Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 6 huyện Thái Thuỵ, Tỉnh Thái Bình, năm học 2010-2011

PHÒNG GD&ĐT
THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học 2010 – 2011
Môn : Toán 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4 điểm)
a) Cho A = 3 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ … + 2
2010
và B = 2
2011
So sánh A và B.
b) Cho dãy số : 4 ; 10 ; 18 ; 28 ; …
Hãy tìm quy luật của dãy và viết thêm 2 số liên tiếp của dãy.
Bài 2 (3 điểm)
a) Cho
1 2 3 2009 2010
A
2010 2009 2008 2 1
= + + + + +

1 1 1 1 1
B 1
2 3 4 2010 2011
= + + + + + +

Tính
A
B
b) Giả sử 2
2010
có m chữ số và 5
2010
có n chữ số. Tính m + n.
Bài 3 (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y sao cho : x
2
+ xy = 7
b) Số A = 2010
2011
có phải là một số chính phương hay không? Vì sao?
Bài 4 (4 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên n để phân số
2
3n 2n 3
P
2n 1
+ +
=
+
không tối giản.
b) Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
Bài 5 (2 điểm)
a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc. Tính n.
b) Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy 3 điểm phân biệt không trùng O là A, B,
C. trên tia Oy lấy 4 điểm phân biệt không trùng O là D, E, G, H.
Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm: O, A, B, C, D, E, G, H?
Họ và tên học sinh:…………………………………………… Số báo danh:…………………
Trường THCS:………………………………………………………………………………………
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (4 điểm)
a) A = 3 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ … + 2
2010

= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ … + 2
2009
+ 2

2010
2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ … + 2
2010
+ 2
2011
A = 2A – A = 2
2011
– 1 < 2
2011
Vậy A < B.
b) Nhận xét : 4 = 1.4 = 1.(1 + 3)
10 = 2.5 = 2.(2 + 3)
18 = 3.6 = 3.(3 + 3)
24 = 4.6 = 4.(4 + 3)
… … …
Quy luật của dãy : số hạng của dãy bằng tích của số thứ tự của nó với tổng của số
thứ tự với 3 (u
n
= n.(n + 3), n = 1; 2; 3; …)
Vậy hai số tiếp theo là : 5.(5 + 3) = 5.8 = 40 và 6.(6 + 3) = 6.9 = 54
Bài 2 (3 điểm)
a) Nhận xét về đề bài: Đề thi có chút nhầm lẫn :

Nếu
1 1 1 1 1
B 1
2 3 4 2010 2011
= + + + + + +
thì
A
2011
B
≠
Để đúng với đáp án, ta có thể sửa lại thành
1 1 1 1 1
B
2 3 4 2010 2011
= + + + + +
A
1 2 3 2009 2010

2010 2009 2008 2 1
= + + + + +
1 2 3 2009
1 1 1 1 1
2010 2009 2008 2
       
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2011 2011 2011 2011 2011

2011 2010 2009 2008 2

= + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011 2011
2011 2010 2009 2 2 3 4 2010 2011
   
= + + + + = + + + + +
 ÷  ÷
   

2011.B=
⇒
A 1
B 2011
=
Vậy
A
2011.
B
=
b) Ta có : 10
m – 1
< 2
2010
< 10
m

10
n – 1
< 5
2010

< 10
n

10
m – 1
. 10
n – 1
< 2
2010
. 5
2010
< 10
m
. 10
n

10
m + n – 2
< 10
2010
< 10
m + n
Vì m + n – 2 < m + n – 1 < m + n nên 10
m + n – 1
= 10
2010
⇒ m + n – 1 = 2010 ⇒ m + n = 2011.
Vậy m + n = 2011.
Bài 3 (3 điểm)
a) Ta có : x

2
+ xy = x(x + y) = 7 ⇒ 7 ⋮ x ⇒ x ∈ Ư(7) = {±1 ; ±7}
Ta lập bảng :
x -1 1 -7 7
y
-6
(thoả mãn)
6
(thoả mãn)
6
(thoả mãn)
-6
(thoả mãn)
Vậy có 4 cặp (x ; y) thoả mãn đề bài là : (-1 ; -6), (1 ; 6), (-7 ; 6), (7 ; -6)
b)
2011 2010 1005 2
A 2010 2010 .2010 (2010 ) .2010= = =
Nhận xét:
1005 2
(2010 )
là số chính phương
2010 không là số chính phương vì 2010 ⋮ 2 nhưng 2010
⋮
4
Vậy A = 2010
2011
không phải là một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm)
a) Đặt (3n
2

+ 2n + 3 ; 2n + 1) = d
⇒ 2(3n
2
+ 2n + 3) – 3n(2n + 1) ⋮ d hay n + 6 ⋮ d
⇒ 2(n + 6) – (2n + 1) ⋮ d hay 11 ⋮ d ⇒ d = 1 hoặc d = 11.
Để P là phân số không tối giản thì d = 11.
Mà n + 6 ⋮ 11 ⇒ n + 6 = 11k ⇒ n = 11k – 6 (k ∈ Z).
b) Đặt
2 2 2 2
1 1 1 1
A
5 6 7 100
= + + + +
. Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100
< + + + + = − + − + − + + − = −
⇒
1
A
4
<
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
5.6 6.7 7.8 100.101 5 6 6 7 7 8 100 101 5 101
> + + + + = − + − + − + + − = −
Vì
1 1 1 1
5 6 30 101

− = >
⇒
1 1 1
5 101 6
− >
⇒
1
A .
6
>
Vậy
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
Bài 5 (2 điểm)
a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc. Tính n.
Lấy một tia trong n tia (n ∈ N, n > 1). Tia này cùng với n – 1 tia còn lại tạo thành
n – 1 góc. Có n tia nên có n(n – 1) góc.
Nhưng mỗi góc được tính hai lần nên có tất cả
n(n 1)
2
−
góc.
Theo đề bài, ta có :
n(n 1)
190
2

−
=
⇒ n(n – 1) = 2.190 = 20.19 ⇒ n = 20.
Vậy n = 20.
b) (Hình vẽ)
Xét ba trường hợp :
- Các tam giác có đỉnh là O:
+ Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn.
+ Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn.
Loại tam giác này có 3.4 = 12 tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm D, E, G, H : có 6 cách chọn
Loại tam giác này có 3.6 = 18 tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn
Loại tam giác này có 4.3 = 12 tam giác.
Vậy tổng cộng có 12 + 18 + 12 = 42 tam giác.
Tổng quát :
Trên Ox lấy m điểm A
1
, A
2
, … , A
m

phân biệt (m ∈ N, m ≥ 1); trên tia Oy lấy n
điểm B
1
, B
2

, … , B
n

phân biệt (n ∈ N, n ≥ 1). Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ m
+ n + 1 điểm : O, A
1
, A
2
, … , A
m
, B
1
, B
2
, … , B
n
.
Trước hết, ta có nhận xét : Qua k điểm phân biệt thẳng hàng có
k(k 1)
2
−
cặp hai
điểm.
Thật vậy, lấy ra một điểm, điểm này và k – 1 điểm còn lại tạo thành k – 1 cặp hai
điểm. Với k điểm ta được k(k – 1) cặp hai điểm. Nhưng mỗi cặp hai điểm được tính hai
lần nên có
k(k 1)
2
−
cặp hai điểm.

Trở lại bài toán :
Xét ba trường hợp :
- Các tam giác có đỉnh là O:
+ Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A
1
, A
2
, … , A
m

: có m cách chọn.
+ Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm B
1
, B
2
, … , B
n

: có n cách chọn.
Loại tam giác này có m.n = mn tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A
1
, A
2
, … , A
m

: có m cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm B
1

, B
2
, … , B
n

(ứng với số cặp hai điểm):
có
n(n 1)
2
−
cách chọn
Loại tam giác này có
n(n 1) mn(n 1)
m.
2 2
− −
=
tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm B
1
, B
2
, … , B
n

: có n cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A
1
, A
2

, … , A
m

(ứng với số cặp hai điểm):
có
m(m 1)
2
−
cách chọn
Loại tam giác này có
m(m 1) mn(m 1)
n.
2 2
− −
=
tam giác.
Vậy tổng cộng có :
mn(n 1) mn(m 1) n 1 m 1 mn(m n)
mn mn 1
2 2 2 2 2
− − − − +
 
+ + = + + =
 ÷
 
tam giác.