chuyên đề mặt phẳng trong không gian luyện thi đại học

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN (GA-12)
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt phẳng:
1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với
A
2
+B
2
+C
2
≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó
n (A;B;C)=
r
là một
vectơ pháp tuyến của nó.
2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận vectơ
n (A;B;C)=
r
làm vectơ
pháp tuyến có dạng :
A(x – x
0
) + B(y – y

0
) + C(z – z
0
) = 0 .
3). Mặt phẳng (P) đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
làm
cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a

n a,b ; ;
b b b b b b
 
 
= =
 ÷
 
 ÷
 
r r r
.
II/. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1). Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
• (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
• (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
• (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x
+ B’y + C’z + D’= 0 . Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m
2
+ n
2
≠ 0)
III/. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M
0
(x
0
;y
0

;z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công
thức :
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
α =
+ +
IV/. Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):
A’x + B’y + C’z + D’= 0.
Ta có :
n .n
A.A' B.B' C.C'
P
Q
cos cos(n ,n )
P
Q
2 2 2 2 2 2
n . n
A B C . A' B' C'
P
Q
+ +

ϕ = = =
+ + + +
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
(0
0
≤φ≤90
0
)
•
0
P Q
90 n nϕ = ⇔ ⊥
uur uur
⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau.
• Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox,
không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz.
1
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I. LẬP MẶT PHẲNG :
1. Lập mặt phảng (P) đi qua điểm
( )
; ;
0 0 0
M x y z
và song song với mặt phẳng (Q) :
Ax+By+Cz+D=0 .
Cách giải :
Cách 1: Vì : (P) //(Q) cho nên

( )
; ;
P Q
n n A B C= =
uur uur
Do đó : (P) :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
.
Cách 2: Mặt phẳng (P) // (Q) cho nên (P) có dạng : Ax+By+Cz+m=0 (1)
Do (P) qua
( )
; ;
0 0 0
M x y z
, suy ra thay tọa độ của M vào (1) ta tìm được m . Và có (P)
Ví dụ .( Bài 15 –tr99-HH12NC)
Lập mặt phẳng (P) đi qua M(3;2;-1) và song song với mặt phẳng (Q) : x-5y+z=0 .
Giải
Mặt phẳng (P) //(Q) cho nên (P) : x-5y+z+m=0 (1) .
(P) đi qua M cho nên : 3-2.5-1+m=0 suy ra m=-8
Vậy (P) : x-5y+z-8=0 .
2. Lập mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C (Không thẳng hàng)
Cách giải :
• Bước 1: Lấy một trong ba điểm làm gốc , hai điểm còn lại làm hai ngọn của hai
véc tơ . Sau đó tính tích của hai véc tơ đó ( Chính là véc tơ pháp tuyến của (P).
• Bước 2: Lập (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến :
,n AB AC
 

=
 
r uuur uuur
.
Ví dụ 1 : ( Bài 15-tr89-HH12NC) .
Lập mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;0;-1),B(1;-2;3) và C(0;1;2)
Giải
- Ta có :
( ) ( ) ( )
2 1 1 1 1 2
1; 2;4 , 2;1;3 , ; ; 7;1; 5
1 3 3 2 2 1
AB AC AB AC
 − − − − 
 
= − − = − ⇒ = = − −
 ÷
 
− −
 
uuur uuur uuur uuur
.
- Vậy (P) đi qua A(2;0;-1) và có véc tơ pháp tuyến :
( )
7;1; 5n = − −
r
có phương trình là :
-7(x-2)+(y-0)-5(z+1)=0 .Hay (P) : -7x+y-5z +9=0 .
Ví dụ 2. ( Bài 5-tr80-HH12CB) .
Cho tứ diện ABCD với A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4) và D(4;0;6) .

a/ Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD) ?
b/Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD
Giải
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)
- Ta có :
( ) ( ) ( )
1 3 3 1 1 1
1; 1;3 , 0; 1;1 , ; ; 2;1;1
1 1 1 0 0 1
AD AC AD AC
 − − − − 
 
= − − = − ⇒ = =
 ÷
 
− −
 
uuur uuur uuur uuur
.
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 2 4 4 6
4; 6;2 , D 1;0;2 , D ; ; 12; 10; 6 / / 6;5;3
0 2 2 1 1 0
BC B BC B m
 − − 
 
⇔ = − = − ⇒ = = − − − =
 ÷
 
− −

 
uuur uuur uuur uuur ur
- Vậy: (ACD) đi qua A(5;1;3) và có
( )
2;1;1n =
r
có phương trình là : 2(x-5)+(y-1)+(z-3)=0
. Hay (P) : 2x+y+z -14=0 .
- Và (BCD) đi qua D(4;0;6) và có véc tơ pháp tuyến
( )
6;5;3m =
ur
có phương trình là :
6(x-4)+5(y-0)+3(z-6)=0 ; Hay : 6x+5y+3z -42=0 .
2
b/ Lập (P) chứa AB và song song với CD .
- Ta có :
( ) ( ) ( )
5 1 1 4 4 5
4;5; 1 , D 1;0;2 , D ; ; 10;9;5
0 2 2 1 1 0
AB C AB C
 − − − − 
 
= − − = − ⇒ = =
 ÷
 
− −
 
uuur uuur uuur uuur

.
- (P) đi qua A(5;1;3) và có véc tơ pháp tuyến
( )
10;9;5n =
r
có phương trình là :
(P): 10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0 ,Hay : 10x+9y+5z -74=0 .
Ví dụ 2. ( Bài 22-tr90-HH12NC).
Cho tứ diện ABCD có các tam giác OAB ,OBC,OCA là những tam giác vuông đỉnh O .
Gọi
, ,
α β γ
lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),,(OCA) và
(OAB) . Bằng phương pháp tọa độ , chứng minh :
a/ Tam giác ABC là tam giác nhọn ( Tam giác có ba góc đều nhọn ).
b/ CM:
2 2 2
os os os 1c c c
α β γ
+ + =
Giải
a/ Với hệ tọa độ chọn trên , ta tìm tọa độ các đỉnh
A(a;0;0) ,B(0;b;0) và C(0;0;c) . Giả sử : a>b>c
Ta có :
( ) ( )
; ;0 , ;0;AB a b AC a c= − = −
uuur uuur
2
2 2 2 2
.

cos
AB AC a
A
AB AC
a b a c
⇒ = =
+ +
uuur uuur
uuur uuur
.
Với :
2 2
2 2 2 2 2 2
1
os60
2
2 . 2
a a
c
a b a c a a
≥ = =
+ +
o
.
Chứng tỏ tam giác ABC có ba góc đều nhọn .
b/ Mặt phẳng (ABC):
( )
1 1 1
1 ; ;
ABC

x y z
n
a b c a b c
 
+ + = ⇒ =
 ÷
 
uuuuur
. Các mặt phẳng (OBC) ,(OCA) và (OAB) lần lượt có các
véc tơ phấp tuyến là các véc tơ đơn vị :
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1i j k= = =
r r r
.
Theo giả thiết :
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
.
os os 1
.
1 1 1
n i bc b c
a
C c
a b b c c a
n i

a b b c c a
a b c
α α
⇒ = = = ⇔ =
+ +
+ +
     
+ +
 ÷  ÷  ÷
     
r r
r r
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
.
os os 2
.
1 1 1
n j ac a c
b
C c
a b b c c a
n j
a b b c c a
a b c
β β

⇒ = = = ⇔ =
+ +
+ +
     
+ +
 ÷  ÷  ÷
     
r r
r r
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
.
os os 3
.
1 1 1
n k ab b a
c
C c
a b b c c a
n k
a b b c c a
a b c
γ γ
⇒ = = = ⇔ =
+ +
+ +

     
+ +
 ÷  ÷  ÷
     
r r
r r
Cộng ba kết quả (1),(2) và (3) vế với vế ta có điều phải chứng minh .
3. Lập mặt phẳng đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (Q) .Hoặc : (P) đi
qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng đi qua hai điểm C,D .
Cách giải
• Bước 1: Tính
, ;
Q Q P
AB n AB n n
 
⇒ =
 
uuur uur uuur uur uur
.
3
O
A B
C
• Bước 2: Lập (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến
P
n
r
Ví dụ 1: ( Bài 15-tr89-HH12NC)
Lập mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;1;1) ,B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có
phương trình : x-y+z+1=0 .

Giải
- Ta có :
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1; 1;1 , 1; 1;1 , ; ; 0;2;2
1 1 1 1 1 1
Q Q
AB n AB n
 − − − − 
 
= − − = − ⇒ = =
 ÷
 
− −
 
uuur uur uuur uur
.
- Vậy (P) đi qua A(0;1;1) và có véc tơ pháp tuyến
( )
0;1;1n =
r
( ) : 1 1 0 2 0P y z y z⇒ − + − = ⇔ + − =
.
Chú ý :
* Riêng với dạng này có thể hiểu : Lập (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt
phẳng (Q) .
Ví dụ 2. ( Bài 47-tr126-BTHH12NC) .
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q):
2x+y-
5

z =0.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(3;0;0),B(0;0;1) và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc
60
o
.
Giải
a/ Do (P) chứa trục Oz nên có dạng : Ax+By=0
( )
; ;0
P
n A B⇒ =
Ta có
( )
2;1; 5
Q
n = −
uur
. Theo giả thiết :
( )
2 2
2A
1
os , os60
2
4 1 5
P Q
B
c n n c
A B

+
= = =
+ + +
o
uur uur
.
Do đó :
( )
( )
2 2 2 2
2 2A 10. 6A 16A 6 0
1 1
: 0
3 3
1
3 : 3x 0
B A B B B
A P x y
B
A P y
⇔ + = + ⇒ + − =

= ⇒ + =

⇒ = →

= − ⇒ − + =


b/ Tương tự :

Mặt phẳng (P) đi qua A,C và tạo với mp(Oxy) góc
60
o
, nên (P) cắt Oy tại B(0;b;0) khác
gốc tọ độ O ( b
0≠
). Khi đó (P) :
( )
1 x 3 3 z 3 0 ;3;3
3 1
Q
x y z
b y b b n b b
b
+ + = ⇔ + + − = ⇒ =
uur
.
Theo giả thiết :
( )
2 2
3
1 3
os ,
2
26
9 9
P
b
c n k b
b b

= = ⇒ = ±
+ +
uur r
.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn :
26 3z 3 0
26 3z 3 0
x y
x y

− + − =

+ + − =


II. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG –VUÔNG GÓC HAY
TRÙNG NHAU .
Bài toán : Cho hai mặt phẳng (P) có
P
n
uur
=(A;B;C) và mặt phẳng (Q) có
Q
n
uur
=(A’;B’;C’).
Chứng minh rẳng :
a/ (P)//(Q) : Điều kiện :
' ' ' '
A B C D

A B C D
= = ≠

b/ Nếu (P)
( ) AA' ' ' 0Q BB CC⊥ ⇒ + + =
.
4
c/ Nếu (P) trùng (Q) thì điều kiện :
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = =
Ví dụ 1: ( Bài 10-tr81-HH12CB) .
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a/ Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau ?
b/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó ?
Giải
a/ Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D)
song song với nhau.
- Chọn hệ tọa độ Oxyz : AB trùng với Ox,AD
trùng với Oy và AA’ trùng với Oz . Khi đó tọa độ
các đỉnh của hình lập phương là :
A(0;0;0) ,B(1;0;0) ,D(0;1;0) A’(0;0;1)
B’(1;0;1) ,D’(0;1;1) C(1;1;0) và C’(1;1;1) .
-Ta có :
( ) ( ) ( )
' 1;0;1 , D' 0;1;1 ', D' 1, 1,1AB A AB A
 
= = ⇒ = − −
 

uuuur uuuur uuuur uuuur
( ) ( ) ( )
' 0; 1; 1 , ' 1;0 1 ' , ' 1;1; 1C B C D C B C D
 
= − − = − − ⇒ = −
 
uuuur uuuur uuuur uuuur
- Hai mặt phẳng đi qua hai điểm A
và C’ không trùng nhau và có hai véc tơ pháp tuyến song song . Cho nên chúng song
song nhau .
b/ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ C’(1;1;1) đến mặt phẳng
(AB’D’) : x+y-z=0 . Suy ra
( )
1 1 1
1
'; ' '
1 1 1 3
d C AB D
+ −
= =
+ +
.
Ví dụ 2. ( Bài 49-tr126-BTHH12NC) .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0),D(0;a;0),A’(0;0;b) với
a,b là những số dương và M là trung điểm của CC’
a/ Tính thể tích tứ diện BDA’M ?
b/ Tìm tỉ số a/b để mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mp(MBD) ?
Giải
a/ Từ giả thiết ta tìm tọa độ các đỉnh còn lại :
C’(a;a;b),M( a;a;b/2) .

Ta có :
( )
2
D ; ;0 , ; ;
2 2
ab ab
B a a BM a
 
= − = −
 ÷
 
uuur uuuur
.
Vậy :
2
D '
1
D,
6 4
B A M
a b
V B BM
 
= =
 
uuur uuuur
.
b/ Mặt phẳng (A’BD) có véc tơ pháp tuyến :
( )
2

1
D, ' ; ;n B BA ab ab a
 
= =
 
ur uuur uuur
Mặt phẳng (MBD) có véc tơ pháp tuyến
2
2
D, ; ;
2 2
ab ab
n B BM a
 
 
= = −
 ÷
 
 
uur uuur uuuur

Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì :
2 2 2 2
4
1 2
0 0 1
2 2
a b a b a
n n a
b

⇒ = ⇔ + − = ⇔ =
uruur
Ví dụ 3.( Bài 54-tr127-BTHH12NC).
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a/ Tính góc tạo bới các đường thẳng AC’ và A’B
5
A
B C
D
A’
B’
C’
D’
A
B C
D
A’
B’
C’
D’
M
b/ Gọi M;N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng
AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP) .
c/ Tính thể tích khối tứ diện AMNP ?
Giải
a/ Tính góc tạo bới các đường thẳng AC’ và A’B
Từ giả thiết , ta tìm tọa độ các đỉnh :
A’(0;0;0) B’(1;0;0) ,D’(0;1;0) ,A(0;0;1)
C(1;1;1),B(1;0;1) D(0;1;1) và C’(1;1;0) . Từ đó ta có :
( ) ( )

' 1;1; 1 , ' 1;0;1 '. ' 0 ' 'AC A B AC A B AC A B= − = ⇒ = ⇔ ⊥
uuuur uuuur uuuur uuuur
b/ Chứng minh AC’vuông góc với (MNP) .
Ta có M(1/2;0;0),N=( 1;1/2;1) , P=(0;1;1/2) .
Cho nên :
1 1
; ;1 . ' 0 '
2 2
MN MN AC MN AC
 
= ⇒ = ⇔ ⊥
 ÷
 
uuuur uuuur uuuur
.
1 1
;1; . ' 0 '
2 2
MP MP AC MP AC
 
= − ⇒ = ⇔ ⊥
 ÷
 
uuur uuur uuuur
. Chứng tỏ : AC’ vuông góc với mp(MNP ).
c/ Tính thể tích khối tứ diện AMNP.
Ta có :
1 1 1 1
1 1
1 3 3 3

2 2 2 2
;0;1 , ; ; ; ;
1 1 1 1
2 4 4 4
1 1
2 2 2 2
MA MN MA
 
 ÷
   
 
 ÷
= − ⇒ = = −
 ÷  ÷
 
   
 ÷
− −
 ÷
 
uuur uuuur uuur
.
Do đó :
1 1 9 3
, .
6 6 8 16
AMNP
V MN MP MA
 
= = =

 
uuuur uuur uuur
III. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – GÓC GIỮA HAI
MẶT PHẲNG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
a/ Lập mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) cho sẵn một khoảng d cho trước .
b/ Lập mặt phẳng (P) cách đều hai mặt phẳng cho sẵn
c/ Lập mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng (Q) cho sẵn một góc bằng
0
A
, hay lập lập (P) chứa đường thẳng d và tạo với (Q) một góc
0
A
.
CÁCH GIẢI
a/ Cho mặt phẳng (Q) có phương trình : Ax+By+Cz+D=0 , và điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
. Lập
mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng bằng d .
Giải
• Mặt phẳng (P) có dạng : Ax+By+Cz+D’=0 .
• Theo giả thiết thì :
2 2 2
2 2 2
'
' .
D D
d D D d A B C

A B C
−
= ⇒ − = + +
+ +
. Từ đó tìm được
hai giá trị của D’ ( có nghĩa là có hai mặt phẳng ).
• Thay D’ tìm được vào (P) .
b/ Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) , lập phương trình mặt phẳng (R ) cách đều hai mặt
phẳng (P) và (Q).
- Trường hợp (P) và (Q) song song :
( )
: Ax z 0
( ) : Ax z ' 0
P By C D
Q By C D
+ + + =

+ + + =

.
Giải
• Mặt phẳng (R ) có dạng : Ax+By+Cz+m=0 (1)
6
D
B C
A’
B’ C’
D’
N
P

A
• Nếu (R ) cách đếu (P) và (Q) thì :
'm D m D m− = − ⇒
.Hay : m=
'
2
D D+
• Thay m tìm được vào (1) ta suy ra (R ).
- Trường hợp (P) cắt (Q) theo một đường thẳng .
( ) : Ax z 0
( ) : ' ' ' ' 0
P By C D
Q A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

Giải
• Nếu M(x;y;z) nằm trên (R ) thì khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (P) và (Q)
bằng nhau :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ax z A'x ' 'z '
Ax z A'x ' 'z '
' ' ' ' ' '
By C D B y C D
By C D B y C D
A B C A B C A B C A B C
+ + + + + +
+ + + + + +

= ⇔ = ±
+ + + + + + + +
.
• Từ đó suy ra có hai mặt phẳng . Hai mặt phẳng này chính là hai mặt phẳng phân
giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng cắt nhau .
c/ Cho mặt phẳng (Q): Ax+By+Cz+D=0 và hai điểm M(
( )
1 1 1 2 2 2
; ; ), ; ;x y z N x y z
. Lập mặt
phẳng (P) chứa M,N và tạo với (Q) một góc
0
A
.
Giải
• Tính :
( ) ( )
2 1 2 1 2 1
; ; , ; ;MN x x y y z z n A B C= − − − =
uuuur r
• Theo giả thiết :
( )
( )
0
.
os , cos *
.
MN n
c MN n A
MN n

= =
uuuur r
uuuur r
uuuur r
.
• Từ (*) ta lập phương trình
Ví dụ 1.(Bài 19-tr90-HH12NC).
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (P’) trong các trường hợp sau
a/ (P) : 2x-y+4z+5=0 , (P’) : 3x+5y-z-1=0.
b/ (P): 2x+y-2z-1=0 , (P’): 6x-3y+2z-2=0
c/ (P): x+2y+z-1=0 , (P’): x+2y+z+5=0 .
Giải
Gọi M(x;y;z) là điểm bất kỳ trong không gian , theo giả thiết :
a/ Ta có :
( )
( )
15
2x 4z 5 3x 5 1
2x 4z 5 3x 5 1
5
4 1 16 9 25 1
15
2x 4z 5 3x 5 1
5
y y z
y y z
y y z

− + + = + − −


− + + + − −

= ⇔

+ + + +
− + + = − + − −


b/ Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
7 2x 2z 1 3 6x 3 2z 2
2x 2z 1 6x 3 2z 2
3 7
7 2x 2z 1 3 6x 3 2z 2
y y
y y
y y
+ − − = − + −
+ − − − + −
= ⇔

+ − − = − − + −


c/ (P) : x+2y+z+m=0 (1) . Theo giả thiết :
5 1 5 1 2m m m m m− = + ⇔ − = − − ⇒ =
.
Vậy (P) : x+2y+z+2=0 , cách đều hai mặt phẳng .
Ví dụ 2. (ĐH-KA-2006).

Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0;0;0),B(1;0;0) ,D(0;1;0),A’(0;0;1) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
, biết
1
os
6
c
α
=
.
7
S
A
B
CD
I
O
M
Giải :
Tọa độ của các đỉnh còn lại :
C(1;1;0),B’(1;01),D’(0;1;1) C’(1;1;1) .
a/ Ta có :
( ) ( )
1
' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;1
2
A C MN A M

 
= = =
 ÷
 
uuuur uuuur uuuuur
Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C
và MN là :
( )
' , '
' ,
' ,
A C MN A M
d A C MN
A C MN
 
 
=
 
 
uuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur
Hay :
d(A’C,MN)=
2 2 2
1 1 1 1
1
3
2 1 0 0 1
3
2

1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1
 
−
 ÷
−
 
= =
+
+ +
.
b/ Mặt phẳng (Oxy) có
( )
0;0;1n k= =
r r
. Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 .
(P) qua A’(0;0;1) thì : c+d=0
(P) qua C(1;1;0) thì : a+b+d=0 . Từ đó suy ra : c=-d .(P) : ax+by+cz-c=0 (1)
Như vậy :
( )
; ;
P
n a b c=
uur
. Theo giả thiết :
( )
.
1 1
2 2 2 2 2 2 2

os 6 5 2
2 2 2
6 6
n k
c
P
c c a b c a b c
n k
a b c
P
α
= = ⇔ = ⇔ = + + ⇔ + =
+ +
uuurur
uuur ur
Như vậy :
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2 2
2 0
5 2 0
5
b a c
a b c b a c
b a c
a c a c
a b c a ac c
a a c c


 

   
   

 


 

= −
+ = = −
= −
⇔ ⇔ ⇔
+ − =
+ = − − =
+ − =
2
( ):ax 2a 0 2 1 0
( ) :2 x z 0 2x 1 0
2 2
b a c b a
P y az a x y z
c a c a
b a c b c
P c cy c c y z
a c a c
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= − =
⇒ + − + = ⇔ + − + =
= − = −
⇒ ⇔
= − =
⇒ + + − = ⇔ + + − =
= =
Ví dụ 3.( Bài 53-tr127-BTHH12NC)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Gọi I là
trung điểm của cạnh bên SC . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).
Giải .
Ta chọn hệ tọa độ : OB trùng với Ox,OC trùng
với Oy và OS trùng với Oz .Do đó tọa độ các
đỉnh xác định bởi :
8
M
z
y
x

A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
N
2 2 2 2
;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;0
2 2 2 2
a a a a
B C A D
       
− −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
H(0;0;h). và
2
;0;
4 2
a h
I
 
 ÷
 ÷
 
.M là

trọng tâm tam giác SAC cho nên M(0;0;h/3)
Mặt phẳng (ABI) chính là mặt phẳng (ABM) . Theo phương trình đường thẳng đoạn
chắn , ta có (ABM):
( )
2 2
2a
1 0 ,( )
2 2
4 9a
3
2 2
x y z h
d S ABM
h
a a
h
− + − = ⇒ =
+
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1. Lập phương trình tổng quát của
( )
mp
α
đi qua
( )
2;1; 1A −
và vuông góc với đường
thẳng xác định bởi 2 điểm
( ) ( )
1;0; 4 , 0; 2; 1B C− − − −

.
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của
( )
mp
α
đi qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;4 , 3;2; 1A B− −
và
vuông góc với
( )
: 2 3 0mp x y z
β
+ + − =
.
Bài 3.
a) Lập phương trình tổng quát của
( )
mp
α
đi qua
( )
1;0;5A
và song song với
( )
: 2 17 0mp x y z
γ
− + − =
.
b) Lập phương trình

( )
mp
β
đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
1; 2;1 , 1;0;0 , 0;1;0B C D−
và tính
góc nhọn
ϕ
tạo bởi 2
( )
mp
α
và
( )
β
.
Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
( )
2 0
:
3 2 3 0
x z
x y z
− =

∆

− + − =


và vuông
góc với
( )
: 2 5 0mp P x y z− + + =
.
Bài 5. Viết phương trình
( )
mp P
chứa
Ox
và tạo với
( )
: 2 5 0mp x y z
α
+ − =
một góc
0
60
.
Bài 6. Trong không gian
Oxyz
.
a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua
( ) ( )
0;0;1 , 3;0;0M N
và tạo với
( )
mp Oxy
một góc
3

π
.
b) Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
với
, , 0a b c >
thay đổi luôn luôn thỏa:
2 2 2
3a b c+ + =
. Xác định
, ,a b c
sao cho khoảng cách từ O đến
( )
mp ABC
đạt
GTLN.
Bài 7. Viết phương trình
( )
mp
α
chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 2
( )
: 7 0mp P x y z− + − =
và
( )
:3 2 12 5 0Q x y z+ − + =
.
Bài 8. Cho
( ) ( ) ( )

5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4A B C
.
a) Viết phương trình
( )
mp ABC
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
( )
mp ABC
.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua
,O A
và song song với BC.
c) Viết phương trình mặt phẳng qua
,C A
và vuông góc với
( )
: 2 3 1 0mp x y z
α
− + + =
.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với
( )
mp
α
và
( )
mp ABC
.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2
( )

mp
α
,
( )
ABC
và qua
( )
1;2;3I −
.
Bài 9. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng
5 4 0x ny z m+ + + =
thuộc chùm mặt
phẳng có phương trình:
( ) ( )
3 7 3 9 3 5 0x y z x y z
α β
− + − + − − + =
.
9
Bài 10. Trong không gian Oxyz cho
( ) ( )
: 2 1 1 0
m
mp P x y z m x y z+ + + + + + + =
với m là
tham số.
a) Chứng minh rằng với mọi m,
( )
m
mp P

luôn đi qua đường thẳng
( )
d
cố định,
b) Tìm m để
( )
m
mp P
vuông góc với
( )
0
: 2 1 0P x y z+ + + =
.
c) Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng
( )
d
.
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho 2
( ) ( )
: 2 3 1 0, : 5 0mp x y z x y z
α β
− + + = + − + =
và điểm
( )
1;0;5M
.
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
( )
mp
α

.
b) Viết phương trình
( )
mp P
đi qua giao tuyến
( )
d
của
( )
α
và
( )
β
đồng thời vuông
góc với
( )
:3 1 0mp Q x y− + =
.
Bài 12. Cho
( ) ( ) ( )
1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3A B C− −
.
a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình
( )
mp P
chứa
3 điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
( )
mp P
.

b) Tính
ABC
S
∆
và tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 13. Cho
( ) ( ) ( )
2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;3A B C
. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm OA và
BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho
2
3
OP
OC
=
và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau.
Viết phương trình
( )
mp MNPQ
và tìm tỉ số
AQ
AB
.
Bài 14. Trong không gian Oxyz cho
( ) ( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A a B a C a a D d
với
0, 0a d> >
. Gọi là hình chiếu vuông góc của O xuống hai đường thẳng DA, DB.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA, OB. Chứng minh rằng mặt

phẳng đó vuông góc CD.
b) Tính d theo a để số đo
·
0
45AOB =
.
Bài 15. Tìm trên trục tung các điểm cách đều 2
( ) ( )
: 1 0, : 5 0mp x y z x y z
α β
+ − + = − + − =
.
Bài 16.
a) Tính góc của 2
( )
mp P
và
( )
Q
cùng đi qua điểm
( )
2;1; 3I −
,
( )
P
chứa trục Oy,
( )
Q
chứa trục Ox.
b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2

( )
mp P
,
( )
Q
nói trên.
Bài 17. Trong không gian Oxyz. Xét
AOB∆
đều, nằm trong
( )
mp Oxy
có cạnh a, đường
thẳng AB song song trục tung. Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong
( )
mp Oxy
. Cho
0;0;
3
a
S
 
 ÷
 
.
a) Xác định A, B và trung điểm E của OA, viết phương trình
( )
mp P
chứa SE và song
song với trục hoành.
b) Tính

( )
( )
;d O P
. Suy ra
( )
;d Ox SE
.
Bài 18. Trong không gian Oxyz cho các điểm
( ) ( ) ( )
1;4;5 , 0;3;1 , 2; 1;0A B C −
và
( )
:3 3 2 15 0mp P x y z− − − =
. Gọi G là trọng tâm của
ABC∆
. Chứng minh điều kiện cần và
đủ để điểm M nằm trên
( )
mp P
10