Khoảng cách giữa hai đường thẳng phần 1 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Ví dụ 1. [Video]: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = a 3 . Tam giác ABC đều cạnh a.
Tính khoảng cách
a) SA và BC
b) SB và CI với I là trung điểm của AB
c) từ B tới mặt phẳng (SAC)
d) tử J tới mặt phẳng (SAB) với J là trung điểm của SC.
Ví dụ 2. [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 và
SA vuông góc với (ABCD). Biết góc giữa (SCD) và đáy bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ O đến (SCD) với O là tâm đáy.
b) từ G đến (SAB) với G là trọng tâm tam giác SCD.
c) SA và BD.
d) CD và AI với I là điểm thuộc SD sao cho SI =

1
ID .
2

Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng
( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc 600 . Tính khoảng
cách giữa các đường thẳng sau:
a) SA và BD.
b) BD và SC.

Lời giải:
( SAB ) ⊥ ( ABC )
a) Ta có: 
⇒ SA ⊥ ( ABC ) .
( SAC ) ⊥ ( ABC )
 AI ⊥ BD
Gọi I là tâm hình thoi ta có: 
 SA ⊥ AI
nên AI là đường vuông góc chung do vậy ta có:
AC
d ( SA; BD ) = AI =
=a.
2
 BD ⊥ SA
b) Ta có: 
⇒ BD ⊥ ( SAC ) .
 BD ⊥ AC
Dựng IK ⊥ SC ta có IK là đường vuông góc
chung của BD và SC. Dựng AE ⊥ BC , ta có
BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAE ) ⇒ SEA = 600 .
Do ∆ABC đều nên AE = AB sin 600 = a 3 .
Suy ra SA = AE tan 600 = 3a .

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Khi đó dựng AF ⊥ SC suy ra IK =
Do vậy d ( SC ; BD ) =

Facebook: Lyhung95

AF
1
1
1
6a
. Mặt khác
= 2+
⇒ AF =
.
2
2
2
AF
SA
AC
13

3a
.
13

Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = a , hình chiếu
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB. Biết SC tạo với đáy một góc 600 , tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng SD và HC.
Lời giải:
Ta có H là trung điểm của AB nên HA = HB = a .
Khi đó HC = HB 2 + BC 2 = a 2 .
Lại có SCH = 600 ⇔ SH = HC tan 600 = a 6 .

Dễ thấy HD = HC = a 2; CD = AB = 2a nên tam
CH ⊥ DH
giác DHC vuông cân tại H ta có 
suy ra
CH ⊥ SH

CH ⊥ ( SHD ) , dựng HK ⊥ SD suy ra HK là đường
vuông góc cung của HC và SD.
1
1
1
a 6
Ta có :
=
+
⇒ HK =
.
2
2
2
HK
HD
SH
3
a 6
Vậy d =
.
3
Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD )
cùng vuông góc với đáy. Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính:

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB .
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC .
Lời giải:
( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
a) Ta có 
( SAB ) , ( SAD ) ⊥ ( ABCD )
⇒ SA ⊥ ( ABCD )

( SB, ( ABCD ) ) = SBA = 60

0

 AB ⊥ BC
Ta có 
⇒ AB = d ( SA, BC ) = a
 AB ⊥ SA
Kẻ AH ⊥ SB
 AD ⊥ SA
Ta có 
⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ AH
 AD ⊥ AB
 SB ⊥ AH
⇒ AH = d ( SB, AD )

 AD ⊥ AH
Mà AH = AB.sin SBA = a.sin 600 =

a 3
a 3
⇒ d ( SB, AD ) =

2
2

b) Kẻ Cx / / BD ⇒ d ( BD, SC ) = d ( BD, ( SCx ) ) = d ( O, ( SCx ) ) =
Kẻ AK ⊥ SC

1
d ( A, ( SCx ) )
2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Cx ⊥ SA
Ta có 
⇒ Cx ⊥ ( SAC ) ⇒ Cx ⊥ AK mà AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SCx ) ⇒ AK = d ( A, ( SCx ) )
Cx ⊥ AC
Ta có SA = AB. tan SBA = a. tan 600 = a 3 , AC =
Xét ∆SAC :

AB 2 + BC 2 = a 2 + a 2 = a 2

1
1
1
1

1
5
a 6
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AK =
⇒ d ( BD, SC ) =
2
2
2
AK
AS
AC
3a
2a
6a
5
2 5

Câu 4: [ĐVH]. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, CD, AD, AC .
a) Chứng minh rằng MN ⊥ PQ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN , PQ .
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG , BC .
Lời giải:
a) Gọi K là trung điễm của BC , O là giao điễm của
PK và MN
Ta có MD = MC ⇒ MN ⊥ DC ⇒ MN ⊥ PQ (1)

NA = NB ⇒ MN ⊥ AB ⇒ MN ⊥ KQ ( 2 )

Từ (1) , ( 2 ) ⇒ MN ⊥ ( PQK )
Kẻ OH ⊥ PQ

Vì MN ⊥ ( PQK ) ⇒ MN ⊥ OH mà OH ⊥ PQ

⇒ OH = d ( MN , PQ )

Ta có PK =

AK 2 − AP 2 =

a

2
Tam giác PQK cân tại Q ⇒ QO ⊥ PK
a
OQ = PQ 2 − OP 2 =
2 2
1
1
1
1
Xét ∆POQ :
=
+
= 2
2
2
2

OH
OP
OQ
4a

⇒ OH = 2a = d ( MN , PQ )

b) G là trọng tâm tam giác BCD ⇒ AG ⊥ ( BCD )
GK ⊥ AG
Ta có 
⇒ GK = d ( AG, BC )
GK ⊥ BC

a 3
2
a 3
⇒ GK = DK =
= d ( AG, BC )
2
3
3
Câu 5: [ĐVH]. Cho hình lập phương ABCDA′B′C ′D′ cạnh a . Tính khoảng cách giữa các cặp đường
thẳng sau:
a) AC ′ và BD .
b) AC ′ và DA′ .
Lời giải:
Mà DK =

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Gọi O là giao điễm của AC và
BD , M là trung điễm của CC '

Ta có OM / / AC '

⇒ d ( AC ', BD ) = d ( AC ', ( MBD ) )
= d ( A, ( MBD ) ) = d ( C , ( MBD ) )
Kẻ CH ⊥ MO

⇒ CH = d ( C , ( MBD ) )
Xét ∆OCM :

1
1
1
6
a
=
+
= 2 ⇒ CH =
= d ( AC ', BD )
2
2
2
CH

CO
CM
a
6

b) Kẻ AN / / A ' D ⇒ d ( AC ', DA ') = d ( A ' D, ( ANC ') ) = d ( A ', ( ANC ') )
Kẻ A ' E ⊥ C ' N , A ' F ⊥ AE ⇒ A ' F ⊥ ( ANC ') ⇒ A ' F = d ( A ', ( ANC ') )
Xét ∆AEA ' :

1
1
1
6
a
=
+
= 2 ⇒ A' F =
= d ( AC ', DA ' )
2
2
2
A' F
A' E
A' A
a
6

Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB = BC = 2a; AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB với
AH = HB . Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600.

a) tính góc giữa CD và SB
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE với E là điêm thuộc AD sao cho AE = a.
Lời giải:

a) Dựng HI ⊥ CD dễ thấy CD ⊥ ( SHI ) . Gọi K = AB ∩ CD
Ta có : KB = 4a, AB = 2a, AH = a ⇒ KH = 5a .
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta có:

Facebook: Lyhung95

HI
KH 5
=
= ⇒ HI = 5
d ( A; CD) KA 6

Mặt khác: HC = 5 , dễ dàng suy ra I ≡ C
(Chú ý: ở đây các e có thể sử dụng ∆HCD để c/m HCD = 900 , cách trên tổng quát hơn)
SH
Xét ∆SHI vuông tại H ta có: tan SHI =
= tan 600 ⇒ SH = 15a
HC
Dựng BE//CD tính SBE : Xét ∆SBE , SB = 4a , BE = a 5, SE = a 17

1
⇒ cos SBE =
2 5
b) AK =

6
6
6 15
3 15
HK ⇒ d ( A; ( SCD)) = d ( H ; ( SCD)) = .
a=a
5
5
5 2
5

c) Do AD // BC ta có: d ( D;( SBC )) = d ( A;( SBC )) = d ( A; SB ) = 2d ( H ; SB ) = a

15
2

15
2
e) Dễ thấy HE // BJ mặt khác BJ ⊥ AC ( do ABCJ là hình vuông (CJ//AB))
AC ⊥ HE , AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ ( SEH )

d) Ta có d ( AD; SB) = d ( AD;( SBC )) = d ( A;( SBC )) = a

Do đó d ( AC ; SE ) = d ( N ; SE ) =

1
1
30
d ( H ; SE ) = a.
2
2
17

Câu 7*: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD > AB = 2a. Gọi M là
trung điểm cạnh CD, tam giác SAM cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết

( SD; ABCD ) = α

với cos α =

7
6a
và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCD) bằng
.
13
5

a) Tính khoảng cách từ C đến (SAD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DN, với N ∈ BC : CN =

2
BN
7

Lời giải:

a) Gọi H là trung điểm của AM do tam giác SAM cân và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có:

SH ⊥ AM ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có: d ( A; ( SCD ) ) = 2d ( H ; ( SCD ) ) = 2 HK .
Khi đó: HK =

3a
và có SDH = α
5

Đặt SH = h; HM = x có HM = DH = x =
Ta có: tan α =
Do vậy x =

1
AM
2

SH h
2
1 1
5
= =9
và 2 + 2 = 2
HD x
7
x
h
9a

a 13
9a 13
;h =
⇒ AD = 3a .
2
14

Khi đó: d ( C ; ( SAD ) ) = 2d ( M ; ( SAD ) ) = 4d ( H ; ( SAD ) )
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

1
a
Dựng HI ⊥ AD ⇒ HI = CD = , dựng HJ ⊥ SI ta có
4
2

d ( C ; ( SAD ) ) = 4 HJ = 4

HI .SH
SH 2 + HI 2

=

126 13

4226

1
2
1


 2
b) Lại có : AM .DN =  AD + AB  AB + AD  = AD 2 − AB 2 = 0
2
9
2


 9
Do đó: AM ⊥ DN , gọi F = DN ∩ AM khi đó dựng FG ⊥ SA ta có FG là đường vuông góc chung của

DN và SA. Ta có: AF . AM = AD 2 ⇒ AF =

9a
.
13

9 13 9a
.
2
14
13 = 81a
Khi đó: SH . AF = FG.SA ⇔ FG =
2

2
3289
h + AH

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!