skkn PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

==========
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN SƠ CẤP
Năm học 2010-2011
1
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình giáo dục toán học ở trường phổ thông trung học, phương
pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng. Nói đến phương pháp toạ độ, mọi người
thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài
toán của hình học giải tích. Tuy nhiên sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương
pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán sơ cấp: Giải phương
trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số. Thậm chí phương pháp toạ độ còn giúp ta giải quyết các
bài toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học thuần tuý, mà là
những đối tượng “xa vời” với phương pháp toạ độ.
Cùng với các phương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những
phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp toạ độ dùng để
giải quyết các bài toán chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa
nhìn thấy nó. Do đó chúng ta cũng nên đưa phương pháp toạ độ vào giải các bài
toán sơ cấp trong chương trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phương
pháp giải bài tập và ứng dụng của phương pháp toạ độ. Đó cũng chính là nhận thức
và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài này.
“PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP.”
Do điều kiện thời gian, trong đề tài này tôi mới chỉ đưa ra: Phương pháp toạ
độ với bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số - thông qua một vài ví
dụ. Hy vọng rằng: Phương pháp toạ độ sẽ đem lại cho các bạn sự thoải mái - trong
sáng - và lý thú.
Dĩ nhiên, trong quá trình nghiên cứu cũng không tránh khỏi những khuyết
điểm. Mong các bạn đồng nghiệp góp ý và bổ sung.
2

NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
Để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp
toạ độ, người ta thường sử dụng các tính chất sau:
- Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A và B cho trước thì đường
thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
- Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d ( hoặc mặt phẳng (P)) cho trước.
Khi đó, độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn hơn mọi
đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (mặt phẳng) ấy.
- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, thì tam giác đều có chu vi
và diện tích lớn nhất.
Nếu bằng một phép biến đổi nào đó, bài toán có thể quy về các sự kiện hình
học nói trên, thì nên dùng phương pháp toạ độ để giải.
Người ta sử dụng hai bất đẳng thức sau:
1.
u v u v+ ≤ +
r r r r
2.
. .u v u v≤
r r r r
(Chú ý điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi
, u v
r r
là các véc tơ cùng
phương, cùng chiều hoặc là có một trong hai vectơ là vectơ không).
Ngoài ra còn chú ý một số kết quả sau (tự chứng minh) :
 Cho đoạn AB, M
0
bất kỳ ngoài đoạn AB. Ta có:
0
M AB

Max M M
∈
= Max{M
0
A,M
0
B}
 Cho f(x) liên tục trên tập D và tồn tại
( )
D
Max f x
và
( )
D
Min f x
.
1. Phương trình
( )f x
x D
α
=


∈

có nghiệm ⇔
( ) ( )
D D
Min f x Max f x
α

≤ ≤
.
2. Bất phương trình
( )f x
x D
α
≥


∈

có nghiệm ⇔
( )
x D
Max f x
α
∈
≥
3. Bất phương trình
( )f x
x D
α
≤


∈

có nghiệm ⇔
( )
x D

Min f x
α
∈
≤
3
M
0
B
A
M
SAU ĐÂY LÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HOẠ
1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x,y) = cos2x + cos2y
Trên miền D = {(x, y: sinx + siny =
1
2
}.
Lời giải:
Đặt u = sinx; v = siny. Khi đó ta có:
cos2x + cos2y = 2 - 2(u
2
+ v
2
).
Xét bài toán mới: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: F(u,v) = u
2
+ v
2
trên
miền D

1
= {(u, v):
1
1; 1;
2
u v u v≤ ≤ + =
}.
Lúc đó ta có mối liên hệ:
( , )
D
Max f x y
= 2 - 2
1
( , )
D
Min F u v
(1)
( , )
D
Min f x y
= 2 - 2
1
( , )
D
Max F u v
(2)
Vẽ hệ trục Ouv.
Tập D
1
chính là đoạn thẳng AB (phần đường thẳng u + v =

1
2
nằm trong hình
vuông). Dễ thấy A(-
1
2
; 1) & B(1; -
1
2
).
Nếu M(u; v) ∈ D
1
thì u
2
+ v
2
= OM
2
.
Vậy
1
( , )
D
Max F u v
=
2 2 2
1 5
( ) 1
4 4
M AB

Max OM OA OB
∈
= = = + =
1
( , )
D
Mi n F u v
=
2 2
1
8
M AB
MinOM OH
∈
= =
4
u
v
A
B
H
1-1
-1/2
-1/2
1
1/2
1/2
Theo (1) ta có:
( , )
D

Max f x y
=
7
4
;
( , )
D
Min f x y
= -
1
2
.
1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN của hàm số: f(x, y) = x
2
+ y
2
trên miền:
D =
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
x y
x y
− + ≥


+ + ≥



− + ≤

Lời giải:
Vẽ hệ trục Oxy.
Dễ thấy các điểm (x; y) thoả mãn hệ trên chính là toàn tam giác ABC.
Ta thấy x
2
+ y
2
= OM
2
( Gọi D là miền dàng buộc hệ).
Ta có:
( , )
D
Max f x y
=
2
M D
Max OM
∈
= Max {OA
2
, OB
2
, OC
2
} = 20.
( , )
D

Min f x y
=
2
M D
MinOM
∈
= MinOH
2
=
16
5
(vì
2 2 2
1 1 1 1 1 5
4 16 16OH OA OC
= + = + =
)
Tóm lại:
( , )
D
Max f x y
= 20.
( , )
D
Min f x y
=
16
5
.
1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN của hàm số:

f(x, y, z, t) = z
2
+ t
2
- 2xz - 2yt - z.
Trên miền D = { (x, y, z, t): x
2
+ y
2
= 1; z
2
- t + 3 = 0}.
5
x
x
C
B
A
O
-8 -4
-2
-2
2
4
Lời giải:
Với (x, y, z, t) ∈ D, ta có:
f(x, y, z, t) = (x - z)
2
+ (y - t)
2

- x
2
- y
2
- 3 =(x - z)
2
+ (y - t)
2
- 4. (1)
Khi (x, y, z, t) ∈ D thì điểm M(x; y) nằm trên đường tròn đơn vị; còn điểm N(z, t)
nằm trên Parabol: v = u
2
+ 3.
Ta có: (x - z)
2
+ (y - t)
2
= MN
2
.
Rõ ràng: MinMN
2
= M
0
N
0
2
= 4. Trong đó M
0
(0; 1) và N

0
(0; 3).
Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t) ≥ 0 ∀(x, y, z, t) ∈ D.
Mặt khác, khi x = 0, y = 1, z = 0, t = 3 thì f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, 3 )∈D.
Vậy
( , , , )
D
Min f x y z t
= 0.
1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) =
2 2
1 3 1x x x x− + + − +
với x ∈ R.
Lời giải:
Ta viết lại f(x) dưới dạng: f(x) =
2 2
2 2
1 3 3 1
2 2 2 2
x x
   
   
− + + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
(1)
Xét hệ trục Oxy với điểm A(

1
2
;
3
2
); B(
3
2
;
1
2
); C(x ; 0).
Khi đó từ (1) ta có: f(x) = CA + CB ≥ AB.
6
u
v
-1
-1 1
1
3
N
0
M
0
M(x,y)
N(z,t)
O
Trong đó AB =
2 2
3 1 1 3

2
2 2 2 2
   
− + − − =
 ÷  ÷
   
.
Do đó: f(x) ≥
2
.
Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại ở tại C
0
. Ta có: C
0
A + C
0
B = AB.
Như vậy, nếu đặt x
0
= OC
0
thì f(x
0
) =
2
.
Vậy :
( )
x R
Min f x

∈
=
2
1.5 Ví dụ 5: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x, y) = 4x + 3y
Trên miền: D = {(x, y): x
2
+ y
2
+ 16 = 8x + 6y}.
Lời giải:
Nếu (x, y) ∈ D, ta có: x
2
+ y
2
= 8x + 6y ⇔ (x - 4)
2
+ (y - 3)
2
= 9.
Nghĩa là: D là đường tròn tâm O
1
(4; 3) và bán kính R = 3 khi (x, y) ∈ D, ta có:
f(x, y) = 4x + 3y =
2 2
2 2 2
16 1 1
8 ( ) 8
2 2 2
x y

x y OM
+ +
= + + = +
với M(x; y) nằm trên đường tròn trên.
Nối OO
1
cắt đường tròn D tại 2 điểm M
1
, M
2
, ta được:
M D
MinOM
∈
= OM
1
= OO
1
- M
1
O
1
= 5 - 3 = 2.
M D
Max OM
∈
= OM
2
= OO
1

+O
1
M
2
=5 + 3 = 8.
7
y
x
A
B
C C
0
x
3
2
3
2
1
2
1
2
−
.
.
.
.
.
.
.
.

y
x
O
M
2
M(x,y)
O
1
M
1
4
3
Vậy:
( , )
D
Max f x y
= 8 +
1
2
8
2
= 40,

( , )
D
Min f x y
= 8 +
1
2
2

2
= 10.
1.6 Ví dụ 6: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x) =
2 2
sin 2 sin sin 2 sinx x x x+ − + −
với x ∈ R.
Lời giải:
Gọi m là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Điều đó có nghĩa là phương trình sau (ẩn x)
có nghiệm:
2 2
sin 2 sin sin 2 sinx x x x+ − + −
= m (1)
Đặt u =
2
2 sin x−
; v = sinx
khi đó (1) ⇔
2 2
. (2)
2 (3)
1 1 (4)
1 2 (5)
u v u v m
u v
v
u
+ + =



+ =


− ≤ ≤


≤ ≤

Xét hệ trục Ouv:
Dễ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung
»
AB
nhỏ, ở đây A(1; -1); B(1; 1).
Từ (2) ta có:
2
( ) 2
2
u v
u v m
+ −
+ + =
⇔ (u + v)
2
+ 2(u + v) - 2m - 2 = 0
⇔ u + v = -1 +
2 3m +
8
O
y
x

B
A
(u + v) = -1 -
2 3m +
loại (vì không cắt cung
»
AB
)
Từ đó nhận thấy (1) có nghiệm ⇔ đường thẳng :
u + v = -1 +
2 3m +
cắt cung
»
AB
tức là 0 ≤ -1 +
2 3m +
≤ 2
⇔ 1 ≤
2 3m +
≤ 3
⇔ - 1 ≤ m ≤ 3.
Vậy
( )
x R
Max f x
∈
= 3 và
( )
x R
Min f x

∈
= -1.
1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN của hàm số
f(x) =
4 1
2
x
x + −
trên đoạn [0; 2]
Lời giải:
Viết f(x) dưới dạng: f(x) =
2 2 2x x+ −
(1)
Xét phương trình tham số:
2 2 2x x+ −
= m (2)
Đặt
x
= u;
2 x−
= v. Khi đó:
(2) ⇔
2 2
2 2 (3)
2 (4)
0; 0 (5)
u v m
u v
u v


+ =

+ =


≥ ≥

Xét hệ trục Ouv:
Thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm ⇔ đường thẳng
2 2u v m+ =
cắt cung phần tư thứ
nhất AB của đường tròn tâm O báb kính
2
.
9
u
v
O
A
B
-
2
-
2
Đường thẳng
2 2u v m+ =
qua A(
2
; 0) có dạng:
2 2 2u v+ =

.
Đường thẳng
2 2u v m+ =
là tiếp tuyến của cung
»
AB
có dạng:
2 2 OCu v+ =
, ở
đây
1 1
2 4
2 2
OC 3 2
sin
: 2
α
= = =
+
Từ đấy thấy ngay hệ (3), (4), (5) có nghiệm ⇔ đường thẳng
2 2u v m+ =
nằm
giữa hai đường thẳng nói trên ⇔
2 3 2m≤ ≤
Vậy
[ ]
0;2
( ) 3 2Max f x =
= 3 và
[ ]

0;2
( ) 2Min f x =
.
1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) =
2 2 2 2
2 2 2 2x px p x qx q− + + − +
(p, q là hai số cho trước)
Lời giải
Xét
0p q+ >
:
Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p;
p
) & B(x - q;
q
). Khi đó:
f(x) =
2 2
2 2
( ) ( )x p p x q q− + + − +
= OA + OB.
Rõ ràng có: OA + OB ≥ AB.
Mà AB =
2 2
( ) ( )q q p q− + +
không đổi với mọi vị trí của A và B.
Vậy ta luôn có f(x) ≥
2 2
( ) ( )q q p q− + +

(1)
Dấu = sảy ra ⇔ A, O, B thẳng hàng.
Ta có:
OA ( ; ); BO ( ; )x p p q x q= − = −
uuur uuur
10
y
y =
y = -
A
B
O
x
mà A, O, B thẳng hàng ⇔
p q p p q
x p
x
q x q p q
+
−
= ⇔ =
− +
.
Do AB không đổi với mọi vị trí của A, B nên ta có:
2 2
AB ( ) ( )
q p p q
f p q p q
p q
 

+
= = − + +
 ÷
 ÷
+
 
(2)
2. Xét
0p q+ =
(⇔ p = q = 0)
Lúc này f(x) = 2|x| ⇒ Min f(x) = 0 (3)
Tóm lại, với mọi trường hợp ta đều có:
2 2
( ) ( ) ( )
x R
Min f x p q p q
∈
= − + +
.
1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x, y) = x - y
Trên miền:
D =
2 2
2 2
( 6) ( 3) 25
( 4) 25
2 4
0, 0
x y

x y
x y
x y
− + − ≥


+ − ≤


− + ≤


≥ ≥

Lời giải:
Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x, y) được biểu
diễn bởi miền gạch chéo sau:

11
x
y
O
B
C
A
2
-2
4
3
6

Chú ý rằng:
Đồ thị hàm số x - y = α suy ra từ đồ thị hàm số x - y = 0 một lượng (- α) theo trục
Oy.
Gọi (α) là một giá trị tuỳ ý của f(x, y) trên D.
Điều này có nghĩa là hệ sau ẩn (α, x, y) có nghiệm:
2 2
2 2
( 6) ( 3) 25
( 4) 25
2 4
0, 0
x y
x y
x y
x y
x y
α
− =


− + − ≥


+ − ≤


− + ≤

≥ ≥



. Giải hệ ta có:
2 2
2 4
( 4) 25
0, 0
x y
x y
x y
− + =


+ − =


≥ ≥

Suy ra toạ độ điểm A(
5; 2 5 4+
).
Đường thẳng x - y = α qua A khi α = - 4 -
5
.
Đường tròn (x - 6)
2
+ (y - 3)
2
= 25 cắt trục hoành tại B(2; 0) & C(10; 0).
Đường thẳng x - y = α qua B khi α = 2. Khi đó:
x - y = - 4 -

5
& x - y = 2 là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x - y = α cắt miền
D.
Từ đó suy ra:
( , ) 2
D
Max f x y =
,
( , ) 4 5
D
Min f x y = − −
.
1.10 Ví dụ 10: Cho a, b , c, h là bốn số dương cho trước; x, y, z là ba số thực thay
đổi sao cho ax + by + cz = k (1) ( k là số cố định cho trước).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x, y, z) =
2 2 2 2 2 2
a h x b h y c h z+ + + + +
với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1).
Lời giải:
Xét hệ trục Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz)
12
Ta có: OA =
2 2
a h x+
; AB =
2 2
b h y+
; BC =
2 2

c h z+
Vậy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC là độ dài đường gấp khúc
OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k).
Ta có: OC =
2 2 2
( )k h a b c+ + +
Từ (2) suy ra: f(x, y, z) ≥ OC =
2 2 2
( )k h a b c+ + +
(3)
Dấu = trong (3) sảy ra ⇔ O, A, B, C thẳng hàng
ax ax by ax by cz
ah ah bh ah bh ch
+ + +
⇔ = =
+ + +
k
x y z
a b c
⇔ = = =
+ +
Như vậy:
2 2 2
, , ( )
k k k
f k a b c h
a b c a b c a b c
 
= + + +
 ÷

+ + + + + +
 
(4)
Từ (3) và (4) ta có: Minf(x, y, z) =
2 2 2
( )k a b c h+ + +
.
1.11 Ví dụ 11: Cho x
i
, y
j
(i = 1,2, , n) là 2n số thực thoả mãn:
1 1
1
n n
i i
i i
x y
= =
+ =
∑ ∑
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2 2
1
n
i i
i
x y
=
+

∑
Lời giải:
Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy:
Gọi M
k
là điểm có toạ độ
1 1
;
k k
k i i
i i
M x y
= =
 
 ÷
 
∑ ∑
, k= 1, 2, , n
13
ax + by
A
B
O
u
ax + by + cz = k
(a+b+c)h
ax
ah
(a+b)h
v

C
Như vậy điểm
1 1
;
n n
n i i
i i
M x y
= =
 
 ÷
 
∑ ∑
sẽ nằm trên đường thẳng x + y = 1 (vì giả thiết x+ y =1)
Dễ thấy:
2 2
1 1
2 2
1
1 1 1 1
k k k k
k k i i i i k k
i i i i
M M x x y y x y
− −
−
= = = =
   
− + − = +
 ÷  ÷

   
∑ ∑ ∑ ∑
(k = 1, 2, , n)
Từ đó suy ra:
A = OM
1
+ M
1
M
2
+ M
2
M
3
+ + M
n-1
M
n
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = 1, thì OH =
2
2
Rõ ràng: OM
1
+ M
1
M
2
+ + M
n-1
M

n
≥ OH, hay A ≥
2
2
(1)
Dấu bằng sảy ra trong (1) ⇔ O, M
1
, M
2
, , M
n
thẳng hàng & M
n
≡ H
⇔
0
1 2
1 2
45 1
n
n
yy y
tg
x x x
= = = = =
⇔ x
1
= x
2
= = x

n
= y
1
= y
2
= = y
n
=
1
2n
Vậy MinA =
2
2
.
14
y
x
O
H
M
n
M
1
M
k-1
M
k
15
KẾT LUẬN
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và loại toán khá phức

tạp trong chương trình THPT. Cách giải rất phong phú - đa dạng. Mặt khác,
phương pháp toạ độ cũng là phương pháp mới đối với học sinh - có phần trừu
tượng. Khi vận dụng phương pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ.
Có tư duy lôgic - khéo léo. Vận dụng được phương pháp này sẽ giúp học sinh phát
triển tư duy - ý thức rèn luyện kiến thức và tạo sự say mê học tập, hứng thú trong
học tập.
Thông qua một vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy được ý nghĩa và
phương pháp vận dụng vào bài toán, giúp học sinh phần nào tự tin và ý thức hơn
về phương pháp (kiến thức) toạ độ, mà có những ví dụ với phương pháp sơ cấp
đơn thuần không giải được hoặc phức tạp - Nhưng đối với phương pháp toạ độ thì
lời giải lại đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu.
Do điều kiện thời gian cũng như tinh thần học hỏi, tôi cũng chỉ đưa ra một
số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt được một số yêu cầu nào đó mà thôi. Mong sự
đóng góp chân tình của các bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thường xuyên có tư
tưởng cũng như suy nghĩ đến phương pháp này mà trước kia ta ít nghĩ tới.
Móng Cái, ngày tháng năm
2006
Người viết
Nguyễn Duy Bình

16