bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Giải tam giác
I- Cho tam giác ABC có
1. A=60
0
, b=6, c=5. Tính a, R và các góc B, C.
2.
a 6,b 2,c 3 1= = = +
. Tính các góc A,B,C,R
3.
a 2 3,b 2 2,c 6 2= = =
. Tính A,B,C và R
4. Cho tam giác ABC thỏa mãn:
a b c
2h h h= +
CMR:
2 1 1
a b c
= +
,
2 1 1
sin A sin B sinC
= +
5. Cho tam giác ABC có:
2 2
1 cos B 2a c
sinC
4a c
+ +
=

. CMR tam giác cân
6.

ABC thỏa mãn:
a.cos B b.cos A a.sin A b.sin B =
. CMR

cân hoặc vuông.
7. Tam giác ABC thỏa mãn:
1
S (a b c)(a b c)
4
= + +
. CMR tam giác vuông.
8. Cho tam giác ABC. CMR:
2 2 2
4S
tan A
a c b
=
+
,
C p(p c)
cot
2 S

=
CMR nếu:
C C
a(cot tan A) b(tan B cot )

2 2
=
thì tam giác cân.
9. CMR tam giác ABC thỏa mãn:
a b c
r r r r= + +
thì tam giác vuông.
10. CMR tam giác ABC thỏa mãn:
2
2
sin B tgB
sin C tgC
=
thì tam giác cân hoặc vuông.
11. CMR tam giác ABC thỏa mãn:
3 3 3
2
a 2.b.cosC
b c a
a
b c a
=



+
=

+
thì tam giác đều.

12. CMR tam giác ABC thỏa mãn:
b c a
cos B cosC sin B.sinC
+ =
thì tam giác vuông.
13. CMR tam giác ABC thỏa mãn:
1 a
cot A
sin A c b
+ =

với
b c
thì tam giác vuông.
14. CMR tam giác ABC thỏa mãn:
1 b c
cot A
sin A a
+
+ =
thì tam giác vuông.
15. CMR

ABC thỏa mãn:
sin B sinC
sin A.cos B.cosC
1 1
cos B cosC
+
=

+
thì tam giác vuông.
16.
2 2
1 cosC
c (a b) 4.S.
sinC

= +
17.
2 2 2 2 2 2
a b c
3
m m m (a b c )
4
+ + = + +
18.
2 2 2
cot cot cot
4.
a b c
gA gB gC
S
+ +
+ + =
19.Cho tam giác ABC có
a
l
là phân giác trong góc A. CMR:
2 2

a
2 2
l (b c)
bc
(b c) a
+
=
+
Hệ thức l ợng trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác
21

1.
+ + =sin sin sin 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C
+ + = +cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
2.
+ + = − −cos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cosA B C A B C
+ + = − −cos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cosA B C A B C
3.
+ + = . .tgA tgB tgC tgA tgB tgC
4.
+ + =cot .cot cot .cot cot .cot 1gA gB gB gC gC gA

5.
+ + =. . . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
6.
+ + =cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
g g g g g g
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng:
1.
2 2 2
cos A cos B cos C 1 2cos.Acos B.cosC+ + = −
2.
2 2 2
cos 2A cos 2B cos 2C 1 2cos2A.cos 2B.cos 2C+ + = +
3.
3 3 3
sin cos( ) sin cos( ) sin cos( ) 3sin. .sin .sinA B C B C A C A B A B C
− + − + − =
4.
3 3 3
sin sin( ) sin sin( ) sin sin( ) 0A B C B C A C A B− + − + − =
5.
A
p sin
2
a
B C

cos .cos
2 2
=
6.
2
2
a
2 2
(b c)
bc .l
(b c) a
+
=
+ −

2 2
2
a b sin(A B)
c sinC
− −
=

7.
2 2 2 2 2 2 2
a a
(b c) 2(a 2l )(b c) a (a 4h ) 0+ − + + + + =
8.
a
2bc A
l cos

b c 2
=
+
10.
2 2 2 2 2 2
a b c
3
m m m (a b c )
4
+ + = + +
9.
c a b
1 1 1 1 1 1 A B C
l l l 2 cos cos cos
a b b c c a 2 2 2
       
+ + + + + = + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
10.
B C
a.sin sin
2 2
r
A
cos
2
=
12.
A B C

r p.tg .tg .tg
2 2 2
=
13.
p
R
A B C
4.cos .cos .cos
2 2 2
=
14.
r A B C
sin .sin .sin
4R 2 2 2
=
15.
r
1 cos A cos B cosC
R
+ = + +
16.
2pr
a.cos A b.cos B c.cosC
R
= + +
17.
r 4R A B C
tg tg tg
p 2 2 2
+

= + +
18.
2.(r R) a.cot gA b.cot gB c.cot gC+ = + +
Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c
22

19.
a b c a b c
1 1 1 1 1 1 1
r h h h r r r
= + + = + +
20.
2 2
a b c
p r 2R(h h h )+ = + +
21.
a b
C A B
r r 4R cos sin
2 2
−
− =
22.
a b c
r r r 4R r+ + = +
23.
23.
2
a
A

r r 4R sin
2
− =
24.
4 cosr r r R C r
a c
b
+ − = −
25.
1 1 1 4
2 2 2
2 2 2
A B C R
tg tg tg
abc
r r r
a c
b
+ + =
26.
a a
a a a
h 2r h
B C
tg .tg
2 2 h 2r h
−
= =
+
27.

B C B C
a.tg .tg r(tg tg )
2 2 2 2
= +
28.
2
cos.
2
cos.
2
cos)2(4sin)(sin)(sin)(
222
CBA
rRrCcpBbpAap −=−+−+−
29.
2 ( )cos ( )cos ( )cosp a b C b c A c a B= + + + + +
30.
2 2 2
3 ( )cos ( )cos ( )cos
2 2 2
C A B
p a b b c c a= + + + + +
31.
2 2 2 2
. .cos . .cos . .cos
2 2 2
A B C
p b c c a a b= + +
32.
( )

2 2
1
.sin 2 .sin 2
4
ABC
S a B b A= +
V
33.
2 2 2 2 2 2
( )cot ( ) cot ( ) cot 0b c gA c a gB a b gC− + − + − =
34.
( )cot ( ) cot ( ) cot 0
2 2 2
A B C
b c g c a g a b g− + − + − =
35.
2
1 1 1 3
. .cot . .cot . .cot 4 .
2 2 2
A B C
b c g c a g a b g R p
a b c p
 
+ + = + + −
 ÷
 
36.
.sin( ) .sin( ) .sin)( ) 0a B C b C A c A B− + − + − =
37.

( )( )cos ( )( )cos ( )( ) cos 0b c p a A c a p b B a b p c C− − + − − + − − =
38.
2 2 2
cos cos cos
.cos .cos .cos .cos .cos .cos 2 . .
A B C a b c
b C c B a C c A b A a B a b c
+ +
+ + =
+ + +
39.
2 2
( ) 4. .
2
C
c a b S tg= − +
40.
( )( )
2 ( )
A p b p c
tg
p p a
− −
=
−
41.
2 2 2
cot cot cot
4.
a b c

gA gB gC
S
+ +
+ + =
42.
1 1 1 1
cot .cot .cot
sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
tg tg tg g g g
A B C
 
+ + = + + +
 ÷
 
Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c
23

43.
sin sin sin
2 2 2
2
cos .cos cos .cos cos .cos
2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B
+ + =
44.
sin sin sin
cot .cot

sin sin sin 2 2
A B C A B
g g
A B C
+ +
=
+
45.
sin sin sin
t .cot .cot
cos cos cos 1 2 2 2
A B C A B C
g g g
A B C
+
=
+ +
46
sin . cos . cos sin . cos . cos sin . cos . cos sin . sin . sin . . .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C B C A C A B A B C A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + = + + +
Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn các điều kiện sau đây là các tam giác cân.
40.
( )
sin sin 1
cos cos 2
A B
tgA tgB

A B
+
= +
+

41.
2 2
sin A sin B C
(sin A sin B)cot g
cos A cos B 2
+ = +
42.
3 3
A B B A
sin cos = sin cos
2 2 2 2

2sinA.sinB C
= cotg
sinC 2
43.
2
2tgA+tgC = tg A.tgC

2 2 2
A+ B
tg A +tg B = 2tg
2
44.
C

a.tgA b.tgB (a b).cot g
2
+ = +

a.sin(B C) b.sin(C A) 0 + =
45.
2 2
1 cos B 2a c
sin B
4a c
+ +
=


2 2 2
C
a sin 2B b sin 2A c cot g
2
+ =
46.
4 4 4 2 2 2
sin C 2sin A 2 sin B 2sin C.(sin A sin B)+ + = +
47. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân khi và chỉ khi:
2 2
1
S (a b )
4
= +
48.
a

A
h bc.cos
2
=

2
C
cos A.cos B sin
2
=
49.
C
tgA tgB 2cot g
2
+ =

a
r : r : R 2 : 6 : 5=

sinC
2cos B
sin A
=
50. Tam giác ABC có tính chất gì nếu ba góc thỏa mãn:
1
sin 2x sin x cos x
2
+ =
Chứng minh tam giác vuông
51.

sin A sin B sin C 1 cos A cos B cosC+ + = + +

sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ =

52. cos2A+cos2B+cos2C+1=0
53.
+ + + =3(cos B 2sinC) 4(sin B 2cosC) 15
54.
sin B sinC
sin A.cos B.cosC
1 1
cos B cosC
+
=
+
Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác
24

55.
sin A cos B
tgA
sin B cos A
+
=
+
56.
cos(B C)
tgB
sin A sin(B C)
−

=
− −

1
cot g2C (cot gC cot gB)
2
= −
57.
B a c
sin
2 2a
−
=

B a c
cos
2 2c
+
=
58.
B c a
tg
2 c a
−
=
+

( ) ( ) ( )
a b b c a a c b
cos B

2abc
+ + − + −
=
59.
2 2 2
a (p a) b (p b) c (p c)
sin B cos B
abc
− + − + −
+ =
60.
( )
2
2bc
cos B C
a
− =

+
=
B a c
cot g
2 b
61.
b c a
cos B cosC sin B.sin C
+ =

1 a
cot gA

sin A c b
+ =
−
62.
1 b c
cot gA
sin A a
+
+ =

2
1
S a sin 2B
4
=
a
A C
h 2p 2.sin .sin
2 2
=
63.
a b c
r r r r= + +

a b c
r r r r a b c+ + + = + +
64.
a
r r
5r 2R

=


=

65.
B A B
r(sin A sin B) 2.c.sin .cos
2 2
−
+ =

b c
cos B cosC
a
+
+ =
Chøng minh tam gi¸c ®Òu
66.
2
sin 3A sin 3B sin 3C 0
C
cos A.cos B sin
2
+ + =



=




3 3 3
2
1
cos B.cosC
4
a b c
a
a b c

=



+ +

=

+ +

67.
3 3 3
2
3
sin B.sinC
4
b c a
a
b c a


=



+ −

=

+ −

sin B sinC 2 sin A
tgB tgC 2tgA
+ =


+ =


[ ]
bc 3 R 2(b c) a= + −
68.
a.cos A b.cos B c.cosC 1
a b c 2
+ +
=
+ +
2sin C(cos(A B) 1) 2sin A(cos(B C) 1) 2sin B(cos(C A) 1) 0⇔ − − + − − + − − =
69.
3 3

sin A sin B sin C
2
+ + ≤
Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c
25

( ) ( )
2 3 sin B sin C 2 sin B 2 sin C sin A 2 3 sin B sin C 2 sin C 2 sin B sin(B C)
sin B 3 sin C cos C 2 sin C 3 sin B cos B 2 0 2 sin B sin C 1 2 sin C sin B 1 0
6 6
sin C 1
6
sin B 1
6
π π
π
π
⇔ = + − ⇔ = + − +
⇔ + − + + − = ⇔ + − + + − =
+ =
⇔
+ =
   
   
 ÷  ÷
   
   
   

 

 ÷


 

 

 ÷

 

70.
( )
P 3 cos B 3 cos A cosC= + +
®¹t Max
71.
3
1 cos A cos B cosC
2
< + + ≤
72.
tgA tgB tgC 3 3 tam gi¸c ABC nhän+ + ³
73.
gA gB gCcot cot cot 3+ + ³

A B C
2 2 2
9
sin sin sin
4

+ + £
74.
A B C
2 2 2
3
cos cos cos
4
+ + ³
75.
tg A tg B tg C
2 2 2
9 víi tam gi¸c ABC nhän+ + ³
76.
A B C
tg tg tg 3
2 2 2
+ + ³
77.
A B C
2 2 2
3
sin sin sin 1
4 2 2 2
£ + + <
78.
A B C
c c c
2 2 2
9
2 os os os

2 2 2 4
< + + £

A B C
tg tg tg
2 2 2
1
2 2 2
+ + ³
79.
A B C
3 3
sin .sin .sin
8
£
80.
A B C
1
cos .cos .cos
8
£

A B C 1
sin .sin .sin
2 2 2 8
£
81.
A B C 3 3
cos .cos .cos
2 2 2 2

£

A B C
tg tg tg
1
. .
2 2 2
3 3
£
82.
A B C
g g gcot .cot .cot 3 3
2 2 2
³
83.
a b c
A B C
m m m a b c. . . . .cos .cos .cos
2 2 2
=
sö dông
a
b c a A
m bc
2 2 2
2( )
.cos
4 2
+ -
= ³

84.
( )
a b c
m m m p p a p b p c+ + ³ - + - + -
85.
a b c
m m m p S. . .³
Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c
26

86.
a b c
A B C
l l l a b c. . . . .cos .cos .cos
2 2 2
=
sử dụng
a
bc A
l
b c
2
.cos
2
=
+
87.
( )
a b c
l l l p p a p b p c+ + Ê - + - + -

88.
a b c
l l l p S. . .Ê
89.
( ) ( ) ( )
b a a c c b
l l l l l l
c b a
1 1 1
3 3+ + + + + Ê
90.
A B C A B C
g g g tg tg tgcot cot cot 3
2 2 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
91.
A B C
A B Csin .sin .sin cos .cos .cos
2 2 2
Ê
92.
A B C

A B C
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
sin sin sin
cos cos cos
2 2 2
+ + + +
93.
A B C
A B C
1 1 1 1 1 1
với tam giác ABC nhọn
cos cos cos
sin sin sin
2 2 2
+ + + +
94.
A B C A B Csin sin sin sin 2 sin 2 sin 2+ + = + +
95.
A B C
gA gB gC tg tg tgcot cot cot
2 2 2
+ + = + +
96.
A B C
tgA+tgB+tgC cotg cotg cotg
2 2 2
+ +
97.

A B C
tgA tgB tgC g g g
A B C
1 1 1 1
cot .cot .cot
sin sin sin 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + = + + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
98.
A B C
g g g
A B C
1 1 1 1 3 3
t t t
sin sin sin 2 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + - + + Ê
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
99.
A B C
1 1 1
2 3
sin sin sin
+ +
100.
A B C
1 1 1
2 3
sin 2 sin 2 sin 2
+ +
101.
( )
tgA tgB tgC gA gB gC
A B C
1 1 1 1
. . cot cot cot
sin 2 sin 2 sin 2 2
+ + = + + +
102. Tam giác ABC không vuông có:
tgA tgB tgC
A B C
1 1 1 1 3
. .
sin 2 sin 2 sin 2 2 2
+ + -
103.
( )

gA gB gC
A B C
1 1 1 1 3 3
cot cot cot
sin 2 sin 2 sin 2 2 2
+ + - + +
Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác
27

104.
( )
gA gB gC
A B C
1 1 1 1
cot cot cot 3
sin sin sin 2
+ + - + +
105.
A B C
g g g
A B C
1 1 1
t t t 3
sin sin sin 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + - + + =
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
106. CMR mọi tam giác ABC có:
1 1 1 A B C A B C
tg tg tg cotg .cotg .cotg
A B C
4 4 4 4 4 4
sin sin sin
2 2 2
+ + = + + +
107.
1 1 1 A B C
tg tg tg 3 3
A B C
4 4 4
sin sin sin
2 2 2

+ + + +
ữ

108. Tam giác ABC không vuông có:
( )
1 1 1
cot gA cot gB cot gC tgA.tgB.tgC
sin 2A sin 2B sin 2C
+ + + + =
109.
( )

1 1 1
cot gA cot gB cot gC 3 3
sin 2A sin 2B sin 2C
+ + + +
110.
1 1 1 1
cot gA cot gB cot gC
A B C
2
cos cos cos
2 2 2

ữ
+ + = + +
ữ
ữ

thì

ABC đều.
Bài toán về cấp số
114.Cho

ABC có các cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng. CMR:
2
B
sin A.sinC 3.sin
2
=
115.Cho

ABC có A, B, C lập thành CSC và
3
sin A.sin B.sinC
4
=
. Tính các góc A, B, C
116.Cho

ABC có
A B C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2
lập thành CSC thì:
A C
cot g cot g 3
2 2
=
117.Cho

ABC có
A B C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2
lập thành CSC thì: a
2
; b
2
; c
2

cũng lập thành CSC
118.Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng. CMR
A C
cot g cot g 3
2 2
=
119.Cho

ABC có
A B C
t g ,t g ,t g
2 2 2
lập thành CSC. CMR cosA, cosB, cosC cũng lập thành
CSC.
Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác
28