Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 trường THPT Lý Thái Tổ năm học 2014 và 2015

Câu 1 (5.0 điểm)
1. Cho hàm số:
3 2
1
m
x m
y (C )
mx



với m là tham số. Chứng minh rằng, với mọi m khác 0 đồ thị
hàm số luôn cắt đường thẳng
3 3
d: y x m
 
tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để đường thẳng d
cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 lần diện tích tam giác OCD.
2. Cho hàm số:
2 2
y x (x a)
 
với a là tham số. Chứng minh rằng, đồ thị hàm số đã cho có ba
điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi
2
a .
 

Câu 2 (5.0 điểm)
1. Giải phương trình:

2
3 2 4 2 2 2 0
cosx (sin x sinx) cos x cosx cos x
     

2. Giải hệ phương trình:




2 2 2 2
3 3
2 6 9 9 12 3
2 34 2 3 1
(x y)(x xy y ) ln y y x x ln
x y y x

 
         

 
 


     


Câu 3 (3.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là:
1
2 2 0

d : x y ,
  
2
3 3 6 0
d : x y
  
và tam giác đều ABC có diện tích bằng
3
và trực tâm I thuộc
1
d .
Đường thẳng
2
d
tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ giao điểm của
1
d
và
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương.
Câu 4 (2.0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo bởi đường cao SH của hình
chóp và mặt bên bằng
.

Tìm

để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất biết a cố định,

thay đổi.
Câu 5 (3.5 điểm)
1. Tính

0 1 2 2013 2014
2014 2014 2014 2014 2014
2 3 2014 2015S C C C C C     


2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một
số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu 6 (1.5 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn:
x y z xyz
  
và
1 1 1
x ,y ,z .
  
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
x y z
P
y z x
  
   

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán – Lớp 12 – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 14 tháng 09 năm 2014