Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8

Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
Ngô Thị Loan
Giáo viên trường THCS Thọ Hải, Thọ Xuân
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI NÓI ĐẦU.
Trong giai đoạn hiện nay, Đảng ta đã nhận định: “Cùng với khoa học và
công nghệ cần phải đưa giáo dục và đào tạo trở thành quốc sách hàng đầu”;
“Giáo dục phải đào tạo những con người có trình độ cao về tri thức, phát triển
cao về trí tuệ, thích ứng nhanh với sự phát triển mạnh mẽ của xã hội”.
Để đáp ứng kịp thời sự phát triển ấy, giáo dục không chỉ cần đổi mới về
nội dung mà còn cần phải đổi mới và hiện đại hoá cả về phương pháp dạy học
và phương tiện dạy học; giáo dục phải tiếp thu bằng nhiều cách khác nhau và
bằng chính thái độ chủ động, tích cực sáng tạo của người học.
Trong “Đổi mới giáo dục”, điều rất quan trọng là sự đổi mới về phương
pháp. Giáo dục phải chuyển từ “Cung cấp kiến thức” sang “Luyện cách tự
mình tìm ra kiến thức”. Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thông minh
sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, “ghi nhớ”. Giáo viên phải từ vị trí truyền thụ
kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm lấy kiến thức; còn
học trò, từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức, trở thành người chủ động tìm
học, tự học, tự nghiên cứu để chiếm lĩnh kiến thức. Dạy kiến thức phải phát
huy lòng say mê ham thích học tập của người học. Xét cho cùng, giáo dục là
quá trình cung cấp kiến thức, hướng dẫn người học tìm kiến thức mới để làm
cơ sở cho sự phát triển năng lực tư duy và hành động.
Đổi mới phương pháp dạy học (nói chung) phải phát huy tính tích cực
trong dạy học, tích cực hoá hoạt động của người học. Quá trình giáo dục là
một quá trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức
mới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc, đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào
thực tiễn, “phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp
với nhau; học và hành ở mọi lúc mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế.
Người giáo viên phải thực hiện tốt nhiệm vụ thường xuyên, liên tục cập nhật
đổi mới nội dung, phương pháp phù hợp với sự phát triển và những biến đổi

to lớn của thời đại.
Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy học
nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
môn toán học, đào tạo những con người yêu lao động, có vốn kiến thức hiểu
biết sâu sắc về những thành tựu khoa học mới nhất, tiên tiến nhất trên thế giới
để hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay.
Từ lý do trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Phát
triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8: Từ định lý Ta lét đến chứng
minh các đường thẳng đồng quy”.
Năm học 2010 – 2011 1
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
- Quy luật của quá trình nhận thức là: Từ trực quan sinh động đến tư duy
trừu tượng. Song, quá trình nhận thức đó có đạt hiệu quả cao hay không, có
bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của
chủ thể.
- Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có thiên hướng vươn lên làm
người lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở độ
tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều
chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau.
Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất
“Người lớn”. Tuy nhiên, nhược điểm của các em là chưa nắm được các
phương cách thực hiện các hình thức học tập mới. Vì vậy, cần có sự hướng
dẫn, điều chỉnh một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô.
Lý luận về phương pháp dạy học đã cho thấy: Dạy học theo phương
pháp mới, phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn,
tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.
- Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo trong dạy
học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông
qua nhiều năm học và thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học.

- Hiện nay, trong nhà trường nói chung vẫn còn không ít học sinh lười
học, lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có những hoạt
động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động.
Trong những năm qua, các trường trung học cơ sở đã có những chuyển biến
tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy học. Học sinh cũng đã chủ động
nghiên cứu, tìm tòi, khám phá kiến thức. Song, mới chỉ dừng lại ở những bài
tập cơ bản trong sách giáo khoa. Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối
với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập.
- Hậu quả của thực trạng trên là: Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã
được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập, học sinh còn gặp rất nhiều
khó khăn, lúng túng.
Vậy, làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập
có nội dung mở rộng và nâng cao?.
Ví dụ: Giải bài tập sau: “Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một
hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai
đường chéo sẽ đi qua trung điểm các đáy của hình thang”.
Khi chưa thực hiện loại bài tập này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả:
Lúc đầu: 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức
nào để chứng minh. Do đó, các em không giải được. Sau đó, tôi gợi mở: “Bài
toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có
được gợi ý gì ?” Lúc này, đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng
định lý Talét (vì hình thang có 2 cạnh đáy song song). Nhưng các em cũng
chưa thể giải được, bởi vì, để giải được bài tập này, không phải dùng trực tiếp
Năm học 2010 – 2011 2
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà cần gián tiếp thông qua tính
chất của chùm đường thẳng đồng quy.
Tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học
sinh trong lớp đã xác định ngay được hướng chứng minh bài toán và có

khoảng 60% - 70% học sinh chứng minh được. Ngoài ra, các em còn có khả
năng áp dụng chùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn,
phức tạp hơn. Đặc biệt, các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như
chứng minh đường thẳng vuông góc, các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện
tích, nhất là các đường thẳng đồng quy Sau đây là phần trình bày nội dung
và các bước tiến hành chuyên đề của tôi:
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I - Bước thứ nhất: Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và
phát hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà
các em đã biết:
1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là:
a/ Định lý Talét trong tam giác:
* Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác
và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng
tương ứng tỷ lệ.
* Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định
ra trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó
song song với cạnh còn lại của tam giác.
a // BC
⇔

AB AC
AB AC
AB AC
BB CC
BB CC
AB AC
′ ′

=



′ ′

=

′ ′

′ ′

=


b/ Hệ quả của định lý Talét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam
giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba
cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.


Năm học 2010 – 2011 3
BC
CB
AC
AC
AB
AB
BCa
ABC
''''
//
==⇒




∆
B
’
ABC
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
2. Tìm hiểu thấy rằng:

Từ định lý Talét, đã chứng minh được hệ quả, vậy thì một vấn đề đặt ra là:
Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt
đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra. Chẳng hạn từ
A ta vẽ thêm AD, D
∈
đường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’.
Ta có thể suy ra
CD
DC
BC
CB ''''
=

vì cùng bằng
AC
AC'

Ngược lại: Nếu có
)1(
''''

≠== kk
CD
DC
BC
CB

thì ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy
tại một điểm A hay không? Nếu C là trung
điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’D’ hay không?
Từ những suy nghĩ đó, tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài
tập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng
Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho
học sinh có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng
hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên.
Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh.
II. Bước thứ hai:
Xây dựng hệ thống bài tập, giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng
hợp, khái quát hoá kiến thức mới, từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi
giải bài tập.
* Bài số 1: Cho ba tia Ox, Oy, Oz cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần
lượt tại: A, A’
∈
Ox ; B, B’
∈
Oy ; C, C’
∈
Oz .
Chứng minh rằng:
' ' ' '
AB BC

A B B C
=


A B C
Chứng minh:
A
/
B
/
C
/
Xét tam giác OAB ta có: x y z
' ' '
AB OB
A B OB
=
(1). (Hệ quả của định lý Talét)
Xét tam giác OBC ta có:
' ' '
BC OB
B C OB
=
(2). (Hệ quả của định lý Talét)
Từ (1) và (2) suy ra:
'''' CB
BC
BA
AB
=

(đpcm).
Năm học 2010 – 2011 4
m
m
/
O
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
* Bài số 2: Vấn đề đặt ra là:
Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot cắt hai
đường thẳng song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán.
Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời; “Cho bốn tia
Ox, Oy, Oz, Ot cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ
tự tại A, A’
∈
Ox; B, B’
∈
Oy; C, C’
∈
Oz; D, D’
∈
Ot.
Chứng minh rằng:
' ' ' ' ' '
AB BC CD
A B B C C D
= =


A B C D
A

/
B
/
C
/
D
/
Chứng minh: x y z t
Tacó:
' ' ' '
AB BC
A B B C
=
(Như bài số 1)

' ' ' '
BC CD
B C C D
=
(Chứng minh tương tự bài 1)
Từ đó suy ra
' ' ' ' ' '
AB BC CD
A B B C C D
= =
(đpcm)
Đến đây đặt câu hỏi? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một
tính chất?
HS trả lời: “Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai
đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy

các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ”.
GV giới thiệu với học sinh tính chất trên, chính là tính chất của ba đường
thẳng đồng quy. Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng
minh (phát biểu thành bài toán đảo của bài toán trên) chính là nội dung của
bài toán 3 sau đây:
* Bài số 3: Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’
lần lượt tại A, A’
∈
a ; B, B’
∈
b ; C, C’
∈
c sao cho
)1(
''''
≠==
kk
CB
BC
CA
AC

Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm.
Chứng minh:
Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại
O, ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua
O. Gọi giao điểm của đường thẳng OC với
m’ là C”. Khi đó, theo định lý thuận, ta có:
Năm học 2010 – 2011 5
m

m
/
O
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
'''' CB
BC
AC
AC
=
. Mặt khác theo GT:
'''' CB
BC
CA
AC
=
Từ đó suy ra A’C” = A’C’ và B’C’ = B’C”
''' CC
≡⇒
. Vậy c đi qua O
hay a, b, c đồng quy tại O.
Đến đây GV cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên.
HS: “Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai
đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó
đồng quy”.
Như vậy, học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai
nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan
đến định lý Talét. Đến đây GV cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều
vừa chứng minh được vào giải quyết bài tập.
* Bài số 4: Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường
thẳng nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy.

Chứng minh:
Vì M là trung điểm của AB nên: MA = MB
Vì N là trung điểm của CD nên: NC = ND
từ đó suy ra:
NC
MB
DN
AM
=
Theo kết quả bài 3 ta được AD, BC, MN đồng
quy,
đến đây GV cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau
đây.
* Bài số 5: Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên, giao
điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi giao điểm của AD và BC là O ; giao
điểm của AC và BD là I. Gọi M là trung điểm
của AB, N là trung điểm của CD.
Ta có: O, M, N thẳng hàng (áp dụng bài 4)
Ta có I, M, N thẳng hàng (tương tự bài 4)
Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm).
Đây là bài toán, sau khi làm bài, 4 học
sinh đã làm được bài làm một cách dễ dàng
Năm học 2010 – 2011 6
O
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
mà không cần phải gợi ý thêm gì cả. Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà
tôi đã đặt vấn đề ở trên:

* Bài số 6:
a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường
thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm
của các đáy của hình thang.
b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước (không dùng com pa) để dựng
trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song
song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với
đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB.
Lời giải:
a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,
BC cắt nhau tại E và hai đường chéo AC, BD cắt
nhau tại F. Gọi giao điểm của EF với AB, CD theo
thứ tự là M, N. Với hai đường thẳng song song
AB, CD và ba đường thẳng đồng quy ED, EN, EC
ta có
NC
MB
DN
AM
=
,
Do đó
NC
DN
MB
AM
=
(1). Với hai đường thẳng song
song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy AC,
MN, BD

Ta có
DN
MB
NC
AM
=
, do đó
ND
NC
MB
AM
=
(2).
Từ (1) và (2) Suy ra
DN
NC
NC
DN
=
do đó DN = NC
nên N là trung điểm của CD.
Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB.
b/ Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng
AB thì ta lần lượt nối A, B với cùng một điểm E nào
đó ở ngoài d và khác phía đối với A. Gọi giao điểm
của d với EA, EB theo thứ tự là C, D. Nối AD, BC và
gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là F. Nối F với
E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm của EF với
AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB thì không

thể có đường thẳng song song với AB và đi qua M.
Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một điểm O tuỳ ý
trên đường thẳng AM (không trùng với A, M), gọi K là giao điểm của OI và
MB, gọi N là giao điểm của AK và OB. Khi đó MN//AB. Thật vậy, giả sử
đường thẳng song song với AB sẽ qua M cắt OB tại N’ và hai đường thẳng
Năm học 2010 – 2011 7
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
MB, AN’ cắt nhau tại K’. Khi đó, theo chứng minh ở phần a đường thẳng
OK’phải đi qua trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy N’
trùng với N nên MN//AB.
Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài
toán trên:
“Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo ra
trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên
đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau”.
Làm xong bài tập trên, học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường
thẳng đồng quy. Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu
cầu cao hơn, phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường
thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên.
III. Bước thứ ba: Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng và bài tập vận
dụng.
Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính
chất của ba đường thẳng đồng quy, phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra
những ý chính của việc chứng minh:
* Bài số 7: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD,BE,CF. Gọi I, K, M,
N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA.
Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng.

Giải:
Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF

ta có
FEIK
KE
BK
DC
BD
IF
BI
//
⇒==
(1)
Tương tự MN//FE (2)
Ta lại có
FEIN
EA
NE
HA
DH
FA
IF
//
⇒==
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N
thẳng hàng
* Bài số 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB,CD). Đường thẳng qua A
song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD
tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
a) EI // AB b) Ba đường thẳng EI, BH, ACđồng quy
Giải:

Gọi F là giao điểm của BH và AC, G là giao điểm của AE và CD
a/ Vì HI // BD
⇒
HC
DH
IC
BI
=
(1)
Năm học 2010 – 2011 8
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
Vì DG // AB
⇒

DG
AB
EG
AE
ED
BE
==
(2)
Các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC
Suy ra DG = HC thay vào (1)
⇒

DG
AB
IC
BI

=
(3). Từ (2) và (3)
⇒

ED
BE
IC
BI
=
Từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4)
b/ Từ (2) và (3) ta có
HC
AB
DG
AB
ED
BE
IC
BI
===
, lại có HC // AB
⇒

FC
AF
HC
AB
=
do đó
FC

AF
IC
BI
=
suy
ra FI // AB hay FI // CD (5)
từ (4) và (5)
⇒
EI, BH, AC đồng quy.
* Bài số 9: Cho M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CA (hoặc trên
các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều
kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là
1
=
PA
PC
NC
NB
MB
MA
(định lý Mê-nê-la-úyt)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng
Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có:
Từ
∆
MBN
⇒

NB

AQ
MB
MA
=
Từ
∆
PNC
⇒

AQ
NC
PA
PC
=
Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được
.
MA PC NC
MB PA NB
=

Nhân 2 vế với
NC
NB
ta có:
1
=
PA
PC
NC
NB

MB
MA
Điều kiện đủ:
Cho ba điểm M, N, P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện.

. . 1
MA NB PC
MB NC PA
=
Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cm trên)
'
. . 1
'
MA N B PC
MB N C PA
=
từ đó suy ra
NC
NB
CN
BN
=
'
'
.
Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’
≡
N, tức là M, P, N thẳng
hàng.
Năm học 2010 – 2011 9

Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
* Bài số 10: Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm
tương ứng M, N. Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là
giao điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C, P, Q thẳng hàng.
Giải:
Vì ba điểm N, Q, B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có:
1
=
MA
BM
QM
QD
ND
NA

Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP. Khi đó BCKM, NDKP
là các hình bình hành nên:
PK
PM
ND
NA
=
và
CD
CK
BA
BM
=

Do đó

1 . . . . . .
NA QD BM PM QD CK PM CK QD
ND QM BA PK QM CD PK CD QM
= = =
Vì C, P, Q nằm trên các đường
thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán 9 và đẳng thức trên suy
ra C, P, Q thẳng hàng.
* Bài số 11: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng các
điểm P, Q, R sao cho ba đường thẳng AP, BQ và CR cắt nhau tại một điểm.
Chứng minh rằng:
. . 1
AR BP CQ
BR PC QA
=
.
Giải: (Định lý Xê-va) E A F
Qua A kẻ một đường thẳng song song với BC
cắt các đường thẳng CR và BQ tại E và F
Gọi O là giao điểm của AP, BQ và CR. O
ARE∆

BRC∆

⇒

AR AE
RB BC
=
(1)
BOP∆

FOA∆
⇒

PB OP
AF OA
=
(2) B
POC∆

AOE∆
⇒

OP PC
OA AE
=
(3)
Từ (2) và (3)
⇒

PB AF
PC AE
=
(4).
AQE∆

CQB∆

⇒

CQ BC
QA AF
=
(5)
Từ (1), (4) và (5) ta có
. . . . 1
AR BP CQ AE AF BC
RB PC QA BC AE AF
= =
(Điều phải c/m)
Năm học 2010 – 2011 10
R
Q
P
C
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
* Bài số 12: Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên
cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE//BC khi và chỉ
khi ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy.
Giải :
Vì M là trung điểm của BC nên
1
=
MC
MB
. Do
đó
EA
EC
DB

DA
EA
EC
MC
MB
DB
DA

=
. Vì vậy, ba đường thẳng
AM, BE, CD đồng quy khi và chỉ khi.
. . . 1
DA MB EC DA EC
DB MC EA DB EA
= =
hay
EC
EA
DB
DA
=
tức là DE//BC
* Bài số 13: Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAFnằm
phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy.
Giải :
Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm của BF và CA, R là giao
điểm của CD và AB . Hai tam giác ABE và
ACE có chung cạnh AE nên tỷ số diện tích
của chúng bằng tỉ số các khoảng cách từ B và
C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét

trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng
PC
PB
. Do đó
ACE
ABE
S
S
PC
PB
∆
∆
=
. (1)
Tương tự, ta có:
FCB
AFB
S
QC
QA S
∆
∆
=
(2);
CAD
DBC
S
RA
RB S
∆

∆
=
(3)
Nhân vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:
DBC
CAD
FAB
FCB
ACE
ABE
S
S
S
S
S
S
RB
RA
QA
QC
PC
PB
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=

Vì
∆
ABE =
∆
DBC (c.g.c),
∆
ACE =
∆
FCB (c.g.c),
∆
FAB =
∆
CAD (c.g.c).
Nên
1
==
∆
∆
∆
∆
∆
∆
DBC
CAD
FAB
FCB
ACE
ABE
S
S

S
S
S
S
RB
RA
QA
QC
PC
PB
. Ba đường thẳng AE, BF, CD
đồng quy. (định lý Xêva HS sẽ được học kỹ hơn ở bậc THPT).
* Bài tập vận dụng
Năm học 2010 – 2011 11
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
Bài 1: Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC, đặt các đoạn
'
AA AB=
,
'
BB BC=
,
'
CC CA=
. Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác ABC và
A B C
′ ′ ′

trùng nhau.
Định hướng giải:

Kẻ đường trung tuyến BE của
∆
ABC và
đường trung tuyến
A D
′
của
∆
A B C
′ ′ ′
.
Áp dụng định lí về đường trung bình
vào tam giác
CB C
′ ′
, rồi suy ra
Tứ giác AEDB la hbh nên ED song song
và bằng AB.
Áp dụng hệ quả của định lí Talet vào C
tam giác A
/
GB ta có
1
2
EG DG ED
GB GA A B
= = =
′ ′
. B
/

rồi suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho tia Ox, Oy, Oz tạo thành
· ·
0
60xOy yOz= =
.
Chứng minh rằng: Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên Ox, Oy, Oz thì ta
có:
1 1 1
.
OB OA OC
= +
Bài 3: Qua điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC, ta dựng các đường thẳng DE,
FK, MN tương ứng song song với AB, AC, BC sao cho F và M nằm trên AB,
E và K trên BC, N và D trên AC. Chứng minh:
1.
AF BE CN
AB BC CA
+ + =
Bài 4: Cho hình thang ABCD có P và Q là trung điểm của hai đáy BC và AD.
M là một điểm trên tia đối của tia CA. Các đường thẳng MP và MQ cắt hai
cạnh bên AB và CD ở H và K. Chứng minh rằng HK song song với đáy của
hình thang.
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
Qua nội dung trình bày trên, ta thấy ở nhiều bài tập, khi chứng minh rất
cần đến việc áp dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy. Những kiến
thức này, giúp cho học sinh phát triển được tư duy và kĩ năng chứng minh
hình.
Do được trang bị những kiến thức về đường thẳng đồng quy nên việc

chứng minh và trình bày sẽ ngắn gọn và dễ hiểu hơn, làm cho học sinh hứng
thú trong học tập cũng như khi giải các bài tập khó. Qua thử nghiệm, tôi nhận
thấy có một số kết quả rất phấn khởi như sau:
I. Kết quả về nhận thức:
Năm học 2010 – 2011 12
G
A
E
A
/
D
C
/
B
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
- Khi chưa thực hiện chuyên đề này, học sinh gặp nhiều khó khăn trong
việc chứng minh loại bài tập này, ngay bài tập số 4 tương đối dễ mà có tới
99% các em không giải được, còn các bài tập từ bài số 6 đến bài số 13 các
em hoàn toàn bế tắc.
- Sau khi nghiên cứu sắp xếp hệ thống bài tập, câu hỏi (như đã trình bày
ở trên) và áp dụng dạy cho học sinh giỏi lớp 8 thì thấy rằng: Học sinh hiểu bài
hơn, có hứng thú say mê với loại bài chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Các em tự mình có thể giải quyết được các bài tập, đồng thời các em còn trình
bày ngắn gọn hơn, xúc tích hơn. Ngoài những bài tập tôi đưa ra trên, còn
nhiều bài khác nữa đã có 70% đến 80% học sinh làm được.
- Đặc biệt, riêng công tác bồi dưỡng đội tuyển HS giỏi toán tham gia dự
thi HS giỏi cấp huyện (năm học 2009 – 2010) đã có 3 em đạt giải; năm học
2010 – 2011, có 5 học sinh đạt giải.
II. Kết quả về hành vi, thái độ:
Bước đầu đã xây dựng cho học sinh phong cách say sưa tìm tòi, khám

phá cái mới, điều hay qua từng bài tập; các em nắm chắc kiến thức cơ bản và
kĩ năng giải toán của các em được nâng lên ở mức độ cao hơn và sâu sắc hơn.
Học sinh không còn hiểu vấn đề một cách máy móc, dập khuôn như trước.
1. Đối với giáo viên:
- Sau khi chuyên đề được áp dụng và đem lại kết quả khả quan, thiết
thực, người dạy có thêm lòng tự tin, phấn khởi trong việc tích cực thực hiện
nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học theo mục tiêu chung của toàn ngành.
- Từ việc mạnh dạn áp dụng những giải pháp để đổi mới phương pháp
dạy và học cùng với hiệu quả cụ thể mà chuyên đề mang lại đã làm cho người
dạy tăng thêm sự say mê, hứng thú với công tác chuyên môn. Trên cơ sở đó,
càng thêm yêu trường, mến trẻ.
2. Đối với học sinh:
- Với đối tượng học sinh khá giỏi: Chuyên đề đã góp phần xây dựng cho
các em lòng mê say nghiên cứu, tìm hiểu, khám phá những điều lý thú, bổ ích
của môn Toán học.
- Đối với học sinh trung bình: Các em được củng cố và phát triển những
kỹ năng cơ bản của kiến thức toán nên đa số HS đã có niềm thích thú, tìm tòi
và sáng tạo trong học tập môn học.
- Với đối tượng học sinh còn yếu, kém: Chuyên đề cũng đã có một đóng
góp đắc lực vào việc giúp các em phát tiển được tính tự giác, tích cực và độc
lập trong quá trình tiếp thu kiến thức và làm bài.
III. Bài học kinh nghiệm rút ra:
1. Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình. Song, mỗi giáo viên
cần có ý thức thường trực tìm tòi những phương pháp phù hợp với từng loại
bài tập và từng đối tượng học sinh theo hướng tích cực hoá hoạt động của học
sinh trong quá trình học tập.
2. Học sinh trung học cơ sở còn ở tuổi thiếu niên, việc tư duy của các
em, khả năng khái quát hoá còn rất hạn chế. Do đó, để giải các bài tập khó là
Năm học 2010 – 2011 13
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)

cả một công việc khá nặng nề đối với các em, nhất là các bài tập hình. Vì vậy,
đòi hỏi ở người giáo viên phải có một sự đầu tư lớn trong việc nghiên cứu
chương trình của sách giáo khoa, hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng
cao, từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp học sinh có năng lực
độc lập tư duy, khái quát hoá các kiến thức. Từ đó mà năng lực và trí tuệ của
các em mới được rèn luyện và nâng cao.
3. Chỉ qua một ví dụ về “Định lý Talét”, ta thấy đã rút ra được rất nhiều
kiến thức khá bổ ích cho việc giải bài tập hình về chứng minh trung điểm của
đoạn thẳng, các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, các đường
thẳng đồng quy… Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở nhiều các nội dung kiến
thức khác nữa thì chắc chắn rằng, kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao
hơn, môn học sẽ góp phần phát hiện và đào tạo được nhiều nhân tài cho đất
nước có đủ kiến thức và trình độ để hội nhập cùng quốc tế, đó chính là đích
cuối cùng của nghề dạy học.
Vì không có điều kiện trình bày hết tất cả các bài tập, tôi chỉ xin trình
bày một số bài tập nêu trên làm ví dụ minh hoạ cho chuyên đề của mình.
Với một vài kinh nghiệm (có thể là rất bé nhỏ), chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những điều còn khiếm khuyết. Kính mong được sự góp ý, xây dựng của
Hội đồng khoa học các cấp, đồng chí và đồng nghiệp để đề tài được hoàn
chỉnh hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thọ Xuân, tháng 4 năm 2011
Tác giả

Ngô Thị Loan
Năm học 2010 – 2011 14
Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét (BD HS giỏi lớp 8)
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lời nói đầu. Trang 1
II. Thực trạng của vấn đề. Trang 1, 2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp (Bước thứ nhất). Trang 3
II. Biện pháp cụ thể (Bước thứ hai). Trang 4 đến 11
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
I. Kết quả về nhận thức. Trang 12
II. Kết quả về hành vi, thái độ. Trang 13
1. Với giáo viên:
2. Với học sinh:
III. Bài học kinh nghiệm rút ra: Trang 13, 14
Năm học 2010 – 2011 15