SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN

SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
GIẢI BÀI TOÁN
VỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Bài toán về va chạm của vật rắn là một chuyên đề trong bồi dưỡng
Học sinh giỏi. Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
thấy đây là loại bài toán cần được lưu ý, vì đây là bài toán tổng hợp về
động lực học vật rắn được vận dụng ở mức độ cao hơn.
Trong đề tài, tôi tóm tắt những kiến thức đặc thù cần được lưu ý và
các bài toán pử những dạng khác nhau về va chạm của các vật rắn nhằm
góp phần cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng vận dụng giải các bài
toán về va chạm của vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các
cấp và các đồng nghiệp tham khảo thêm trong việc bồi dưỡng cho học
sinh.
II. NỘI DUNG:
1. Những kiến thức về va chạm của vật rắn:
- Các định luật bảo toàn năng lượng, xung lượng, Mô men xung
lượng như đối với va chạm của chất điểm.
- Thời gian va chạm ngắn, lực va chạm thay đổi nên không dùng
khái niệm lực mà dung khái niệm xung của lực, xung của mô
men lực.
+ Xung của lực:
0
tb
X Fdt F t P
τ
= = ∆ = ∆
∫
uur ur uur uuur
+ Xung của mô men:
Ox 0

0
g
M M dt L
τ
= = ∆
∫
uuuur uuur uuur
- Trường hợp vật rắn quay quanh một trục z có mô men quán tính
I
Z:
2 1
( ) ( )
Z Z Z
L I M X
ω ω
∆ = − =
uur
-

Vật

rắn hình cầu nhẵn va chạm với nhau coi như va chạm của
hai chất điểm.
- Một viên đạn khối lượng m, vận tốc v va chạm mềm với vật rắn
thì
X mv
=
uur r
.
2. Các bài toán về va chạm của vật rắn:

GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Bài toán 1:
Một quả bóng bàn khối lượng m, bán kính r bay với vận tốc tuyến tính
v
r
và quay với vận tốc
0
ω
đập vuông góc vào chướng ngại vật thẳng
đứng, nặng không chuyển động (hình vẽ). Hãy xác định sự phụ thuộc của
góc phản xạ quả bóng vào hệ số ma sát f giữa quả bóng và vật chướng
ngại. Bỏ qua biến dạng của quả bóng và vật chướng ngại theo cả hai
chiều tiếp tuyến và pháp tuyến đến mặt vật chướng ngại. Ta giả thiết
thêm rằng, sau khi va chạm thành phần vuông góc của vận tốc đến vật
chướng ngại bằng
v−
r
và va chạm xảy ra ngắn đến mức có thể bỏ qua
ảnh hưởng của sức cản không khí và lực hâp dẫn. Mô men quán tính của
quả bóng bàn tính theo trục đi qua tâm của nó bằng
2
2
3
mr
.
Giải:
Theo đề ra, khi va chạm chỉ có hai lực tác dụng lên quả bóng là
N
uur

và
ms
F
uuur
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Có hai trường hợp xảy ra:
*) Trường hợp 1: Quả bóng trượt trong suốt thời gian va chạm.
Khi đó, F
ms
= f.N
Ta có:
. . .2
.
y
x y x y x
x
ms
dP
N
dx
dP f dP dV f dV v f v
dP
F f N
dt

=


⇒ = ⇒ = ⇒ =



= =


GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
x
v
r
y
x
N
uur
ms
F
uuur
A
v
r
r
v
r
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Vậy sau va chạm:
2 .
x
y
v f v
v v
=




=


tan 2
x
y
v
f
v
θ
⇒ = =
.
Ta tìm điều kiện về
, f
ω
để trường hợp này xảy ra. Ta có:
0
( ) 0 ons ( )
A A G x
F L c t I mv R
ω ω
Μ = ⇒ = ⇒ − =
∑
ur uur
Để chuyển động trượt xảy ra thì
0
( )

x
x G x
v
R v I mRv
R
ω ω
≥ ⇒ − ≥
2
0
x
x
v
mR
v
R I
ω
⇒ − ≥
2
0
2 3 5
(1 ) (1 )
2
x
v
mR fv fv
R I R R
ω
⇒ ≥ + = + =
.
*) Trường hợp 2:

Quả cầu ngừng trượt trược khi thời gian va chạm kết thúc.
Trường hợp này xảy ra
0
5 fv
R
ω
⇔ <
.
Ta có:
0
ons ( )
A G x
L c t I mv R
ω ω
= ⇒ − =
uur uuuuur
.
Ta thấy quả cầu lăn không trượt khi và chỉ khi
x
R v
ω
=
2
2
0 0 0
2
( ) (1 )
5
G
mR

I mR
I
ω ω ω ω ω ω ω
⇒ − = ⇒ = + ⇒ =
.
Sau đó quả lăn không trượt nên
x
R v
ω
=
mà
2
( ) ons ons
A G x G
L I mRv I mR c t c t
ω ω ω
= + = + = ⇒ =

nên vận tốc sau khi quả cầu nảy lên là
0
2
5
x
v R R
ω ω
= =
0
2
tan
5

x
y
v R
v v
ω
θ
⇒ = =
.
Kết luận:
- Nếu
0
5 fv
R
ω
<
thì
0
2
tan
5
R
v
ω
θ
=
.
- Nếu
0
5 fv
R

ω
≥
thì
tan 2 f
θ
⇒ =
.
Bài toán 2:
Một quả cầu không đồng chất khối lượng m, chuyển động với vận tốc
0
v
uur
,
đập vuông góc lên một chướng ngại vật nặng và rắn nằm ngang. Tâm khối S
của quả cầu cách tâm hình học O một khoảng cách D. Vị trí của quả cầu và
chướng ngại ngay trước khi va chạm được biết như trên hình vẽ. Trước khi
va chạm quả cầu không quay. Giả thiết rằng do hậu quả của va chạm xảy ra
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
rất nhanh, tổng năng lượng của quả cầu không bị thay đổi. Tính vận tốc
khối tâm của quả cầu. Sau va chạm, nếu biết giữa quả cầu và vật chướng
ngại không xuất hiện ma sát, có thể bỏ qua biến dạng của chúng. Mô men
quán tính của quả caauftinhs qua tâm khối S bằng I và công nhận I > mv
2
.

Giải:
Gọi
ω
là vận tốc quay quanh S sau va chạm, v

S
là vận tốc chuyển động tịnh
tiến của S.
Do các ngoại lực
,N P
uur ur
và cả
0
v
uur
đều vuông góc với mặt sàn nên
S
v
uur
cũng
vuông góc với chướng ngại vật (chiều
S
v
uur
thực chất là ngược lại).
Ta chọn chiều dương như trên hình vẽ.

Do va chạm nhanh và tổng năng lượng không đổi nên
2 2 2
1
1 1 1
2 2 2
S
mv mv I
ω

= +
(1)
Do trong va chạm thì N>> P nên ta bỏ qua tác dụng của
P
ur
mà do
N
uur
có giá
đi qua A nên
( )
0
A
N
M
=
uur
(bỏ qua
( )
A
P
M
ur
) .
Suy ra mô men động lượng của hệ đối với điểm A được bảo toàn, do đó:
0 S
mv D mv D I
ω
= +
(2)

Từ (1) suy ra
2
0 0
( )( )
S S
m v v v v I
ω
− + =
(1’)
Từ (2) suy ra
0
( )
S
m v v D I
ω
− =
(2’)
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
O
S.
O
S.
A
+
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
2
0 0
( )
S S
I

v v I v v D
D
ω
ω ω
⇒ + = ⇒ + =
0
0
0
2
0
( )
S
S
S
S
I
v v
I v v
mD
v v
v v
mD
D
ω
ω

+ =

+


⇒ ⇒ − =

+

=


0
2 2
(1 ) (1 )
S
I I
v v
mD mD
⇒ − = +
2
0
2
S
mD I
v v
mD I
−
⇒ =
+
2
0
2
1
.

1
S
mD
I
v v
mD
I
−
⇒ = −
+
.
Như vậy, v
S
< 0 nên quả cầu bật trở lại. Do đó, vận tốc của khối tâm S sau
va chạm là
2
0
2
1
.
1
S
mD
I
v v
mD
I
−
= −
+

.
Bài toán 3:
Một thanh AB đồng chất có khối lượng M, chiều dài 2lđược bẻ gập ở điểm
giữa thành hình chữ V có góc ở giữa là 60
0
. Gọi điểm giữa của thanh là O,
thanh chữ V đó được đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Một vật có khối
lượng m, chuyển động tới va chạm với thanh với vận tốc ban đầu
0
v
uur
nằm
trên đường trung trực của đoạn OB như trên hình vẽ. Giả sử va chạm của
vật m và thanh AOB là tuyệt đối đàn hồi. Hãy tính vận tốc của khối tâm G
của thanh và điểm A ngay sau va chạm với vật m.

GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
O
A
B
m
l
l
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Giải:
Sau va chạm với vật m thì khung AOB vừa tham gia chuyển động tịnh tiến
với vận tốc
v
r
vừa tham gia chuyển động quay quanh G với vận tốc

ω
, còn
vật m thì sau va chạm có vận tốc v.

Mô men quán tính của khung AOBđối với khối tâm G là
2 2 2
7
2( . . )
2 12 2 10 48
M l M l Ml
I = + =
Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có:
0
mv mv MV= +
(1)
Theo định luật bảo toàn mô men động lượng đối với điểm G, ta có:
0
8 8
l l
mv mv I
ω
= +
2
0
7
8 8 48
l l Ml
mv mv
ω
⇒ = +

(2)
Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
2 2 2 2
0
1 1 1 1
2 2 2 2
mv mv MV I
ω
= + +
2
2 2 2 2
0
1 1 1 1 7
.
2 2 2 2 48
Ml
mv mv MV
ω
⇒ = + +
(3)
Từ (1) suy ra
0
M
v v V
m
− =
(1’)
Từ (2) suy ra
0
7

.
6
M
v v l
m
ω
− =
(2’)
Từ (3) suy ra
2
2 2
0 0
7
( )( )
48
M Ml
m v v v v V
m m
ω
− + = +
(3’)
Từ (1’), (2’) và (3’) ta có:
0 0 0 0
( )( ) ( ) ( )
8
l
m v v v v V v v v v
ω
− + = − + −
.

0
8
l
v v V
ω
⇒ + = +
(4)
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
O
A
B
m
l
l
H
K
G
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Vậy ta có hệ
0
0
7
. (5)
6
(6)
8
M M
v v V l
m m
l

v v V
ω
ω

− = =




+ = +


0
7 7 31
. =
6 6 8 24
l
V l v v l l
ω
ω ω ω
⇒ = ⇒ + = +
0
7 31 28 31 28 31
2
6 24 24 24 24
M M m M m
v l l l l
m m m m
ω ω ω ω
+

⇒ = + = + =
0 0
48 48
(31 28 ) (31 28 )
mv mv
l
m M l m M
ω ω
⇒ = ⇒ =
+ +
0
56
7
6 (31 28 )
mv
V l
m M
ω
⇒ = =
+
Ta có
2 2 2 2
3 3 1 7
( ) ( )
4 2 16 4 4
l
GA GH HA l l l= + = + = + =
.
Suy ra vận tốc V
AG

của A đối với G là
0
12 7
7
4 31 28
AG
mv
N l
m M
ω
= =
+
Gọi
A
V
uur
là vận tốc của điểm A đối với mặt đất. Ta có:
A AG G AG
V V V V V
= + = +
uur uuur uur uuur ur
Suy ra,
2 2 2 2 2
2 . . os 2 . .sin
A AG AG AG AG
V V V V V c V V V V
α β
= + + = + +
Mà
/ 8 1

sin
7 / 4 2 7
l
l
β
= =
nên
2 2 2
0 0 0 0
56 12 7 56 12 7
1
( ) ( ) 2. . .
31 28 31 28 31 28 31 28
2 7
A
mv mv mv mv
V
m M m M m M m M
= + +
+ + + +
2 2 2
0
( ) (56 (12 7) 2.56.12)
31 28
mv
m M
= + +
+
2
0

( ) .3816
31 28
mv
m M
=
+
0
4
302
31 28
A
mv
V
m M
⇒ =
+
.
Vậy vận tốc của khối tâm G và của điểm A ngay sau va chạm là:
0
56
31 28
G
mv
V
m M
=
+
và
0
4

302
31 28
A
mv
V
m M
=
+
.
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Bài toán 4:
Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn
nằm ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không
quay) và các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng
song song. Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm
nhất định xảy ra va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các
vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận
tốc góc của vật thứ nhất bằng
1
ω
, của vật thứ hai bằng
2
ω
. Mô men quán
tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I
1
và
I
2

.
a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định
bất kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo
khối tâm của nó.
b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai
vật chuyển động sau va chạm.
c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là
2
v

còn vật thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.
Giải:
a)
Ta cần chứng minh:

( )
O G i G G G G G
L L m r v L M r v
= + ∧ = + ∧
∑
uur uur uur uur uur uur uur

Xét phần tử m
i
trên vật rắn. Ta có:

( ) ( )
( ) ( ) ( )
O i G i G i
i G G i i G G i i i i i

L m r r v v
m r v m r v r m v m r v
= + ∧ +
= ∧ + ∧ + ∧ + ∧
∑
∑ ∑ ∑ ∑
uur uur ur uur ur
uur uur ur uur uur ur ur ur
Nhận xét:
0
0
i i
i i
m r
m v

=


=


∑
∑
ur r
ur r
Do đó
( )
O i G G i i i
L m r v m r v= ∧ + ∧

∑ ∑
uur uur uur ur ur
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
O
m
i
G
G
r
uur
G
r
uur
i
r
ur
+
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Mặt khác,
( )
i G G G G
i i i G
m r v M r v
m r v L

∧ = ∧


∧ =



∑
∑
uur uur uur uur
ur ur uur

nên
O G G G
L L M r v
= + ∧
uur uur uur uur
(ĐPCM)
b) Gọi
'
1
v
là vận tốc của vật 1 (của G
1
) sau va chạm.
Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:
' ' ' '
1 2 1 2
0 'mv mv mv mv v v v
+ = − = ⇒ = − = −
ur uur ur uur
r r r ur
Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G
2
. Do không có ngoại lực nên
mô men động lượng trước và sau va chạm là bằng nhau.

Ta có, ban đầu thì
2
G
L mvd
=
sau đó thì
2
1 1 2 2
' ' '
G
L mv d I I
ω ω
= + +
Mà
1 2
;
ω ω
có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên
1 1 2 2
' 'mvd mv d I I
ω ω
= + +
1 1 2 2
'
'
mvd I I
d
mv
ω ω
− −

⇒ =
c) Với
1 1
2
' , 0 ' 2
2
Iv
v d d
mv
ω
ω
= = ⇒ = −
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
G
1
m
G
2
v
r
v
r
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1

1
1 1 1
.2 ( ) .2
2 2 2
2
2
' 2
v
mv m I
mv mv I I mv
Im
d d
v I m
ω
ω ω
ω
= +
⇒ = + ⇒ =
⇒ = ± ⇒ = ±
Kết luận:
a)
O G G G
L L M r v
= + ∧
uur uur uur uur
b)
1 1 2 2
'
'
mvd I I

d
mv
ω ω
− −
=
c)
1
' 2
I
d d
m
= ±
III. KẾT LUẬN.
Giải bài toán về động lực học vật rắn là một chuyên đề cơ bản trong việc
bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT. Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra
của bài toán về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật
chuyển động của vật thể, đặc điểm chuyển động của vật rắn, đặc điểm về va
chạm của vật rắn. Từ phân tích đặc điểm đó mà vận dụng định luật động lực
học một cách phù hợp.
GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình
>0
>0
<0
d
d'
1
2
I
m
1

I
m
SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn
Trong giải bài toán vật lý nói chung và bài toán về va chạm của vật rắn
nói riêng thì việc phân tích kĩ hiện tượng vật lý xảy ra rất quan trọng. Từ
việc hiểu được hiện tượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua
các biểu thức động lượng. Các biểu thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa
vào giả thiết bài toán để tìm ra kết quả.
Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài toán cơ bản vận
dụng các phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động
của vật rắn. Đề nên biết điều kiện động lực học suy ra chuyển động và
ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học. Việc giải bài
toán về va chạm của vật rắn có mức độ tổng hợp cao hơn đòi hỏi học sinh
phải hiểu sâu hơn và giải quyết tình huống phức tạp hơn, do đó học sinh cần
phải rèn luyện kĩ năng vận dụng cao hơn.
Đây là loại bài tập bổ ích cho học sinh học tập và giáo viên tham khảo để
công tác bồi dưỡng học sinh có hiệu quả cao hơn.


GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình