Chuyên đề Giới Hạn

Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

45

Chöông 4:
GIỚI HẠN
§1.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn 0
1.1.
Định nghĩa : Dãy số
(
)
n
u
được gọi là có giới hạn 0 , nếu
0
ε
∀ >
nhỏ tùy ý luôn luôn
0
N
∃ sao cho
0
n N
∀ >

ta đều có :
n
u
ε
<
. Kí hiệu :
(
)
lim 0
n
u
=
hoặc
lim 0
n
u
=
hoặc
0
n
u
→

1.2.
Nhận xét :
•
lim 0 lim 0
n n
u u
= ⇔ =

.
•
Nếu
(
)
n
u
có
*
0 ,
n
u n= ∀ ∈

thì
lim lim0 0
n
u
= =
.
•
Cho hai dãy số
(
)
n
u
và
(
)
n
v

. Nếu
*
,
n n
u v n≤ ∀ ∈

và
lim 0
n
v
=
thì
lim 0
n
u
=
.
•
Các dãy số có giới hạn 0:
o
1
lim 0
n
n
→+∞
=
;
+
→+∞
= ∈


1
lim 0 , ( )
k
n
k
n
;
(
)
→+∞
= <
lim 0 , 1
n
n
q q
.
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
2.1.
Định nghĩa : Dãy số
(
)
n
u
được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực L , nếu
(
)
lim 0
n
u L

− =
.
Kí hiệu :
(
)
lim
n
u L
=
hoặc lim
n
u L
=
hoặc
n
u L
→
2.2.
Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số :
•
Định lí 1: Nếu
C
là hằng số thì lim
C C
=
.
•
Định lí 2: Giả sử lim
n
u L

=
. Khi đó :
o lim
n
u L
=
và
3
3
lim
n
u L
= .
o Nếu
*
0 ,
n
u n≥ ∀ ∈

thì
0
L
≥
và lim
n
u L
= .
•
Định lí 3: Nếu lim
n

u L
=
và lim
n
v M
=
;
C
là hằng số . Thì :
o
(
)
lim
n n
u v L M
± = ±
;
o
(
)
lim
n n
u v L M
⋅ = ⋅
;
o
(
)
lim .
n

C u C L
= ⋅
;
o
lim
n
n
u
L
v M
=
nếu
0
M
≠
.
•
Định lí 4: Cho ba dãy số
(
)
n
u
;
(
)
n
v
và
(
)

w
n
. Nếu
w
n n n
v u≤ ≤ với mọi
n
và

(
)
lim lim ,
n n
v w L L= = ∈

thì lim
n
u L
=
.
•
Định lí 5: Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn .
Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn .
2.3.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
= + + + + =
−

2 3
1

1 1 1 1
1
u
S u u q u q u q
q
nếu
(
)
1
q
<
.
3. Dãy số có giới hạn vô cực
3.1.
Định nghĩa :
•
Dãy số
(
)
n
u
được gọi là có giới hạn
+∞
nếu
0
M
∀ >
lớn tùy ý luôn luôn
0
N

∃ sao cho
0
n N
∀ >
ta
đều có :
n
u M
>
. Kí hiệu :
(
)
lim
n
u
= + ∞
hoặc lim
n
u
= + ∞
hoặc
n
u
→ +∞
.
•
Dãy số
(
)
n

u
được gọi là có giới hạn
− ∞
nếu
0
M
∀ <
nhỏ tùy ý luôn luôn
0
N
∃ sao cho
0
n N
∀ >
ta
đều có :
n
u M
<
. Kí hiệu :
(
)
lim
n
u
= −∞
hoặc lim
n
u
= − ∞

hoặc
n
u
→ −∞
.
3.2.
Các quy tắc tính giới hạn vô cực :
Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

46

•
Nếu
= + ∞
lim
n
u
thì
1
lim 0
n
u
=
;
•
Nếu lim
n

u L
=
, lim
n
v
= ± ∞
thì lim
n
n
u
v
= 0 ;
•
Nếu lim
n
u
= + ∞
;
lim 0
n
v L
= ≠
thì
( )

+ ∞ >
⋅ =

− ∞ <


0
lim
0
n n
nếu L
u v
nếu L
;
•
Nếu lim
n
u
= − ∞
;
lim 0
n
v L
= ≠
thì
( )

− ∞ >
⋅ =

+ ∞ <

0
lim
0
n n

nếu L
u v
nếu L
;
•
Nếu
lim 0
n
u L
= ≠
,
lim 0
n
v
=
thì lim
=
n
n
u
v

+ ∞ >

− ∞ <

. 0
. 0
n
n

nếu L v
nếu L v
;
•
lim n
= +∞
;
lim ( )
k
n k
+
= +∞ ∈

;
lim ( 1)
n
q q
= +∞ >
.
B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
1. Tìm giới hạn của dãy số theo định nghĩa


1.1.
Phương pháp : Để chứng minh dãy số có giới 0 ta có thể thực hiện theo 2 cách sau :
•
Cách 1 : Áp dụng trực tiếp định nghĩa .
•
Cách 2 : Áp dụng định lí : Cho hai dãy số
(

)
n
u
và
(
)
n
v
. Nếu
*
,
n n
u v n
≤ ∀ ∈

và
lim 0
n
v
=
thì
lim 0
n
u
=
.
•
Để tìm giới hạn của dãy số theo định nghĩa ta dựa vào định nghĩa:
Dãy số
(

)
n
u
được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực L , nếu :
(
)
lim 0
n
u L
− =
.
1.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số
(
)
n
u
có giới hạn 0 :
a)
( )
1
3 2
n
n
u
n
−
=

+
; b)
3
sin 2
2
n
n n
u
n
=
+
; c)
3 sin 2 4
2 4.5
n n
n
n n
n
u
+
=
+

; d)
3 3
2 1
n
u n n
= + − +
.

Ví dụ 2. Áp dụng định nghĩa , tìm các giới hạn sau :
a)
3
3
lim
1
n
n
 
−
 
+
 
; b)
2
2
3 2
lim
2
n n
n n
 
+ +
 
+
 
; c)
3.3 sin 3
lim
3

n
n
n
 
−
 
 
.


2. Tìm giới hạn hữu hạn của dãy số theo định lí và cơng thức


2.1.
Phương pháp :
•
Dựa vào các định lí cơ bản về giới hạn hữu hạn của dãy số và một số cơng thức về giới hạn của một số dãy
số cơ bản , ta sẽ tìm được hầu hết các giới hạn của các dãy số thơng thường .
•
Phương pháp tìm giới hạn của các dãy số thường gặp :
o Dạng 1: Nếu dãy số
(
)
n
u
có
(
)
( )
n

P n
u
Q n
=
(trong đó
(
)
(
)
,
P n Q n
là các đa thức của
n
) , thì chia tử
và mẫu cho
k
n
với
k
n
là lũy thừa có số mũ cao nhất của
(
)
P n
và
(
)
Q n
sau đó áp dụng các định lí
về giới hạn hữu hạn .

o Dạng 2: Nếu dãy số
(
)
n
u
có
n
u
là biểu thức chứa
n
dưới dấu căn , thì đưa
k
n
ra ngồi dấu căn (với
k
là số cao nhất của
n
trong dấu căn) rồi áp dụng các định lí , Nếu gặp dạng (vơ định)
k
n
n u
⋅
với
lim 0
n
u
=
, thì phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về
0
. Cần chú ý

các hằng đẳng thức :

(
)
(
)
− + = −
a b a b a b
;
(
)
(
)
± + = ±
∓
3 3
3 3 2 3 2
a b a ab b a b

o Dạng 3: Nếu dãy số
(
)
n
u
có
n
u
là một phân thức mà tử và mẫu là các biểu thức của các lũy thừa
có dạng
(

)
, ,
n n
a b n ∈
 
trong đó
, ,
a b

là các hằng số , thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có
cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu , rồi áp dụng các định lí .
ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 4: Giụựi haùn Naờm:
2010 - 2011

TTLT 1A Tan Hai

47

o Dng 4: Nu dóy s
(
)
n
u
trong ú
n
u
l mt tng hoc mt tớch ca
n
s hng (hoc
n

tha s) ,
thỡ phi rỳt gn
n
u
ri tỡm
lim
n
u
theo nh lớ , hoc dựng nguyờn lớ kp suy ra
lim
n
u
.
o Dng 5: Nu dóy s
(
)
n
u
trong ú
n
u
c cho bi mt h thc truy hi , thỡ ta tỡm cụng th tng
quỏt ca
n
u
ri tỡm
lim
n
u
theo nh lớ , hoc chng minh dóy s cú gii hn hu hn sau ú da

vo h thc truy hi suy ra
lim
n
u
.

2.2.
Cỏc vớ d minh ha :

Vớ d 3. Tỡm cỏc gii hn sau :

a)
2
2
4 2
lim
2 1
n n
n n
+ +
+ +
; b)
( )
2
2 2
3 1
lim 2 1
2 3 1
n
n n n n

+

+ +


.
Vớ d 4. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)
2
9 2 3
lim
4 3
n n n
n
+
+
; b)
54
5
4
3 4 2
lim
2 3
n n
n n
+


.

Vớ d 5. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)
(
)
2
lim 4 2 2
n n n
+
; b)
3
3
lim 2 1
n n n

+



.


Vớ d 6. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)
3
2 6
4 2
1
lim

1
n n
n n
+
+
; b)
(
)
3
2 2 3
lim 2 3
n n n n
+ + +
.



Vớ d 7. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)
n
nn
5.37
5.23
lim
+

; b)
2
2
1 2 2 2

lim
1 3 3 3
n
n
+ + + +
+ + + +

.


Vớ d 8. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)
1 1 1
lim
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
n n

+ + +

+

; b)





2 2 2
1 1 1
lim 1 1 1

2 3
n
.


Vớ d 9. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)


+ + +

+ + +


2 2 2
1 1 1
lim
4 1 4 2 4
n n n n
; b)
(
)
( )




1 3 5 7 2 1
lim
2 4 6 2

n
n
.


Vớ d 10. Cho dóy s (u
n
) c xỏc nh bi:
+

=


= +


1
1
1
1
, ( 1)
2
n n
n
u
u u n

a) t
1
n n n

v u u
+
=
. Tớnh
1 2
n
v v v
+ + +

theo n ;
b) Tớnh
n
u
theo
n
;
c) Tỡm
lim
n
u

.
Vớ d 11. Cho dóy s (u
n
) bit :
( )
1
1
6
6 , 1

n n
u
u u n
+

=


= +


. Tỡm
lim
n
u
.

3. Tng ca mt cp s nhõn lựi vụ hn


3.1.
Phng phỏp :

Da theo cụng thc :
= + + + + =


2 3
1
1 1 1 1

1
u
S u u q u q u q
q
nu
(
)
1
q
<
.

biu din mt s thp phõn vụ hn tun hon thnh phõn s , ta biu din s ú thnh tng ca mt
cp s nhõn lựi vụ hn v suy ra kt qu .

3.2.
Cỏc vớ d minh ha :

Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

48

Ví dụ 12.
Tính các tổng sau :
a)
2
1 1 1

3 3 3
n
S
= + + + +
 

; b)
16 8 4 2S
= − + − +


Ví dụ 13. Hãy biểu diễn các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số:
a)
0,353535
a
=

; b)
5,231231
b
=


.



4. Giới hạn vơ cực của dãy số

4.1.
Phương pháp :
•
Dựa theo các quy tắc để tìm giới hạn vơ cực của các dãy số :
o Nếu lim
n
u
= + ∞
;
lim 0
n
v L
= ≠
thì
( )

+ ∞ >
⋅ =

− ∞ <

0
lim
0
n n
nếu L
u v
nếu L
;
o Nếu

lim
n
u
= − ∞
;
lim 0
n
v L
= ≠
thì
( )

− ∞ >
⋅ =

+ ∞ <

0
lim
0
n n
nếu L
u v
nếu L
;
o Nếu
lim 0
n
u L
= ≠

,
lim 0
n
v
=
thì
=
lim
n
n
u
v

+ ∞ >

− ∞ <

. 0
. 0
n
n
nếu L v
nếu L v
.
•
Chú ý :
o
= + ∞
lim n
;

lim ( )
k
n k
+
= +∞ ∈

;
lim ( 1)
n
q q
= +∞ >
.

4.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau :
a)
964
2
lim
23
45
++
−−+
nn
nnn
; b)
3
6 3

7 5 8
lim
12
n n n
n
− − − +
+
.
Ví dụ 15. Tìm các giới hạn sau :
a)
(
)
132lim
+−+
nn
; b)
(
)
(
)
2
4 2
1 2 3
lim
1
n n
n n
+ +
− +
.

Ví dụ 16. Tìm các giới hạn sau :
a)
1 1
( 3) 6
lim
( 3) 5
n n
n n
+ +
− +
− +
; b)
3
1
lim 2sin 2 3
3
n n
 
+ +
 
 
.

 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây :

•
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.

•
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất

của tử và của mẫu.

•
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu
cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm các giới hạn sau theo định nghĩa :
a)
sin
lim
n
n
; b)
2
3sin 4cos
lim
2 1
n n
n
−
+
;
c)
(
)









+
−
+
2
1
2lim
n
n
; d)
2
( 1) sin(3 )
lim
3 1
n
n n
n
− +
−
;
e)







− 1
4
3sin
lim
n
n
; f)
2 3 2
2
3sin ( 2)
lim
2 3
n n
n
+ +
−
.
Bài 2. Tìm các giới hạn sau :
a)
7
5
3342
lim
3
23
+−
++−
n
n
nnn

; b)
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n
+ + +
;
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

49

c)
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
2 3 4 7
lim
3 4 5 1
n n
n n
− +
− +

; d)
(
)
(
)
( )
4
22
12
271
lim
+
+−
n
nn
;
e)








+
−
+
+
15

51
32
2
lim
2
2
3
n
n
n
n
; f)
nnn
nn
3
1173
lim
45
35
−+
−+−

Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a)
+ +
+ +
3
2 6
4 2
1

lim
1
n n
n n
; b)
nnn
nn
−+
++
4 3
2
1
lim ;
c)
2
lim
3
3
+
+
n
nn
; d)
32
232
lim
2
4
+−
−+

nn
nn
;
e)
(
)
(
)
5
5
2
5
2
11
lim
n
nnnn −++−−
; f)
12
lim
4
3
+
++
n
nnn
.
Bài 4. Tìm các giới hạn sau :
a)
(

)
1213lim −−− nn ; b)
2 2
lim 2
n n n
 
+ − +
 
 
;
c)
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
− − +
+ −
; d)
3
3
lim 2 1
n n n
 
− + −
 
 
;

e)
(
)
3
3
lim 1
n n
+ − ; f)
(
)
3
2 2 3
lim 2 3
n n n n
+ + − + .
Bài 5. Tìm các giới hạn sau :
a)
1 3
lim
4 3
n
n
+
+
; b)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n

n n
+
+
+
;
c)
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
+ −
+
; d)
n
nn
5.37
5.23
lim
+
−
;
e)
1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
n n
n n
+

− +
−
; f)
2
2
2 2 2
1
3 3 3
lim
1 1 1
1
5 5 5
n
n
   
+ + + +
   
   
   
+ + + +
   
   
.
Bài 6. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
21
lim
n
n

+
+
+
; b)
2
. 1 3 (2 1)
lim
2 1
n n
n n
+ + + −
+ +
;
c)
( )
2
2 2
3
1 3 2 1
lim
n
n
+ + + +
; d)







+
+++
)22(2
1

6.4
1
4.2
1
lim
nn
;
e) Cho = + + +
+ + + + +

1 1 1
1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)
n
u
n n n n
.
Tìm
lim
n
u
.
f)
(
)
( )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +


2 4 6 8 2
lim
3 5 7 2 1
n
n
; g)
1
2
cos4sin3
lim
+
+
n
nn
.
Bài 7. Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi:
+ +

= =

= + ≥

1 2
2 1

0; 1
2 , ( 1)
n n n
u u
u u u n

a) Chứng minh rằng:
+
− +
1
1
1
2
n n
u u
, ∀n ≥ 1.
b) Đặt
2
3
n n
v u
= −
. Tính
n
v
theo
n
. Từ đó tìm
lim
n

u
.
ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 4: Giụựi haùn Naờm:
2010 - 2011

TTLT 1A Tan Hai

50

Bi 8. Tỡm
lim
n
u
bit :
a)
( )
1
*
1
3
1
2
n
n
u
u
u n
+
=

+
=



; b)
( )
( )
1
1
1
:
2 3
, 1
2
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
=

+

=

+

.
Bi 9. Tớnh cỏc tng sau :
a)
1 1
5 5 1
5
5
S
= + + +

; b)
2 3
3 3 3
4 4 4
S

= + + +



.
Bi 10. Tỡm cụng bi ca mt cp s nhõn lựi vụ hn . Bit tng ca nú l 64 v
3
6

u
=
.
Bi 11. Cho cp s nhõn
(
)
n
u
lựi vụ hn cú tng l 12 , hiu s hng u v s hng th hai l
3
4
v s hng u
tiờn l s dng . Tỡm s hng u tiờn v cụng bi ca cp s nhõn ú .
Bi 12. Biu din di dng phõn s , cỏc s thp phõn vụ hn tun hon sau :
a)
0,467467467
x
=

b)
3,123412341234
y
=


Bi 13. Tỡm cỏc gii hn sau :
a)
4 2
3 2
2 3

lim
3 2 1
n n
n n
+
+
; b)
(
)
1173lim
3
+ nn ;
c)
3
3
21lim nn +
; d)
12
1
lim
++ nn
;
e)
(
)
nnn ++ 3lim
2
; f)
+ +
+

+
1 2
4 8
lim
5 6
n n
n n
;
g)
(
)
3 3 2
lim 3 3
n n n n
; h)
4 6
1 4 2
lim
n n
n n

+ +




;
i)
(
)

2
lim 2cos3 2
n n
+
; k)
2
2
2 3
lim
3 4
n
n n
+
+ +
.


Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

51

§2.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
1.1.

Giới hạn hữu hạn : Cho
(
)
0
;
x a b
∈
,
(
)
f x
là hàm số xác định trên tập hợp:
(
)
{
}
0
; \
D a b x
=
, nếu với
mọi dãy số
(
)
n
x
với
(
)
{

}
0
; \
n
x a b x
∈
sao cho
0
lim
n
x x
=
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x L
=
, thì lúc đó ta nói
hàm số
(
)
f x
có giới hạn là
L
khi dần đến
0
x
và được kí hiệu :

(
)
0
lim
x x
f x L
→
=
.
•
••
•
Chú ý :
0
0
lim
x x
x x
→
=
;
→
=
0
lim
x x
C C
, (C : hằng số).
1.2.
Giới hạn vơ cực : Cho

(
)
0
;
x a b
∈
,
(
)
f x
là hàm số xác định trên tập hợp:
(
)
{
}
0
; \
D a b x
=
,
•
••
•
Nếu với mọi dãy số
(
)
n
x
với
(

)
{
}
0
; \
n
x a b x
∈
sao cho
0
lim
n
x x
=
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x
= + ∞
thì ta
nói
(
)
→
= + ∞
0
lim
x x

f x .
•
••
•
Nếu với mọi dãy số
(
)
n
x
với
(
)
{
}
0
; \
n
x a b x
∈ sao cho
0
lim
n
x x
=
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x

= −∞
thì ta
nói
(
)
→
= −∞
0
lim
x x
f x .
2. Giới hạn của hàm số tại vơ cực
2.1.
Các định nghĩa :
•
••
•
Cho
(
)
f x
là hàm số xác định trên
(
)
;a
+ ∞
, nếu với mọi dãy số
(
)
n

x
với
(
)
;
n
x a
∈ + ∞
và
lim
n
x
= + ∞
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x L
=
thì ta nói
(
)
→+ ∞
=
lim
x
f x L
.
•

••
•
Các giới hạn :
(
)
→+ ∞
= + ∞
lim
x
f x
;
(
)
→+ ∞
= −∞
lim
x
f x
;
(
)
→− ∞
=
lim
x
f x L
;
(
)
→− ∞

= + ∞
lim
x
f x
;
(
)
→− ∞
= −∞
lim
x
f x
được định nghĩa hồn tồn tương tự .
2.2.
Các giới hạn đặc biệt :
•
••
•
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
;
lim
k
x
nếu k chẵn
x

nếu k lẻ
→−∞

+∞
=

−∞


•
••
•

→±∞
=
lim
x
C C
, (
C
là hằng số) ;
→±∞
=
lim 0
k
x
C
x
.

3. Một số định lí về giới hạn
3.1.
Định lí 1 : Nếu
( )
→
→± ∞
=
0
lim ( )
x x
x
f x L
và
( )
→
→± ∞
=
0
lim ( )
x x
x
g x M
thì :
•
••
•

( )
[
]

→
→± ∞
+ = +
0
lim ( ) ( )
x x
x
f x g x L M
;
( )
[
]
→
→± ∞
− = −
0
lim ( ) ( )
x x
x
f x g x L M

•
••
•

( )
[
]
→
→± ∞

=
0
lim ( ). ( ) .
x x
x
f x g x L M
;
( )
[
]
→
→± ∞
= ⋅
0
lim . ( )
x x
x
C f x C L
;
→
= ⋅
0
0
lim .
k k
x x
C x C x
, (
C
là hằng số , k

+
∈

).
•
••
•

( )
→
→± ∞
=
0
( )
lim
( )
x x
x
f x L
g x M
(nếu M ≠ 0) .
3.2.
Định lí 2 : Giả sử
( )
→
→± ∞
=
0
lim ( )
x x

x
f x L

•
••
•
( )
→
→± ∞
=
0
lim ( )
x x
x
f x L
;
( )
→
→± ∞
=
0
3
3
lim ( )
x x
x
f x L
;
Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

52

•
••
•
Nếu
(
)
(
)
{
}
(
)
0 0 0
0 , ; \ , 0
f x x x x x
ε ε ε
≥ ∀ ∈ − + >
và
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
thì

0
L
≥
và
0
lim ( )
x x
f x L
→
= .
3.3.
Định lí 3 : Cho 3 hàm số
(
)
(
)
(
)
, ,
f x g x h x
xác định trên tập :
(
)
{
}
(
)
0 0 0
; \ , 0
D x x x

ε ε ε
= − + >

Nếu
(
)
(
)
(
)
,
g x f x h x x D
≤ ≤ ∀ ∈
và
→ →
= =
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x h x L
thì :
→
=
0
lim ( )
x x
f x L
.
•
••

•
Từ đó ta chứng minh được :
(
)
( )
( )
→ → →
= ⇒ = =
0 0
0
sin
sin
lim 1 lim 1 khi lim 0
x x x x x
u x
x
u x
x
u x
.
4. Giới hạn một bên
4.1.
Các định nghĩa :
•
••
•
Giới hạn bên phải : Giả sử
(
)
f x

là hàm số xác định trên khoảng
(
)
0
;
x b
, nếu với mọi dãy số
(
)
n
x
với
0
n
x x
>
và
0
lim
n
x x
=
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x L
=
, thì lúc đó ta nói hàm số

(
)
f x
có giới hạn bên phải
là số thực
L
khi dần đến
0
x
và được kí hiệu :
(
)
0
lim
x x
f x L
+
→
=
.
•
••
•
Giới hạn bên trái : Giả sử
(
)
f x
là hàm số xác định trên khoảng
(
)

0
;
a x
, nếu với mọi dãy số
(
)
n
x
với
0
n
x x
<
và
0
lim
n
x x
=
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x L
=
, thì lúc đó ta nói hàm số
(
)
f x

có giới hạn bên trái là
số thực
L
khi dần đến
0
x
và được kí hiệu :
(
)
0
lim
x x
f x L
−
→
=
.
•
••
•
Giới hạn vơ cực : Giả sử
(
)
f x
là hàm số xác định trên khoảng
(
)
0
;
x b

, nếu với mọi dãy số
(
)
n
x
với
0
n
x x
>
và
0
lim
n
x x
=
, ta đều có :
(
)
lim
n
f x
= + ∞
, thì lúc đó ta nói hàm số
(
)
f x
có giới hạn bên
phải là vơ cực khi dần đến
0

x
và được kí hiệu :
(
)
0
lim
x x
f x
+
→
= + ∞
.
Các định nghĩa :
(
)
0
lim
x x
f x
+
→
= −∞
,
(
)
0
lim
x x
f x
−

→
= + ∞
,
(
)
0
lim
x x
f x
−
→
= − ∞
được phát biểu tương tự trên .
4.2.
Định lí :
(
)
(
)
(
)
0
0 0
lim lim lim
x x
x x x x
f x L f x f x L
+ −
→
→ →

= ⇔ = =


(
)
(
)
(
)
0
0 0
lim lim lim
x x
x x x x
f x f x f x
+ −
→
→ →
= + ∞ ⇔ = = + ∞


(
)
(
)
(
)
0
0 0
lim lim lim

x x
x x x x
f x f x f x
+ −
→
→ →
= −∞ ⇔ = = − ∞
.
5. Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực :
•
••
•
Nếu
→
= + ∞
0
lim ( )
x x
f x
thì
( )
→
=
0
1
lim 0
x x
f x
;
•

••
•
Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
≠ 0 và
→
= ± ∞
0
lim ( )
x x
g x
thì:
→
→
→

+∞

⋅ =

−∞


0
0

0
nếu và cùngdấu
nếu và tráidấu
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
L g x
f x g x
L g x
;
•
••
•
Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
≠ 0 và
→
=
0
lim ( ) 0
x x
g x

thì:
→

+ ∞ >
=

− ∞ <

0
nếu
nếu
( )
. ( ) 0
lim
. ( ) 0
( )
x x
f x
L g x
L g x
g x
.
B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
1. Tìm giới hạn của hàm số


1.1.
Phương pháp :
•
••

•
Dựa theo các định nghĩa về giới hạn của hàm số ( giới hạn hữu hạn , giới hạn vơ cực …) .
•
••
•
Dựa vào các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số , các quy tắc tìm giới hạn vơ cực …
•
••
•
Chú ý :
Để chứng minh một hàm số khơng có giới hạn khi
0
x x
→ (hoặc
x
→ ± ∞
) , ta chọn hai dãy số
(
)
(
)
, '
n n
x x

cùng thuộc tập xác định của hàm số sao cho
0 0
, '
n n
x x x x

≠ ≠ và
(
)
(
)
0
lim lim '
n n
x x x
= =
rồi chứng
minh
(
)
(
)
lim lim '
n n
f x f x
≠ , hoặc chứng minh một trong hai giới hạn trên khơng tồn tại .
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

53

1.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1.
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
a)
→−
− −
+
2
1
3 4
lim
1
x
x x
x
; b)
( )
→
−
−
2
2
1
4
lim
1
x
x
x
;
c)

→− ∞
 
− +
 
 
2
lim 9 2
x
x x
; d)
( )
→
−
−
2
2
lim 2 sin
4
x
x
x
x
.
Ví dụ 2.

Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại :
a)
→−
+
1

3
lim sin
1
x
x
; b)
(
)
→− ∞
+
lim cos 2 1
x
x

Ví dụ 3.

Tìm các giới hạn sau :
a)
(
)
→−
− +
2
1
lim 3 2 1
x
x x
; b)
(
)

(
)
→
− +
+
3
2
2
3 1
lim
3
x
x x x
x
.

Ví dụ 4.

Tìm các giới hạn sau :
a)
6
lim
3
2
3
−−
→
xx
x
x

; b)
3
2
4
2
2
232
lim
+−
++
−→
xx
xx
x
.

Ví dụ 5.

Tìm các giới hạn sau :
a)
2
2
2
3 2
lim
4
x
x x
x
→

− +
−
; b)
3
2 3
3 1
lim
2
x
x x
x x
→−∞
− +
−
.

Ví dụ 6.

Tìm các giới hạn sau :
a)
3 2
1
lim
4
x
x
x
x x
→+ ∞
−

+
; b)
2
3 1
lim
9 2 1
x
x
x x
→−∞
−
+ −
.

Ví dụ 7.

Tìm các giới hạn sau :
a)
+
→
− + −
−
2
1
1 3 2
lim
1
x
x x
x

; b)
→
− +
−
2
3
4 3
lim
3
x
x x
x
.

Ví dụ 8.

Cho hàm số :

− +
>


−
=


− ≤


2

2
khi
khi
3 2
1
1
( )
1
2
x x
x
x
f x
x
x
. Tìm các giới hạn sau :
a)
(
)
−
→
1
lim
x
f x
; b)
(
)
+
→

1
lim
x
f x
; c)
(
)
→1
lim
x
f x
, (nếu có) .
Ví dụ 9.

Tìm các giới hạn sau :
a)
2
15
lim
2
x
x
x
+
→
−
−
; b)
−
→

+ −
−
2
3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
.

Ví dụ 10.

Tìm các giới hạn sau :
a)
( )
+
→ −
− +
+
2
2
3 1
lim
2
x
x x
x
; b)

(
)
(
)
→+ ∞
− + −
− +
2 1 3 2
lim
4 2
x
x x x
x x
.


2. Các dạng vô định


2.1.
Dạng
0
0
: Nếu
( ) ( )
→ →
→± ∞ →± ∞
= =
0 0
lim ( ) 0 ; lim ( ) 0

x x x x
x x
f x g x
thì
( )
( )
→
→± ∞
0
( )
lim
x x
x
f x
g x
được gọi là có dạng vô định
0
0
. Để
tính được các giới hạn dạng này ta phải khử dạng vô định , có một số loại thường gặp và cách khử dạng vô
định của chúng như sau :
•
Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng :
(
)
( )
P x
Q x
trong đó
(

)
,
P x

(
)
Q x
là hai đa thức của
x
.
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

54

Để khử dạng vô định ta biến đổi
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 1
0 1
m
n
P x x x P x
Q x
x x Q x
− ⋅

=
− ⋅
rồi giản ước các thừa số có dạng

( ) ( )
0
; max ,
k
x x k m n
− = .
•
Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có chứa dấu căn : ta nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức
chứa căn tiến về 0, rồi làm tương tự như dạng trên ta sẽ khử được dạng vô định .
2.2.
Dạng
∞
∞
:
Nếu
( ) ( )
→ →
→± ∞ →± ∞
= ± ∞ = ± ∞
0 0
lim ( ) ; lim ( )
x x x x
x x
f x g x
thì
( )

→
→± ∞
0
( )
lim
( )
x x
x
f x
g x
được gọi là có dạng vô định
∞
∞
.
Chia tử và mẫu cho
k
x
với
k
x
là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu , (hoặc rút
k
x
làm nhân tử ) sau
đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn hoặc các quy tắc về giới hạn vô cực .
2.3.
Dạng
0 × ∞
0 × ∞0 ×∞
0 × ∞

;
∞ − ∞
∞ − ∞∞ − ∞
∞ − ∞
: Nếu
( ) ( )
→ →
→± ∞ →± ∞
= = ± ∞
0 0
lim ( ) 0 ; lim ( )
x x x x
x x
f x g x
thì
( )
→
→± ∞
 
 
0
lim ( ). ( )
x x
x
f x g x
được gọi là có
dạng vô định
0×∞
.
Nếu

( ) ( )
→ →
→± ∞ →± ∞
= + ∞ = + ∞
0 0
lim ( ) ; lim ( )
x x x x
x x
f x g x
thì
( )
→
→± ∞
 
−
 
0
lim ( ) ( )
x x
x
f x g x
được gọi là có dạng vô định
∞ − ∞
. Khi gặp hai dạng này thì ta tìm các đưa về một trong hai dạng đầu .
2.4.
Chú ý :
Để tìm giới hạn của hàm khi
0
x x
→ (hoặc

x
→ ± ∞
) , thì trước hết ta phải xét xem có gặp phải dạng vô
định hay không ? Nếu không gặp phải dạng vô định thì ta có ngay kết quả . Nếu gặp phải dạng vô định thì
vận dụng các phương pháp nêu trên để khử dạng vô định .

2.5.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 11. Tìm các giới hạn sau :

a)
253
103
lim
2
2
2
−−
−+
→
xx
xx
x
; b)
6
293
lim
3
23

2
−
−
−−+
→
x
x
xxx
x
.

Ví dụ 12. Tìm các giới hạn sau :


a)
→
+ + + −
−

2
1
lim
1
n
x
x x x n
x
; b)
2
1

)1(
1
lim
−
−+−
→
x
nnxx
n
x

.

Ví dụ 13. Tìm các giới hạn sau :


a)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
→
+ −
−
; b)
2

2 2
lim
7 3
x
x
x
→
+ −
+ −

.

Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau :


a)
x
x
x
141
lim
3
0
−+
→
; b)
23
2423
lim
2

3
2
3
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
.
Ví dụ 15. Tìm các giới hạn sau :


a)

23
1
lim
2
3
1
−+
+
−→
x
x
x
; b)
1

75
lim
2
3 23
1
−
+−−
→
x
xx
x
.

Ví dụ 16. Tìm các giới hạn sau :
a)
3
2 3
3 1
lim
2 6 6
x
x x
x x
→+ ∞
+ +
− −
; b)
( ) ( )
( )
20 30

50
2 3 3 2
lim
2 1
x
x x
x
→ − ∞
− +
+
.
Ví dụ 17. Tìm các giới hạn sau :

a)
2
2
(2 1) 3
lim
5
x
x x
x x
→−∞
− −
−
; b)
2
2
4 2 1 2
lim

9 3 2
x
x x x
x x x
→±∞
− + + −
− +

Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

55

Ví dụ 18. Tìm các giới hạn sau :

a)
+
→
 
−
 
− + − +
 
2 2
2
1 1
lim
3 2 5 6

x
x x x x
; b)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
→+∞
 
− − − −
 
 
.
Ví dụ 19. Tìm các giới hạn sau :

a)
3
2 3
lim 1 1
x
x x
→+∞
 
+ − −
 
 
; b)
(
)
3

3 2
lim 3 1 2
x
x x
→−∞
− + +
.
Ví dụ 20. Tìm các giới hạn sau :

a)
+
→
−
−
2
2
lim ( 2)
4
x
x
x
x
; b)
→+ ∞
+ −
− +
2
1 8 3
lim
4 2 4

x
x x
x x
.

3. Giới hạn hàm lượng giác


3.1.
Phương pháp : Dùng các công thức lượng giác biến đổi giới hạn đã cho thành tích và ước lược các thừa số
tiến tới 0 để khử dạng vô định
0
0
hoặc thành dạng có thể áp dụng được các công thức sau :
•
→
=
0
sin
lim 1
x
x
x
hoặc
(
)
( )
( )
→ →
= =

0 0
khi
sin
lim 1 lim 0
x x x x
u x
u x
u x

3.2.
Chú ý : Ta có thể chứng minh được :
•
→
=
0
lim 1
sin
x
x
x
;
→ →
= =
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x

.
•
→
=
0
0
lim sin sin
x x
x x
;
→
=
0
0
lim cos cos
x x
x x
;
π
π
→
 
= ≠ +
 
 
0
0 0
lim tan tan ,
2
x x

x x x k

(
)
π
→
= ≠
0
0 0
lim cot cot ,
x x
x x x k
.

3.3.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 21. Tìm các giới hạn sau :

a)
x
x
x
5sin
lim
0→
; b)
2
0
cos1

lim
x
x
x
−
→
.
Ví dụ 22. Tìm các giới hạn sau :

a)
0
cos5 cos3
lim
.sin 2
x
x x
x x
→
−
; b)
2
0
1 cos .cos2 .cos3
lim
x
x x x
x
→
−
.

Ví dụ 23. Tìm các giới hạn sau :


a)






−
→
xx
x
4
tan.2tanlim
4
π
π
; b)
x
x
x
sin21
4
sin
lim
4
−







−
→
π
π
.
Ví dụ 24. Tìm các giới hạn sau :


a)
)1tan(
23
lim
1
−
−+
→
x
xx
x
; b)
x
xx
x
sin
112

lim
3
2
0
+−+
→
.
C. BÀI TẬP
Bài 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
a)
(
)
→−
− +
2
1
lim 2 3 2
x
x x
; b)
( )
→
− −
−
2
2
3
3 4
lim
3

x
x x
x
;
c)
→+ ∞
 
+ − +
 
 
2 2
lim 1 9 2
x
x x x
; d)
( )
→
−
−
2
1
lim 1 cos
1
x
x
x
x
.
Bài 2. Chứng minh các dãy số sau không có giới hạn:
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:

2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

56

a)
(
)
→+ ∞
+
lim cos 3 1
x
x
; b)
→
+
−
1
2
lim sin
1
x
x
x
;
c)
( ) ( )
(
)

( )
→

+ − ≥

=

+ <


2
2
khi
2 1 1
lim
3 5 1
x
x x x
f x f x
x x
.
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a)
2 3
0
1
lim
1
x
x x x

x
→
+ + +
+
; b)
4
1
1
lim
3
x
x
x x
→−
−
+ −

c)
2
1
2 3
lim
1
x
x x
x
→
− +
+
; d)

3
2
2
3 4 3 2
lim
1
x
x x
x
→
− − −
+

e)
2
sin
4
lim
x
x
x
→
 
−
 
 
π
π
; f)
(

)
→
+
2
0
lim 1 cos3
x
x x
.
Bài 4. Tìm các giới hạn sau :
a)
5
152
lim
2
5
+
−+
−→
x
xx
x
; b)
2012
65
lim
2
2
4
+−

+−
−→
xx
xx
x
;
c)
6
23
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x
; d)
32
1
lim
2
4
1
−+
−
→
xx

x
x
;
e)
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
→
−
−
; f)
2
1
)(
)(
lim
ax
axnaax
nnn
ax
−
−−−
−
→

.
Bài 5. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
0
1 1
lim
x
x
x
→
+ −
; b)
(
)
x
xxx
x
+−+−
→
121
lim
2
0
;
c)
→
+ −
+ −
2

0 2
4 2
lim
9 3
x
x
x
; d)
2
583
lim
3
2
−
+−
→
x
xx
x
;
e)
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x
→
+ + −
; f)

0
9 16 7
lim
x
x x
x
→
+ + + −
;
g)
→
+ + + + − +
−
2 2 2
2
1
3 2 4 19 3 46
lim
1
x
x x x x
x
.
Bài 6. Tìm các giới hạn sau :
a)
11
lim
3
0
−+

→
x
x
x
; b)
→
−
+ −
3
3
1
1
lim
4 4 2
x
x
x
;
c)
x
axa
x
33
0
lim
−+
→
; d)
1
1

lim
4
3
1
−
−
→
x
x
x
;
e)
x
x
n
x
11
lim
0
−+
→
; f)
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
m
x
x

x
→
+ −
+ −
.
Bài 7. Tìm các giới hạn sau :
a)
x
xx
x
3
0
812
lim
−−−
→
; b)
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
→
+ − −
;
c)
23
2423

lim
2
2
3
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
; d)
3
2
2
8 11 7
lim
2 5 2
x
x x
x x
→
+ − +
− +
;
e)
3
3
2
1

3 4 24 2 8 2 3
lim
4
x
x x x
x
→
− + + − −
−
.
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

57

Bài 8. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
+
→
+ −

−
; b)
2
2
4
lim
2
x
x
x
+
→
−
−
;
c)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
+
→
−
− +
; d)
2

2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
−
→
−
− +
;
e)
2
4463
lim
2
2
−
+−+−
→
x
xxx
x
; f)
320
4
2
lim
xx

x
x
+
→
.
Bài 9. Tìm giới hạn của các hàm số sau , tại các điểm đã chỉ ra :
a)
2
9
3
( ) 3
3
1 3
x
khi x
f x taïi x
x
x khi x

−

<
= =

−

− ≥

;
b)

3
1 1
0
1 1
( ) 0
3
0
2
x
khi x
x
f x taïi x
khi x

+ −
>


+ −
= =


≤


;
c)
( )
( )
( )

( )
2
1
(2 3) , 1
5
6 5 , 1 3
3 , 3
x x
f x x x
x x

+ ≤


= − < <


− ≥


. Tìm
)(lim
1
xf
x→
;
)(lim
3
xf
x→

;
d)
( )
3
2 2
khi
khi
1 3
1
1 1
2 1 1
x
f x
x x
m x mx x

− >

=
− −


− + ≤

, tại
0
1
x
=
;

e) Cho
2
5 6 ; 2
( )
4 ; 2
x x x
f x
mx x

− + >

=

+ ≤


. Tìm
m
để
(
)
f x
có giới hạn tại
2
x
=
.
Bài 10. Tìm các giới hạn sau :
a)
2

2
1
lim
2 1
x
x
x x
→+∞
+
− +
; b)
→− ∞
+
− +
2
3 2
2 1
lim
3 2
x
x
x x
;
c)
2
2
(2 1) 3
lim
5
x

x x
x x
→−∞
− −
−
; d)
2
5 2
lim
2 1
x
x x
x
→−∞
− +
+
;
e)
2
2
2 3
lim
4 1 2
x
x x x
x x
→+∞
+ +
+ − +
; f)

2
1
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+
+ +

g)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x
→±∞
− + + −
− +
; h)
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x

x x x
x x
→±∞
+ + + +
+ + −
.
Bài 11. Tìm các giới hạn sau :
a)
(
)
21lim
22
−−+
+∞→
xxx
x
; b)






−++
+∞→
xxxx
x
3333lim
;
c)

(
)
3
3 2
lim 6
x
x x x
→ ± ∞
+ −
; d)
(
)
3
3 2
lim 3 1 2
x
x x
→−∞
− + +
;
e)
(
)
xxx
x
+−−+
+∞→
122lim
; f)
(

)
xxxxx
x
++−+
+∞→
22
22lim
;
g)
(
)
3
2 3 2
lim 2 4 3 3 7 3
x
x x x x x
→+∞
− + − − +
.
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

58

Bài 12. Tìm các giới hạn sau :
a)
x
x

x
3
2tan
lim
0→
; b)
3
0
45
sin.3sin.5sin
lim
x
xxx
x→
;
c)
a
x
ax
ax
−
−
→
sinsin
lim
; d)
x
x
x
x

sin
cos1
lim
3
0
−
→
;
e)
2
0
1 cos
lim
x
ax
x
→
−
; f)
2
0
1 cos .cos2 . .cos
lim
x
x x nx
x
→
−

;

g)
( )
2
tan1lim
1
x
x
x
π
−
→
; h)
x
x
x
−
→
1
2
cos
lim
1
π
;
i)
x
xx
x
4
cossin

lim
4
+
+
−→
π
π
; k)
(
)
x
x
x
sin21
sin
lim
6
6
−
−
→
π
π
;
l)
3
0
sin1tan1
lim
x

xx
x
+−+
→
; m)
2
cos3 1 sin3
lim
1 sin
x
x x
x
π
→
+ −
−
;
n)
3
2 2
0
2 1 4 1
lim
1 cos
x
x x
x
→
+ − +
−

; o)
3sin 2cos
lim
1
x
x x
x x
→+ ∞
+
+ +
.

ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 4: Giụựi haùn Naờm:
2010 - 2011

TTLT 1A Tan Hai

59

Đ3.
HM S LIấN TC

A. KIN THC CN NH
1. Cỏc khỏi nim v hm s liờn tc
1.1.
Hm s liờn tc ti mt im : Hm s
(
)
y f x
=

liờn tc ti
0
x
khi v ch khi
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

= .
1.2.
Hm s liờn tc trờn mt khong : Hm s
(
)
y f x
=
liờn tc trờn khong
(
)
;
a b
khi nú liờn tc ti
mi im thuc khong ú.
1.3.
Hm s liờn tc trờn mt on [a ; b]: Hm s
(
)
y f x
=

liờn tc trờn
[
]
;
a b
khi nú liờn tc trờn
khong
(
)
;
a b
v
+




=


=


lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
x a
x b
f x f a
f x f b
.

2. Cỏc tớnh cht ca hm s liờn tc
2.1.
nh lớ 1 :



Hm s a thc liờn tc trờn

.



Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng.
2.2.
nh lớ 2 : Gi s
(
)
(
)
,
y f x y g x
= =
liờn tc ti im
0
x
. Khi ú:


Cỏc hm s
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
y f x g x y f x g x y f x g x
= + = =
liờn tc ti
0
x
.


Hm s
=
( )
( )
f x
y
g x
liờn tc ti
0
x

nu
(
)
0
0
g x

.
2.3.
nh lớ 3 : Nu
(
)
y f x
=
liờn tc trờn
[
]
;
a b
. t


=
;
min ( )
a b
m f x
,

=
;
max ( )
a b
M f x
. Khi ú vi mi
(
)
;
C m M

luụn tn ti ớt nht mt s
(
)
;
c a b

sao cho
(
)
f c C
=
.



H qu 1: Nu
(
)
y f x

=
liờn tc trờn
[
]
;
a b
v
(
)
(
)
0
f a f b
<
thỡ tn ti ớt nht mt s
(
)
;
c a b


sao cho
(
)
0
f c
=
.

Núi cỏch khỏc: Nu
(
)
y f x
=
liờn tc trờn
[
]
;
a b
v
(
)
(
)
0
f a f b
<
thỡ phng trỡnh
(
)
0
f x
=
cú
ớt nht mt nghim
(
)
;
c a b

.



H qu 2: Nu
(
)
y f x
=
liờn tc trờn
[
]
;
a b
v
(
)
(
)
0, ;
f x x a b

thỡ
(
)
f x
khụng i du
trờn
(

)
;
a b
.
B. CC DNG TON THNG GP :
1. Xột tớnh liờn tc ca hm s ti mt im


1.1.
Phng phỏp : xột tớnh liờn tc ca hm s
(
)
y f x
=
ti im
0
x
ta thc hin cỏc bc:



Tớnh
(
)
0
f x
.

Tớnh
0
lim ( )
x x
f x

(trong nhiu trng hp tớnh
0
lim ( )
x x
f x

ta cn tớnh
0
lim ( )
x x
f x
+

v
0
lim ( )
x x
f x


) .

So sỏnh
0
lim ( )
x x
f x

vi
(
)
0
f x
v rỳt ra kt lun .
1.2.
Cỏc vớ d minh ha :

Vớ d 1.
Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s ti cỏc im ó ch ra :
a)




= =

+

=

khi
taùi

khi
3
1
( ) , 1
1
1 1
x
x
f x x
x
x
; b)


>

= =



+

2
khi
taùi
khi
5
5
( ) , 5
2 1 3

( 5) 3 5
x
x
f x x
x
x x
.
Vớ d 2.

Tỡm
m
hm s liờn tc ti im ó ch ra :

+


= =



+ =

3 2
khi
taùi
khi
2 2
1
( ) 1
1

3 1
x x x
x
f x x
x
x m x
.
Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

60


2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng , đoạn


2.1.
Phương pháp :
•
••
•
Để xét tính liên tục của hàm số
(
)
y f x
=
trên một khoảng đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục
trên khoảng , đoạn và các định lí 1 , 2 để suy ra kết luận .

•
••
•
Cần biết thêm
(
)
f x
liên tục trên
[
)
;
a b
khi nó liên tục trên khoảng
(
)
;
a b
và
+
→
=
lim ( ) ( )
x a
f x f a
.
(
)
f x
liên tục trên
(

]
;
a b
khi nó liên tục trên khoảng
(
)
;
a b
và
−
→
=
lim ( ) ( )
x b
f x f b
.
2.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó :


−
≠

=

−

=


2

khi
khi
2
2
( )
2
2 2 2
x
x
f x
x
x
.
Ví dụ 4. Tìm
m
để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó :


+ <


= =

+ >

2
khi

khi
khi
1
( ) 2 1
1 1
x x x
f x x
mx x
.
Ví dụ 5. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau :
a)
( )
2
2
3 4 5
4 3
x x
f x
x x
− +
=
− +
; b)

− ≤
=

+ >

khi

khi
1 cos 0
( )
1 0
x x
f x
x x
.

3. Chứng minh phương trình có nghiệm


3.1.
Phương pháp :
•
••
•
Biến đổi phương trình thành dạng :
(
)
0
f x
=

•
••
•
Tìm ra hai số
,
a b

sao cho
(
)
⋅ <
( ) 0
f a f b
.
•
••
•
Chứng minh
(
)
f x
liên tục trên
[
]
;
a b
từ đó suy ra
=
( ) 0
f x
có nghiệm .


 Chú ý :
o
Nếu
(

)
⋅ ≤
( ) 0
f a f b thì phương trình có nghiệm thuộc
[
]
;
a b
.
o
Nếu
(
)
f x
liên tục trên
[
)
;a
+ ∞
và
(
)
→+ ∞
⋅ <
( ) lim 0
x
f a f b
thì phương trình
=
( ) 0

f x
có
nghiệm thuộc
(
)
;a
+ ∞
.
o
Nếu
(
)
f x
liên tục trên
[
)
;
b
− ∞ và
(
)
→− ∞
⋅ <
lim ( ) 0
x
f x f b
thì phương trình
=
( ) 0
f x

có
nghiệm thuộc
(
)
;
b
− ∞ .
o
Để chứng minh
=
( ) 0
f x
có ít nhất
n
nghiệm trên
[
]
;
a b
, ta chia đoạn
[
]
;
a b
thành
n
đoạn
nhỏ rời nhau , rồi chứng minh trên mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm .

3.2.

Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm::
a)
5
3 3 0
x x
− + =
; b)
+ − + + =
4 3 2
3 1 0
x x x x .
Ví dụ 7. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm::
a)
2 3 2
(1 )( 1) 3 0
m x x x
− + + − − =
; b)
(2cos 2) 2sin5 1
m x x
− = +
.
Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình:
5 3
5 4 1 0
x x x
− + − =
(1) có đúng 5 nghiệm trên

(
)
2 ; 2
− .
Ví dụ 9. Tìm m để phương trình :
(
)
(
)
3 2
3 2 2 3 0 1
x x m x m− + − + − = có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x

sao
cho
1 2 3
1
x x x
< − < <
.
Ví dụ 10. Chứng minh phương trình
4
3 0
x x
− − =
luôn có ít nhất một nghiệm
0

x
thỏa mãn điều kiện :
7
0
48
x >

Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm:
2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai

61

4. Xét dấu một biểu thức


4.1.
Phương pháp :
Ta áp dụng hệ quả : Nếu
(
)
y f x
= liên tục trên
[
]
;
a b
và
(

)
0,
f x
≠

(
)
;
x a b
∀ ∈ thì
(
)
f x
không đổi
dấu trên
(
)
;
a b
để xét dấu biểu thức
(
)
f x
trên miền
D
theo các bước sau :
•
••
•
Tìm các điểm gián đoạn của

(
)
f x
trên
D
.
•
••
•
Tìm tất cả các số
(
)
, 1,
i
x D i n
∈ = sao cho
(
)
0
i
f x
=
.
•
••
•
Chia miền
D
thành những khoảng nhỏ bởi các điểm gián đoạn của
(

)
f x
và các điểm
(
)
, 1,
i
x D i n
∈ =
vừa tìm ở bước 2 .
•
••
•
Trên mỗi khoảng nhỏ đó lấy một số m tùy ý , tính
(
)
f m
, dấu của
(
)
f x
trên khoảng đó chính là dấu của
(
)
f m
. Từ đó suy ra được dấu của
(
)
f x
trên miền

D
.

4.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 11. Xét dấu các biểu thức sau :
a)
(
)
= − − + −
4 3 2
2 7 5 28 12
f x x x x x
; b)
( )
= − + −
2 2
3 9
g x x x
.
Ví dụ 12. Giải các bất phương trình sau:
a)
( )
− − ≥ −
2 2
3 4 9
x x x ; b)
( )( )
1 4 1 4 5

x x x x
+ + − + + − ≥
.

 Chú ý : Dựa vào phương pháp này ta có thể chuyển việc giải một bất phương trình
(
)
0
f x
>
(thường là phải
lập luận phức tạp) về giải việc giải một phương trình
(
)
0
f x
=
(có cách giải đơn giản hơn) , sau đó xét dấu
(
)
f x
và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình .
C. BÀI TẬP
Bài 13. Xét tính liên tục của các hàm số sau , tại các điểm đã được chỉ ra:
a)

+ −

≠
= =


−

=

2
2
khi
taïi
khi
2 3
1
( ) , 1
1
2 1
x x
x
f x x
x
x
; b)

− + −

≠
= =

− +

=


2 3
2
khi
taïi
khi
2 7 5
2
( ) , 2
3 2
2 2
x x x
x
f x x
x x
x


c)

+ −
≠


−
= =


=



khi
taïi
khi
3 2
1
1
( ) , 1
1
1
4
x
x
x
f x x
x
; d)

−
>

= =

− −

− + ≤

2
khi
taïi

khi
5
5
( ) , 5
2 1 3
( 5) 3 5
x
x
f x x
x
x x
;
e)

+ − −
>

− +



= = =


+
<


3
khi

khi taïi
khi
3 1 1
1
2 2 6
3
( ) 1 , 1
2
1
1
2
x x
x
x
f x x x
x
x
; f)

−
<


= =


+ ≥


2

khi
taïi
khi
1 cos
0
( ) , 0
1
0
2
x
x
x
f x x
x x
.
Bài 14. Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a)

− + −

≠
= =

−

+ =

3 2
khi
taïi

khi
2 2
1
( ) , 1
1
3 1
x x x
x
f x x
x
x m x
; b)

=


− −
= ≠ ≠

−

=


2
khi
khi
khi
0
6

( ) 0, 3
( 3)
3
m x
x x
f x x x
x x
n x

ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 4: Giụựi haùn Naờm:
2010 - 2011

TTLT 1A Tan Hai

62


= =
taùi vaứ
0 3
x x
.
c)

+ <


= > =

+ =

2
khi
khi taùi
khi
1
( ) 2 3 1 , 1
2 1
x n x
f x mx x x
m x
; d)

+ +


= =



+ =

3
2
khi
taùi
khi
2 9 2 9
3
( ) , 3

2 6
3 3
x x
x
f x x
x
x m x
.
Bi 15. Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau :
a)

+
=

<

2
khi
khi
2 3 1
( )
3cos 1 1
x x x
f x
x x
; b)

+ +

+
=


=


3
3
khi
khi
2
1
1
( )
4
1
3
x x
x
x
f x
x
;
c)

+
<

= =

>


3
2
khi
khi
khi
27
3
9
( ) 5 3
2 1 3
x
x
x
f x x
x x
; d)

= =

=


4
2
khi
khi
khi
8
1 , 2
2
( ) 8 2
14 1
x x
x x
x x
f x x
x
.
Bi 16. Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng:
a)




=

=

2
khi
khi
2
2
( )
2
2
x x
x
f x
x
m x
; b)

+


=



+ =

3 2
khi

khi
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
x
f x
x
x m x
;
Bi 17. Tỡm cỏc im giỏn on ca cỏc hm s sau:
a)
4
3
1
)(
2



=
x
x
x
xf
; b)
1
cos.

)(
2
2
+
+
=
x
x
xx
xf ; c)




=



=

2
khi
khi
2
2
( )
2
2 2 2
x
x

f x
x
x
.
Bi 18. Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a)
+ =
3
3 3 0
x x
; b)
5
1 0
x x
+ =
; c)
+ + =
4 3 2
2010 1 0
x x x x
; d)
+ + =
3
6 1 2 0
x x
.
Bi 19. Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit:
a)
3
3 1 0

x x
+ =
; b)
3 2
6 9 1 0
x x x
+ + + =
; c)
3
2 6 1 3
x x
+ =
; d)
3 3 3
1 2 2 3
x x x
+ =
.
Bi 20. Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s
m
:
a)
3
( 1) ( 2) 2 3 0
m x x x
+ =
; b)
4 2
2 2 0
x mx mx

+ =

c)
+ + =
.cos2 sin cos 0
a x b x x
; d)
m
x
x
=+
sin
1
cos
1
.
Bi 21. Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a)
3 2
0
x ax bx c
+ + + =
; b)
2
0
ax bx c
+ + =
nu
2 3 6 0
a b c

+ + =
;
c)
2
0
ax bx c
+ + =
nu
2 6 19 0
a b c
+ + =
thỡ luụn cú nghim dng ;
d)
3 2
0
x ax bx c
+ + + =
nu
4 8 21 2 0
a b c
+ + + =
;
e)
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
a x b x c b x c x a c x a x b
+ + =
;
f)
4 3 2
2 2

0
3 3
b
x ax bx cx
+ + + =
; g)
4 3 3
cos cos 2 .cos 2 .sin
a x b x c x a x
+ = .
Bi 22. Chng minh phng trỡnh
5
2 2 0
x x
=
luụn cú ớt nht mt nghim
0
x
tha món iu kin :
9
0
16 2
x
< <
.