53 đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán hay

1
Sở giáo dục và đào tạoSở giáo dục và đào tạoSở giáo dục và đào tạo
HảI d-ơngHảI d-ơngHảI d-ơng
Đề thiĐề thiĐề thi chính thứcchính thứcchính thức
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyênKỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyênKỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn tr i - Năm học 2009-2010nguyễn tr i - Năm học 2009-2010nguyễn tr i - Năm học 2009-2010
Môn thi : toántoántoán
Thờ i gian l àm bài: 150 p hú t
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009
(Đ

thi gồm: 01 trang)
Câu I
(2. 5 điểm):
1) Giải hệ ph-ơng trình:
2) Tìm m nguyên để ph-ơng trình sau c t nhất một nghiệm nguyên:
Câu II
(2. 5 điểm):
1) Rút gọn biểu thức:
với
2) Cho tr-ớc số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:
Câu III
(2. 0 điểm):
1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x
3
là một số nguyên d-ơng và bit
. Chứng minh rằng: là hợp số.
2) Tìm giá tr lớn nhất của biểu thức:
Câu IV
(2. 0 điểm):
Cho tam giác MNP c ba gc nhọn và các điểm A, B, C lần l-ợt là hình chiu vuông gc của

M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần l-ợt lấy D, E sao cho DE song song với
NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng:
1) MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tip. T đ suy ra điểm M là tâm của đ-ờng tròn bàng tip gc DAK
của tam giác DAK.
Câu V
(1. 0 điểm):
Trên đ-ờng tròn (O) lấy hai điểm cố đnh A và C phân biệt. Tìm v tr của các điểm B và D
thuộc đ-ờng tròn đ để chu vi tứ giác ABCD c giá tr lớn nhất.
Ht
H-ớng dẫn chấmH-ớng dẫn chấmH-ớng dẫn chấm
Câu
Phầ n
nội dung
Điểm
2
câu I
2,5 điểm
1)
1,5điểm
T (2) x 0. T đ , thay vào (1) ta c:
0.25
0.25
0.25
Giải ra ta đ-ợc
0.25
T ;
0.25
Vậy hệ c nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1); ;
0.25

2)
1,0điểm
Điu kiện để ph-ơng trình c nghiệm:
0.25
. Vì (m - 2) > (m - 3) nên:
m = 2 hoặc m = 3.
0.25
Khi m = 2 = 0 x = -1 (thỏa mãn)
Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (loại).
0.25
Vậy m = 2.
0.25
câu II
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Đặt
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
1,0điểm
(1)
Giả sử c (1)
T (1), (2)
0.25
Nu là số hữu tỉ. Trái với giả thit!

0.25
3
. Nu b 0 thì là số hữu tỉ. Trái với giả
thit! . T đ ta tìm đ-ợc c = 0.
0.25
Ng-ợc lại nu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
0.25
câu III
2 điểm
1)
1,0điểm
Theo bài ra f(x) c dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a nguyên d-ơng.
0.25
Ta c: 2010 = f(5) - f(3) = (5
3
- 3
3
)a + (5
2
- 3
2
)b + (5 - 3)c
= 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a)
0.25
Ta c f(7) - f(1) = (7
3

- 1
3
)a + (7
2
- 1
2
)b + (7 - 1)c
= 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c)
= 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)
0.25
Vì a nguyên d-ơng nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số
0.25
2)
1,0điểm
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2)
0.25
Ta chứng minh đ-ợc:
,
0.25
Mặt khác ta c:
0.25
Dấu = xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA
.Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn
OB. Vậy Max khi x = 7.
0.25
câuIV
2 điểm
1)
0,75điể
m

Ta dễ dàng chứng minh tứ giác
MBAN nội tip ,
MCAP nội tip .
0.25
Lại c
(cùng phụ gc NMP)
(1)
0.25
Do DE // NP mặt khác
MA NP (2)
T (1), (2) cân tại A
MA là trung trực của DE
MD = ME
0.25
4
2)
1,25điể
m
Do DE//NP nên , mặt khác tứ giác MNAB nội tip nên:
0.25
Theo giả thit
Tứ giác MDEK nội tip
0.25
Do MA là trung trực của DE
0.25
.
0.25
Vì DM là phân giác của gc CDK, kt hợp
với AM là phân giác DAB M là tâm của đ-ờng tròn bàng tip gc DAK của
tam giác DAK.

0.25
câu V
1 điểm
Không mất tổng quát giả sử:AB AC. Gọi B là điểm chnh giữa cung
Trên tia đối của BC lấy điểm A sao cho BA = BA
0.25
Ta c: (1) ; (2)
(3);T (1), (2), (3)
0.25
Hai tam giác ABB và ABB bằng nhau
Ta c = AB + BC ( BA + BC không đổi vì
B, A, C cố đnh). Dấu = xảy ra khi B trùng với B.
0.25
Hoàn toàn t-ơng tự nu gọi D là điểm chnh giữa cung thì ta cng c
AD + CD AD + CD. Dấu = xảy ra khi D trùng với D.
Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chnh giữa các cung
của đ-ờng tròn (O)
0.25
5
Bài 1:
(1,5 điểm)
Cho
Hãy lập một ph-ơng trình bậc hai c hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm.
Bài 2:
(2,5 điểm)
a) Giải hệ ph-ơng trình:
b) Tìm m để ph-ơng trình c 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3:
(2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và là các số

nguyên tố thì k chia ht cho 5.
b) Chứng minh rằng nu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác c p là nửa chu vi thì
Bài 4:
(3,0 điểm)
Cho đ-ờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chnh giữa của cung AB
nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng:
a)
b) MB là tip tuyn của đ-ờng tròn ngoại tip tam giác BCD.
c) Tổng bán knh các đ-ờng tròn ngoại tip tam giác BCD và ACD không đổi.
Bài 5:
(1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh
CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM c các gc bằng nhau. Chứng minh
rằng nu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ.
Ht
H-ớng dẫn chấm thiH-ớng dẫn chấm thiH-ớng dẫn chấm thi
Bài 1:
(1,5 điểm)
0,5 đ
Sở giáo dục và đào tạoSở giáo dục và đào tạoSở giáo dục và đào tạo
H-ng yênH-ng yênH-ng yên
đđđ chchchnh thứcnh thứcnh thức
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyênkỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyênkỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009Năm học 2009Năm học 2009 201020102010
Môn thi: Toán
(Dành cho th

s inh thi v ào các l ớ p chuyê n To án, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
6

a =
0,25 đ
Đặt
0,5 đ
Vậy ph-ơng trình nhận làm nghiệm
0,25 đ
Bài 2:
(2,5 điểm)
a) ĐK:
0,25 đ
Giải (2)
0,25 đ
* Nu .
Thay vào (1) ta đ-ợc
0,25 đ
(ph-ơng trình vô nghiệm)
0,25 đ
* Nu .
Thay vào (1) ta đ-ợc
0,25 đ
- Với (thoả mãn điu kiện)
- Với (thoả mãn điu kiện)
Vậy hệ ph-ơng trình c hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
b) Đặt (*)
Ph-ơng trình đã cho trở thành:
(1)
0,25 đ
T (*) ta thấy, để ph-ơng trình đã cho c 4 nghiệm phân biệt thì ph-ơng trình (1) c
2 nghiệm d-ơng phân biệt

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
7
Vậy với thì ph-ơng trình c 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3:
(2,0 điểm)
a) Vì k > 1 suy ra
- Xt
không là số nguyên tố.
0,25 đ
- Xt
không là số nguyên tố.
0,25 đ
- Xt
không là số nguyên tố.
0,25 đ
- Xt
không là số nguyên tố.
Do vậy
0,25 đ
b) Ta chứng minh: Với thì (*)
Thật vậy
(luôn đúng)
0,5 đ
áp dụng (*) ta c:
Suy ra (đpcm)
0,5 đ
Bài 4:
(3,0 điểm)

a) Xt và c:
0,5 đ
Do vậy và đồng dạng
0,5 đ
8
Suy ra
b) Gọi (J) là đ-ờng tròn ngoại tip
hay
0,5 đ
Suy ra
Suy ra MB là tip tuyn của đ-ờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
0,5 đ
c) Kẻ đ-ờng knh MN của (O) NB MB
Mà MB là tip tuyn của đ-ờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đ-ờng tròn ngoại tip
Chứng minh t-ơng tự I thuộc AN
Ta c CJ // IN
Chứng minh t-ơng tự: CI // JN
0,5 đ
Do đ tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ
Suy ra tổng bán knh của hai đ-ờng tròn (I) và (J) là:
IC + JB = BN (không đổi)
0,5 đ
Bài 5:
(1,0 điểm)
Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b,
c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ d-ơng)
Do các gc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi gc trong của hình 8 cạnh c số đo
là:
0,25 đ

Suy ra mỗi gc ngoài của hình 8 cạnh đ là: 180
O
- 135
O
= 45
O
Do đ các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.
MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ =
Ta có AB = CD nên:
(e - a) = h + b - f - d
0,5 đ
9
Nếu e - a 0 thì (điều này vô lý do là số vô tỉ)
Vậy e - a = 0 e = a hay EF = IJ (đpcm).
0,25 đ
S GIO DC BèNH NH
K THI TUấN SINH VO LP 10
TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN
NM HC 2009-2010
chớnh thc Mụn thi:Toỏn (chuyờn)
Ngy thi:19/06/2009
Thi gian:150 phỳt
Bi 1(1.5im)
Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng:
Bi 2(2im)
Cho 3 s phõn bit m,n,p.Chng minh rng phng trỡnh cú hai nghim
phõn bit.
Bi 3(2im)
Vi s t nhiờn n, .t
Chỳng minhS

n
<
Bi 4(3im)
Cho tam giỏc ABC ni tip trũn tõm O cú di cỏc cnh BC = a, AC = b, AB = c.E l im nm
trờn cung BC khụng cha im A sao cho cung EB bng cung EC.AE ct cnh BC ti D.
a.Chỳng minh:AD
2
= AB.AC DB.DC
b.Tớnh di AD theo a,b,c
Bi 5(1.5im)
Chng minh rng : Vi mi s nguyờn m,n.
**********************************************
P N MễN TON THI VO 10
TRNG CHUYấN Lấ QUí ễN NM 2009
Bi 1:
Vỡ a,b,c l di ba cnh tam giỏc nờn ta cú:a,b,c >0 v a< b+c ,b< a + c , c < a+b
Nờn ta cú
Mt khỏc
Vy ta cú
10
Tương tự
Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:
ĐK: PT đã cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0
3x
2
-2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)
Ta có = m
2
+n

2
+p
2
+2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np =
m
2
+n
2
+p
2
–mn-mp-np = [(m-n)
2
+(n-p)
2
+(m-p)
2
] >0
Đặt f(x) = 3x
2
-2(m+n+p)x + mn+ mp +np
Ta có f(m) = 3m
2
– 2m
2
-2mn -2mp +mn +mp +np = m
2
–mn –mp +np = (m-n)(m-p) 0
= >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1)
Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 3

Do đó
Bài 3:
Ta có ( Do cung EB = cung EC)
Và ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên
Ta có
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên
AD(AE-AD) = DB.DC
Hay AD
2
= AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
4b)Theo tính chất đường phân giác ta có
vậy
theo câu a ta có AD
2
= AB.AC – DB.DC =
Bài 5:
11
Vì
Ta xet hai trường hợp:
a)
Từ đó suy ra :
b)
Từ đó suy ra :
************************************************
111SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC
——————
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề có 01 trang)
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Giải và biện luận phương trình: (p là tham số có giá trị thực).
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho ba số thực đôi một phân biệt.
ĐỀ CHÍNH THỨC
12
Chứng minh
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho và
Tìm tất cả các giá trị nguyên của sao cho là một số nguyên.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC.
Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q.
Chứng minh:
a) KM // AB.
b) QD = QC.
Câu 5: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam
giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam
giác có diện tích không lớn hơn 4.
—Hết—
Câu 1 (3,0 điểm).
a) 1,75 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện

0,25
Hệ đã cho
0,25
Giải PT(2) ta được:
0,50
Từ (1)&(3) có:
0,25
Từ (1)&(4) có:
0,25
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:
0,25
13
b) 1,25 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Xét 3 trường hợp:
TH1. Nếu thì PT trở thành: (1)
TH2. Nếu thì PT trở thành: (2)
TH3. Nếu thì PT trở thành: (3)
0,25
Nếu thì (1) có nghiệm ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn:
.
0,25
Nếu thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm.
0,25
Nếu thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn ; (1) có nghiệm x=2; (3)VN
0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và
+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm
+ Nếu thì phương trình có nghiệm x = 2.
0,25
Câu 2 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
+ Phát hiện và chứng minh
1,0
+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
0,5
Câu 3 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện xác định: x 1 (do x nguyên).
0,25
Dễ thấy , suy ra:
0,25
Nếu . Khi đó
Suy ra , hay không thể là số nguyên với .
0,5
Nếu . Khi đó: (vì x nguyên) và . Vậy là một giá trị cần tìm.
0,25
Nếu . Khi đó (do x nguyên). Ta có:
và , suy ra
hay và .
Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: .
0,25
Câu 4 (3,0 điểm):
a) 2,0 điểm:
Nội dung trình bày

Điểm
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q
14
Gọi I là trung điểm AB,
. Xét hai tam giác
KIB và KED có:
0,25
KB = KD (K là trung điểm BD)
0,25
0,25
Suy ra .
0,25
Chứng minh tương tự có:
0,25
Suy ra: MI = MR
0,25
Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR
nên KM là đường trung bình KM // CD
0,25
Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm)

0,25
b) 1,0 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD IK//AD hay IE//AD
chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25
Có: (gt), IE//AD (CM trên) . Tương tự có
0,25
Từ trên có: IK=KE, là trung trực ứng với cạnh IE của . Tương tự QM là
trung trực thứ hai của
0,25
Hạ suy ra QH là trung trực thứ ba của hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD
Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm).
0,25
Câu 5 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó
.
0.25
Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng
này giới hạn tạo thành một tam giác (hình vẽ). Khi đó . Ta sẽ chứng
minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác
.
0.25
Giả sử trái lại, có một điểm nằm ngoài tam giác chẳng hạn như trên hình vẽ . Khi đó
, suy ra , mâu thuẫn với giả thiết tam giác có diện tích
lớn nhất.
0.25

Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác có diện tích không lớn hơn 4.
0.25
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm )
15
Cho tính
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x
2
+ b.x + c = 0 ( 1 )
và x
2
- b
2
x + bc = 0 (2 )
biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x
1
; x
2
và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm thoả mãn
điều kiện . xác định b và c
Bài 3 : ( 2 điểm )
1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng
2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c . Chứng ming rằng
Bài 4 : ( 3, 5 điểm )
Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp
điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN
cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC
1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp
2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng

3. Chứng minh
Bài 5 : ( 2 điểm )
1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3
x
- y
3
= 1
2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi . Gọi T là
thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô
có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên
ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không
Lời giải
Bài 1 :
vậy P = 1
Bài 2 : vì =>
Theo hệ thức Vi ét ta có
Từ (1 ) và ( 3 ) => b
2
+ b - 2 = 0  b = 1 ; b = -2
từ ( 4 ) => => c - b + 1 = bc ( 5 )
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x
2
+ +b x + c = 0 trở thành
16
X
2
+ x + 1 = 0 có nghiệm nếu
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x
2
+ b x + c = 0 trở thành x

2
-
2 x - 1 = 0 có nghiệm là x =
vậy b= 1; c ;
b = -2 ; c = -1
Bài 3 :
1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
=>
dấu “=” sảy ra  a = b = c
2. ta có
Áp dụng câu 1 ta có
=>
vậy . dấu “=” sảy ra  a = b = c = 1
Bài 4 : a) ta có
=> tứ giác BOPN nội tiếp
+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=>
tứ giác BOPN nội tiếp =>
=> => tứ giác AQPB nội tiếp
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
=> => QE //BC
Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC
 Q; E; F thẳng hàng
c)
17
Bi 5 :
1) 3
x
- y
3

= 1
=> tn ti m; n sao cho
+) nu m = 0 thỡ y = 0 v x = 0
+) nu m > 0 thỡ
=> => m = 1 => y = 2 ; x = 2
vy p/ trỡnh cú hai nghim l ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )
2.Ta tụ mu cỏc ụ vuụng ca bng bng hai mu en trng nh bn c vua
Lỳc u tng s si cỏc ụ en bng 1005 . 2009 l mt s l
sau mi phộp thc hin thao tỏc T tng s si cỏc ụ en luụn l s l
vy khụng th chuyn tt c viờn si trờn bng ụ vuụng v cựng mt ụ sau mt s hu hn cỏc phộp
thc hin thao tỏc T
Sở giáo dục-đào tạoSở giáo dục-đào tạoSở giáo dục-đào tạo
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyênKỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyênKỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Hà namHà namHà nam
Năm học 2009-2010
Môn thi : toán(đ chuyên)
đ chnh thức
Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đ

)
Bài 1.
(2,5 điểm)
1) Giải ph-ơng trình:
2) Giải hệ ph-ơng trình:
Bài 2.
(2,0 điểm)
Cho ph-ơng trình:
a) Tìm m để
x =
là nghiệm của ph-ơng trình.

b) Tìm m để ph-ơng trình c 2 nghiệm
x=x
1
; x=x
2
thoả mãn:
Bài 3.
(2,0 điểm)
18
1) Cho ph-ơng trình: ( với m là tham số, x là ẩn số). Tìm giá trị
của m là số nguyên để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ.
2) Tìm số thoả mãn: .
Bài 4.
(3,5 điểm)
Cho ABC nhọn có Đ-ờng tròn tâm I nội tip ABC tip xúc với các cạnh AB,
BC, CA lần l-ợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE.
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đ-ờng tròn.
c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET.
d) Gọi Bt là tia của đ-ờng thẳng BC và chứa điểm C. Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố đnh; điểm
C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thit, chứng minh rằng các đ-ờng thẳng NE
t-ơng ứng luôn đi qua một điểm cố đnh.
Ht
GợiGợiGợi một số câu kh trong đmột số câu kh trong đmột số câu kh trong đ thi:thi:thi:
Bài 3:
1) Ta c =
Để ph-ơng trình c nghiệm hữu tỷ thì phải là số chnh ph-ơng. Giả sử
=
n
2

( trong đ n là số tự nhiên).
Khi đ ta c
Do n N nên
2m-3+n>2m-3-n
Và do m Z, n N và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)
T đ xt 4 tr-ờng hợp ta sẽ tìm đ-ợc giá tr của m.
2)T giả thit bài toán ta c:
Ta c là số lẻ và do nên 5.
Mà là số chẵn nên phải c tận cùng là 6 phải c tận cùng là 4
hoặc 9. (*)
Mặt khác và
là số lẻ <500 (**)
Kt hợp (*) và (**) ta c {4; 9; 49; 64}
a+b
{2; 3; 7; 8}
+ Nu a+b {2; 7; 8} thì a+b c dạng 3k 1(k N) khi đ chia ht cho 3 mà
(a+b) + 9a= 3k 1+9a không chia ht cho 3 không 3 c N
+ Nu a+b =3 ta c . Vì 0<a<4 và 1+3a 7 1+3a=7 a=2, khi
đ c=6 và b=1.Ta c số 216 thoả mãn.
Kt luận số 216 là số cần tìm.
19
Bµi 4:
* ư c : Chøng minh KT.BN=KB.ET
C¸ch 1:C/m AKT IET
C/m AKB INB
Do IE=IN tơ ®ă ta suy ra ®ỉu ph¶i chøng minh
C¸ch 2:
C/m TKE TAI
C/m BIM BAK
Theo tƯnh chÊt tia ph©n gi¸c cđa ABT ta că

Vµ do BM=BN tơ ®ă suy ra ®ỉu ph¶i c/m
* ư d:Chøng minh NE ®i qua mét ®iĨm cè ®̃nh:
Do A, B vµ tia Bt cè ®̃nh nªn ta că tia Bx cè ®̃nh vµ kh«ng ®ỉi (tia Bx lµ tia ph©n
gi¸c cđa )
XĐt ABK vu«ng t¹i K ta că KB = AB.cos ABI=AB.cos kh«ng ®ỉi
Nh- vËy ®iĨm K thc tia Bx cè ®̃nh vµ c¸ch gèc B mét kho¶ng kh«ng ®ỉi do ®ă K cè ®̃nh
®pcm.
GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MAĂN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009 – 2010
Đề, lời giải Cách khác, nhận xét
Bài 1: (1 điểm) Cho phương tŕnh ax
2
+ bx + c = 0
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Đặt S
2
= x
1
2
+ x
2
2
; S
1
= x
1
.x
2

Chứng minh rằng: a.S
2
+ b.S
1
+ 2c = 0
Theo Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= ; x
1
.x
2
=
20
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương tŕnh: 2x - 7 + 3m – 4 = 0 (1)
a/ Đ̣nh m để phương tŕnh có một nghiệm bằng 9
và t́m tất cả nghiệm còn lại của phương tŕnh.
b/ T́m tất cả các giá tṛ của m để phương tŕnh (1)
có nghiệm.
a/ Phương tŕnh có 1 nghiệm x = 9 thay vào pt ta có:
2.9 - 7 +3m – 4 = 0
3m = 7
m = 7/3
Từ (1) ta có x thế vào (1) ta được pt:
Đặt ta có pt: 2t
2
– 7t + 3 = 0
Giải t́m được t

1
= 3 ; t
2
= ½
Suy ra x
1
= 9 ; x
2
= ¼
b/ Từ (1) coi phương tŕnh với ẩn là
Lập
Để pt (1) có nghiệm th́:
Cách khác:
x
1
= 9
mà
Câu b:
Có thể yêu cầu t́m số nguyên lớn nhất
của m để phương tŕnh (1) có nghiệm.
Chú ý: nếu thay bởi ta có bài
toán tương tự.
Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương tŕnh:
(I)
Nhân (1) (2) và (3) ta có:
[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]
2
= 36
(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y + 2)(z + 3) =
-6

Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:
Nếu x, y, z đều là các số dương th́ hệ chỉ
có 1 nghiệm
21
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:
Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)
Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho
parabol (P): , điểm I(0 ; 3) và điểm M(m ;
0)
Với m là tham số khác 0.
a/ Viết phương tŕnh đường thẳng (d) đi qua hai
điểm M, I
b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với AB > 6
a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b
Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:
b/ Phương tŕnh hoành độ giao điểm của (d) và (P):
Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Chứng minh AB > 6
V́ A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ x
A
,
x
B
phải thỏa maơn pt: mx
2
+ 9x – 9m = 0
Theo Vi-ét ta có: x
A
+ x

B
= ; x
A
. x
B
= -9
Do A, B
Theo công thức tính khoảng cách:
22
Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ;
R’) cắt nhau tại A và B (R > R’). Tiếp tuyến tại B
của
(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B của (O
; R) cắt (O’ ; R’) tại D.
a/ Chứng minh rằng: AB
2
= AC.AD và
b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A. Chứng minh
bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn có tâm
là K. Xác đ̣nh tâm K của đường tròn.
a/ Xét (O) ta có (chắn cung AnB)
Xét (O’) ta có (chắn cung AmB)
b/ Từ (1) thay AE = AB ta có
(*) mặt khác:
23
Từ (*) và (**) suy ra:
Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K. Với K
là gaio điểm 3 đường trực của hoặc
Së GD&§T NghƯ An
§̉ thi chƯnh thøc

K× thi TUN sinh VµO líp 10K× thi TUN sinh VµO líp 10K× thi TUN sinh VµO líp 10
tr-êng thpt chuyªn phan béi ch©utr-êng thpt chuyªn phan béi ch©utr-êng thpt chuyªn phan béi ch©u
n¨m häc 2009 - 2010
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm ngun
.
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vng tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn
đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng
minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường
tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại
tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K.
Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1.
Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
24
Ht
Sở GD&ĐT Nghệ AnSở GD&ĐT Nghệ AnSở GD&ĐT Nghệ An
ĐĐĐ thi chthi chthi chnh thứcnh thứcnh thức
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 tr-ờng thpt chuyêntr-ờng thpt chuyêntr-ờng thpt chuyên

phan bội châuphan bội châuphan bội châu năm họcnăm họcnăm học 2009 - 2010
Môn thi: ToánToánToán
H-ớng dẫn chấm thiH-ớng dẫn chấm thiH-ớng dẫn chấm thi
Bả n h- ớ ng d ẫ n chấ m gồ m 03 tr ang
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
3,5 đ
a
2,0đ
0.50đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
( thỏa mãn )
0.50đ
b
1,50đ
Đặt
0.25đ
Hệ đã cho trở thành
0.25đ
0,25đ
0,25đ
(vì ).
0,25đ
T đ ta c ph-ơng trình:
Vậy hệ đã cho c 2 nghiệm:
0,25đ

Bài 2:
1,0 đ
Điu kiện để ph-ơng trình c nghiệm: (*).
0,25đ
Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm nguyên của ph-ơng trình đã cho ( giả sử x
1
x
2
).
Theo định lý Viet:
0,25đ
25
hoặc (do x
1
- 1 x
2
-1)
hoặc
Suy ra
a = 6
hoặc
a = -2
(thỏa mãn (*) )
0,25đ
Thử lại ta thấy
a = 6, a = -2

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ
Vì BE là phân giác gc nên
0,25đ
(1)
0,50đ
Vì M, N thuộc đ-ờng tròn đ-ờng
knh AB nên
0,25đ
, kt hợp
với (1) ta c tam giác AME đồng
dạng với tam giác ANK
0,50đ
0,25đ
AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:
1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tip nên
Vì tứ giác BMNC nội tip nên
.Suy ra tứ giác BOIM nội tip
0,25đ
T chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đ-ờng thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).

Chứng minh t-ơng tự (1) ta đ-ợc:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO
2
- R
2
= 3R
2
0,25đ
AI.AO = 3R
2
(2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên
OA.OK = OB.OC = R
2
(3)
0,25đ
T (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành
0,25đ
Bài 5:
2,0 đ
a,
1,0 đ
Giả sử O nằm ngoài min tam giác ABC.
Không mất tnh tổng quát, giả sử A và O
nằm v 2 pha của đ-ờng thẳng BC

0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đ-ờng thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông gc với BC tại H.
0,25đ
Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ
K