Khoảng cách giữa hai đường thẳng phần 2 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẤT KÌ
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC = AC = 3a . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC = 2 HA , biết tam giác SAC là tam giác
vuông tại S. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC.
Lời giải:
Ta có: AC = 3a ⇒ HA = a; HC = 2a .
Lại có ∆SAC vuông tai S có đường cao SH nên ta có:
SH 2 = HA = HC = 2a 2 ⇒ SH = a 2 .
Dựng Bx / / AC , dựng HE ⊥ Bx , HF ⊥ SE
Ta có Bx ⊥ SH ⇒ BE ⊥ ( SHE ) ⇒ BE ⊥ HF .
Mặt khác HF ⊥ SE ⇒ H F ⊥ ( SBE ) .

Do Bx / / AC ⇒ d ( SB; AC ) = d ( AC ; ( SBE ) )

= d ( H ; ( SBE ) ) = HF .

1
1
1
=
+
, trong đó HE = BC = 3a suy ra
2
2

HF
SH
HE 2
3a 22
3a 22
HF =
⇒ ( SB; AC ) =
.
11
22

Lại có:

Câu 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều
cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy một góc 600 . Tính
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có AH ⊥ AB , mặt
khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) .
Dựng HK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) ⇒ SKH = 600 .
Ta có: SH = a 3 , mặt khác HK tan 600 = SH
Suy ra HK = a ; SA = AB = 2a .
Dựng Ax / / BD , dựng HE ⊥ Ax , HF ⊥ SE
Ta có Ax ⊥ SH ⇒ AE ⊥ ( SHE ) ⇒ AE ⊥ HF .
Mặt khác HF ⊥ SE ⇒ H F ⊥ ( SAE ) .

Do Ax / / ABD ⇒ d ( SA; BD ) = d ( BD; ( SAE ) )

= d ( B; ( SAE ) ) = 2d ( H ( SAE ) ) = 2 HF .

Dựng HM ⊥ BD; AN ⊥ BD ta có:
1
AB. AD
2a
HE = HM = AN =
=
.
2
5
AB 2 + AD 2
Khi đó:

1
1
1
3
3
=
+
⇒ HF = 2a
⇒ d = 4a
.
2
2
2
HF
SH
HE
19
19

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a , cạnh
SA = 2a và SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, SC .

a) Chứng minh rằng MN ⊥ AB .
b) Tính khoảng cách giữa AB, SC .
Lời giải:
 BC ⊥ AB
a) Ta có: 
⇒ SB ⊥ BC .
 SA ⊥ BC
1
Khi đó ta có: BN = AN = SC ( tính chất trung tuyến trong
2
tam giác vuông)
Do đó tam giác NAB cân tại N có trung tuyến NM suy ra
MN ⊥ AB ( dpcm ) .

b) Kẻ Cx / / AB ⇒ d ( AB; SC ) = d ( AB; SCx ) = d ( A; ( SCx ) ) .
CE ⊥ AE
Dựng AE ⊥Cx; AF ⊥ SE . Do 
⇒ CE ⊥ AF từ đó
CE ⊥ SA

suy ra AF ⊥ ( SCE ) . Ta có: AE = BC = 2a .
AE.SA

Do vậy d ( AB; SC ) = AF =

=a 2.
AE 2 + SA2
Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB .
b) AD và SB .
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD .
Mặt khác ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
a 3
.
2
Dựng Bx / / AC ⇒ d ( AC ; SB ) = d ( AC ; ( SBx ) ) .

Trong đó SH = S A.sin 600 =

Gọi G = AO ∩ BH ⇒ G là trọng tâm tam giác ABD.
3
Khi đó d ( AC ; ( SBx ) ) = d ( G; ( SBx ) ) = d ( H ; ( SBx ) ) .
2
 BE ⊥ HE
Dựng HE ⊥Bx; HF ⊥ SE . Do 
⇒ BE ⊥HF
 BE ⊥ SH
từ đó suy ra HF ⊥ ( SBE ) . Gọi K = AO ∩ HE ta có:

1
3OB
3a
HE = HK + KE = OD + OB =
=
2
2
2 2
3a
9a
⇒ d ( AC ; SB ) =
.
4 5
SH 2 + HE 2 2 5
Câu 5: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân tại
A, BAC = 1200 , AB = BB′ = a . Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB′ và AC .
b) BC và AC ′ .
Lời giải:
Khi đó HF =

SH .HE

=

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Ta có: BB '/ / CC ' ⇒ BB '/ / ( ACC ')

do vậy d ( BB '; AC ) = d ( BB '; ACC ') .
Dựng BE ⊥ AC , mặt khác BE ⊥ CC ' suy ra
BE ⊥ ( ACC ') ⇒ d ( BB '; ( ACC ') ) = BE .
a 3
.
2
b) Dựng Ax / / BC ⇒ d ( BC ; C ' A) = d ( BC ; ( CAx ) )

Mặt khác BE = BA sin BAE = BA sin 600 =

= d ( C ; ( C ' Ax ) ) .

 AE ⊥ CE
Dựng CE ⊥ Ax; AF ⊥ C ' E . Do 
 AE ⊥ CC '
⇒ AE ⊥CF từ đó suy ra CF ⊥ ( C ' AE ) .
Trong đó CE = d ( A; BC ) = AB sin ABC =

Do vậy CF =

CE.CC '
CE + CC '
2

2

=

a
2

a
a
⇒ d ( BC ; AC ') =
.
5
5

Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3, tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng cách

a) từ A tới mặt phẳng (SBD)

b) giữa hai đường SH và CD.

c) giữa hai đường SH và AC.

d) giữa hai đường SB và CD

e) giữa hai đường BC và SA

f) giữa hai đường SC và BD
Lời giải:

1
HB ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) )

2
Kẻ HE ⊥ BD ( E ∈ BD ) và HI ⊥ SE ( I ∈ SE )

a) Ta có: AB =

BD ⊥ ( SHE ) ⇒ BD ⊥ HI ⇒ HI ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( H ; ( SBD ) ) = HI
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta có:

1
1
1
1
1
=
+
=
+
2
2
2
2
HI
SH
HE
SH
HB.sin HBE

(

)

2

=

Facebook: Lyhung95

3
3
20
⇒ HI = a
⇒ d ( A; ( SBD ) ) = a
2
3a
20
5

b) Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD ) ⇒ HK ⊥ SH ⇒ d ( SH ; CD ) = HK = a 3
c) Kẻ HF ⊥ AC ( F ∈ AC ) ⇒ HF ⊥ SH ⇒ d ( SH ; AC ) = AH .sin HAF =
d) d ( SB; CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = CB = a 3

a 3
4

e) d ( BC ; SA) = d ( BC ; ( SAD ) ) = BA = a

f) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt HE tại L. Kẻ EM ⊥ SL ( M ∈ SL ) EG / / SH ( G ∈ SL )
Ta có: d ( BD; SC ) = d ( BD; ( SLC ) ) = d ( E; ( SLC ) ) = EM
EL = CD.sin CDE =

a 3
a
2
1
1
1
7
3
⇒
= 2+
= 2 ⇒ EM = a
; EG = SH =
2
2
EM
EL EG
2
3
3a
7
3

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AI sao cho AH =

1

HI . Biết
2

góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC.
b) giữa hai đường SA và BC.
c) giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Ta tính được: AI = a 3 → AH =

a 3
3

SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC; ( ABC ) ) = SCH = 60o

Tam giác HCI vuông tại I
nên: HC = IC 2 + HI 2 =

a 21
3

→ SH = tan 60o .HC = a 7

a) Từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC.
Từ M kẻ MF / / SA ( → AF=FC ) ⇒ MF / / ( SAI ) ⇒ d ( M ; ( SAI ) ) = d ( F; ( SAI ) )
Kẻ FJ ⊥ AI ⇒ FJ / / CI ( FJ là đường trung bình của tam giác ACI)
 FJ ⊥ AI
1

a
⇒ FJ ⊥ ( SAI ) → d ( F ; ( SAI ) ) = FJ = CI =
2
2
 FJ ⊥ SH

Ta có: 

b) Khoảng cách giữa hai đường SA và BC.
Từ A kẻ AD / / BC AD = BC ⇒ BC / / ( SAD )

Khi đó d ( SA;BC ) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( I ,( SAD ) ) = 3d ( H ; ( SAD ) )

Kẻ HK ⊥ SA ta có:

AD ⊥ ( SHA ) → AD ⊥ HK 
7
 ⇒ HK ⊥ ( SAD ) → d ( H ,( SAD ) ) = HK = a
22
HK ⊥ SA

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Vậy d ( SA; BC ) = 3a

Facebook: Lyhung95

7

22

c) Khoảng cách giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC.
Kẻ BE / / AI ( E ∈ AD ) .
 AM ∈ ( AMI )
→ SB / / ( AMI )

Ta có: MI / / SB
⇒ ( SBE ) / / ( AMI )

 BE / / AI → BE / / ( AMI )
⇒ d ( SB; AM ) = d ( ( SBE ) ; ( AMI ) ) = d ( H ,( SBE ) )

Kẻ HN ⊥ BE ( N ∈ BE ) ; HO ⊥ SN ( O ∈ SN ) .

 HN ⊥ BE
7
→ BE ⊥ ( SHN ) → BE ⊥ HO → HO ⊥ ( SBE ) → d ( H ,( SBE ) ) = HO = a
BE
⊥
SH
15


Lại có: 

Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 2 ; AD = 2a. Biết tam
giác SAB là tam giác cân tại S và có diện tích bằng

a2 6

. Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng
6

cách

a) từ A đến (SBD).
b) giữa hai đường thẳng SH và BD.
c) giữa hai đường thẳng BC và SA.
Lời giải:

Hướng dẫn:
a)Khoảng cách từ A đến (SBD)
Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm AB nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Ta có: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) )

 HE ⊥ BD
Kẻ HE ⊥ BD → 
→ BD ⊥ ( SHE ) → BD ⊥ HI
 SH ⊥ BD
 BD ⊥ HI
Lại có: 
→ HI ⊥ ( SBD ) → d ( H ; ( SBD ) ) = HI
 HI ⊥ SE
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a 3
a 3
; HE = HB.sin ABD =
3
3
1
1
1
a
2a
Xét tam giác vuông SHE có:
=
+
⇔ HI =
→ d ( A; ( SBD ) ) =
2
2
2
3
3
HI
HE
SH
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và BD.
Kẻ HF / / BD ( F ∈ AD )

Dễ dàng tính được: SH =

Lại có: HF ∈ ( SHF ) → BD / / ( SHF ) ⇒ d ( SH ; BD ) = d ( BD; ( SHF ) ) = HE =

a 3
3

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA.
Ta có: BC / / ( SAD ) → d ( BC;SA) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) = 2d ( H ,( SAD ) )
Kẻ HK ⊥ SA ( K ∈ SA ) .

Khi đó:

AD ⊥ ( SHA ) → AD ⊥ HK 
 → HK ⊥ ( SAD )
HK ⊥ SA

→ d ( H ; ( SAD ) ) = HK =

a
2a
→ d ( BC; SA) =
5
5

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!