hư
ớng của hai vectơ là một số.
b) Tính ch
ất:
, ; , ; ,i j k j k i k i j
[ , ] ;[ , ]a b a a b b
[ , ] . .sin ,a b a b a b
,a b
cùng phương
[ , ] 0a b
c)
Ứng dụng của tích có h
ướng: (NC)
Đi
ều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,a b
và
c
đ
ồng phẳng
[ , ]. 0a b c
Di
ện tích hình bình hành ABCD:
,
ABCD
S AB AD
Cơng th
ức tốn
THPT
Thầy. Nguyễn Xn Qn Trang 17
Di
ện tích tam
giác ABC:
1
,
2
ABC
S AB AC
Th
ể tích khối hộp ABCD.A
BCD:
. ' ' ' '
[ , ]. '
ABCD A B C D
V AB AD AA
Th
ể tích tứ diện
ABCD:
1
[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD
Lưu
ý:
0
0
0
.
,
, , , .
a b a b
a vàb cùng phương a b
a b c đồ ng phẳng a b c
NHỚ 26:
PHƯƠNG TR
ÌNH
MẶT CẦU
Phương tr
ình m
ặt cầu (S) tâ
m I(a; b; c),
bán kính R là:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R
Phương tr
ình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
v
ới
2 2 2
0a b c d
là phương tr
ình mặt cầu tâm
I(–a; –b; –c)
và bán kính
2 2 2
R a b c d
.
NHỚ 27:
PHƯƠNG TR
ÌNH M
ẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ
phương của mặt phẳng
Vectơ
0n
là VTPT của () nếu giá
của
n
vng góc với ().
Chú ý:
N
ếu
n
là m
ột VTPT của (
) thì
kn
(k
≠ 0) c
ũng là VTPT của (
).
2. Phương tr
ình tổng qt của mặt
ph
ẳng
2 2 2
0 0 Ax By Cz D với A B C
N
ếu (
) có phương tr
ình
0Ax By Cz D
thì
( ; ; )n A B C
là
m
ột VTPT của (
).
Phương tr
ình mặt phẳng đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một VTPT
( ; ; )n A B C
là:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
Chú ý:
Mặt phẳng () đi qua ba điểm
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
có phương
trình m
ặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
NHỚ 28:
PHƯƠNG TR
ÌNH ĐƯ
ỜNG THẲNG
Đường thẳng d đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a
có phương tr
ình tham s
ố là:
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
N
ếu
1 2 3
0a a a
thì ph
ương trình chính
t
ắc của d l
à:
0 0 0
1 2 3
( ):
x x y y z z
d
a a a
NHỚ 29: KHOẢNG CÁCH
TRONG KHƠNG GIAN
1. Kho
ảng cách từ một điểm đến một
m
ặt phẳng
Cho
0 0 0 0
; ; ,( ): 0M x y z Ax By Cz D
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
2. Kho
ảng cách từ một điểm đến một
đư
ờng thẳng
Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
.
0
,
( , )
M M a
d M d
a
Cách 2:
– Tìm hình chi
ếu vng góc H của M trên
đư
ờng thẳng d.
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 18
–
,d M d MH
.
Cách 3:
– G
ọi
; ;N x y z d
. Tính
2
MN
theo t
(t tham số trong phương trình đường
th
ẳng d).
– Tìm t
đ
ể
2
MN
nh
ỏ nhất.
– Khi đó
N H
. Do đó
,d M d MH
.
3. Kho
ảng cách giữa hai đ
ường thẳng
chéo nhau
Cho hai đư
ờng thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua đi
ểm
1
M
và có VTCP
1
a
, d
2
đi
qua đi
ểm
2
M
và có VTCP
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
Chú ý: Kho
ảng cách giữa hai đường
th
ẳng chéo nhau d
1
, d
2
b
ằng khoảng cách
gi
ữa d
1
v
ới mặt p
h
ẳng (
) ch
ứa d
2
và
song song v
ới d
1
.
Kho
ảng cách giữa hai mặt phẳng
song song b
ằng khoảng cách từ một điểm
b
ất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng
kia.
Chú ý: N
ếu hai mặt phẳng không song
song thì kho
ảng cách giữa chúng bằng 0.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
song song bằng khoảng cách từ một điểm
thu
ộc đ
ường thẳng này đến đường thẳng
kia.
Kho
ảng cách giữa đường thẳng d với
m
ặt phẳng (
) song song v
ới nó
b
ằng
kho
ảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đ
ến mặt phẳng (
).
NHỚ 30:
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai m
ặt phẳng (
), () có phương
trình:
():
1 1 1 1
0A x B y C z D
():
2 2 2 2
0A x B y C z D
Góc gi
ữa (
), () b
ằng
ho
ặc
bù v
ới góc
giữa hai VTPT
1 2
,n n
.
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos ( ),( )
.
AA BB CC
A B C A B C
Chú ý:
0 0
0 ( ),( ) 90
.
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C
2. Góc gi
ữa hai đường thẳng
Cho hai đư
ờng thẳng d
1
, d
2
l
ần l
ượt có
các VTCP
1 2
,a a
. Góc gi
ữa d
1
, d
2
b
ằng
ho
ặc
bù v
ới góc giữa
1 2
,a a
.
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
a a
a a
a a
3. Góc gi
ữa một đ
ường thẳng và một
m
ặt phẳng
Cho đư
ờng thẳng
d có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a
và m
ặt phẳng (
) có VTPT
( ; ; )n A B C
.
Góc gi
ữa đường thẳng d và mặt phẳng
() b
ằng góc giữa đường thẳng d với hình
chi
ếu d
c
ủa nó tr
ên (
).
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
NHỚ 31: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
TRONG KHÔNG GIAN
1. V
ị trí t
ương đối của hai mặt phẳng
Cho hai m
ặt phẳng (
), () có phương
trình:
():
1 1 1 1
0A x B y C z D
():
2 2 2 2
0A x B y C z D
(), () c
ắt
nhau
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C
() // ()
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
() ()
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
() ()
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
2. V
ị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đư
ờng thẳng d, d
có phương tr
ình
Cụng th
c toỏn
THPT
Thy. Nguyn Xuõn Quõn Trang 19
tham s ln l
t l:
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
v
0 1
0 2
0 3
:
x x t a
d y y t a
z z t a
d // d
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,a a cuứng phửụng
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(
n
t, t)vụ nghi
m
0 0 0 0
,
( ; ; )
a a cuứng phửụng
M x y z d
0 0
, 0
, 0
a a
a M M
d d
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(
n
t, t)
cú vụ s
nghi
m
0 0 0 0
,
( ; ; )
a a cuứng phửụng
M x y z d
0 0
, , 0a a a M M
d, d c
t nhau
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(
n t, t
)
cú ỳng m
t nghim
0 0
,
, ,
a a khoõng cuứng phửụng
a a M M ủong phaỳng
0 0
, 0
, . 0
a a
a a M M
d, d chộo nhau
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,a a khoõng c uứng phửụng
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(n t, t)
vụ nghi
m
0 0
, . 0a a M M
d d
a a
. 0a a
3. V
trớ tng i gia mt ng
th
ng v
mt mt phng
Cho m
t phng (
):
0Ax By Cz D
v
ng thng d:
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
Xột phng tr
ỡnh:
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0A x ta B y ta C z ta D
(
n t)
(*)
d // () (*) vụ nghi
m
d c
t (
) (*) cú ỳng m
t nghim
d () (*) cú vụ s
nghim
4. V trớ tng i gia mt phng v
mt cu.
Cho m
t phng (
):
0Ax By Cz D
v m
t cu (S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R
() v (S) khụng cú i
m chung
( ,( ))d I R
() tip xỳc vi (S)
( ,( ))d I R
() l ti
p din
tỡm to tip im ta
cú th
thc hin
nh sau:
Vi
t phng trỡnh ng thng d i qua
tõm I c
a (S) v
vuụng gúc vi (
).
Tỡm to
giao im H ca d v (
).
H l ti
p im ca (S) vi (
).
() c
t (S) theo mt
ng trũn
( ,( ))d I R
xỏc nh tõm
H v bỏn kớnh r c
a
ng trũn giao tuyn ta cú th thc hin
nh sau:
Vi
t phng trỡnh ng thng d i qua
tõm I c
a (S) v
vuụng gúc vi (
).
Tỡm to
giao im H ca d v (
).
H l tõm c
a
ng trũn giao tuyn ca (S)
v
i (
).
Bỏn kớnh r ca ng trũn giao tuyn:
2 2
r R IH
Công th
ức toán
THPT
Thầy. Nguyễn Xuân Quân Trang 20
5. Vị trí tương đối giữa một đường
th
ẳng v
à một mặt cầu
Cho đư
ờng thẳng d:
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
(1)
và m
ặt cầu
(S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R
(2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào
(2), đư
ợc một phương trình (*).
d và (S) không có đi
ểm chung
(*) vô
nghi
ệm
d(I, d) > R
d ti
ếp xúc với (S)
(*) có đúng m
ột
nghi
ệm
d(I, d) = R
d c
ắt (S) tại hai điểm phân biệt
(*) có
hai nghi
ệm phân biệt
d(I, d) < R.
6. Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt
cầu.Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
, R
2
)
1 2 1 2
I I R R
(S
1
), (S
2
) trong nhau
1 2 1 2
I I R R
(S
1
), (S
2
) ngoài nhau
1 2 1 2
I I R R
(S
1
), (S
2
) ti
ếp xúc trong.
1 2 1 2
I I R R
(S
1
), (S
2
) ti
ếp xúc ngo
ài
1 2 1 2 1 2
R R I I R R
(S
1
), (S
2
) cắt
nhau theo một đường tròn.
NHỚ 32:
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường
thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt
phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên
đư
ờng thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng: Độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó.
Khoảng cách giữa một trong hai đường
thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và
song song với đường thẳng thứ nhất.
1. Th
ể tích của khối hộp chữ n
h
ật:
V abc
v
ới
a, b, c là ba kích thư
ớc của khối hộp
ch
ữ nhật.
2. Th
ể tích của khối chóp:
1
.
3
d
V S h
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của
kh
ối chóp
3. Th
ể tích của khối lăng trụ:
.
d
V S h
v
ới
S
đáy
là di
ện tích đáy,
h là chi
ều cao của
kh
ối lăng trụ
4. M
ột số phương pháp tính thể tích khối
đa di
ện
a) Tính th
ể tích bằng công thức
Tính các y
ếu tố cần thiết: độ d
ài cạnh,
di
ện tích đáy, chiều cao, …
Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính th
ể tích bằng cách chia nhỏ
c) Tính th
ể tích bằng cách bổ sung
d) Tính th
ể tích bằng công thức tỉ số thể
tích. Ta có th
ể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đ
ồng phẳng.
V
ới bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đ
ều có:
' ' '
. .
' ' '
OABC
OA B C
V OA OB OC
V OA OB OC
Di
ện tích xung quanh
c
ủa hình lăng trụ
(hình chóp) b
ằng tổng diện tích các mặt
bên
Di
ện tích to
àn phần
c
ủa h
ình lăng trụ
(hình chóp) b
ằng tổng diện tích xung
quanh v
ới diện tích các đáy.
Di
ện tích, thể tí
ch v
ật tr
òn xoay
C
ầu
Tr
ụ
Nón
2
4S R
2
xq
S Rh
2
tp xq d
S S S
xq
S Rl
tp xq d
S S S
3
4
3
V R
2
V R h
2
1
3
V R h
