Bộ đề thi HSG toán 7 có đáp án

Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 5 điểm ):
1. Cho
a c
c b
=
. với
, , 0a b c ≠
. Chứng minh rằng:
a)
2 2
2 2
a a c
b b c
+
=
+
b)
2 2
2 2
b a b a
a a c
− −
=
+
2. Tổng ba phân số tối giản bằng
25

5
63
các tử của chúng tỉ lệ nghịch với
20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó.
Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết:
5 1
4 8
y
x
+ =
Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết

1
3
x
A
x
+
=
−

( )
0x ≥
Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

2013 2014 2015A x x x= − + − + −
Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là
điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ).
a) Chứng minh
BH AK=

.
b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?
1
Trường THCS Mỹ Hưng HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán Lớp 7
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6
điểm)
1. a, Từ:
a c
c b
=

⇒

2 2
.
a c a c
c b c b
   
= =
 ÷  ÷
   

⇒

2 2 2 2
2 2 2 2

a a c a c
b c b c b
+
= = =
+

⇒

2 2
2 2
a a c
b b c
+
=
+
(đpcm)
b, Áp dụng chứng minh phần a ta có:

a c
c b
=

⇒
2 2
2 2
a a c
b b c
+
=
+

⇒
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
b b c b b c
a a c a a c
+ +
= ⇒ − = −
+ +

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
b a b c a c b a b c a c
a a a c a c a a c
+ + − + − −
⇒ − = − ⇒ =
+ + +

2 2
2 2
b a b a
a a c
− −
⇒ =
+
(đpcm)

2. Gọi ba phân số cần tìm là a, b, c.
Theo bài ra ta có:

25
5
63
a b c+ + =

1 1
1
1 1 1
20 5
4
: : 21:35:12
1 3 7 20 12 35
a b c = = = = = = =

25
5
5
63
21 35 12 21 35 12 68 63
a b c a b c+ +
⇒ = = = = =
+ +
5 5
21.
63 3
a⇒ = =
;
5 25
35.
63 9

b⇒ = =
;
5 20
12.
63 21
c⇒ = =

Vậy: Ba phân số cần tìm là
5
3
;
25
9
và
20
21
.

0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ

1,0 đ

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 2

(3
điểm)
Từ:
5 1
4 8
y
x
+ =
( )
5 1 5 1 2
1 2 40
8 4 8
y y
x y
x x
−
⇒ = − ⇒ = ⇒ − =

⇒

1 2y−

∈
ước lẻ của 40 là:
1; 5± ±
Lập bảng:
1-2y -5 -1 1 5
x -8 -40 40 8
y 3 1 0 -2

Vậy ta có các cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8;
-2)

1,0 đ
0,5 đ

1,0 đ
0,5 đ
Câu 3
(3
Ta có:
1 4
1
3 3
x
A
x x
+
= = +
− −
0,5 đ
2
điểm)

4
3
3
A Z Z x
x
∈ ⇔ ∈ ⇔ − ∈

−
Ư(4)
{ }
1; 2; 4= ± ± ±
Lập bảng:
3x −
-4 -2 -1 1 2 4
x / 1 4 16 25 49
Vậy:
{ }
1;4;16;25;49x∈
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
Câu 4
(2
điểm)

2013 2014 2015A x x x= − + − + −

( )
2013 2015 2014A x x x= − + − + −
Vì:
2015 2015x x− = −

( )
2013 2015 2014A x x x⇒ = − + − + −
Mà:
2013 2015 2013 2015 2x x x x− + − ≥ − + − =

( )
2013 2015 2014 2 2014
2
2014 0
A x x x x
A
x

= − + − + − ≥ + −

⇒ ≥

− ≥


Dấu bằng sảy ra
( ) ( )
2013 2015 0
2014 0
x x
x
− − ≥

⇔

− =



2013 2015

2014
x
x
≤ ≤

⇔

=


2014x
⇔ =
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi
2014x =
1,0 đ
1,0 đ
Câu 5
(7
điểm)
A
H
E
a) Xét
ABH∆
và
CAK∆
có: B M
C

·

·
0
90AHB CKA= =
K

AB AC=
(
ABC∆
cân tại A)

·
·
ABH CAE=
( Cùng phụ với
·
BAH
)

ABH CAK⇒ ∆ = ∆
( Cạnh huyền và góc nhọn)

BH AK⇒ =
( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm)
b) Ta có
MA MB MC= =
( Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
ABC∆
)

ABC∆

cân tại A
⇒
vừa là trung tuyến vừa là đường cao

AM BC⇒ ⊥

AMB⇒ ∆
và
AMC∆
vuông cân tại M
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
3

·
·
0
45BAM ACM⇒ = =
Ta có:
ABH CAK∆ = ∆
(Theo chứng minh phần a)

·
·
BAH ACK=
(Hai góc tương ứng)

Mà:
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
0
0
45
45
BAH BAM MAH BAH MAH
MAH MCK
ACK ACM MCK ACK MCK
 
= + = +
 
⇒ ⇒ =
 
= + = +
 
 
Xét
AMH∆

và
CMK∆
có:

·
·
AMH CMK=
(cùng phụ với
·
HMC
)

MA MC=
(Theo chứng minh trên)

·
·
MAH MCK=
(Chứng minh trên)

( )
. .AMH CMK g c g MH MK MHK⇒ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ∆
cân tại M
·
·
·
·
·
·
·

0
0
90
90
AMH HMC
CMK HMC HMK
AMH CMK

+ =

⇒ + = =

=




HMK⇒ ∆
vuông cân tại M.
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
1 đ
THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7
4
Năm học 2013 – 2014
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3đ) Tìm x
Z∈

sao cho
a,
x 5 2+ ≤
b,
2 2 2 2
(x 20)(x 15)(x 10)(x 5) 0− − − − <
Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn
a,
m n
2 2 2048− =
b,
3m 4n mn 16+ − =
Bài 3 (4đ)
a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
2 2 3 3 3
3 3 3
3 3 3
y xz, z yt v y z t 0à
y z x x
CM :
y z t t
= = + + ≠
+ +
=
+ +
b, Cho x+y – z = a-b
x - y + z = b - c
-x+y + z = c – a
Chứng minh : x+y+z=0
Bài 4 (4đ)

a, Cho đa thức
2015 2014 2013 2012
f(x) x 2000x 2000x 2000x 2000x 1= − + − + + −
Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b, Cho đa thức
2
f(x) ax bx c= + +
chứng tỏ rằng:
f( 2).f(3) 0− ≤
nếu
13a b 2c 0
+ + =
Bài 5 (5đ)
a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông
cân ABD, ACE
·
·
0
ABD ACE 9O= =
1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD
vuông góc với BK
2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt
phẳng. Chứng minh rằng:
MA MD MB MC+ ≥ +
- HẾT -
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ)
5
a, - Chỉ rõ được

{ }
x 5 0,1,2+ ∈
(0.25đ)
- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng
x 5 0
x 5 1
x 5 2
+ =
+ =
+ =
(0.75đ)
b, Lý luận để có
2 2 2 2
(x 20) (x 15) (x 10) (x 5)− < − < − < −
(0.25đ)
Xét đủ 2 trường hợp
- Trường hợp có 1 số âm tính được
x 4= ±
(0.75đ)
- Trường hợp có 3 số âm tính được
x 3
= ±
(0.75đ)
- Kết luận đúng (0.25đ)
Bài 2: Ta có
m 11 11 n 11 11 11
11 m 11 n 11
m 11 n 11
2 2 2 0 (0.75®)
2 (2 2 1) 0 (0.5®)

(2 2 1) 0 (0.25®)
+ − + −
− −
− −
⇔ − − =
⇔ − − =
⇒ − − =
Lý luận tìm được
m 12
n 11
=
=
(0.5đ)
b, Biến đổi được
(3 n)(m 4) 4− − =
(1đ)
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp) (0.75đ)
Kết luận được:
(m,n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5)= −
(0.25đ)
Bài 3: Từ giả thiết suy ra
x y z
y z t
= =
(0.5đ)
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có
3 3 3
3 3 3
x y z
y z t

+ +
+ +
(0.5đ)
Mặt khác ta có
3
3
x x x x x y z x
. . . .
y y y y y z t t
= = =
(0.75đ)
Suy được điều cần chứng minh (0.25đ)
b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh (2đ)
Bài 4
2015 2014 2013 2012
a,f(x) x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x 1= − + + + − + + + + −
(0.75đ)
Thay 1999=x ta được
2015 2015 2014 2014 2013 2013 2
f(x) x x x x x x x x 1= − + − + − + − + −
(0.75đ)
Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ)
b, Tính
f( 2) v f(3)à−
(0.5đ)
f( 2) f(3)=13a+b+2c⇒ − +
(0.5đ)
f( 2) f(3)⇒ − = −
(0.5đ)
6

[ ]
2
f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0⇒ − ≤
(0.5đ)
Bài 5 (5đ)
a, (2đ)
1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ)
2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của
BCK∆
(1đ)
b, (3đ)
Xét 2 trường hợp
* Trường hợp điểm
M AD
∈
thì ta có
MA MD MB MC+ > +
(1đ)
* Trường hợp
M AD∉
- Gọi I là trung điểm của BC (0.75đ)
- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)

IB IC
=
Vì
AB CD
AB IB IC CD
=
+ = +

AI ID⇒ =
(0.25đ)
* Chứng minh được
IMA IND (c.g.c)∆ = ∆
(0.25đ)
MA ND⇒ =
- Điểm C nằm trong
MDN∆
chứng minh được
ND MD NC MC+ > +
(0.5đ)
- Chứng minh
IBM ICN (c.g.c)∆ = ∆
(0.25đ)
- Suy ra
MA MD MB MC
+ > +
(0.5đ)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC
7
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA MÔN TOÁN 7
Năm học 2013 – 2014
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Câu 1:( 5điểm): Cho
a c
c b
=
chứng minh rằng:
a)
a c c b

a c c b
− −
=
+ +
b)
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
b)
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:
= =

1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x
Câu 3:(4 điểm)
a).Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
b) Tìm số nguyên a để:
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
+ +
+ −
+ + +
là số nguyên.
Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

1996
1997
x
A
+
=
−

Câu 5: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=30
0
, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy
điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE.

c) EH song song với AC.
Hết
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC
8
Đề chính thức
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA TOÁN 7
Năm học 2013 – 2014
Câu 1:( 5điểm)
a) Từ

a c a c a c
c b c b c b
− +
= = =
− +
(0,5điểm)

a c c b
a c c b
− −
⇒ =
+ +

(0,5điểm)
b) Từ
a c
c b
=
suy ra

2
.c a b
=

(0,5điểm)
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +
(0,5
điểm )
=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
( 1
điểm)
c) Theo câu b) ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2

a c a b c b
b c b a c a
+ +
= ⇒ =
+ +

(0,5điểm)
từ
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
b c b b c b
a c a a c a
+ +
= ⇒ − = −
+ +
(0,5điểm)
hay
2 2 2 2
2 2
b c a c b a
a c a
+ − − −
=
+

(0,5điểm)
vậy
2 2
2 2

b a b a
a c a
− −
=
+

(0,5điểm)
Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết.
= =
1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ − − + − −
= = = = = =
− − − −
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12

(0,5điểm)
9
=>
2 2
5 12
y y
x x
=
− −
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được (0,5điểm)

(0,5điểm
)
=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y =
1
15
−
(0,5điểm)
Vậy x = 2, y =
1
15
−
thỏa mãn đề bài.
Câu 3:(4 điểm)
a). §Æt : A =
2 2 2 2
1 1 1 1

5 6 7 100
+ + + +
Ta cã :
* A <
1 1 1 1

4.5 5.6 6.7 99.100
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 99 100
− + − + + −
=
1 1 1
4 100 4
− <

(0,75điểm)
* A >
1 1 1 1 1 1 1

5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
+ + + + = − >
.
(0,75điểm)
Vậy:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
(0, 5điểm)
b. Ta cã :
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
+ +
+ −
+ + +

=
4 26
3
a
a
+
+
=
=
4 12 14 4( 3) 14 14
4
3 3 3
a a
a a a
+ + + +
= = +
+ + +
là số nguyên
(1 điểm)
Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) =
1; 2; 7; 14
± ± ± ±
.
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17.
(1 điểm)
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
10
1 3 2
12 2
y y

y
+
= = −
−

1996
1997
x
A
+
=
−
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi
A
đạt giá trị nhỏ
nhất

1996 1996
1997 1997
0 ên x 1996 1996
x x
A
x xn
+ +
= =
−
≥ ∀ + ≥
( 1 điểm)
Vậy
A

nhỏ nhất bằng
1996
1997
khi x=0
(0,5 điểm)
Suy ra GTLN của A =
1996 1996
1997 1997
−
=
−
khi x=0 (0,5 điểm)
Câu 5: (7 điểm)
Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm)
Chứng minh:
a) (2điểm)
Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên
tam giác ABD cân ở A.
Lại có :
∠
B = 90
0
– 30
0
= 60
0
nên tam giác ABD là tam giác đều.
b) (2 điểm)
11
0 0 0

90 60 30EAC BAC BAD ACH
∠ = ∠ −∠ = − = = ∠

AHC CEA
∆ = ∆
(cạnh huyền –góc nhọn)
Do đó AH=CE
c) (2,5 điểm)
AHC CEA
∆ = ∆
(cmt)nên HC=EA
ADC
∆
cân ở D vì có
0
( 30 ) ên DA=DC

ADC DCA n
∠ = ∠ =

Suy ra : DE=DH.Tam giác DEH
cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có


ADC EDH
∠ =∠
(hai góc đối đỉnh).do đó

ACD DHE

∠ = ∠
Ở vị
trí so le trong, suy ra EH // AC.
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm
câu đó.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
12
Câu1: (6 điểm)
a- Tính (
4
3
- 81)(
5
3
2
- 81)(
6
3
3
- 81). . .(
2003
3
2000
- 81)

b- Tính giá trị của biểu thức : 6x
2
+ 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1
Câu 2: ( 5 điểm )
1/ Tìm x, y, z biết :
=
−
2
1x

3
2
4
3 −
=
− zy
và x - 3y + 4z = 4
câu 3:(2 điểm)
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức M =
x
x
−
−
5
15
?
Câu4: ( 7 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 30
o
. Trên cạnh AB lấy điểm M

sao cho góc BCM bằng
3
2
góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN
bằng
3
2
góc ABC. Gọi giao điểm của CM và BN là K.
1/ Tính góc CKN.
2/ Gọi F và I theo thứ là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK
lấy điểm D sao cho IK = ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE ( E
≠
K).
Chứng minh DBC là tam giác đều.
HẾT
13
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu Nội dung Điểm
Câu1 :
(6®)
Trong dãy số có
9
3

6
- 81 =
2
6
3
3
- 81 = 81-81 = 0
Do đó tích bằng 0
1.5
1
b)Ta có
2−x
= 1
* x - 2 = 1
⇔
x = 3
* x - 2 = -1
⇔
x = 1
Thay x=1 vào biểu thức ta được 6. 1
2
+ 5.1 - 2 = 9
Thay x=3 vào biểu thức ta được 6. 3
2
+ 5.3 - 2 = 67
KL
0.5
0.5
1đ
1đ

0.5
Câu2
5 đ :
1/ Tìm x, y, z biết :
=
−
2
1x

3
2
4
3 −
=
− zy
vµ x - 3y + 4z = 4
=
−
2
1x

3
2
4
3 −
=
− zy
=
=
−

2
1x
12
84
12
93 −
=
− zy
= =
2
12122
84931
=
+−
−++−− zyx
=
−
2
1x
2 => x= 5
=
−
4
3y
2 => y= 11
3
2−z
= 2 => z= 8
VËy : x= 5; y= 11; z= 8

1đ
0,75đ
1đ
1đ
1đ
0,25đ
Câu3
2đ
2/ M =
x
x
−
−
5
15
= 1+
x−5
10
M lớn nhất khi và chỉ khi
x−5
10
lớn
nhất
+ x > 5 th×
x−5
10
< 0 (1)
+ x< 5 th×
x−5
10

> 0 mà
x−5
10
có tử không đổi nên pt có giá trị
lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất .5-x là số nguyên dương nhỏ nhất khi
5-x= 1 => x= 4
Khi đó
x−5
10
= 10 (2)
0.5đ
0.5
0.5

14
So s¸nh (1)vµ (2) thÊy
x−5
10
lín nhÊt b»ng 10
VËy GTLN cña M = 11 khi vµ chØ khi x= 4
0.5
Câu4:
(7®)


D
A

I
M

N
K
B F C
E
1/ Có B = 60
0
( do A = 90
0
, C = 30
0
)
CBN =
2
3
ABC =
2
3
. 60
0
= 40
0
BCM =
2
3
ACB =
2
3
. 30
0
= 20

0
BKC = 180
0
– (CBN + BCM) = 180
0
– 60
0
= 120
0
-> CKN = 180
0
– 120
0
= 60
0
(2 góc kề bù )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2/
∆
KIC =
∆
DIC (cgc) -> CK = CD vµ DCI = KCI (1)

∆
KFC =
∆

EFC (cgc) -> CK = CE vµ KCF = ECF (2)
Từ (1) và (2) => CD = CE =>
∆
DCE cân
Cã: DCE = 2. ABC = 60
0
=>
∆
DCE là đều.
1,0
0.5
0.5
0.5
0.5
3/ Xét tam giác vuông ANB: ANB = 90
0
– 20
0
= 70
0
->
BNC = 110
0

∆
CND =
∆
CNK (gg) -> DNC = KNC = 110
0
=> CDN = 60

0
(NCD = 10
0
; DNC = 110
0
)
có
∆
CDE đều(cmt) => CDE = 60
0
0.5
0.5
15
Do đó: CDN = CDE = 60
0
Suy ra: Tia DN trùng với tia DE
Hay 3 điểm D,N,E thẳng hàng
0.5
16
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
Trường THCS Thanh Thùy
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC: 2013-2014
MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 5 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo
5
2
:
4

3
:
6
1
. Biết tổng các
bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A
b) Cho
c
a
=
b
c
. Chứng minh rằng :
22
22
cb
ca
+
+
=
b
a
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Cho
tzy
x
++
=
xtz
y

++
=
yxt
z
++
=
zyx
t
++
CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
A=
tz
yx
+
+
+
xt
zy
+
+
+
yx
tz
+
+
+
zy
zt
+
+

b)Chứng minh rằng:
B =
3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+….+
2012
3
1
+
2013
3
1
<
1
2
Bài 3:(2 điểm)
Cho đa thức f(x) = x
14
– 14x
13
+ 14x
12

- … + 13x
2
– 14x + 14
Tính f(13)
Bài 4:(7 điểm)
Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường
thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt
tia AC tại F. Chứng minh rằng :
a) BE = CF
b) AE =
2
ACAB +
c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:(2 điểm)
Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
M =
14
4
x
x
−
−

17
TRƯỜNG THCS THANH THÙY

ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giaođề)
TT Ý Nội dung Điểm

Bài 1
(.5điểm)
1a
Ta có
2 3 1 24 45 10
: : : :
5 4 6 60 60 60
=
= 24 : 45 : 10
Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z
Theo đề bài ta có
24 45 10
x y z
= = ⇒
x,y,z cùng dấu
Và
2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2
2
24309
2701
24 45 10 45 10
24
y y
x
z

x
z
+ +
= = = =
+ +
= 9 = 3
2
⇒
x
2
= 24
2
. 3
2
= 72
2

⇒
x =
±
72
Hs tính tương tự y =
±
135 ; z =
±
30
…. Vậy A = 237 hoặc A = - 237
0.5
0,5
0.5

1.0
0,5
1b
Ta có
c
a
=
b
c

⇒

2 2 2 2
2 2 2 2
a c a c
c b c b
+
= =
+
( 1)
Lại có
2
2
.
a c a
c b b
a
c
= =
(2)

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
0.5
0.75
0,25
Bài2
(.4điểm)
2a
Ta có
tzy
x
++
=
xtz
y
++
=
yxt
z
++
=
zyx
t
++
=
1
2( ) 3
x y z t
x y z t
+ + +
=

+ + +
Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x)
Z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đó tính được A = 4
Vậy A có giá giá trị nguyên
0.5
1,5
0,5
2b
B =
3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+….+
2012
3
1
+
2013
3
1
3B = 1+

3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+….+
2012
3
1
3B – B = 1 -
2013
3
1
hay 2B = 1 -
2013
3
1
Suy ra B =
2013
1 1
2
2.
3
−
<

1
2
Vậy B <
2
1
0.5
0.5
0,5
Bài 3
(2 điểm)
Ta có f(x) = x
14
–(13+1).x
13
+(13+1).x
12
- …+(13+1).x
2
–(13+1).x+(13+1)
= x
14
- (x+1).x
13
+(x+1).x
12
- …+ (x+1).x
2
– (x+1).x + (x+1)
= x
14

– x
14
- x
13
+ x
13
+x
12
- … +x
3
+ x
2
– x
2
– x + x +1
0,5
18
= 1
( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) . Vậy f(13) = 1
1,0
0,5
Bài 4
(5 điểm)
4a
Vẽ hình đúng A
Kẻ BI song song AC ( I
∈
È F)
Chứng minh được 1 2

∆
BIM =
∆
CFM (g.c.g) F
⇒
BI = CF (1) B
N M C
E I

CM được
∆
BEI cân tại B
⇒
BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
0.25
1,0
0,25
1,0
0,5
4b
CM được
∆
ANE =
∆
AN F (g.c.g)

⇒
AE = A F

Ta có AE = AB + BE ; A F = AC – C F

⇒
AE+A F = AB + BE + AC – C F
Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE = FC)

⇒
AE =
2
ACAB +
0.5
0.5
0.75
0,5

4c
Từ câu b)
⇒
AE =
2
b c+
Chứng minh được BE =
2
AC AB−

Vậy BE =
2
b c−
0.5
0,75

0,5
Bài 5
(2
điểm)
M =
14
4
x
x
−
−
=
10 (4 ) 10
1
4 4
x
x x
− − − −
= −
− −
M nhỏ nhât khi và chỉ khi
10
4 x
−
−
nhỏ nhất
Xét x < 4 thì
10
4 x
−

−
< 0 ; x > 4 thì
10
4 x
−
−
> 0
Ta chỉ xét x < 4 thì
10
4 x
−
−
nhỏ nhất
⇔

10
4 x−
lớn nhất
Nên suy ra 4 – x =1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất)
Vây x = 3 khi đó Min M = -11
19
PHềNG GIO DC V O TO THI OLYMPIC LP 7
HUYN THANH OAI Nm hc 2013-2014
TRNG THCS THANH MAI MễN THI: TON
Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
( thi gm cú 01 trang)
Câu1: (5 điểm)
Tìm các số x, y, z biết:
a.
10 6 21

x y z
= =
v 5x+y-2z =28
b. 3x=2y; 7y=5z v x-y+z =32
c.
2 3 4
3 4 5
x y z
= =
v x+y+z =49
Câu2: (3 điểm)
Tính giá trị các biểu thức:
a. A=
2
2 4 3 1a a a +
ln lt ti a=
2
3
; a= -2
b. B =
2 2
2 3 6x xy y
ti
1
2
x =
v y=
2
3
Câu3: (3 điểm)

Tính giá trị các biểu thức:
a. A =
3 2
3
a b
a b


vi
10
3
a
b
=
b. B =
8 4
5 3
a a b
b a a


+
vi a - b =3 v b # 5; b # -4
Câu4: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2008 2009 2010 2011 2011A x x y x= + + + +
Câu2: (7 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC. Gọi
H là trung điểm BC.
a. Chứng minh: AM=AN và AH

BC
b. Chứng minh
MAN BAM >
c. Kẻ đờng cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.

Ngi ra
Nguyn Vn Nhõn
20
A
K
Híng dÉn chÊm thi Olympic n¨m häc 2013 - 2014
M«n: to¸n - líp 7
C©u1: (5 ®iÓm)
a. x = 20; y=12; z=42 1 đ
b. x = 20; y=30; z=42 2 đ
c. x = 18; y=16; z=15 2 đ
Câu 2: (3 điểm)
a.
- Với a =
2
3
thì A =
7
9
−
0.5 đ
- Với a =-2 thì A = -7 0.5 đ
b.
TH1: x=

1
2
và y=
2
3
thì B =
19
6
−
1 đ
TH2: x=
1
2
−
và y=
2
3
thì B =
7
6
−
1 đ
Câu 3: (3 điểm)
a.
Thay a=
10
3
b
vào A ta được: 0.5 đ
A = 24 1 đ

b. Thay a = b+3 và B ta được: 0.5 đ
B = 1-1 = 0 1 đ
Câu 4 (2 điểm)
Áp dụng tính chất
aa −=
và
baba +≥+
, dấu “=” xảy ra khi
0≥ab
và
0≥a
dấu “=” xảy ra khi a=0. Ta có:
0.5 đ
3201120082011200820112008 =−+−≥−+−=−+− xxxxxx
0.5 đ
Dấu “=” xảy ra khi
20112008
≤≤
x
và
02009 ≥−x
dấu “=” xảy ra khi x=2009.
02010 ≥−y
dấu “=” xảy ra khi 2010.
0.5 đ
⇒
3 2011 2014A
≥ + =
dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2014 khi x=2009 ; y=2010.

0.5 đ
21
H
M
B
C
N
Cõu 5: (7
im)
a.
-Chứng minh đựơc

ABM=

ACN(cgc)

AM=AN
1
-Chứng minh đựơc

ABH=

ACH(cgc)

0
90AHB AHC AH BC = =
1
b.
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
0.5

Chứng minh đợc
( )
AMN DMB cgc MAN BDM = =
và
AM=AN=BD
0.5
-Chứng minh đợc BA>AM

BA>BD
0.5
-Xét
BAD
có BA>BD

BDA BAD >
hay
MAN BAM >
0.5
c.
Vì AK
0
0 90A
nên chỉ có hai trờng hợp xảy ra
TH1:
-
BAC
nhọn

k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB

9AC cm
=
2KC AC AK
= =
-
AKB
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =
-
AKC
vuông tại K nên ta có
BC=
2 2
6BK KC cm+ =
1
TH2:
-
BAC

tù

A nằm giữa hai điểm K,C

KC=AK+AC=16cm
-
ABK
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =

-
BKC

vuông tai K
2 2
288BC BK KC = + =
Vậy BC=6cm hoặc BC=
288cm
2
PHềNG GD&T THANH OAI
TRNG THCS THANH CAO
THI OLYMPIC TON 7
Nm hc : 2013- 2014
Thi gian : 120 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Cõu 1(5im)
a, Chng minh rng :
Nu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x )
Thỡ
b, Tỡm hai s dng bit tng, hiu, tớch ca chỳng t l nghch vi ba s 30; 120;
16
22
Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax
3
+ 4x( x
2
– 1 ) + 8
g(x) = x
3
-4x(bx + 1 ) + c -3
Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) .

Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức :
f(x) = -4x
4
+ 3x
3
– 2x
2
+ x – 1
không có nghiệm nguyên .
Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau :
khi x thayđổi .
Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có . Gọi O là một điểm nằm
trên tia phân giác của góc C saocho vẽ tam giác đều BOM (M và A
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng :
a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng.
b, Tam giác AOB cân.
23
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(5 điểm)
1. a) 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x )
=>
=>
Biếnđổi : (1)
(2)
Từ (1) và (2) =>đpcm .
0,75 đ
1,25đ
0,5đ

b) Gọi 2 số đó là a , b . Ta có :
30( a +b ) = 120( a –b ) = 16ab
Từ điều kiện : 30( a +b ) = 120( a –b ) , tìm được
Từ điều kiện : 120( a –b ) = 16ab , tìm được
Từ đó tìm được : a = 5 ; b = 3 .
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
1 đ
Câu 2
(4 điểm)
Biến đổi :
f(x) = ( a + 4 )x
3
– 4x + 8
g(x) = x
3
– 4bx
2
– 4x + c – 3
f(x) = g(x)
Kếtluận
0,75đ
0,75đ
1,25 đ
0,75 đ
0,5 đ
Câu 3 Nếu đa thứcf(x) = -4x
4
+ 3x

3
– 2x
2
+ x – 1 có nghiệm thì 0,5 đ
24
(2 điểm) nghiệm đó là ước của -1 .
Mặt khác Ư(-1) = { }
Ta có : f(-1) = -11 0
F(1) = -3
Vậy đa thức đã cho không có nghiệm nguyên .
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4
(2 điểm)
Có ≥
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra (x – 2006 )( 2007 – x ) ≥ 0
2006
Vậy A
min
= 1 2006
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Câu 5
(7 điểm)
- Vẽ hình đúng
1đ
a, ABC cân tại A ,

=>
XétBOC có
=>BOC = MOC ( c.g.c ) .
=>
Mà nên hai tia CM và CA trùng nhau
Do đó 3 điểm C , O ,M thẳng hàng
0,5 đ
0,75đ
0,75
0,5đ
0,5đ
b,CBM có CM = CB
=>CBM cân tại C ;
0,75đ
25