Tóm tắt công thức Toán THPT

Chương 1
Đại số - Lượng giác - Giải tích
1.1 Tam thức bậc 2
Tam thức bậc hai
f (x) =ax
2
+bx +c =0, (a =0)
có hai nghiệm x
1
, x
2
• Định lí Viete:
S = x
1
+x
2
=−
b
a
; P =x
1
x
2
=
c
a
• ∆ <0 thì f (x) cùng dấu với a
• f (x) ≥0,∀x ∈R ⇔

∆ ≤0
a >0

• f (x) ≤0,∀x ∈R ⇔

∆ ≤0
a <0
• x
1
<α <x
2
⇔a f (α) <0
• α <x
1
<x
2
⇔







∆ >0
a f (α) >0
S
2
−α >0
• x
1
<x
2

<α ⇔







∆ >0
a f (α) >0
S
2
−α <0
•

α <x
1
<x
2
x
1
<x
2
<α
⇔

∆ >0
a f (α) >0
• x
1

<α <β <x
2
⇔

a f (α) <0
a f (β) <0
• α <x
1
<β <x
2
⇔

a f (α) >0
a f (β) <0
•

x
1
<α <x
2
<β
α <x
1
<β <x
2
⇔ f (α). f (β) <0
• α <x
1
<x
2

<β ⇔



















∆ >0
a f (α) >0
a f (β) >0
S
2
−α >0
S
2
−β <0
1.2 Bất đẳng thức

1.2.1 Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối
• −
|
a
|
≤a ≤
|
a
|
∀a ∈R
•
|
x
|
≤a ⇔−a ≤x ≤ a
•
|
x
|
>a ⇔ x <−a

x > a
•
|
a
|
−
|
b
|

<
|
a +b
|
<
|
a
|
+
|
b
|
1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy
•
a +b
2
≥

ab dấu bằng xảy ra khi a =b
•
a +b +c
3
≥
3

abc dấu bằng xảy ra khi a =b =c
1.2.3 Bất đẳng thức Bunyakovsky
• ab +cd ≤

(a

2
+c
2
)(b
2
+d
2
)
Dấu “ =” xảy ra khi ad =bc
• a
1
b
1
+a
2
b
2
+c
3
b
3
≤


a
2
1
+a
2
2

+a
2
3

b
2
1
+b
2
2
+b
2
3

Dấu “ =” xảy ra khi
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
a
3
b
3
1

1.3 Cấp số cộng
• Số hạng thứ n : u
n
=u
1
+(n −1)d
• Tổng của n số hạng đầu tiên:
S
n
=
n
2
(u
1
+u
n
) =
n
2
[2u
1
+(n−)d]
1.4 Cấp số nhân
• Số hạng thứ n: u
n
=u
1
.q
n−1
• Tổng của n số hạng đầu tiên: S

n
=u
1
1 −q
n
1 −q
1.5 Phương trình, bất phương
trình chứa giá trị tuyệt đối
•
|
A
|
=
|
B
|
⇔ A =±B
•
|
A
|
=B ⇔

B ≥0
A =±B
•
|
A
|
<B ⇔


A <B
A >−B
•
|
A
|
<
|
B
|
⇔ A
2
<B
2
•
|
A
|
>B ⇔

A >B
A <−B
1.6 Phương trình, bất phương
trình chứa căn thức:
•

A =

B ⇔


A ≥0 hoặc B ≥0
A =B
•

A =B ⇔

B ≥0
A =B
2
•

A <

B ⇔

A ≥0
A <B
•

A <B ⇔



A ≥0
B >0
A <B
2
•


A >B ⇔






B <0
A ≥0

B ≥0
A >B
2
1.7 Nhị thức Newton
1.7.1 Công thức khai triển
• (a +b)
n
=
n

k=0
C
k
n
a
n−k
b
k
• (a +b)
n

=C
0
n
a
n
+C
1
n
a
n−1
b +···+C
n−1
n
ab
n−1
+C
n
n
b
n
1.7.2 Các dạng đặc biệt của nhị thức
Newton
• (1 +x)
n
=C
0
n
+C
1
n

x +C
2
n
x
2
+···+C
n
n
x
n
• (1 −x)
n
=C
0
n
−C
1
n
x +C
2
n
x
2
−···+(−1)
n
C
n
n
x
n

• (x +1)
n
=C
0
n
x
n
+C
1
n
x
n−1
+C
2
n
x
n−2
+···+C
n
n
• 2
n
=(1 +1)
n
=C
0
n
+C
1
n

+C
2
n
+···+C
n
n
1.8 Lũy thừa
• a
α
.a
β
=a
α+β
•
a
α
a
β
=a
α−β
• (a
α
)
β
=a
αβ
•
β

a

α
=a
α
β
•
a
α
b
α
=

a
b

α
• a
α
b
α
=(a.b)
α
• a
−α
=
1
a
α
•
n


m

a
k
=
n.m

a
k
=a
k
n.m
2
1.9 Logarit
• log
a
N =M ⇔ N =a
M
• log
a
a
M
=M
• a
log
a
N
=N
• N
1

log
a
N
2
=N
2
log
a
N
1
• log
a
(N
1
N
2
) =log
a
N
1
+log
a
N
2
• log
a

N
1
N

2

=log
a
N
1
−log
a
N
2
• log
a
N
α
=αlog
a
N
• log
a
α
N =
1
α
log
a
N
• log
a
N =
log

b
N
log
b
a
• log
a
b =
1
log
b
a
1.10 Phương trình, bất phương
trình logarit
• log
a
f (x) =log
a
g (x) ⇔



0 <a =1
f (x) >0 hoặc g (x) >0
f(x)=g(x)
• log
a
f (x) >log
a
g (x) ⇔








0 <a =1
f (x) >0
g (x) >0
(a −1)

f (x) −g (x)

>0
1.11 Phương trình, bất phương
trình mũ
• a
f (x)
=a
g (x)
⇔






0 <a =1
f (x) =g (x)


a =1
f (x), g (x)có nghĩa
• a
f (x)
>a
g (x)
⇔

a >0
(a −1)

f (x) −g (x)

>0
1.12 Phương trình, bất phương
trình mũ
• a
f (x)
=a
g (x)
⇔






0 <a =1
f (x) =g (x)


a =1
f (x), g (x) có nghĩa
• a
f (x)
>a
g (x)
⇔

a >0
(a −1)

f (x) −g (x)

>0
1.13 Côngthức lượng giác cơ bản
• sin
2
x +cos
2
x =1
• tan x =
sin x
cos x
• cot x =
cos x
sin x
• tan x.cotx =1
• 1 +tan
2

x =
1
cos
2
x
• 1 +cot
2
x =
1
sin
2
x
1.14 Cung liên kết
1.14.1 Cung đối
• cos(−x) =cos x
• sin(−x) =−sin x
• tan(−x) =−tan x
• cot(−x) =−cot x
1.14.2 Cung bù
• sin(π −x) =sin x
• cos(π −x) =−cos x
• tan(π −x) =−tan x
• cot(π −x) =−tan x
3
1.14.3 Cung phụ
• sin(
π
2
−x) =cos x
• cos(

π
2
−x) =sin x
• tan(
π
2
−x) =cot x
• cot(
π
2
−x) =tan x
1.14.4 Hơn kém nhau π
• sin(π +x) =−sin x
• cos(π +x) =−cos x
• tan(π +x) =tan x
• cot(π +x) =cot x
1.14.5 Hơn kém nhau
π
2
• sin

π
2
+x

=cos x
• cos

π
2

+x

=−sin x
• tan

π
2
+x

=−cot x
• cot

π
2
+x

=−tan x
1.15 Công thức cộng
• sin(x ±y) =sinx cos y ±sin y cos x
• cos(x ±y) =cosx cos y ∓sin x sin y
• tan x(x ±y) =
tan x ±tan y
1 ∓tan x tan y
1.16 Công thức nhân đôi
• sin2x =2sinx cos x
• cos2x =cos
2
x −sin
2
x

=2cos
2
x −1
=1 −2sin
2
x
• tan2x =
2tan x
1 −t g
2
x
• cos
2
x =
1 +cos2x
2
• sin
2
x =
1 −cos2x
2
1.17 Công thức nhân ba
• sin3x =3sinx −4si n
3
x
• cos3x =4cos
3
x −3cosx
• tan3x =
3tan x −tan

3
x
1 −3tan
2
x
• cos
3
x =
3cos x +cos3x
4
• sin
3
x =
3sin x −sin3x
4
1.18 Công thức
Đặt t =tan
x
2
thì
• sin x =
2t
1 +t
2
• cos x =
1 −t
2
1 +t
2
• tan x =

2t
1 −t
2
1.19 Công thức biến đổi
1.19.1 Tích thành tổng
• cos x.cos y =
1
2

cos(x −y)+cos(x +y)

• sin x.sin y =
1
2

cos(x −y)−cos(x +y)

• sin x.cos y =
1
2

sin(x −y)+sin(x +y)

4
1.19.2 Tổng thành tích
• cos x +cos y =2 cos
x +y
2
cos
x −y

2
• cos x −cos y =−2 sin
x +y
2
sin
x −y
2
• sin x +sin y =2 sin
x +y
2
cos
x −y
2
• sin x −sin y =2 cos
x +y
2
sin
x −y
2
• tan x +tan y =
sin(x +y)
cos x cos y
• tan x −tan y =
sin(x −y)
cos x cos y
• cot x +cot y =
sin(x +y)
sin x sin y
• cot x −cot y =
sin(x −y)

sin x sin y
• sin x +cos x =

2sin(x +
π
4
) =

2cos

x −
π
4

• sin x −cos x =

2sin

x −
π
4

=−

2cos

x +
π
4


• 1 ±sin2x =(sin x ±cos x)
2
1.20 Phương trình lượng giác
1.20.1 Phương trình cơ bản
• sin x =sinu ⇔

x =u +k2π
x =π −x +k2π
• cos x =cosu ⇔

x =u +k2π
x =−u +k2π
• tan =tanu ⇔ x =u +kπ
• cot =cotu ⇔ x =u +kπ
1.20.2 Công thức nghiệm thu gọn
• sin x =1 ⇔ x =
π
2
+k2π
• sin x =−1 ⇔ x =−
π
2
+k2π
• sin x =0 ⇔ x =kπ
• cos x =1 ⇔ x =+k2π
• cos x =−1 ⇔ x =π+k2π
• cos x =0 ⇔ x =
π
2
+kπ

1.21 Hệ thức lượng trong tam
giác
1.21.1 Định lý cosin
• a
2
=b
2
+c
2
−2bc cos A
• b
2
=a
2
+c
2
−2ac cosB
• c
2
=a
2
+b
2
−2ab cosC
• cos A =
b
2
+c
2
−a

2
2bc
• cosB =
a
2
+c
2
−b
2
2ac
• cosC =
a
2
+b
2
−c
2
2ab
1.21.2 Định lý hàm số sin
a
sin A
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R
1.21.3 Công thức tính độ dài đường
trung tuyến

• m
2
a
=
b
2
+c
2
2
−
a
2
4
• m
2
b
=
a
2
+c
2
2
−
b
2
4
• m
2
c
=

a
2
+b
2
2
−
c
2
4
1.21.4 Công thức độ dài đường phân
giác trong
• l
a
=
2bc cos
A
2
b +c
5
• l
b
=
2ac cos
B
2
a +c
• l
c
=
2ab cos

C
2
a +b
1.21.5 Công thức tính diện tích tam giác
• S =
1
2
a.h
a
=
1
2
b.h
b
=
1
2
c.h
c
• S =
1
2
bc.sin A =
1
2
ab.sinC =
1
2
ac.sinB
• S = p.r =

abc
4R
• S =

p(p −a)(p −b)(p −c)
1.22 Đạo hàm
1.22.1 Đạo hàm các hàm đơn giản
• (x
α
)

=α.x
α−1
• (

x)

=
1
2

x
•

1
x


=−
1

x
2
• (sin x)

=cos x
• (cos x)

=−sin x
• (t g x)

=
1
cos
2
x
• (cot g x)

=−
1
sin
2
x
• (e
x
)

=e
x
• (a
x

)

=a
x
ln a
• (ln x)

=
1
x
• (log
a
x)

=
1
x.lna
1.22.2 Đạo hàm hàm hợp
• (u
α
)

=α.u
α−1
.u

• (

u)


=
u

2

u
•

1
u


=−
u

u
2
• (sinu)

=u

.cosu
• (cosu)

=−u

.sinu
• (t g u)

=

u

cos
2
u
• (cot gu)

=−
u

sin
2
u
• (e
u
)

=u

e
u
• (a
u
)

=u

a
u
ln a

• (lnu)

=
u

u
• (log
a
u)

=
u

u. lna
1.23 Nguyên hàm
•

d x = x +C
•

x
α
d x =
x
α+1
α +1
+C (α =1)
•

d x

x
=ln
|
x
|
+C
•

d x
x
2
=−
1
x
+C
•

e
x
d x =e
x
+C
•

a
x
d x =
a
x
ln a

+C
•

cos xd x =sinx +C
•

sin xd x =−cos x +C
•

d x
cos
2
x
=tan x +C
6
•

d x
sin
2
x
=−cot x +C
1.24 Diện tích hình phẳng- Thể
tích vật thể tròn xoay
1.24.1 Công thức tính diện tích
S =
a

b



f (x) −g (x)


d x
1.24.2 Công thức tính thể tích
• Hình phẳng quay quanh trục Ox
V =π
a

b


f
2
(x) −g
2
(x)


d x
• Hình phẳng quay quanh trục O y:
V =π
a

b


f
2

(y) −g
2
(y)


d y
7
Chương 2
Hình học
2.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm
•
−→
AB =(x
B
−x
A
, y
B
−y
A
)
• Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k =1:
−−→
M A
MB
=k ⇔ M

x
M
=

x
A
−kx
B
1−k
y
M
=
y
A
−k y
B
1−k
• Điểm I là trung điểm của AB:
I

x
I
=
x
A
+x
B
2
y
I
=
y
A
+y

B
2
• Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
G





x
G
=
x
A
+x
B
+x
C
3
y
G
=
y
A
+y
B
+y
C
3
• Cho tam giác ABC có

−→
AB =(a
1
; a
2
),
−→
AC =(b
1
;b
2
)
⇒S
∆ABC
=
1
2
|
a
1
b
2
−a
2
b
1
|
2.2 Phương trình đường thẳng ∆
• Phương trình tổng quát: ∆ : Ax +B y +C =0
Vectơ pháp tuyến

−→
n =(A;B); A
2
+B
2
=0
• Phương trình tham số: ∆ :

x = x
0
+at
y = y
0
+bt
Vectơ chỉ phương
−→
u =(a;b), qua điểm M(x
0
; y
0
)
• Phương trình chính tắc: ∆ :
x −x
0
a
=
y −y
0
b
• Phương trình đoạn chắn: ∆ qua A(a;0);B(0;b)

∆ :
x
a
+
y
b
=1
2.3 Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Góc tạo bởi d : Ax +B y +C =0 và ∆ : A

x +B

y +C

=0
là ϕ xác định bởi
cosϕ =


A.A

+B.B




A
2
+B
2

.

A

2
+B

2
2.4 Khoảng cách
Khoảng cách từ một điểm M(x
0
; y
0
) đến đường
thẳng ∆ : ax +bx +c =0:
d(M,∆) =


Ax
0
+B y
0
+C



A
2
+B
2

2.5 Phương trình đường phân
giác
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d :
Ax +B y +C =0 và ∆ : A

x +B

y +C

=0 là:
AX +B y +C

A
2
+B
2
=±
A

x +B

y +C


A

2
+B

2

Xác định phương trình đường phân giác trong và
phân giác ngoài
• Khoảng cách đại số
t
1
=
Ax
1
+B y
1
+C

A
2
+B
2
; t
2
=
A

x
2
+B

y
2
+C



A

2
+B

2
• Hai điểm M(x
1
; y
1
) và M

(x
2
; y
2
) nằm cùng phía
so với ∆⇔t
1
.t
2
>0: phân giác ngoài.
• Hai điểm M(x
1
; y
1
) và M

(x
2

; y
2
) nằm khác phía
so với ∆⇔t
1
.t
2
<0: phân giác trong.
8
2.6 Đường tròn
• Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán
kính R
(C) :
(
x −a
)
2
+

y −b

2
=R
2
• Phương trình có dạng
(C) : x
2
+y
2
−2ax −2by +c =0

Với a
2
+b
2
−c >0 là phương trình đường tròn (C)
có tâm I (a;b) và bán kính R =

a
2
+b
2
−c
2.7 Elip
• Phương trình chính tắc Elip
(E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
với a
2
=b
2
+c

2
• Tiêu điểm: F
1
(−c;0), F
2
(c;0)
• Đỉnh trục lớn: A
1
(−a;0), A
2
(a;0)
• Đỉnh trục nhỏ: B
1
(0;−b), B
2
(0;b)
• Tâm sai: e =
c
a
<1
• Phương trình đường chuẩn: x =±
a
e
• Bán kính qua tiêu điểm:
MF
1
=a +ex
M
, MF
2

=a −ex
M
• Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
; y
0
) ∈(E)
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1
• Điều kiện tiếp xúc của (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b

2
=1 và
∆ : Ax +B y +C =0 là: A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2
2.8 Vectơ trong không gian
Trong không gian cho các vectơ
−→
u
1
=

x
1
, y
1
, z
1

,
−→
u
2

=

x
2
, y
2
, z
2

và số k tùy ý
•
−→
u
1
=
−→
u
2
⇔



x
1
= x
2
y
1
= y
2

z
1
= z
2
•
−→
u
1
±
−→
u
2
=

x
1
±x
2
, y
1
±y
2
, z
1
±z
2

• k
−→
u

1
=

kx
1
,k y
1
,kz
1

• Tích có hướng:
−→
u
1
.
−→
u
2
=x
1
.x
2
+y
1
.y
2
+z
1
.z
2

−→
u
1
⊥
−→
u
2
⇔
−→
u
1
.
−→
u
2
=0 ⇔x
1
.x
2
+y
1
.y
2
+z
1
.z
2
=0
•



−→
u
1


=

x
2
1
+y
2
1
+z
2
1
• Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ

0
◦
ϕ 180
◦

cosϕ =
−→
u
1
.
−→

u
2


−→
u
1


.


−→
u
2


=
x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2


x
2
1
+y
2
1
+z
2
1
.

x
2
2
+y
2
2
+z
2
2
•
−→
AB =

x
B
−x
A
, y

B
−y
A
, z
B
−z
A

AB =

(
x
B
−x
A
)
2
+

y
B
−y
A

2
+
(
z
B
−z

A
)
2
• Tọa độ các điểm đặc biệt:
 Tọa độ trung điểm I của AB:
I

x
A
+x
B
2
,
y
A
+y
B
2
,
z
A
+z
B
2

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
G

x
A

+x
B
+x
C
3
,
y
A
+y
B
+y
C
3
,
z
A
+z
B
+z
C
3

 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông
góc cả hai vectơ xác định bởi
−→
u =

−→
u

1
,
−→
u
2

=





y
1
z
1
y
2
z
2




,




z

1
x
1
z
2
x
2




,




x
1
z
1
x
2
z
2





• Một số tính chất của tích có hướng


−→
a và
−→
b cùng phương ⇔

−→
a ,
−→
b

=
−→
0
A,B,C thẳng hàng ⇔

−→
AB,
−→
AC

=
−→
0
9
 Ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,

−→
c đồng phẳng

−→
a ,
−→
b

.
−→
c =0
A,B,C, D không đồng phẳng

−→
AB,
−→
AC

.
−−→
AD =
−→
0





−→
a ,

−→
b




=


−→
a


.



−→
b



.sin

−→
a ,
−→
b

• Các ứng dụng của tích có hướng

 Diện tích hình bình hành:
S
ABC D
=




−→
AB,
−−→
AD




 Diện tích tam giác: S
ABC
=
1
2




−→
AB,
−→
AC





 Thể tích khối hộp:
V
ABC D.A

B

C

D

=




−→
AB,
−−→
AD

.
−−→
AA





 Thể tích tứ diện: V
ABC D
=
1
6




−→
AB,
−→
AC

.
−−→
AD



2.9 Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát
(
α
)
: ax +by +cz +d = 0
với (a
2
+b
2

+c
2
=0).
• Phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M

x
0
, y
0
, z
0

và
có vectơ pháp tuyến
−→
n =(a,b,c)
(
α
)
: a
(
x −x
0
)
+b


y −y
0

+c
(
z −z
0
)
=0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
(
α
)
qua A(a,0,0); B(0,b,0);C(0,0,c)
(
α
)
:
x −x
0
a
+
y −y
0
b
+
z −z
0
c
=1, với a,b,c =0

2.9.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho
(
α
)
: a
1
x +b
1
y +c
1
z +d
1
=0 và

β

: a
2
x +b
2
y +c
2
z +
d
2
=0
•
(
α

)
cắt

β

⇔a
1
: b
1
: c
1
=a
2
: b
2
: c
2
•
(
α
)
song song

β

⇔
a
1
a
2

=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
=
d
1
d
2
•
(
α
)
trùng

β

⇔
a
1
a
2
=
b

1
b
2
=
c
1
c
2
=
d
1
d
2
•
(
α
)
vuông góc

β

⇔a
1
a
2
+b
2
b
2
+c

1
c
2
=0
2.10 Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng d qua M
0

x
0
, y
0
, z
0

và có vectơ chỉ
phương là
−→
u =(a,b,c). Khi đó:
• Phương trình tham số của d
d :



x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt

z = z
0
+ ct
• Phương trình chính tắc của d (khi abc =0)
d :
x −x
0
a
=
y −y
0
b
=
z −z
0
c
2.10.1 Vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng
Đường thẳng d
1
qua M
1
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
1
, d
2
qua M
2

và có vectơ chỉ phương là
−→
u
2
thì:
• d
1
trùng d
2
⇔

−→
u
1
,
−→
u
2

=

−→
u
1
,
−−−−→
M
1
M
2


=
−→
0
• d
1
song song d
2
⇔






−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0

−→
u
1

,
−−−−→
M
1
M
2

=
−→
0
• d
1
và d
2
cắt nhau ⇔






−→
u
1
,
−→
u
2

.

−−−−→
M
1
M
2
=0

−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0
• d
1
và d
2
chéo nhau ⇔

−→
u
1
,
−→
u

2

.
−−−−→
M
1
M
2
=0
2.11 Góc
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng
(
α
)
có
vectơ pháp tuyến là
−→
n
α
, mặt phẳng

β

có vectơ
pháp tuyến
−→
n
β
, khi đó góc giữa
(

α
)
và

β

được
tính bằng
cos

(
α
)
,

β

=


cos

−→
n
α
,
−→
n
β




=


−→
n
α
.
−→
n
β




−→
n
α


.


−→
n
β


• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường

thẳng d
1
và d
2
có các vectơ chỉ phương là
−→
u
1
và
−→
u
2
, khi đó góc giữa d
1
và d
2
tính bằng
cos
(
d
1
,d
2
)
=


cos

−→

u
2
,
−→
u
2



=


−→
u
1
.
−→
u
2




−→
u
1


.



−→
u
2


10
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho
đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
−→
u , mặt
phẳng
(
α
)
có vectơ pháp tuyến là
−→
n , khi đó góc
giữa d và
(
α
)
là ϕ được tính bằng
sinϕ =


−→
u .
−→
n





−→
u


.


−→
n


2.12 Khoảng cách
• Khoảng cách từ điểm A

x
0
, y
0
, z
0

tới
(
α
)
: ax +by +cz +d =0 là

d
(
A,
(
α
))
=


ax
0
+by
0
+cz
0
+d



a
2
+b
2
+c
2
• Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua
M
0
và có vectơ chỉ phương
−→

u là
d(A,∆) =




−−−→
M M
0
,
−→
u






−→
u


• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
1
và ∆
2
biết ∆
1
qua M

1
và có vectơ chỉ phương
−→
u
1
; ∆
2
qua M
2
và có vectơ chỉ phương
−→
u
2
d
(
∆
1
,∆
2
)
=




−→
u
1
,
−→

u
2

.
−−−−→
M
1
M
2






−→
u
1
,
−→
u
2



• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
(
α
)
và


β

song
song nhau là khoảng cách từ M
0
∈
(
α
)
tới

β

.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
song song nhau là khoảng cách từ M
1
∈ ∆
1
tới
∆
2
.
• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(
α

)
song song nhau là khoảng cách từ điểm M
0
∈
d tới
(
α
)
.
2.13 Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu tâm I(a,b,c), bán kính R có phương
trình
(S) : (x −a)
2
+(y −b)
2
+(z −c)
2
=R
2
• Phương trình x
2
+y
2
+z
2
−2ax −2by −2cz +d =0
có a
2
+b

2
+c
2
> d là phương trình mặt cầu với
tâm I (a,b, c) bán kính R =

a
2
+b
2
+c
2
−d.
2.13.1 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và
mặt phẳng
Cho
(
α
)
và S(I ,R), khi đó nếu
• d(I ,
(
α
)
) >R : mặt phẳng không cắt mặt cầu.
• d(I ,
(
α
)
) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi

đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Tọa độ tiếp điểm M
0
là tọa độ hình chiếu vuông
góc của I xuống
(
α
)
.
• d(I ,
(
α
)
) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một
đường tròn C(I

,r ), còn gọi là đường tròn giao
tuyến, khi đó
 Tâm I

là tọa độ hình chiếu vuông góc của I
xuống mặt phẳng
(
α
)
 Bán kính r =

R
2
−I I

2
.
2.13.2 Vị trí tương đối đường thẳng và
mặt cầu
Cho đường thẳng d :



x = x
0
+ t a
1
y = y
0
+ t a
2
z = z
0
+ t a
3
và mặt
cầu (S) : (x −a)
2
+(y −b)
2
+(z −c)
2
=R
2
. Xét vị trí tương

đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách:
1. Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗))
của d và (S), bằng cách lấy x, y, z từ phương trình
đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải
phương trình theo ẩn t
• Phương trình (∗) vô nghiệm: d và (S) không
có điểm chung.
• Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với
(S).
• Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d
cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
2. So sánh khoảng cách d
(
I ,d
)
và R
• d
(
I ,d
)
>R: d và (S) không có điểm chung.
11
• d
(
I ,d
)
=R: d tiếp xúc với (S).
• d
(
I ,d

)
<R: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểm d và (S) ta
dùng cách thứ 1.
2.13.3 Vị trí tương đối hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(
I
1
,R
1
)
và S
2
(
I
2
,R
2
)
• I
1
I
2
<
|
R
1
−R

2
|
⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
trong nhau.
• I
1
I
2
>
|
R
1
−R
2
|
⇔
(
S
1
)
,

(
S
2
)
ngoài nhau.
• I
1
I
2
=
|
R
1
−R
2
|
⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
tiếp xúc trong.
• I
1
I

2
=R
1
+R
2
⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
tiếp xúc ngoài.
•
|
R
1
−R
2
|
< I
1
I
2
<R
1
+R

2
⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
cắt nhau theo
một đường tròn.
12