các chuyên đề giải toán bằng máy tính cầm tay casio

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CHÂU PHÚ
HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TÓAN




Tháng 10 – Năm 2011
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
1
CHUYÊN ĐỀ VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
(Người biên soạn: Trần Văn Tỏan – THCS Khánh Hòa)
1. Mục tiêu chung :
Giúp nâng cao cho học sinh có được những kiến thức cơ bản về cách tính lãi suất
khi gửi tiền vào ngân hàng trong thực tế .
2. Mục tiêu cụ thể :
Kiến thức :
Biết cách tính toán được những bài toán về lãi suất – niên khoản trong thực tế .
Kỹ năng :
Có được những kỹ năng tính toán về lãi suất – niên khoản.
Thái độ :
Có thái độ thích thú trong việc tính toán với các bài toán về tính lãi suất – niên
khoản .
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC :
1. Lãi đơn (simple interest)
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số
tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đơn như sau:
A = a.r.n
Trong đó A là lãi đơn, a là số tiền gốc, r là lãi suất kỳ hạn và n là số kỳ hạn tính lãi.
Ví dụ : Bạn An ký gửi 10 000 000 đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi đơn với lãi
suất là 8%/năm. Sau 10 năm số tiền gốc và lãi bạn thu về là:
10 000 000 +10 000 000(0,08)(10) = 18 000 000 đồng

2. Lãi kép (compound interest)
Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do
số tiền gốc sinh ra. Nó chính là lãi tính trên lãi, hay còn gọi là ghép lãi (compounding). Khái
niệm lãi kép rất quan trọng vì nó có thể ứng dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề trong tài
chính.
3. Lãi kép liên tục (continuous cpompound interest)
Lãi kép liên tục là lãi kép khi số lần ghép lại trong một thời kỳ (năm) tiến đến vô
cùng. Nếu trong một năm ghép lãi một lần thì chúng ta có lãi hàng năm (annually), nếu ghép
lãi 2 lần thì chúng ta có lãi bán niên (semiannually), 4 lần có lãi theo quý (quarterly), 12 lần
có lãi theo tháng (monthly), 365 lần có lãi theo ngày (daily), … Khi số lần ghép lãi lớn đến
vô cùng thì việc ghép lãi diễn ra liên tục. Khi ấy chúng ta có lãi liên tục (continuously).
II. CÁC DẠNG TOÁN:
1/ Lãi xuất từ 1 giá trị không đổi qua thời gian : ( lãi kép )
1.1 .Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n
tháng. Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)
2
…………………
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)
n – 1
+ a(1 + r)
n – 1
.r = a(1 + r)
n
Vậy A = a( 1 + r )
n
Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn
lãi sau n tháng.

Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
2
Từ công thức (*) A = a(1 + r)
n
ta tính được các đại lượng khác như sau:
1)
A
ln
a
n
ln(1 r)
=
+
; 2)
n
A
r 1
a
= −
; 3)
(1 )
n
A
a
r
=
+
(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên m áy fx-500 MS và fx-570 MS phím
ln
ấn trực tiếp)

Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả
vốn lẫn lãi sau 8 tháng?
- Giải -
Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)
8
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
58000000 (1 . 007 ) ^ 8+ =
Kết quả: 61 328 699, 87
Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ.
Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
- Giải -
Số tháng tối thiểu phải gửi là:
( )
70021000
ln
58000000
n
ln 1 0,7%
=
+
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
b/ c
ln 70021000 a 58000000 ln (1 . 007 )÷ + =
Kết quả: 27,0015 tháng
Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng.
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là
28 tháng)
Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329
000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?
- Giải -

Lãi suất hàng tháng:
8
61329000
r 1
58000000
= −
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
b/ c
x
8 ^ 61329000 a 58000000 1 SHIFT %− = =
Kết quả: 0,7%
1.2. Nếu hàng tháng gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r % trên tháng
trong n tháng . Tính cả vốn lẫn lãi sau n tháng ?

n
a(1 r) (1 r) 1
A
r
 
+ + −
 
=
;
n
Ar
a
(1 r) (1 r) 1
=
 
+ + −

 
Trong đó A là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng , a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%)
hàng tháng, n số tháng
Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10
tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
3
-Giải-
Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:
( )
1010
580000.1,007. 1,007 1
580000(1 0,007) (1 0,007) 1
A
0,007 0,007
 
−
+ + −
 
= =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
580000 1. 007 (1. 007 ^10 1) . 007× − = ÷ =
Kết quả: 6028055,598
Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao
nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
Giải
Số tiền gửi hàng tháng:
( ) ( )
( )
10 10

100000000.0,006 100000000.0,006
a
1,006 1,006 1
1 0,006 1 0,006 1
= =
 
−
+ + −
 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
100000000 1. 006 (1. 006 (1. 006 ^10 1) )
× ÷ − =
Kết quả: 9674911,478
2/ Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều : ( lãi liên tục )
Ví dụ 6 : Một người gửi tiết kiệm 10 000 000 đồng vào một ngân hàng theo mức kỳ
hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng .
a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi ) ở ngân
hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó .
b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền ( cả vốn lẫn lãi ) ở ngân hàng .
Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả định kỳ trước đó .
Giải :
a)
Lãi suất theo định kỳ 6 tháng là : 6 x 0,65% = 3,90%
10 năm bằng
10 12
20
6
x
=

kỳ hạn
Áp dụng công thức tính lãi suất kép, với kỳ hạn 6 tháng và lãi suất 0,65% tháng,
sau 10 năm số tiền cả vốn lẫn lãi là :
20
3,9
10000000 1 214936885,3
100
a
T
 
= + =
 ÷
 
đồng
b)
Lãi suất theo định kỳ 3 tháng là : 3 x 0,63% = 1,89%
10 năm bằng
10 12
40
3
x
=
kỳ hạn
Với kỳ hạn 3 tháng và lãi suất 0,63% tháng, sau 10 năm số tiền cả vốn lẫn lãi là :
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
4
40
1,89
10000000 1 21147668,2
100

a
T
 
= + =
 ÷
 
đồng
Nhận xét:
 Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:
+ Gửi số tiền a một lần > lấy cả vốn lẫn lãi A.
+ Gửi hàng tháng số tiền a > lấy cả vốn lẫn lãi A.
 Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng đắn.
 Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở
đầu
 Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây.
3/ Bài toán về dân số :
Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là a người
; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m%.
Hãy xây dựng công thức tính số dân của quốc gia B đến hết năm thứ n.
A = a ( 1 + m )
n
Từ công thức trên ta suy ra công thức tính các đại lượng khác như sau :
1)
A
ln
a
n
ln(1 r)
=
+

; 2)
= −
n
A
m 1
a
; 3)
(1 )
n
A
a
m
=
+
Trong đó :A là tổng số dân sau n năm, n là số năm,m (%) là tỉ lệ tăng dân số
trung bình mỗi năm .
Ví dụ 1 : Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm
2010 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?
Giải :
9
1,2
76300000 1
100
A
 
= + =
 ÷
 
người
Ví dụ 2:. Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người

thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Giải :

19
100000000
1
76300000
m = −
= %
Ví dụ 3 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người. Người ta dự đoán sau 2
năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người.
a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm ?
b) Với tỉ lệ tăng dân số như vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao
nhiêu?
Giải : Câu a) là tìm m
Câu b) là tìm A
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
5
Bài 1 : Một người muốn rằng sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu
đồng) để mua xe máy. Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng tháng là
bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,075% tháng.
Bài 2 : Một số tiền là 580000đ được gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau mỗi tháng tiền
lãi được cộng thành vốn) sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155đ. Tính lãi suất /tháng
(tiền lãi của 100đ trong một tháng).
Bài 3 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1 000 000đ với lãi suất
0,45% một tháng.
Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 4 : Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30
048 288 người.

Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm đó?
(Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)
Bài 5 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5 triệu đồng với lãi
suất là 1,35 % trên một tháng.Hỏi sau 1 năm người ấy nhận được tất cả bao nhiêu tiền cả
gốc lẫn lãi ?
Bài 6 :
1) Một người gửi vào ngân hàng một số tiền là
a
đồng với lãi suất là
m
% một
tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người ấy nhận được bao
nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Áp dụng bằng số:
a
= 10000000,
m
= 0,8, n = 12.
2) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là
a
đồng với lãi suất là
m
% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận
được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Cho
a
= 1000000,
m
= 0,8, n = 12. Hỏi số tiền lãi là bao nhiêu?
Bài 7 : Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân

hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng.
a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân
hàng? Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng?
Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán.)
Đáp số: T
a
≈ 214936885,3 đồng; T
b
≈ 211476682,9 đồng.
Bài 8 :
a) Bạn Toán gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 2000000 đồng với lãi suất 0,58%
một tháng (gửi không kỳ hạn). Hỏi bạn Toán phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn
lãi bằng hoặc vượt quá 2600000 đồng ?
b) Với cùng số tiền ban đầu nhưng số tháng gửi ít hơn số tháng ở câu a) là 1 tháng,
nếu bạn Toán gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68% một tháng, thì bạn Toán sẽ
nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? (Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ
cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn,
lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo).
Bài 9 : Một người gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh
ta đều đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó
người này không rút tiền ra. Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề
và làm vốn cho con.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
6
a) Hỏi khi đó số tiền rút ra là bao nhiêu(làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Với lãi suất và cách gửi như vậy, đến khi con tròn 18 tuổi, muốn số tiền rút ra
không dưới 100 000 000 đồng thì hàng tháng phải gửi vào cùng một số tiền là bao nhiêu?

(làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 10 :
a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48
tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng,
người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến
tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?
b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48
tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng
trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?
Bài 11 :
a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48
tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng,
người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến
tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?
b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời
hạn 48 tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân
hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?
Giải :
a) Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trên tháng, số tháng vay là
n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là A đồng.
- Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:
N
1
100
m
 
+
 ÷
 
– A = N.x – A đồng víi x =

1
100
m
 
+
 ÷
 
- Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:
(Nx– A)x– A = Nx
2
– A(x+1) đồng.
- Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:
[Nx
2
– A(x+1)]x– A = Nx
3
– A(x
2
+x+1) đồng
Tương tự : Số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là :
Nx
n
– A(x
n-1
+x
n-2
+ +x+1)đồng.
Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có :
Nx
n

= A (x
n-1
+x
n-2
+ +x+1) ⇒ A =
n
1 2
Nx
1
− −
+ + + +
n n
x x x
=
( 1)
1
−
−
n
n
Nx x
x
b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngân hàng khác với thời hạn như trên, lãi suất 0,75%
trên tháng trên tổng số tiền vay thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản
tiền là:
50 000 000 + 50 000 000 . 0,75% . 48 = 68 000 000 đồng.
Trong khi đó vay ở ngân hàng ban đầu thì sau 48 tháng người đó phải trả cho
ngân hàng một khoản tiền là:
1 361 312,807 . 48 = 65 343 014,74 đồng.
Như thế việc vay vốn ở ngân hàng thứ hai thực sự không có lợi cho người vay

trong việc thực trả cho ngân hàng.
Bài 12 : Theo Báo cáo của Chính phủ dân số Việt Nam tính đến tháng 12 năm
2005 là 83,12 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trung bình hàng năm là 1,33%. Hỏi dân số Việt nam
vào tháng 12 năm 2010 sẽ là bao nhiêu?
Trả lời: Dân số Việt Nam đến tháng 12-2010: 88796480 người
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
7
Bài 13 :
1) Tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của quốc gia B là a người; tỉ lệ tăng dân
số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m%. Hãy xây dựng công thức tính số dân của
quốc gia B đến hết năm thứ n.
2) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010 dân số
nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?
3) Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ
tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Đáp số: a(1 + 0,01m)
n
; 84,9 triệu người; 1,43%.
Bài 14 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người. Người ta dự đoán sau 2 năm
nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người.
1) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm?
2) Hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu?
Đáp số: 2%; 12190 người.
Bài 15 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5 triệu đồng với
lãi suất là 1,35 % trên một tháng.Hỏi sau 1 năm người ấy nhận được tất cả bao nhiêu tiền cả
gốc lẫn lãi ?
- Xây dựng công thức đúng, lập luận chính xác
- Thay số tiền 5 triệu đồng = a đồng; lãi suất 1,35% = 1,035 = x; số tháng =
k=12 vào (*) thì sau 1 năm người đó nhận được tất cả là
( )

[ ]
)035,11(1035,11
035,1
5000000
12
+⋅−+⋅

(đồng)
- Thực hiện quy trình ấn phím =>
Kết quả: 65534630,98 (đồng)
Bài 16 : Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng (bảy trăm nghìn
đồng). Cứ ba năm anh ta lại được tăng thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh
tất cả bao nhiêu tiền.( Lấy nguyên kết quả trên máy tính)
Giải :
Gọi số tiền lương khởi điểm của anh ta là a
0
đồng
Số tiền anh ta được lĩnh trong ba năm đầu là: A
0
= 36a
0
(3 năm tương đương 36
tháng)
Gọi số tiền anh ta được lĩnh trong 3 năm kể từ lần tăng lương thứ n là: An
Ta có: A
1
=A
0
(1+0,07) ; A
2

=A
1
(1+0,07)=A
0
(1+0,07)
2

An=A
0
(1+0,07)
n
Trong 36 năm anh ta được tăng lương
36
1
3
−
=11 lần.Vậy tổng số tiền anh ta nhận
được sau 36 năm là:
S =A
0
+A
1
+ +A
11
= A
0
(1+(1+0,07)+(1+0,07)
2
+ +(1+0,07)
11

)
= A
0
12 12
0
(1 0,07) 1 (1 0,07) 1
36 450788972
0,07 0,07
a
+ − + −
× = × ≈

( đồng).
Bài 17:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
8
a. Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn 3 tháng vào ngân hàng
với lãi suất 10,45% một năm. Hỏi sau 10 năm 9 tháng , người đó nhận được bao nhiêu tiền
cả vốn lẫn lãi. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
b. Nếu với số tiền ở câu a, người đó gửi tiết kiệm theo loại kỳ hạn 6 tháng với lãi
suất 10,5% một năm thì sau 10 năm 9 tháng sẽ nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết
rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước và nếu rút tiền trước thời hạn thì ngân
hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn là 0,015% một ngày ( 1 tháng tính bằng 30 ngày ).
c. Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi
suất 0,84% một tháng. Hỏi sau 5 năm , người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi.
Biết rằng người đó không rút lãi ra.
Gợi ý cách giải :
a. Gọi a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất một kỳ hạn và n là số kỳ hạn
thì số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là : A = a(1+r)
n

+ Lãi suất một kỳ hạn 3 tháng là .3 = 2,6125%
+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn
+ Số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : A = 250 000 000
43

= 757 794 696,8 đ
b.+ Lãi suất một kỳ hạn 6 tháng là .6 = 5,25%
+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 21 kỳ hạn cộng thêm 90 ngày
+ Số tiền nhận được sau 10 năm 6 tháng là : B = 250 000 000(1+)
21

= 732 156 973,7 đồng
+ Số tiền B được tính lãi suất không kỳ hạn trong 90 ngày tiếp theo,
nhận được số lãi là : C = 732 156 973,7 . . 90 = 98 841 191,45 đồng
+ Và số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : B + C = 830 998 165,15 đồng.

c.Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 1 là : a + ax = a(1+ x)
+ Số tiền gốc đầu tháng 2 là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)
2
–1] = [(1+x)
2
–
1]
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 2 là : [(1+x)
2
–1] + [(1+x)
2
–1].x = [(1+x)

3
–
(1+x)]
+ Số tiền gốc đầu tháng 3 là : [(1+x)
3
–(1+x)] + a = [(1+x)
3
–(1+x)+x] = [(1+x)
3
– 1]
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 3 là : [(1+x)
3
– 1] + [(1+x)
3
– 1].x = [(1+x)
3
– 1](1+x)
+ Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền cả gốc và lãi là : [(1+x)
n
– 1](1+x) đồng
Với a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận được là :
D = [(1+ 0,0084)
60
–1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
9
CHUYÊN ĐỀ DÙNG CÔNG THỨC HÊ – CRÔNG
TÍNH CÁC SỐ ĐO TRONG TAM GIÁC
(Người biên soạn: Nguyễn Trần Thanh Phượng – THCS Mỹ Đức)
Trước tiên chúng ta phải nhìn nhận một thực tế là học sinh ngày càng học yếu môn

toán, tư duy toán học ngày càng kém cỏi, số học sinh khá giỏi toán càng giảm, một bộ phận
lớn học sinh chưa ý thức được việc học, đề thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi thường có
những câu hỏi liên quan đến lớp trên vì thế để công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi
máy tính bỏ túi đạt hiệu quả người giáo viên cần phải cung cấp thêm lượng kiến thức mới
phục vụ cho công tác giảng dạy học sinh giỏi đó là áp dụng công thức Hê-crông. Khi đó học
sinh áp dụng và sử dụng được công thức này sẽ làm tăng hiệu quả của bài thi, kết quả sẽ cao
hơn. Sau đây là một số bài có thể áp dụng công thức Hê-crông.
Bài 1:
Cho tam giác ABC có: BC=a=8,751 cm; AC=b=6,318 cm; AB=c=7,624 cm.
Tính chiều cao AH =h
a
Diện tích
ABC∆
.
Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Sử dụng công thức Hê-crông. Ta có:
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= − − −
Tính diện tích tam giác chỉ dựa vào đô dài 3 cạnh mà không cần tính chiều cao).
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác.

S
r
p
=
a b c
S a.h b.h c.h= = =
Suy ra:
a

2S
h
a
=
.
Bài 2) Cho
ABC∆
có: a=9,375 m, b=6,712 m, c=4,671 m.
a) Tính
µ
C
(độ, phút).
b) Tính bàn kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Sử dụng định lý hàm số Cô-sin:
µ
2 2 2
2 .cosc a b ab C
= + −
µ
2 2 2
cos
2
a b c
C
ab
+ −
⇒ =
µ
?C

⇒ =
Từ định lý hàm số Sin:
2
sin A sin B sin C
a b c
R
= = =
Từ đó suy ra:
2
sin C
R
=
(đối với bài này)
Bài 3
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
10
Một tam giác có chu vi là 49,49 cm , các cạnh tỉ lệ với 20, 21, 29. Tính khoảng
cách từ giao điểm với 3 phân giác đều cạnh của tam giác.
Giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c, ta có:
a b c a b c 49,49
20 21 29 20 21 29 70
+ +
= = = =
+ +
Từ đó suy ra a,b,c.
Khoảng cách từ giao điểm 3 phân giác (tâm đường tròn nội tiếp) đến mỗi cạnh của
tam giác chính là bán kính r của đường tròn nội tiếp, ta có:
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c p.r= − − − =

Suy ra
( ) ( ) ( )
p p a p b p c
r
p
− − −
=
Bài 4:
Cho tam giác ABC có AB =4dm, AC=6 dm,
µ
A
=61
0
43’.
a) Tính giá trị gần đúng chu vi của tam giác .
b) Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác trên.
Giải:
Từ định l hàm số Sô sin:
µ
2 2 2 2
a BC AB AC 2AB.AC.cosA= = + −
Suy ra a=?
Từ định l hàm số sin:
a
R
2sin A
=
Suy ra diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2
S R= π

Bài 5:
Cho tam giác ABC có các cạnh a=12 cm, b= 15cm, c=20cm.
a) Tính gần đúng góc C (độ, phút ,giây)
b) Tính gần đúng diện tích tam giác ABC.
Giải:
a./ Từ dính l hàm số cô sin.
µ
2 2 2
c a b 2ab.cos C= + −
µ
2 2 2
a b c
cosC
2ab
+ −
⇒ =
;
µ
C ?⇒ =
b./ Áp dụng
µ
ABC
1
S a.b.sin C
2
∆
=
Bài 6)
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R=7,268 cm,
µ

0 '
B 48 36=
,
µ
0 '
B 63 42=
.
Tính diện tích tam giác.
Giải:
Ta có:
a
1 2R.sin A.2R.sin B.SinC
S a.h a.b.sin C
2 2
= = =
=
2
2R .sin A.SinB.SinC
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
11
CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
(Người biên soạn: Lưu Kim Trọng – THCS Mỹ Phú)
DẠNG 1: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Tính chất 1 :
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ
số tận cùng vẫn không thay đổi.
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận
cùng vẫn không thay đổi.
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì
chữ số tận cùng là 1.

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì
chữ số tận cùng là 6.
Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số
a) 7
99
b) 14
1414
c) 4
567
Lời giải
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :
9
9
- 1 = (9 - 1)(9
8
+ 9
7
+ … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 7
99
= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 7
99
có chữ số tận cùng là 7.

b) Dễ thấy 14
14
= 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14
1414
= 14
4k
có chữ số tận
cùng là 6.
c) Ta có 5
67
- 1 chia hết cho 4 => 5
67
= 4k + 1 (k thuộc N)
=> 4
567
= 4
4k + 1
= 4
4k
.4, theo tính chất 1d, 4
4k
có chữ số tận cùng là 6 nên 4
567
có chữ số tận
cùng là 4.
Tính chất sau được => từ tính chất 1.
Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N)
thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các
chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.

Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ … + 2004
8009
.
Lời giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa
đều có dạng n
4(n - 2) + 1
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận
cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 =
9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3.
Tính chất 3 :
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 3.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
12
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ

không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ … + 2004
8011
.
Lời giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa
đều có dạng n
4(n - 2) + 3
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 3 thì 2
3
có chữ số tận cùng là 8 ; 3
7
có chữ số tận cùng là 7 ; 4
11
có
chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5
+ 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 +
4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc
đáo.
Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n

2
+ n + 1 chia hết cho
1995
2000
.
Lời giải : 1995
2000
tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là
liệu n
2
+ n + 1 có chia hết cho 5 không ?
Ta có n
2
+ n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của
n
2
+ n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n
2
+ n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n
2
+ n + 1 không
chia hết cho 5.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n
2
+ n + 1 chia hết cho 1995
2000
.
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ;
4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :

a) M = 19
k
+ 5
k
+ 1995
k
+ 1996
k
(với k chẵn)
b) N = 2004
2004k
+ 2003
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1
; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :
Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p
8n
+3.p
4n
- 4 chia
hết cho 5.
* Các bạn hãy giải các bài tập sau :
Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia :
a) 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ … + 2003
8005

cho 5
b) 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ … + 2003
8007
cho 5
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y :
X = 2
2
+ 3
6
+ 4
10
+ … + 2004
8010

Y = 2
8
+ 3
12
+ 4
16
+ … + 2004
8016

Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :

U = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ … + 2005
8013

V = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ … + 2005
8015

Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn :
19
x
+ 5
y
+ 1980z = 1975
430
+ 2004.
* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số
tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
13

DẠNG 2: TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng
của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự
nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x
= a
m
như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a
m
∶ 2
m
. Gọi n là số tự nhiên sao cho a
n - 1
∶ 25.
Viết m = p
n
+ q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a
q
∶ 4 ta có :
x = a
m
= a
q
(a
pn
- 1) + a
q

.
Vì a
n - 1
∶ 25 => a
pn
- 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a
q
(a
pn
- 1) ∶ 100.
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a
n - 1
∶ 100.
Viết m = u
n
+ v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = a
m
= a
v
(a
un
- 1) + a
v
.
Vì a
n
- 1 ∶ 100 => a

un
- 1 ∶ 100.
Vậy hai chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là hai chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp theo,
ta tìm hai chữ số tận cùng của a
v
.
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm
được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận
cùng của a
q
và a
v
.
Bài toán 7 :
Tìm hai chữ số tận cùng của các số :
a) a
2003
b) 7
99

Lời giải : a) Do 2
2003
là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất
sao cho 2
n
- 1 ∶ 25.

Ta có 2
10
= 1024 => 2
10
+ 1 = 1025 ∶ 25 => 2
20
- 1 = (2
10
+ 1)(2
10
- 1) ∶ 25 => 2
3
(2
20
-
1) ∶ 100. Mặt khác :
2
2003
= 2
3
(2
2000
- 1) + 2
3
= 2
3
((2
20
)
100

- 1) + 2
3
= 100k + 8 (k Є N).
Vậy hai chữ số tận cùng của 2
2003
là 08.
b) Do 7
99
là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7
n
- 1 ∶
100.
Ta có 7
4
= 2401 => 74 - 1 ∶ 100.
Mặt khác : 9
9
- 1 ∶ 4 => 9
9
= 4k + 1 (k Є N)
Vậy 7
99
= 7
4k + 1
= 7(7
4k
- 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07.
Bài toán 8 :
Tìm số dư của phép chia 3
517

cho 25.
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3
517
. Do số này lẻ nên theo
trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3
n
- 1 ∶ 100.
Ta có 3
10
= 9
5
= 59049 => 3
10
+ 1 ∶ 50 => 3
20
- 1 = (3
10
+ 1) (3
10
- 1) ∶ 100.
Mặt khác : 5
16
- 1 ∶ 4 => 5(5
16
- 1) ∶ 20
=> 5
17
= 5(5
16
- 1) + 5 = 20k + 5 =>3

517
= 3
20k + 5
= 3
5
(3
20k
- 1) + 3
5
= 3
5
(3
20k
- 1) + 243, có hai
chữ số tận cùng là 43.
Vậy số dư của phép chia 3
517
cho 25 là 18.
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
14
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của
hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau
đây (bạn đọc tự chứng minh).
Tính chất 4 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a
20
- 1 ∶ 25.
Bài toán 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :

a) S
1
= 1
2002
+ 2
2002
+ 3
2002
+ + 2004
2002

b) S
2
= 1
2003
+ 2
2003
+ 3
2003
+ + 2004
2003

Lời giải :
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a
2
chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a
100
- 1 chia hết cho 4 ; nếu
a chia hết cho 5 thì a
2

chia hết cho 25.
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25.
Vậy với mọi a Є N ta có a
2
(a
100
- 1) ∶ 100.
Do đó S
1
= 1
2002
+ 2
2
(2
2000
- 1) + + 2004
2
(2004
2000
- 1) + 2
2
+ 3
2
+ + 2004
2
.
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S
1
cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng
1

2
+ 2
2
+ 3
2
+ + 2004
2
. áp dụng công thức :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= n(n + 1)(2n + 1)/6
=>1
2
+ 2
2
+ + 2004
2
= 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30.
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S
1
là 30.
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S
2
= 1

2003
+ 2
3
(2
2000
- 1) + + 2004
3
(2004
2000
- 1)
+ 2
3
+ 3
3
+ 2004
3
. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S
2
cũng chính là hai chữ số tận cùng
của 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 2004
3
.
áp dụng công thức :
=> 1

3
+ 2
3
+ + 2004
3
= (2005 x 1002)
2
= 4036121180100, tận cùng là 00.
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S
2
là 00.
Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận
cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó
thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng.
Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh).
Tính chất 5 : Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.
Bài toán 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7
n
+ 2
không thể là số chính phương.
Lời giải : Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 7
4
- 1
= 2400 ∶ 100. Ta viết 7
n

+ 2 = 7
4k + r
+ 2 = 7
r
(7
4k
- 1) + 7
r
+ 2.
Vậy hai chữ số tận cùng của 7
n
+ 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7
r
+ 2 (r =
0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7
n
+ 2 không thể là số chính
phương khi n không chia hết cho 4.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
15
DẠNG 3: TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số
tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.
Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba
chữ số tận cùng của y (y ≤ x).
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận
cùng của số tự nhiên x = a
m
như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a

m
chia hết cho 2
m
. Gọi n là số tự nhiên sao cho
a
n
- 1 chia hết cho 125.
Viết m = p
n
+ q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a
q
chia hết cho 8 ta có :
x = a
m
= a
q
(a
pn
- 1) + a
q
.
Vì a
n
- 1 chia hết cho 125 => a
pn
- 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên
a
q
(a
pn

- 1) chia hết cho 1000.
Vậy ba chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là ba chữ số tận cùng của a
q
. Tiếp theo,
ta tìm ba chữ số tận cùng của a
q
.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a
n
- 1 chia hết cho 1000.
Viết m = u
n
+ v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = a
m
= a
v
(a
un
- 1) + a
v
.
Vì a
n
- 1 chia hết cho 1000 => a
un
- 1 chia hết cho 1000.
Vậy ba chữ số tận cùng của a

m
cũng chính là ba chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp theo,
ta tìm ba chữ số tận cùng của a
v
.
Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4.
Tính chất 6 :
Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a
100
- 1 chia hết cho 125.
Chứng minh : Do a
20
- 1 chia hết cho 25 nên a
20
, a
40
, a
60
, a
80
khi chia cho 25 có
cùng số dư là 1
=> a
20
+ a
40
+ a
60

+ a
80
+ 1 chia hết cho 5. Vậy a
100
- 1 = (a
20
- 1)( a
80
+ a
60
+ a
40
+ a
20
+ 1) chia hết cho 125.
Bài toán 11 :
Tìm ba chữ số tận cùng của 123
101
.
Lời giải : Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123
100
- 1 chia hết cho 125 (1).
Mặt khác :
123
100
- 1 = (123
25
- 1)(123
25
+ 1)(123

50
+ 1) => 123
100
- 1 chia hết cho 8 (2).
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 123
100
- 1 chi hết cho 1000
=> 123
101
= 123(123
100
- 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N).
Vậy 123
101
có ba chữ số tận cùng là 123.
Bài toán 12 :
Tìm ba chữ số tận cùng của 3
399 98
.
Lời giải : Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9
100
- 1 chi hết cho 125 (1).
Tương tự bài 11, ta có 9
100
- 1 chia hết cho 8 (2).
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9
100
- 1 chia hết cho 1000 => 3
399 98
= 9

199 9
=
9
100p + 99
= 9
99
(9
100p
- 1) + 9
99
= 1000q + 9
99
(p, q Є N).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399 98
cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9
99
.
Lại vì 9
100
- 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9
100
là 001 mà 9
99
= 9
100
:
9 => ba chữ số tận cùng của 9
99
là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9

99
là 9, sau đó dựa
vào phép nhân để xác định ).
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
16
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399 98
là 889.
Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách
gián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của
ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng.
Bài toán 13 :
Tìm ba chữ số tận cùng của 2004
200
.
Lời giải : do (2004, 5) = 1 (tính chất 6)
=> 2004
100
chia cho 125 dư 1
=> 2004
200
= (2004
100
)
2
chia cho 125 dư 1
=> 2004
200
chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004
200

chia
hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376.
Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở
rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
Sau đây là một số bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết
cho 4.
Bài 2 : Chứng minh 9
20002003
, 7
20002003
có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của :
a) 3
999
b) 11
1213

Bài 4 : Tìm hai chữ số tận cùng của :
S = 2
3
+ 2

23
+ + 2
40023

Bài 5 : Tìm ba chữ số tận cùng của :
S = 1
2004
+ 2
2004
+ + 2003
2004

Bài 6 : Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a
101
cũng bằng ba
chữ số tận cùng của a.
Bài 7 : Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng
của A
200
.
Bài 8 : Tìm ba chữ số tận cùng của số :
1993
19941995 2000

Bài 9 : Tìm sáu chữ số tận cùng của 5
21
.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
17
CHUYÊN ĐỀ VỀ SỰ HAO MÒN

TRONG DẠNG TOÁN VỀ NGÂN HÀNG
(Người biên soạn: Lư Diệp Phương Tùng - THCS Vĩnh Thạnh Trung 2)
I. Thực trạng :
- Trong quá trình dạy học sinh giải các bài toán trên MTCT không ít giáo viên chọn
cho học sinh cách học thuộc lòng các công thức đã được đưa ra sẳn trong khi học sinh
không hiểu tí gì về công thức này dẩn đến khi gặp một thay đổi nhỏ trên đề bài học sinh
không thể áp dụng công thức đã học để giải quyết bài toán.
- Các bài toán về ngân hàng hay có tên gọi chung là Toán kinh tế là một trong
những dạng toán có sự biến hóa nhiều nhất trong đề thi MTCT những năm gần đây, một
trong những dạng đó là bài toán về “hao mòn” một dạng của toán kinh tế.
II. Nội dung thực hiện:
1 Giới thiệu bài toán “hao mòn”
2 Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán “hao mòn” và các dạng của nó
III. Biện Pháp thực hiện:
1. Giới thiệu bài toán “hao mòn”
Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu là 10 triệu. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm
10% so với năm trước đó.
a) Tính giá trị còn lại của xe sau 5 năm
b) Tính số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu.
c) Tìm tỉ lệ “hao mòn” của xe. Biết sau 4 năm giá trị của xe còn khoảng 7163000
đồng. (làm tròn hai số thập phân)
2. Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán “hao mòn” và các dạng của nó:
Học sinh không thể áp dụng các công thức đã học ở các bài toán kinh tế trước như:
- Công thức tính lãi kép:
( )
n
A a 1 r= +
- Công thức tính tăng trưởng đột biến:
( ) ( )
n

a 1 r 1 r 1
A
r
é ù
+ + -
ê ú
ë û
=
Vì thế, giáo viên nên hướng dẫn học sinh tiến hành xây dựng công thức:
Gọi A
n
là giá trị còn lại của xe sau n năm sử dụng
a là giá trị ban đầu của xe
r (%) là tỉ lệ hao mòn của xe sau mỗi năm
Sau 1 năm giá trị còn lại của xe là:
( )
1
A a ar=a. 1 r= - -
Sau 2 năm giá trị còn lại của xe là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
A a 1 r a 1 r .r a 1 r . 1 r a. 1 r= - - - = - - = -
Sau 3 năm giá trị còn lại của xe là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3
3
A a 1 r a 1 r .r a 1 r . 1 r a. 1 r= - - - = - - = -
…
Vậy sau n năm giá trị còn lại của xe là:

( )
n
n
A a. 1 r= -
Vậy ta có thể áp dụng công thức trên để giải câu a của bài toán:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
18
a) Giá trị còn lại của xe sau 5 năm là:
( ) ( )
5 5
5
A a. 1 r 10000000. 1 0,1 5904900= - = - =
(đồng)
Đối với câu b, với yêu cầu là tìm được số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu (A
n
= 30000000 đồng), giáo viên hướng dẫn học sinh tìm theo các bước sau: (giáo viên chỉ giải
thích ngắn gọn về lnN và công thức
m
ln N m.ln N=
, vì đây là kiến thức lớp 12 học sinh chỉ
cần áp dụng chứ không cần hiểu sâu)
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n

n
n
n
n
n
A a 1 r
A
1 r
a
A
ln ln 1 r
a
A
ln n.ln 1 r
a
A
ln
a
n
ln 1 r
= -
= -Û
= -Û
= -Û
=Û
-
b) Số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu:
( )
n
A

3000000 3
ln ln ln
a 10000000 10
n 11,42717
ln 1 r ln(1 0,1) ln 0,9
= = = »
- -
(năm)
Vậy sau 12 năm giá trị của xe sẽ nhỏ hơn 3 triệu
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách biến đổi công thức để tìm tỉ lệ “hao mòn” như
sau:
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A a 1 r
A
1 r
a

A
1 r
a
A
1 r
a
A
r 1
a
= -
= -Û
= -Û
= -Û
= -Û
c) Tỉ lệ “hao mòn” của xe là:
n
n
4
A 7163000
r 1 1 0,08
a 10000000
= - = - »
Vậy với tỉ lệ “hao mòn” là 8% mộĩ năm thì sau 4 năm giá trị của xe còn 7163000
đồng.
IV. Kết quả đạt được:
1) Học sinh có thể giải được các bài toán về “hao mòn”
2) Học sinh có thể tự xây dựng công thức khi gặp những bài toán tương tự
3) Hình thành được khả năng tự suy luận của học sinh, giúp học sinh tự tin hơn khi
gặp những bài khó.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012

19
CHUYÊN ĐỀ
TÌM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
(Người biên soạn: Nguyễn Thị Thanh Hằng – THCS Thạnh Mỹ Tây)
Dạng 1: LIÊN PHÂN SỐ
Ví dụ 1: Biết
15 1
1
17
1
1
a
b
=
+
+
trong đó a,b là các số dương. Tính a,b?
Giải:
Ta có:
15 1 1 1 1
17 2 1 1
17
1 1 1
15 1
15 15
7
2 2
= = = =
+ + +
+

. Vậy a = 7, b = 2.
Ví dụ 2: Tính giá trị của
1
A 1
1
2
1
3
2
= +
+
+
Giải -
Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
Ấn các phím:
b/ c b/ c b/ c b/ c
3 1a 2 2 1a Ans 1 1 a Ans SHIFT a+ = + = + =
23
( )
16
Bài toán tổng hợp
Bài 1: Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
5 1
A 3 B 7
4 1
2 3
5 1
2 3
4 1
2 3

5
4
2
3
= + = +
+ +
+ +
+ +
+
Bài 2:
Tìm các số tự nhiên a,b biết:
329 1
1
1051
3
1
5
1
a
b
=
+
+
+
Bài 3: Tìm giá trị x của các phương trình sau:
x x
4
1 1
1 4
1 1

2 3
1 1
3 2
4 2
+ =
+ +
+ +
+ +

Bài 4: Lập qui trình bấm phím hãy tính giá trị của liên phân sau
[ ]
M 3,7,15,1,292=

và tính
Mπ−
?
Bài 5:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
20
a. Lập qui trình bấm phím hãy tính giá trị của liên phân sau
[ ]
M 1,1,2,1,2,1,2,1=
và
tính
3 M−
?
b. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
1 1
A
1 1

5 2
1 1
4 3
1 1
3 4
2 5
= +
+ +
+ +
+ +
Bài 6:
Biết
2003 1
7
1
273
2
1
1
1
a
b
c
d
= +
+
+
+
+
. Tìm các số a, b, c, d.

Bài 7:
Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:
a)
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
; b)
1 1
1 2
1 1
3 4
5 6
y y
=
+ +
+ +
Hướng dẫn: Đặt A =
1
1
1

1
2
1
3
4
+
+
+
, B =
1
1
4
1
3
1
2
2
+
+
+

Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra
4
x
B A
=
−
.
Kết quả
844 12556

8
1459 1459
x = − = −
. (Tương tự y =
24
29
)
Bài 8:
Tìm x biết:
3 381978
3
382007
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
1
8
1 x

=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES.
381978 : 382007 = 0.999924085
Ấn tiếp phím x
-1
x 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
21

1
1
Ans
x
=
+
. Tiếp tục ấn Ans x
-1
– 1 =
Kết quả : x = -1,11963298 hoặc
17457609083367

15592260478921
 
 ÷
 
Dạng 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
. VD1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho 2
8
+ 2
11
+ 2
n
là một số chính phương
Giải:
Máy 570MS hoặc máy 570ES
Ta nhập
8 11
2 2 2
x
+ +
lên màn hình . Sau đó bấm phím CALC
Nhập lần lượt X = 1 nếu chưa phải số nguyên thì bấm tiếp phím
↑
, CALC và lặp lại
qui trình với X= 2, 3….
ĐS: n = 12
VD2: Tìm abcd có bốn chữ số biết rằng số 2155abcd9 là một số chính phương
GIẢI:
Đặt
2
2155 d9A abc=

Vì 2155abcd9 là số chính phương nên ta lấy căn bậc hai số nhỏ nhất 125500009 và
số lớn nhất 125599999
Ta được:
[ ]
14680;14683A∈
Do 1255abcd9 tận cùng là số 9 nên suy ra A = 14683 thỏa 14683
2
= 215590489
ĐS: 9048
Bài tập tương tự:
1/ : Tìm các số tự nhiên
n
sao cho
2
16 2011n n+ +
là một số chính phương
2/ Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x
3
+ x
2
+ 2025 là một số chính phương
nhỏ hơn 10000
3/ . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2
16
+ 2
19
+ 2
n
là một số chính phương.
4/. Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x

3
+ x
2
+2009 là một số chính phương
nhỏ hơn 10000.
5/. Tìm số tự nhiên n, ( 1120
≤

n

≤
2120 ) sao cho
na
n
5537126 +=
cũng là số
tự nhiên.
6/ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để
5 7
3 5 7
n
+ +
chia hết cho 2006
Dạng 3: CHIA HẾT
VD1: a/ Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên x để biểu thức
3 2
27 27 3 2010
3 1
x x x
x

+ − +
−

là một số nguyên.
Giải:Dùng sơ đồ Hoocne ta tìm được số dư phép chia trên là 2013
Để
3 2
27 27 3 2010
3 1
x x x
x
+ − +
−
là số nguyên thì 3x – 1 là ứơc của 2013
=> 3x – 1 = 1; 3; 11; 61; 33; 183; 671; 2013 => x = 4; 224
VD2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất của số
2 3y4 5x z
chia hết cho 25
Giải:
- Số lớn nhất
2 3y4 5x z
chia hết cho 25 sẽ phải là 29394z5
Lần lượt thử z = 9; 8; ….; 0
Vậy số lớn nhất chia hết cho 25 là 2939475
- Số nhỏ nhất
2 3y4 5x z
chia hết cho 25 sẽ phải là 20304z5
Lần lượt thử z = 0; 1; 2;….; 9
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
22

Vậy số nhất chia hết cho 25 là 2030425:
VD3:
Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng
M và N chia cho số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973
Giải:
Tìm BCNN(1256;3568;4184) = 292972048
BC (1256;3568;4184) = B(292972048)
Ta chọn ttrong các bội số số nào có 12 chữ số nhỏ nhất là 878916144000 + 973 và
số lớn nhất 999915599624 + 973 là số lớn nhất. Vậy 2 số cần tìm là: 878916144973 và
999915600597
Bài tập tương tự
1/ Tìm các chữ số x,y, z, t để ta có:
x5 x yzt 7850=
2/ Tìm các số tự nhiên a; b; c; d để có:
acd

×

2b
= 47424
3/ Tìm chữ số x để
79506 47x
chia hết cho 23
4/ Tìm số tự nhiên
m
lớn nhất, biết rằng khi chia lần lượt các số
56505086
;
7873056
;

3094186
cho
m
thì được cùng một số dư.
5/ Tìm chữ số b biết rằng
469283861 6505b
chia hết cho 2005
6/ Tìm chữ số b biết rằng
469 8386196505a
chia hết cho 2005
7/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
1 2y3 4x z
chia hết
cho 13
8/ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa : chia cho dư 1; chia 3 dư 2; chia 4 dư 3;
chia 5 dư 4; chia 6 dư 5; chia 7 dư 6 chia 8 du 7 chia 9 dư 8 chia 10 dư 9
9/ Một số có 4 chữ số vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 5, trong đó chữ số hàng
nghìn bằng ¼ chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm bằng ½ chữ số hàng chục. Tìm số đó
10/ Tìm a để569282610a3336 chia hết cho 2006
11/ Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên x để biểu thức
2
2 14
1
n n
n
+ +
−
là một số
nguyên
Dạng 4: MỘT SỐ DẠNG KHÁC

Bài 1:
Tìm tất cả các số có 3 chữ số khi bình phương sẽ có tận cùng là 3 chữ số 4
Giải:
Đặt:
abc
là số cần tìm ( a, b, c là các số tự nhiên; a khác 0 )
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
.100 .10 .10000 2 1000 2 .100 .100 2 .10
.10000 2 1000 2 .100 2 .10
abc a b c a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
= + + = + + + + +
= + + + + +
Do
abc
bình phương tận cùng là số 4 nên c = 2 ; 8
* Với c = 2 => 2b2 tận cùng bằng 4 => b = 6
Với c= 2 ; b = 6 => 2a.2 + 36 + 2 tận cùng bằng 4 nên a = 4 hoặc a = 9
* với c = 8 => 2b.8 + 6 tận cùng bằng 4 nên b = 3
Với c = 8 ; b = 3 thì 2.a.8 + 9 + 5 tận cùng bằng 4 nên a = 5
Vậy Số cần tìm là : 462; 962; 538
Bài 2:
Tìm tất cả các số có 3 chữ số sao cho mỗi số gấp 22 lần tổng các chữ số của số

đó
Giải:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
23
Đặt:
abc
là số cần tìm ( a, b, c là các số tự nhiên; a khác 0 )
Ta có
.100 .10 22( )
78 12 21
26 4 7
abc a b c a b c
a b c
a b c
= + + = + +
=> = +
=> = +
Do vế trái chẳn nên c = 0; 2; 4; 6 ; 8
* c = 0 => 13a = 2b ( vô lí )
* c= 2 => 13a = 2b + 7
Vế phải lẻ => a = 1; 3; 5; 7; 9
+ a= 1 => 13 = 2b +7 => b = 3 . Vậy số cần tìm là: 132
+ a = 3 => 39 = 2b + 7 => b = 16 ( vô lí )
=> a = 5; 7; 9 loại
*c = 4 => 13a = 2b + 14
Vế phải chẳn => a = 0; 2; 4; 6; 8
+a=0=> 0 = 2b+14 => b = -7 (loại)
+ a = 2 => 26 = 2b +14 => b = 6 ( nhận ) . Vậy số cần tìm là: 462
+ a = 4 => 52 = 2b +14 => b =19 ( loại) => a = 6; 8 ( loại)
* c = 6 => 13a = 2b + 21

Phải lè => a = 1; 3; 5; 7; 9
+ a = 1 => 13 = 2b + 21 => b = -4 ( loại)
+ a = 3 => 39 = 2b +21 => b = 9 ( nhận ) .Vậy số cần tìm là: 396
Do b= 9 lớn nhất nên trường hợp a = 5;7;9 loại
* c = 8 => 13a = 2b + 28
Phải chẳn nên a = 0; 2; 4; 6; 8. Tất cả các giá trị a khi tìm b đều loại
ĐS: 132 ; 264 ; 396
Bài 3:
Tìm 2 số tự nhiên nhỏ nhất thỏa :
( )
4
*****ag a g=
trong đó ***** là những
chữ số không ấn định điều kiện
Giải:
Do
a *****g
là số có 7 chữ số nên
( )
4
1000000 9999999
31 57
3 5
ag
ag
a
≤ ≤
⇒ ≤ ≤
⇒ < <
( )

4
3000000 5999999
41 50
4
ag
ag
a
⇒ ≤ ≤
⇔ < <
=> =
Mà
( )
4
g g=
nên g = 0; 1; 5; 6
Do đó số cần tìm là : 45 ; 46
Bài 4:
Tìm GTNN của a và b biết
a a a b=
Giải:
Ta có
a a a b=
=> a
7
= b
8
=> a = 2
8
= 256; b = 2
7

= 128
Bài 5:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012
24
Người ta chia một số gồm 4 chữ số giống nhau cho một số gốm 3 chữ số giống nhau
được thương 16 và số dư r. Nếu ta bớt số bị chia và số chia 1 chữ số thì thuơng và số dư đều
không thay đổi. Hãy tìm số bị chia, số chia và số dư trong phép chia đầu tiên
Giải:
Ta có :
16.
16.
xxxx yyy r
xxx yy r
= +
= +
Vế trừ theo vế ta có: 1000x = 1600y

1600 8
1000 5
x
y
⇒ = =
Nên x = 8; y = 5
Vậy số cần tìm là: SBC: 8888 – SC : 555
Bài 6: Người ta chia một số gồm 4 chữ số giống nhau cho một số gốm 3 chữ số
giống nhau được thương 16 và số dư r. Nếu ta bớt số bị chia và số chia 1 chữ số thì thuơng
không thay đổi và số dư giảm đi 200. Hãy tìm số bị chia, số chia và số dư trong phép chia
đầu tiên
Tương tự bài 5
Hội đồng bộ môn Tóan THCS huyện Châu Phú năm học 2011 - 2012

25