55 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8

phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x
2
+ a chia hết cho 3x + 2
b) 3x
2
+ ax + 27 chia hết cho x + 5 có số d bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
1999a b c
ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c 1
+ +
+ + + + + +
Câu 3: Cho abc

0 và a + b+ c

0 giải phơng trình:
a b x a c x b c x 4x
1
c b a a b c
+ + +
+ + + =
+ +
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng

có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a. Chứng minh AE vuông góc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng
hàng.
c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di
chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi
điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
1
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1999 -2000
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
a) Số A = n
4
+ 4 là số nguyên tố.
b) Phân số
7 2
8
n n 1
n n 1
+ +
+ +
tối giản.
Câu 2. Cho biểu thức:
2

3 2 3
1 a 1 4a 2b 2
A :
2a b a
2a b 2a a b a b ab

+

=
ữ
ữ
+
+ +


a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A biết 4a
2
+ b
2
= 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phơng trình:
( )
2
2
x-101 x-103 x-105
a, 3
86 84 82
b, x 9 12x 1
+ + =

= +
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và CD.
Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD
thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhật
ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
a. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh:
1
MO IC
2
=
b. Tính số đo góc BMK?
c. Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị
trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
2
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 2
a b a b
P
ab
ab b ab a

+
= +
+
a. Rút gọn P.
b. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a
2
+ 3b
2
= 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a. (n
2
+ n -1)
2
1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phơng trình: x
4
+ x
2
+ 6x 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
= y( y +1)(y + 2)(y + 3)

Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đờng trung tực trong tam giác, H
là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,
AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.
a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện
gì để OPQR là hình thoi?
b. Chứng minh AQ = OM.
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung
điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di
chuyển trên đờng nào?
3
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a
3
+ b
3
) 3(a
2
+ b
2
)
Câu 2: Chứng minh rằng:

a b c
1, 1
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1
+ + =
biết abc = 1.
2
*
4 2
n n 1
2, (n N )
n n 1
+ +

+ +
không là phân số tối giản.
Câu 3: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20
= + + + +
+ + + +
a. Tìm điều kiện để P xác định.
b. Rút gọn P.
c. Tính giá trị của P biết a
3
- a
2
+ 2 = 0
Câu 4

*
: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x
2n
+ x
n
+1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đờng thẳng qua C và vuông
góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
a. Chứng minh: tam giác EMC cân.
b. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ
P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
4
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2002- 2003
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a.
3 2
A n n n 1= +
là một số nguyên tố.
b.
4

4 3 2
n 16
C
n 4n 8n 16

=
+ +
có giá trị là một số nguyên.
c. D = n
4
+ 4
n
là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc

0.
a. Chứng minh: a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc =0
b. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
= +

+ + +
Bài 3:
a. Giải phơng trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x a x c x b x c
1
b a b c a b a c

+ =

b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
2
- y
2
+ 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua
O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh :
AOD BOC
S S

=
b. Chứng minh: OE = OF.
c. Chứng minh:
1 1 2
AB CD EF

+ =
d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua K
và chia đôi diện tích tam giác DEF.
5
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2003- 2004
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức:
2
3 2
a 4a 4
A
a 2a 4a 8
+ +
=
+
a. Rút gọn A.
b. Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
thì ta có:
2 2 2

a bc b ca c ab
x y z

= =
Câu 3. Giải phơng trình:
a,
2 2 2
1 1 1
18
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42
+ + =
+ + + + + +
b, x
2
+ 3
y
= 3026 với x, y

N
Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dơng. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng
minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB
lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh
rằng:
a.
2
1
BD.CE BC
4
=

b. DM là phân giác của góc BDE.
c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và
AC.
6
đề chính thức
Tỉnh vĩnh phúc
PHềNG GD-DT
Huyn Trc Ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2004- 2005
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Bi 1 (4 im)
Cho phõn thc A=
23
12
3
24

+
xx
xx
.
a)Tỡm iu kin ca x A cú ngha.
b)Rỳt gn A.
c)Tỡm x A cú giỏ tr bng 4.
Bi 2 (3 im)
Xỏc nh a thc f(x) bc 3 sao cho khi chia a thc y ln lt cho cỏc nh
thc (x-1);(x-2);(x-3)j u c d l 6 v ti x=-1 thỡ a thc nhn giỏ tr bng
-18.

Bi 3 (4 im)
a)Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B=
.
1
34
2
+
+
x
x
b)Chng minh rng a
4
+b
4

a
3
b+ab
3
.
Bi 4 (7 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, im M thuc cnh BC, im N thuc cnh
AD sao cho CM=AN.Cỏc ng thng AM,BN ct CD theo th t E,F.
a)Chng minh CE.DF=a
2
.
b)Gi I l giao im ca FA v EB.Chng minh tam giỏc CEB ng dng vi
tam giỏc DAF v gúc EIF=90
0
.

c)Cho CM=
3
a
.Tớnh din tớch a giỏc AIBCD theo a.
d)Cỏc im M v N cú v trớ nh th no thỡ EF cú di nh nht .
Bi 5 (2 im) Gii phng trỡnh:
.1111
2
+=++ xxx
HSG
7
Câu 1:
Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a

+
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phơng trình:

a,
1
a b x+
=
1
a
+
1
b
+
1
x
(x là ẩn số)
b,
2
2
( )(1 )b c a
x a
+
+
+
2
2
( )(1 )c a b
x b
+
+
+
2
2

( )(1 )a b c
x c
+
+
= 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
+
+
=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +
Câu 4:
Chứng minh phơng trình:
2x
2
4y = 10 không có nghiệm nguyên.

Câu 5:
Cho

ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đờng cao xuất phát từ B và C
Đề hsg
Câu 1:
Cho a,b,c thoả mãn:
a b c
c
+
=
b c a
a
+
=
c a b
b
+
Tính giá trị M = (1 +
b
a
)(1 +
c
b
)(1 +
a
c
)
Câu 2:

Xác định a, b để f(x) = 6x
4
7x
3
+ ax
2
+ 3x +2
Chia hết cho y(x) = x
2
x + b
Câu 3: Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
8
b, 4x
2
+ 4y – 4xy +5y
2
+ 1 = 0
C©u 4:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n sè mµ tö sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tæng
c¸c ch÷ sè cña nã.
C©u 5:
Cho
∆
ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho:
AD = EC = DE = CB.
a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc
µ
A
cña

ABCV
b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc
µ
A
cña
HBCV
.
9
C©u 1:
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a, a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc b, (x-y)
3
+(y-z)
3
+ (z-x)
3
C©u 2:
Cho A =
2 2
2
(1 )
1
x x
x

−
+
:
3 3
1 1
( )( )
1 1
x x
x x
x x
 
− +
+ −
 
− +
 
a, Rót gän A b, T×m A khi x= -
1
2
c, T×m x ®Ó 2A = 1
C©u 3:
a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P =
2
( 10)

x
x +
C©u 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 <
a
a b+
+
b
b c+
+
c
c a+
< 2
b, Cho x,y
≠
0 CMR:
2
2
x
y
+
2
2
y
x
≥

x
y
+

y
x
C©u 5:
Cho
ABCV
®Òu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a
a, TÝnh sè ®o c¸c gãc
ACMV
b, CMR: AM
⊥
AB
c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR
MNPV
®Òu.
10
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a
8
+ a
4
+1 b, a
10
+ a
5
+1
Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức:
A =
2 2 2
1
b c a+
+

2 2 2
1
c a b+
+
2 2 2
1
a b c+
b, Cho biểu thức: M =
2
2 3
2 15
x
x x

+
+ Rút gọn M + Tìm x

Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3: a, Cho abc = 1 và a
3
> 36, CMR:
2
3
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
b, CMR: a

2
+ b
2
+1

ab + a + b
Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
(b+c) + b
2
(c+a) +
c
2
(a+b)
Câu 5:
a, Tìm x,y,x

Z biết: x
2

+ 2y
2
+ z
2
- 2xy 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6: Cho
ABCV
. H là trực tâm, đờng thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại
C cắt nhau tại D. a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc
à
A
và
à
D
của tứ giác ABDC.
Đề hsg
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x
2
x +2)
2
+ (x-2)
2
b, 6x
5
+15x
4

+ 20x
3
+15x
2
+ 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tính giá trị của A = a
4
+ b
4
+ c
4
b, Cho a, b, c

0. Tính giá trị của D = x
2003
+ y
2003
+ z
2003
Biết x,y,z thoả mãn:
2 2 2
2 2 2

x y z
a b c
+ +
+ +
=
2
2
x
a
+
2
2
y
b
+
2
2
z
c
Câu 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
1
a
+
1
b



4

a b+
b, Cho a,b,c,d > 0
11
CMR:
a d
d b
−
+
+
d b
b c
−
+
+
b c
c a
−
+
+
c a
a d
−
+

≥
0
C©u 4:
a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E =
2 2
2 2

x xy y
x xy y
+ +
− +
víi x,y > 0
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M =
2
( 1995)
x
x +
víi x > 0
C©u 5:
a, T×m nghiÖm
∈
Z cña PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, T×m nghiÖm
∈
Z cña PT: x
2
+ x + 6 = y
2
C©u 6:
Cho
ABCV
M lµ mét ®iÓm
∈
miÒn trong cña
ABCV
. D, E, F lµ trung ®iÓm AB,
AC, BC; A’, B’, C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua F, E, D.

a, CMR: AB’A’B lµ h×nh b×nh hµnh.
b, CMR: CC’ ®i qua trung ®iÓm cña AA’
§Ò hsg
C©u 1:
Cho
a
x y+
=
13
x z+
vµ
2
169
( )x z+
=
27
( )(2 )z y x y z
−
− + +
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A =
3 2
2 12 17 2
2
a a a
a
− + −
−
C©u 2:
Cho x
2

– x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
12
M = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N =
1
x
+
1
y
Câu 4:
a, Cho 0

a, b, c

1
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

1+ a
2
b + b
2
c + c
2
a
b, Cho 0 <a
0
<a
1
< < a
1997
CMR:
0 1 1997
2 5 8 1997


a a a
a a a a
+ + +
+ + + +
< 3
Câu 5:
a,Tìm a để PT
4 3x
= 5 a có nghiệm

Z

+
b, Tìm nghiệm nguyên dơng của PT:
2
x
x y z+ +
+
2
y
y x z+ +
+
2
z
z x y+ +
=
3
4
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc
ã
MAB
cắt
BC tại P, kẻ phân giác góc
ã
MAD
cắt CD tại Q
CMR PQ

AM
Đề hsg
Câu 1:

Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
13
2 2 2
2
b c a
bc
+
+
2 2 2
2
c a b
ac
+
+
2 2 2
2
a b c
ab
+
= 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất A =
3 3
1
1x y+ +
+
3 3
1

1y z+ +
+
3 3
1
1z x+ +
Câu 3:
Cho M = a
5
5a
3
+4a với a

Z
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M
M
120

a

Z
Câu 4:
Cho N

1, n

N
a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n =
( 1)
2

n n +
b, CMR: 1
2
+2
2
+ 3
2
+ +n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x
2
= y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:
Giải BPT:
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
>
2
4 5

2
x x
x
+ +
+
- 1
Câu 7:
Cho 0

a, b, c

2 và a+b+c = 3
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

5
Câu 8:
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx
tạo với CD một góc 15
0
cắt AD tại E
CMR:
BCEV
cân.
Đề hsg
Câu 1:

Cho A =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n
n n n
+
+ + +
14
a, Rút gọn A
b, Nếu n

Z thì A là phân số tối giản.
Câu 2:
Cho x, y > 0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 -
2
1
x
)(1 -
2
1
y
)
Câu 3:
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: a
2
+ b

2
+ c
2
< 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0

a, b , c

1
CMR: a + b
2
+c
3
ab bc ca

1
Câu 4:
Tìm x, y, z biết:
x+yz = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5:
Cho n

Z và n

1
CMR: 1
3
+ 2
3
+3

3
+ +n
3
=
2 2
( 1)
4
n n+ +
Câu 6:
Giải bất phơng trình:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7:
Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng. Tính
tổng các số trong nhóm 94.
Câu 8:
Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và
DN
CMR: AK = BC
15
Đề hsg
Câu 1:
Cho M =
a
b c+
+
b
a c+
+
c
a b+

; N =
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2
CMR:
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+

1
Câu 3:
Cho x, y, z

0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x
2
2x -14 là số chính phơng.
b, Tìm các số
ab
sao cho
ab
a b
là số nguyên tố
Câu 5:
Cho a, b, c, d là các sô nguyên dơng
CMR: A =
a
a b c+ +
+
b
a b d+ +
+
c
b c d+ +
+
d
a c d+ +

không phải là số nguyên.
Câu 6:
Cho
ABCV
cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía
C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
16
CMR: BC

PC
Câu 7:
Cho x, y thoả mãn: 2x
2
+
2
1
x
+
2
4
y
= 4 (x

0)
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
Đề hsg
Câu 1:
Cho a, b, c > 0 và
P =
3

2 2
a
a ab b+ +
+
3
2 2
b
b bc c+ +
+
3
2 2
c
c ac a+ +
Q =
3
2 2
b
a ab b+ +
+
3
2 2
c
b bc c+ +
+
3
2 2
a
c ac a+ +
a, CMR: P = Q
b, CMR: P

3
a b c+ +
Câu 2:
Cho a, b, c thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)

0
Câu 3:
CMR

x, y

Z thì:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y
4
là số chính phơng.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m
2
+ n
2
= m + n + 8

b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x
2
y = (x
2
+1)(x
2
+y
2
)
17
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A =
2
4 3
1
x
x
+
+
Câu 6:
Cho x =
2 2 2
2
b c a
ab
+
; y =
2 2
2 2
( )

( )
a b c
b c a

+
Tính giá trị: M =
1
x y
xy
+

Câu 7:
Giải BPT:
1 x a x <
(x là ẩn số)
Câu 8:
Cho
ABCV
, trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm
của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.
Tính PQ theo BC
Đề hsg
Câu 1:
Cho x =
a b
a b

+
; y =
b c

b c

+
; z =
c a
c a

+
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A =
4
2 2
1
( 1)
x
x
+
+
Câu 3:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1
CMR: b+c

16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất
đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
Câu 4:
Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m

2
1
Câu 5:
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x
2
+ y
2
+ z
2
= xyz
18
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phơng.
Câu 6:
Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC,
BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC
CMR: E, O, F thẳng hàng.
Đề hsg
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 d 1
f(x) chia cho x-4 d 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thơng là 3x và d
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử:
A = x
4
+ 2000x
2

+ 1999x + 2000
b, Cho:
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c

= =
CMR:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z

= =
Câu 4:
CMR:
1
9
+
1
25
+ +
2
1
(2 1)n +
<
1
4
Với n

N và n

1
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M =
2 2
2 2
x xy y
x y
+ +
+
(x0; y0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x
2
+ 4x = 19 3y
2
b, CMR phơng trình sau không có nghiệm nguyên: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1999
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đờng vuông góc AB, AD
tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF

DE
19

b, CMR: CM = EF; CM

EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
đề 13 (55)
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-
2
4
1
)(1-
2
4
3
) (1-
2
4
199
)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a
2
Tính M =
a b
a b

+
Câu 2:
a, Cho a, b, c > o
CMR:
2

a
b c+
+
2
b
c a+
+
2
c
a b+



2
a b c+ +
b, Cho ab

1
CMR:
2
1
1a +
+
2
1
1b +



2

1ab +
Câu 3:
Tìm x, y, z biết:
x+2y+3z = 56 và
1
1x
=
2
2y
=
3
3z
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M =
2
2 1
2
x
x
+
+
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A =
2
2
6 5 9x x
Câu 5:
Giải BPT: mx
2
4 > 4x + m
2

4m
Câu 6:
a, Tìm số nguyên dơng x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2)
k là số nguyên dơng cho trớc.
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ
BCFV
đều,
về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ
ABEV
đều.
20
CMR: D, E, F th¼ng hµng.
21
Đề hsg
Câu 1:
Cho A = (
2
2 2 3 2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y

+
+ + +
a, Tìm TXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2:

a, Giải PT: x
4
+ 2x
3
2x
2
+ 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 mx < 2(x-m) (m+1)
2
Câu 3:
Cho a, b, c > 0
CMR:
3
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Câu 4:
CM: A = n
6
n
4
+2n
3
+2n
2
không là số chính phơng với n

N và n >1

Câu 5:
Cho f(x) = x
2
+ nx + b thoả mãn
1
( ) ; 1
2
f x x
Xác định f(x)
Câu 6:
Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1
Tìm giá trị lớn nhất A =
4 2 2 4
x y
x y x y
+
+ +
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên
MN kẻ đởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
22
§Ò hsg
C©u 1:
Cho xyz = 1 vµ x+y+z =
1 1 1
x y z
+ +
= 0
TÝnh gi¸ trÞ M =

6 6 6
3 3 3
x y z
x y z
+ +
+ +
C©u 2:
Cho a ≠ 0 ;
±
1 vµ
1 2
1 2 3
1 2
1 11
; ;
2 1 1
x xa
x x x
a x x
− −−
= = =
+ + +
T×m a nÕu x
1997
= 3
C©u 3:
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m:
( 2) 3( 1)
1
1

m x m
x
+ − −
=
+
C©u 4:
Víi n
∈
N vµ n >1
CMR:
1 1 1 1
1
2 1 2 2n n n
< + + + <
+ +
C©u 5:
Cho M = 3x
2
- 2x + 3y
2
– 2y + 6x +1
T×m gi¸ trÞ M biÕt: xy = 1 vµ
x y+
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 6:
T×m x, y
∈
N biÕt: 2
x
+ 1 = y

2
C©u 7:
23
Cho
ABCV
(AB < AC). AD, AM lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn cña
ABCV
. §êng th¼ng qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E
So s¸nh S
ADMV
vµ S
CEMV
§Ò hsg
C©u 1:
Cho (a
2
+ b
2
+ c
2
)( x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
CMR:
x y z

a b c
= =
víi abc ≠ 0
C©u 2:
Cho abc ≠ 0 vµ
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + − − +
CMR:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + − − +
C©u 3:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ nhá h¬n 1
CMR: Trong 3 sè: (1-a)b; (1-b)c; vµ (1-c)a kh«ng ®ång thêi lín h¬n
1
4
C©u 4:
Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2

) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A =
1 1
x y
+
24
Câu 5:
a, CMR PT: 3x
5
x
3
+ 6x
2
18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:
Cho n

N và n >1
CMR: 1 +
2 2 2
1 1 1
2
2 3 n
+ + + <
Câu 7:
Cho
ABCV
về phía ngoài
ABCV

vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của
ABCV
vuông góc với EF và AI =
1
2
EF
Câu 8:
CMR:
21 4
14 3
n
n
+
+
là phân số tối giản (với n

N).
Đề hsg
Câu 1:
Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
Câu 2:
Cho x > 0 và x
2

+
2
1
x
= 7
Tính giá trị của M = x
5
+
5
1
x
Câu 3:
Cho x, y thoả mãn 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 72
Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x
2
+ y
2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c

1
CMR:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ac c ab

+ +
+ + +
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.
CMR: 0

a, b, c


4
3
25