Loi giai de thi HSG Toan 7 Huyen Tuy Phuoc

-
PHÒNG GD & ĐT TUY PHƯỚC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
Năm học : 2009 – 2010
Môn : TOÁN 7
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 120 phút ( Không kể phát đề )
Ngày thi : 29 – 4 – 2010

Bài 1 : ( 2 điểm )
Cho biết a + 4b chia hết cho 13 ( a, b
∈
N )
Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.
Bài : ( 5 điểm )
a) Tìm x , biết rằng : x =
ba
c
ac
b
cb
a
+
=
+
=
+
b) Cho : a =
xy
xyc
y
yb
x

x
1
;
1
;
1
+=+=+

Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
- abc = 4
Bài 3 : ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng AB + AC > 2AM
Bài 4 : ( 3 điểm )
Cho hàm số y =
x
3
. Tìm trên đồ thò hàm số hai điểm A (x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B

)
thõa các điều kiện: x
A
- x
B
= 2 và y
A
– y
B
= 6
Bài 5: ( 5 điểm )
Cho tam giác ABC có ABC = 45
0
, ACB = 30
0

Chứng minh rằng AB : BC : AC =
2:)31(:2 +
Bài 6: ( 2 điểm )
Tính P = 1 +
)16 321(
16
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(

2
1
++++++++++++++


-
Nguyễn Đình Tự - Trường THCS Phước Thành
-
LỜI GIẢI TÓM TẮT :
Bài 1 : a + 4b

13
⇒
10( a+ 4b )

13
⇒
(10a + b) + 39b

13 mà 39b

13
⇒
10a+ b

13
Bài 2 : a) Ta có : x =
ba
c
ac

b
cb
a
+
=
+
=
+
p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , có : x =
ba
c
ac
b
cb
a
+
=
+
=
+
=
)(2222 cba
cba
cba
cba
++
++
=
++
++

+ Nếu a+ b +c ≠ 0 thì x =
2
1
+ Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c ; b + c = -a ; a + c = - b. Khi đó từ x =
ba
c
ac
b
cb
a
+
=
+
=
+
Suy ra : x =
c
c
b
b
a
a
−
=
−
=
−
= - 1
Vậy : x =
2

1
hoặc x = - 1.
b) Ta có : a
2
+ b
2
+ c
2
- abc =








+








+







+−








++








++






+
xy

xy
y
y
x
x
xy
xy
y
y
x
x
111111
22
2
= (x
2
+ 2.x.
x
1
+
2
1
x
) + ( y
2
+2.y.
y
1
+
2

1
y
) + (x
2
y
2
+2. xy.
xy
1
+
22
1
yx
) - ( xy +
y
x
+
x
y
+
xy
1
)(
xy
xy
1
+
)
= x
2

+
2
1
x
+ y
2
+
2
1
y
+ x
2
y
2
+
22
1
yx
+ 6 - x
2
y
2
– 1 - x
2
-
2
1
y
- y
2

-
2
1
x
- 1 -
22
1
yx
= 4 ( đpcm )
Bài 3 :
M
A
B
C
A'
Trên tia đối của tia MA lấy A’ sao cho MA = MA’ .
∆
ABM =
∆
A’CM ( c – g – c)

⇒
AB = A’C.
Trong tam giác ACA’ có : AC + A’C > AA’
Mà AA’ = 2 AM .
Do đó : AB + AC > 2AM
Bài 4 : Ta có : x
A
- x
B

= 2 ( 1 ) và y
A
– y
B
= 6 (2)
⇒
y
A
– y
B
= 3 (x
A
- x
B
) mà y
A
=
A
x
3
; y
B
=
B
x
3
nên :
A
x
3

-
B
x
3
= 3 (x
A
- x
B
)

⇒

A
x
1
-
B
x
1
= x
A
- x
B
= 2
⇒

BA
AB
xx
xx

.
−
= 2
⇒

BA
xx .
2−
= 2
⇒

BA
xx .
= - 1

-
Nguyễn Đình Tự - Trường THCS Phước Thành
-

⇒
x
A
=
B
x
1−
. Thay vào ( 1) có :
B
x
1−

- x
B
= 2
⇒
- 1 - x
B
2
= 2x
B

⇒
x
B
2
+ 2x
B
+ 1 = 0
⇒
( x
B
+ 1 )
2
= 0
⇒
x
B
= - 1 . Thay vào (1) có : x
A
= 1 . Từ đó suy ra y
B

= - 3 ; y
A
= 3.
Vậy hai điểm A và B là : A(1;3) và B(-1; -3) thuộc đồ thò y =
x
3
thõa đề bài.
Bài 5:
B
C
A
H
Hạ đường cao AH.
Tam giác vuông AHB có góc B = 45
0
nên là tam giác vuông cân tại
H
⇒
AH = HB .
Theo đònh lý Pi ta go ta có : AH
2
+ HB
2
= AB
2
2AH
2
= AB
2

⇒
AH =
2
AB
(1)
Tam giác vuông AHC có góc C = 30
0
nên là nửa tam giác đều.

⇒
AH =
2
AC
(2)
HC
2
= AC
2
– AH
2
= (2AH)
2
- AH
2
= 3AH
2

⇒
HC =

33
2
AHAH =

⇒
BC = BH + HC = AH +
3AH
= ( 1 +
3
) AH

⇒
AH =
31+
BC
( 3 )
Từ ( 1) ; (2) và (3) suy ra :
2
AB
=
31+
BC
=
2
AC
Hay : AB : BC : AC =
2:)31(:2 +
( đpcm)
Bài 6 : P = 1 +
)16 321(

16
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1
++++++++++++++
= 1 +
2
1
.
2
3.2
+
2
5.4
.
4
1
2
4.3
.
3
1
+

+ ….+
2
17.16
.
16
1
= 1 +
2
5
2
4
2
3
++
+ …+
2
17
= 1 +
2
1
( 3 + 4 + 5 + … + 17 )
= 1 +
2
1
.
2
15.20
= 1 + 75
= 76

-
Nguyễn Đình Tự - Trường THCS Phước Thành