Bài giảng xác suất thống kê

Chương 1. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên
1.1 Phép thử, biến cố và các phép tính đối với
các biến cố
1.1.1 Phép thử, biến cố
- Phép thử được hiểu là một nhóm các
hành động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu
một đối tượng hay một hiện tượng nào đó.
- Biến cố (hay sự kiện) được hiểu là một
sự vật, hiện tượng trong cuộc sống. Có thể
hiểu biến cố là kết cục của phép thử.
VD 1.1:
- phép thử là gieo 1 đồng xu, biến cố: “đồng
xu sấp”, “đồng xu ngửa”.
- phép thử là gieo 1 con xúc xắc, biến cố:
“xuất hiện mặt 3 chấm”.
- phép thử là bắn 1 viên đạn, biến cố : “bắn
trúng”, “bắn trật”.
1.1.2 Các loại biến cố
- Biến cố chắc chắn (ký hiệu Ω) là biến cố
nhất định xảy ra thực hiện phép thử.
VD 1.2: gieo 1 con xúc xắc, biến cố “xuất hiện
mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là chắc chắn.
- Biến cố không thể (ký hiệu ) là biến cố
nhất định không xảy ra thực hiện phép thử.
VD 1.3: biến cố “xuất hiện đồng thời mặt sấp
và ngửa” khi gieo đồng xu là .
- Biến cố ngẫu nhiên (bcnn) (thường ký hiệu là
A, B, C…) là biến cố xảy ra hay không xảy ra
thực hiện phép thử.
VD 1.4: biến cố “xuất hiện mặt 3 chấm” khi gieo
1 con xúc xắc là bcnn.

- Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có
cùng khả năng xuất hiện như nhau trong phép
thử (không có biến cố nào ưu tiên xảy ra hơn các
biến cố khác).
VD 1.5: gieo một lần con xúc xắc. Gọi
là các biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, i=1, ,6.
Các biến cố là đồng khả năng.
VD 1.6: Một hộp đựng 10 viên như nhau,
trong đó có 3 bi trắng và 7 bi đen. Lấy ngẫu
nhiên 1 viên bi từ hộp. Nếu quan tâm đến việc
lấy được bi màu gì thì ta có 2 biến cố không
đồng khả năng.
i
A
1 6
A , ,A
1.1.3 Quan hệ và các phép tính
- Sự kéo theo : nếu A xảy ra thì B xảy ra.
VD 1.7: B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn” khi
gieo một 1 xúc xắc. Ta có
- Sự bằng nhau
2 4 6
A B, A B, A B⊂ ⊂ ⊂
A B⊂
A B
A B
B A
⊂

= ⇔


⊂

- Biến cố tổng là biến cố xảy ra nếu ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
Biến cố sơ cấp (bcsc) là biến cố không thể
biểu diễn thành tổng của các biến cố khác. Về
mặt hình học có thể hình dung, đó là phần
nhỏ nhất không thể phân chia nhỏ hơn nữa.
* Chú ý:
+ Mọi bcnn A đều có thể biểu diễn dưới dạng
tổng của một số bcsc nào đó. Các bcsc trong
tổng này gọi là thuận lợi cho A.
A B∪
+ Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi
bcsc có thể có, nên Ω còn gọi là không gian
các bcsc hay không gian mẫu.
+ Bcsc là bcnn, ngược lại, bcnn nói
chung không là bcsc.
VD 1.8: trong VD 1.5 và VD 1.7
là các bcsc.
là bcnn nhưng không
là bcsc.
{ }
1 2 3 4 5 6
A ,A ,A ,A ,A ,AΩ =
1 6
A , ,A
2 4 6
B A A A= ∪ ∪

- Biến cố tích hay AB là biến cố
xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra.
VD 1.9: Phép thử là gieo con xúc xắc, A là bc
xuất hiện mặt chẵn, B là bc xuất hiện mặt
nhỏ hơn 4. Ta có
Khi đó: tức là xuất hiện mặt 2 chấm.

A B∩
2 4 6
1 2 3
A A A A
B A A A
= ∪ ∪
= ∪ ∪
2
AB A=
- Biến cố xung khắc: hai bc A và B gọi là
xung khắc nếu
VD 1.10: Bắn 1 viên đạn vào bia, A là bc có
được 1 điểm, B là bc có được 2 điểm thì A và
B là xung khắc.
- Biến cố đối lập của A là bc A không
xảy ra, nghĩa là
* Chú ý: bc đối lập là xung khắc, ngược lại
không đúng.
AB = ∅
A
A A , AA∪ = Ω = ∅
VD 1.11: Cho 3 bc A, B, C. Sử dụng các ký
hiệu bc tổng, bc tích và bc đối lập để diễn tả

các bc sau đây:
a) A, B, C đều xảy ra.
b) có ít nhất 1 bc xảy ra.
c) có đúng 2 bc xảy ra.
d) chỉ có 1 trong 3 bc xảy ra.
e) không có bc nào xảy ra.
VD 1.12: Ba xạ thủ cùng bắn 1 viên đạn vào
1 con thú. Gọi là bc “ xạ thủ thứ i bắn
trúng thú”, i=1,2,3. Hãy biểu diễn qua các
bc
a) A=“thú bị trúng đạn”.
b) B=“thú không bị trúng đạn”.
c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn”.
d) D=“thú bị trúng 1 viên đạn”.
i
A
i
A
1.1.4 Giải tích tổ hợp
1.1.4.1 Quy tắc nhân:
Giả sử một công việc hoàn thành qua k
giai đoạn, giai đoạn thứ i có cách thì có
tất cả cách hoàn thành công việc.
1.1.4.2 Chỉnh hợp:
Chỉnh hợp chập k của n phần tử
là một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử)
thoả:
+ khác nhau
+ có thứ tự
i

n
1 2 k
n n n
(1 k n)≤ ≤
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
VD 1.13: Một lớp phải học 8 môn, mỗi ngày
học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời
khóa biểu trong một ngày?
1.1.4.3 Hoán vị của n phần tử:
Là một cách sắp thứ tự n phần tử, chính
là chỉnh hợp chập n của n phần tử. Số hoán
vị của n phần tử là
k
n
n!
A
(n k)!
=
−
n
n n
P A n!= =
1.1.4.4 Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n phần tử là
một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử)
thoả: + khác nhau
+ không thể thứ tự
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
k
n

n!
C
k!(n k)!
=
−
(1 k n)≤ ≤
VD 1.14: Có bao nhiêu cách lập một tổ gồm 3 người
từ 10 người đã cho?
1.1.4.5 Nhị thức Newton:
1.2 Định nghĩa xác suất
Để so sánh các biến cố về khả năng xuất hiện, người
ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm, sao
cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng
xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn, các biến
cố đồng khả năng thì gán cho cùng một con số.
n
n k n k k
n
k 0
(a b) C a b .
-
=
+ =
å
Số gán cho biến cố A, ký hiệu P(A), gọi là xác suất của
biến cố A.
1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển:
trong đó n là số các bcsc đồng khả năng có thể xảy ra
khi thực hiện phép thử, m là số bcsc thuận lợi cho biến
cố A.

VD 1.15: Gieo một lần con xúc xắc. Tính xác suất để:
a/ xuất hiện mặt 1 chấm.
b/ xuất hiện mặt chẵn.
m
P(A)
n
=
VD 1.16: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm,
trong đó có 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1
sản phẩm từ lô hàng.
a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản
phẩm tốt.
b/ Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 sản phẩm từ lô
hàng. Tìm xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra
có đúng 2 sản phẩm tốt.
VD 1.17: Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi đen. Lấy
ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để:
a/ cả 6 bi đều là bi đỏ.
b/ có 4 bi đỏ, 2 bi đen.
c/ có ít nhất 2 bi đen.
* Hạn chế:
+ số lượng các bcsc là hữu hạn.
+ tính chất đồng khả năng không phải bao
giờ cũng xác định được.
1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê:
Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy ra m
lần thì m gọi là tần số xảy ra bc A, còn tỷ số
gọi là tần suất của biến cố A.
Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p nào
đó, được gọi là xác suất của A.

Trong thực tế, người ta coi (khi n đủ
lớn).
n
m
f (A) (1)
n
=
n
n
P(A) limf (A) p.
→∞
= =
m
p
n
≈
VD 1.18: Khi quan sát 100 ngươi hút thuốc
thấy có 91 người viêm phổi, khi đó có thể nói
rằng nếu bạn hút thuốc thì xác suất bạn bị viêm
phổi sẽ khoảng 91%.
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hình học (xem
giáo trình tr 21).
1.2.4 Tính chất và ý nghĩa của xác suất:
- Tính chất
i. P( )=0
ii. P(Ω)=1
iii. 0≤P(A)≤1, với mọi biến cố A.
- Ý nghĩa: xác suất P(A) đặc trưng cho
khả năng xuất hiện biến cố A trong phép
thử. P(A) càng lớn (càng gần 1) thì khả năng

xuất hiện A càng nhiều, P(A) càng nhỏ (càng
gần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít.
Bài tập: 14-18 sách Bài tập
1.3 Công thức cộng
i. A, B xung khắc, tức AB=

.
P(A

B)=P(A)+P(B)
Mở rộng: A,B,C xung khắc từng đôi:
P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)
ii. A, B bất kỳ:
P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)
iii. P(Ā)=1-P(A).
VD 1.19: Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất để
a/ lấy 3 bi không có bi đỏ.
b/ lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
VD 1.20: Một lớp học có 100 học sinh, trong đó có
30 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ, 40 em giỏi
Toán, 50 em giỏi Ngoại ngữ. Gọi ngẫu nhiên 1
học sinh của lớp. Tính xác suất để gọi được em
giỏi ít nhất 1 môn.

1.4 Công thức nhân xác suất
1.4.1 Xác suất có điều kiện:
Định nghĩa:
Cho 2 biến cố A và B. Xác suất có điều
kiện của A với điều kiện B, ký hiệu P(A/B), là xác
suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.
Công thức tính:
P(AB)
P(A / B) , P(B) 0
P(B)
= >