Bộ đề và đáp án thi thử 12 đại học toán mới nhất

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
ĐỀ 11
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình

1 3
9
x − 3x 2 + x − m = 0 có một nghiệm duy nhất:
2
2

Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: cos 2 x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x ) = 0
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z − 1 − 3i = 0 . Tìm phần ảo của số phức w = 1 − zi + z
Câu 3 (0,5 điểm) Giải bất phương trình: 2log 3 ( x − 1) + log

3

(2 x − 1) ≤ 2

 x+ y − x− y =2

Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2
2
2
2
 x + y +1 = 3 + x − y


(x,y∈ ¡ )

1

2x
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( 1 − x ) ( 2 + e ) dx
0

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương
trình: x + y + 1 = 0 , phương trình đường cao kẻ từ B là: x − 2 y − 2 = 0 . Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ
C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3), C(0;2;1). Lập phương
trình mặt cầu đường kính AB và tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Câu 9 (0,5 điểm) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba thẻ
với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ.
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ y ≥ z và x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P =

x z
+ + 3y .
z y
---------------------Hết--------------------

ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA (ĐỀ 11)


Câu

1.a
(1,0 điểm)

Đáp án

Điểm

x = 3
y'= 0 ⇔ 
x =1

TXĐ: D = ¡ , y / = 3 x 2 − 12 x + 9 .

0.25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng(- ∞ ;1) và (3;+ ∞ ), đồng biến trên khoảng (1;3)
lim y = −∞, lim y = +∞

x →−∞

BBT

0.25

x →+∞

x

−∞

1

y'

+

0

y

+∞

3
–

0

+

−∞

0.25

+∞

3
-1

0.25

Đồ thị : đi qua các điểm (3;-1), (1;3), (2;1), (0;-1)
Pt :
1.b

1 3
9
x − 3x 2 + x − m = 0  x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 = 2m − 1 (*)
2
2

y = 2m − 1 (d cùng phương
(1,0 điểm) Pt (*) là pt hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d
trục Ox) . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và d. Dựa vào đồ thị
 2m − 1 < −1
m < 0
(C), để pt có một nghiệm duy nhất thì : 
 
 2m − 1 > 3
m > 2

0.25
0.25
0.25
0.25

cos 2 x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x ) = 0

2.a
(0,5 điểm)

sin x − cos x = 0
⇔ (sin x − cos x)(sin x − cos x − 1) = 0 ⇔ 
sin x − cos x = 1

π

sin( x − 4 ) = 0
⇔
π
2

sin( x − ) =


4
2
2.b

π

 x = 4 + kπ

π
⇔  x = + k 2π

2
 x = π + k 2π




(1 + i ) z − 1 − 3i = 0  z =

(0,5 điểm)
=> w = 2 – i
3
(0,5 điểm)

ĐK: x > 1

.

(k ∈¢ )

0.25

1 + 3i
= 2+i
1+ i

0.25

Số phức w có phần ảo bằng - 1
,

2 log 3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) ≤ 2

⇔ 2 x 2 − 3x − 2 ≤ 0  −
Điều kiện: x+y ≥ 0, x-y ≥ 0

4

0.25

1
≤x≤2
2

0.25
⇔ log 3 [( x − 1)(2 x − 1)] ≤ 1

=> tập nghiệm S = (1;2]

0.25
0.25
0.25


(1,0 điểm)

 u − v = 2 (u > v)
 u + v = 2 uv + 4
u = x + y


⇔  u 2 + v2 + 2
Đặt: 
ta có hệ:  u 2 + v 2 + 2
v = x − y
− uv = 3 

− uv = 3

2
2


 u + v = 2 uv + 4
(1)

⇔  (u + v) 2 − 2uv + 2
. Thế (1) vào (2) ta có:
− uv = 3 (2)

2


0.25

0.25

uv + 8 uv + 9 − uv = 3 ⇔ uv + 8 uv + 9 = (3 + uv ) 2 ⇔ uv = 0 .
 uv = 0
⇔ u = 4, v = 0 (vì u>v).
Kết hợp (1) ta có: 
u + v = 4

0.25

Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2)..

u = 1 − x
Đặt 
2x
 dv = (2 + e )dx

5
(1,0 điểm)

 du = − dx

=> 
1 2x
v = 2 x + 2 e


2
1 2x 1
1
I = (1 − x)(2 x + e ) + ∫ (2 + e 2 x )dx
0 1
2
2

1 2x 1
1 2x 1
2
= (1 − x)(2 x + e ) + ( x + e )
0
0
2

4

0.25

=

e2 + 1
4

Gọi H là trung điểm AB-Lập luận SH ⊥ ( ABC ) -Tính được SH = a 15
6
(1,0 điểm)

Tính được VS . ABC =

0.25

4a 3 15
3

0,5
0.25

0.25

Qua A vẽ đường thẳng ∆ / /BD , gọi E là hình chiếu của H lên ∆ , K là hình chiếu H
lên SE
Chứng minh được:d(BD,SA)=d(BD,(S, ∆ ))=2d(H, (S, ∆ ))=2HK
Tam giác EAH vuông cân tại E, HE =

0.25

a 2
2

1
1
1
31
15
=
+
=
⇒ HK =
a
2
2
2
2
HK
SH
HE
15a
31
⇒ d ( BD, SA) = 2

15
a
31

1
·
·
= cos HCB
Gọi H là trực tâm ∆ ABC. Tìm được B(0;-1), cos HBC =
10
7
r
2
2
(1,0 điểm) Pt đthẳng HC có dạng: a(x-2)+b(y-1)=0( n = (a; b) là VTPT và a + b > 0 )

0.25

0.25


·
cos HCB =

2

a+b

1
a
a
=
⇒ 4a 2 + 10ab + 4b 2 = 0 ⇔ 2  ÷ + 5  ÷+ 2 = 0
2

2
10
b
b
2(a + b )

a
 b = −2
 a = −2, b = 1
⇔
⇒
,
 a = −1, b = 2(l )
a = − 1
b
2


phương trình CH: -2x + y + 3 = 0

0.25

0.25

AB ⊥ CH. Tìm được pt AB:x+2y+2=0
0.25

2 5
Tìm được : C ( ; − ) ,pt AC:6x+3y+1=0
3 3

Tìm được tọa độ tâm I của mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu: R = 3
8

Phương trình mặt cầu (S): x 2 + ( y + 1)2 + ( z − 2) 2 = 3
(1,0 điểm)
uu
ur
uu
ur
uu
ur
Giả sử H(x;y;z), AH = (x − 1; y + 2; z − 1), BC = (1; 2; −2), BH = ( x + 1; y; z − 3)
uu uu
ur
ur
uu uu
u r ur
AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ x + 2 y − 2 z = −5
uu
ur
2 x − y = −2
uu
ur
cùng phương BC ⇔ 
,
BH
y + z = 3

7 4 23
Tìm được H( − ; ;

)
9 9 9

3
Số cách chọn 3 thẻ có tích là số lẻ là n(A) = C5 = 10

0.25

10
5
=> Xác suất cần tính là P(A) =
=
84
42
Ta có

10
(1,0 điểm)

0.25

0.25

3

(0,5 điểm)

0.25

0.25

Số phần tử của khơng gian mẫu là n( Ω ) = C 9 = 84
9

0.25

x
+ xz ≥ 2 x,
z

Từ đó suy ra

P=

0.25

z
+ yz ≥ 2 z .
y

x z
+ + 3 y ≥ 2 x − xz + 2 z − yz + 3 y
z y

0.25

= 2( x + z ) + y ( x + y + z ) − xz − yz = 2( x + z ) + y + x( y − z )
2

Do x > 0 và y ≥ z nên x( y − z ) ≥ 0 . Từ đây kết hợp với trên ta được

P=

x z
+ + 3 y ≥ 2( x + z ) + y 2 = 2(3 − y ) + y 2 = ( y − 1) 2 + 5 ≥ 5 .
z y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

Chú ý: Mọi cách giải đúng đều đạt điểm tối đa.

0,25

0.25


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
ĐỀ 12
Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = − x 3 + 3mx + 1

(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa
độ ).
sin 2 x + 1 = 6sin x + cos 2 x .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình

2

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫
1

Câu 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trình

x 3 − 2 ln x
dx .
x2

52 x +1 − 6.5 x + 1 = 0 .

b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật . Tính xác
suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( −4;1;3) và đường thẳng
d:

x +1 y −1 z + 3
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và vng góc với đường thẳng d . Tìm tọa
−2
1
3

độ điểm B thuộc d sao cho AB = 27 .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vng tại A , AB = AC = a , I là trung điểm của
SC , hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC , mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy

1 góc bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S . ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB ) theo a .

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A ( 1; 4 ) , tiếp tuyến tại A của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ·
ADB có phương trình
x − y + 2 = 0 , điểm M ( −4;1) thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 9 (1,0 điểm).
P=

bc
3a + bc

+

ca
3b + ca

 x + 3 xy + x − y 2 − y = 5 y + 4


 4 y 2 − x − 2 + y −1 = x −1


Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
+

ab
3c + ab

…….Hết……….

ĐÁP ÁN (ĐỀ 12)
Câu
1

Nội dung

Điểm

a.(1,0 điểm)
Vơí m=1 hàm số trở thành : y = − x3 + 3x + 1

0.25

TXĐ: D = R
y ' = −3 x 2 + 3 , y ' = 0 ⇔ x = ±1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) , đồng biến trên khoảng ( −1;1)

0.25

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 , yCD = 3 , đạt cực tiểu tại x = −1 , yCT = −1
lim y = −∞ ,

x →+∞

lim y = +∞

x →−∞

* Bảng biến thiên

x

0.25

–∞

y’

-1
+

0

+∞

1
–

0

+∞

+

3

y

-∞

-1

Đồ thị:
4

2

2

4

b.(1,0 điểm)

0.25


y ' = −3 x 2 + 3m = −3 ( x 2 − m )
0.25
y ' = 0 ⇔ x 2 − m = 0 ( *)
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị ⇔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 ( **)

(

)

Khi đó 2 điểm cực trị A − m ;1 − 2m m , B

(

m ;1 + 2m m

)

uu u u
ur ur
1
3
Tam giác OAB vuông tại O ⇔ OA.OB = 0 ⇔ 4m + m − 1 = 0 ⇔ m = ( TM (**) )
2
Vậy m =
2.

0.25
0.25

0,25

1
2

(1,0 điểm)

sin 2 x + 1 = 6sin x + cos 2 x
0.25

⇔ (sin 2 x − 6sin x) + (1 − cos 2 x) = 0
⇔ 2sin x ( cos x − 3) + 2sin 2 x = 0

0. 25

⇔ 2sin x ( cos x − 3 + sin x ) = 0
sin x = 0
⇔
sin x + cos x = 3(Vn)

0. 25

⇔ x = kπ . Vậy nghiệm của PT là x = kπ , k ∈ Z

0.25

(1,0 điểm)
2

2

2

2

2

ln x
x2
ln x
3
ln x
I = ∫ xdx − 2 ∫ 2 dx =
−2 ∫ 2 dx = − 2∫ 2 dx
x

2 1 1 x
2
x
1
1
1
3

2

Tính J = ∫
1

ln x
dx
x2

Đặt u = ln x, dv =

0.25

0.25
1
1
1
dx . Khi đó du = dx, v = −
2
x
x
x

2

2

1
1
Do đó J = − ln x + ∫ 2 dx
x
x
1
1


2

1
1
1
1
J = − ln 2 −
= − ln 2 +
2
x1
2
2
Vậy I =
4.

0.25

1
+ ln 2
2

0.25

(1,0 điểm)
a,(0,5điểm)
5 x = 1
2x
x
52 x +1 − 6.5 x + 1 = 0 ⇔ 5.5 − 6.5 + 1 = 0 ⇔  x 1
5 =

5

x = 0
⇔
Vậy nghiệm của PT là x = 0 và x = −1
 x = −1

0.25

0.25

b,(0,5điểm)
3
n ( Ω ) = C11 = 165

0.25

2
1
1
2
Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C5 .C6 + C5 .C6 = 135

135 9
=
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là
165 11
5.

0.25

(1,0 điểm)
ur
u
Đường thẳng d có VTCP là ud = ( −2;1;3)
ur
u
Vì ( P ) ⊥ d nên ( P ) nhận ud = ( −2;1;3) làm VTPT

0.25

Vậy PT mặt phẳng ( P ) là : −2 ( x + 4 ) + 1( y − 1) + 3 ( z − 3) = 0
⇔ −2 x + y + 3 z − 18 = 0

0.25

Vì B ∈ d nên B ( −1 − 2t ;1 + t; −3 + 3t )

0.25

AB = 27 ⇔ AB 2 = 27 ⇔ ( 3 − 2t ) + t 2 + ( −6 + 3t ) = 27 ⇔ 7t 2 − 24t + 9 = 0
2

t = 3
⇔ 3
t =
 7
6.

(1,0 điểm)

2

 13 10 12 
Vậy B ( −7; 4;6 ) hoặc B  − ; ; − ÷
7
 7 7

0.25


Gọi K là trung điểm của AB ⇒ HK ⊥ AB (1)

Sj

Vì SH ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ AB (2)

0.25

Từ (1) và (2) suy ra ⇒ AB ⊥ SK
Do đó góc giữa ( SAB ) với đáy bằng góc giữa

M

·
SK và HK và bằng SKH = 60o

B

H

C

a 3
·
Ta có SH = HK tan SKH =
2

K
A

1
1 1
a3 3
Vậy VS . ABC = S ABC .SH = . AB. AC.SH =
3

3 2
12

0.25

Vì IH / / SB nên IH / / ( SAB ) . Do đó d ( I , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) )
Từ H kẻ HM ⊥ SK tại M ⇒ HM ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HM
Ta có

1
1
1
16
a 3
a 3
=
+
= 2 ⇒ HM =
. Vậy d ( I , ( SAB ) ) =
2
2
2
HM
HK
SH
3a
4
4

0.25

0,25

(1,0 điểm)
7.

·
Gọi AI là phân giác trong của BAC

A

M'

B

·
Ta có : ·
AID = ·
ABC + BAI

E
K
I

M
C

0,25

·

·
·
IAD = CAD + CAI
D

·
·
·
·
Mà BAI = CAI , ·
ABC = CAD nên ·AID = IAD
⇒ ∆DAI cân tại D ⇒ DE ⊥ AI

PT đường thẳng AI là : x + y − 5 = 0

0,25

Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI ⇒ PT đường thẳng MM’ : x − y + 5 = 0
Gọi K = AI ∩ MM ' ⇒ K(0;5) ⇒ M’(4;9)
u uu
uu
r
r
VTCP của đường thẳng AB là AM ' = ( 3;5 ) ⇒ VTPT của đường thẳng AB là n = ( 5; −3)
Vậy PT đường thẳng AB là: 5 ( x − 1) − 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 5 x − 3 y + 7 = 0
8.
(1,0 điểm).

 x + 3 xy + x − y 2 − y = 5 y + 4(1)



 4 y 2 − x − 2 + y − 1 = x − 1(2)


0,25

0,25


0.25

 xy + x − y 2 − y ≥ 0
 2
Đk:  4 y − x − 2 ≥ 0
 y −1 ≥ 0

Ta có (1) ⇔ x − y + 3

( x − y ) ( y + 1) − 4( y + 1) = 0

Đặt u = x − y , v = y + 1 ( u ≥ 0, v ≥ 0 )
u = v
Khi đó (1) trở thành : u 2 + 3uv − 4v 2 = 0 ⇔ 
u = −4v (vn)
Với u = v ta có x = 2 y + 1 , thay vào (2) ta được :
⇔ 4 y 2 − 2 y − 3 − ( 2 y − 1) +
2 ( y − 2)
4 y2 − 2 y − 3 + 2 y −1
⇔ y = 2 ( vì ⇔

+

(

4 y2 − 2 y − 3 + y −1 = 2 y

0.25

)

y −1 −1 = 0


y−2
2
= 0 ⇔ ( y − 2) 
+
 4 y2 − 2 y − 3 + 2 y −1
y −1 +1

2

4 y2 − 2 y − 3 + 2 y −1

+


1
÷= 0
y −1 +1 ÷



1
> 0∀y ≥ 1 )
y −1 +1

0.25

0.25

Với y = 2 thì x = 5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( 5; 2 )
9.

(1,0 điểm) .
Vì a + b + c = 3 ta có

bc
bc
bc
bc  1
1 
=
=
≤ 
+
÷
3a + bc
a (a + b + c) + bc
(a + b)(a + c )
2  a+b a+c 

1
1
2
+
≥
Vì theo BĐT Cơ-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
a+b a+c
( a + b)(a + c )

Tương tự

Suy ra P ≤

ca
ca  1
1 
≤ 
+
÷ và
2 b+a b+c 
3b + ca

ab
ab  1
1 
≤
+


÷
2  c+a c +b 
3c + ab

bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c 3
+
+
=
= ,
2(a + b) 2(c + a ) 2(b + c)
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =

0,25

0,25
3
khi a = b = c = 1.
2

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
(ĐỀ 13)

0,25

0,25

Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số: y = - x4 + 4x2 - 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình x4 - 4x2 + 3 + 2m = 0 (1)
có hai nghiệm phân biệt.
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Cho tan α = 3 . Tính A =

3sin α − 2 cos α
5sin 3 α + 4 cos3 α

b) Tìm mơdun của số phức z = 5 + 2i − ( 1 + 3i )

3

Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình : 16 x − 16.4 x + 15 = 0
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình :

2 x2 + 6 x − 8 + 2x2 + 4x − 6 − 3 x + 4 − 3 x + 3 −1 > 0

6

Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân J =

∫x

x 2 + 3dx

1

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = a, AB = a 3 , cạnh bên SA

·
vng góc với mặt đáy (ABCD), góc SBA = 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 1;1) , đường cao từ
đỉnh A có phương trình 2 x − y + 1 = 0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh
A,B,C biết diện tích tam giác ABC bằng 6.
Câu 8. ( 1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình:
x + y − 4 z + 3 = 0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với ( P ) và phương trình của đường thẳng
( d ) qua A và vng góc với ( P ).
Câu 9. (0,5 điểm) Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Cần chia tổ đó thành 3 nhóm, mổi nhóm 4 học
sinh để đi làm 3 cơng việc trực nhật khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên ta được mỗi nhóm có đúng 1
nữ.
Câu 10. (1,0 điểm) Giả sử x, y là các số thực lần lượt thỏa mãn các phương trình x 2 + 2ax + 9 = 0 với a ≥ 3 ;
y − 2by + 9 = 0 với b ≥ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

ĐÁP ÁN
(ĐỀ 13)

M = 3( x − y )

2

2

1 1
+ − ÷ .
x y

Câu
Câu 1 a) (1,0 điểm)
(2,0
điểm)
 Tập xác định: D = Ă

Ni dung

im
0,25

lim
Gii hn ti vụ cc: xđ- Ơ y = - Ơ ;

lim y = - Ơ

xđ+Ơ

o hm: y¢= - 4x3 + 8x

0,25

x
é =0
y¢= 0 Û - 4x3 + 8x = 0 Û 4x(- x2 + 2) = 0 Û ê
ê =± 2
x
ê
ë

 Bảng biến thiên

0,25

x –

+

y¢

0

2
0

–

0

+

0

1
y

–

+

2
–

1
–3

–

 Giao điểm với trục hoành:
é2 =1
x
y = 0 Û - x4 + 4x2 - 3 = 0 Û ê 2
Û
cho
ê
x
ê =3
ë
 Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3
y
 Đồ thị hàm số:
1
-1

- 3
- 2

O

3

1

-3

é = ±1
x
ê
ê
x
ê =± 3
ë

2

x

y= 2m

2m

b) ) (1,0 điểm)
Biến đổi: x4 - 4x2 + 3 + 2m = 0 Û - x4 + 4x2 - 3 = 2m (*)

0,25

Số nghiệm pt (*) bằng số giao điểm của (C ) : y = - x4 + 4x2 - 3 và
d: y = 2m.

0,25

Dựa vào đồ thị tìm được : 2m = 1 hoặc 2m < –3

0,25

Giải và kết luận: m =

Câu2
(1,0

a) (0,5 điểm)

1
3
hoặc m < − .
2
2

0,25


điểm)
A=

3sin α − 2 cos α
3 tan α − 2
=
3
3
2

5sin α + 4 cos α cos α 5 tan 3 α + 4

(

=

0,25

)

3 tan α − 2
70
1 + tan 2 α =
3
5 tan α + 4
139

(

0,25

)

b) (0,5 điểm)
.
z = 5+2i-(1+3.3i+3(3i)2 + (3i)3 )
= 31+20i

0,25

0,25

Vậy z = 312 + 202 = 1361
Câu 3 + Đặt t = 4x; ĐK: t > 0.
(0,5 + Đưa về PT: t2 − 16t + 15 = 0. Giải được t = 1; t =15 (thỏa đk t > 0).
điểm)
+ Giải mỗi pt, tìm được x = 0, x = log415.
+ Kết luận pt có 2 nghiệm: x = 1 và x = log415.
* Ghi chú: - HS có thể khơng cần đặt ẩn phụ, nếu giải đúng vẫn đạt điểm tối đa.

0,25

Câu 4 Đk: x ≥ 1
(1
2 ( x − 1) ( x + 4 ) + 2 ( x − 1) ( x + 3) − 3 x + 4 − 3 x + 3 − 1 > 0
điểm)
⇔ 2 ( x − 1) x + 4 + 2 ( x − 1) x + 3 − 3 x + 4 − 3 x + 3 − 1 > 0

0,25

0,25

0,5
⇔ 2 ( x − 1)
⇔

(

(

) (

x+4 + x+3 −3

2 ( x − 1) − 3

)(

⇔ 2 ( x − 1) − 3 >

)

x + 4 + x + 3 >1
1
x+4 + x+3

⇔ 2 ( x − 1) − 3 > x + 4 − x + 3

)

x + 4 + x + 3 >1




⇔
 2 ( x − 1)




⇔
3 2 ( x − 1)


(

2 ( x − 1) − 3 > 0

) (
2

−3 >

x+4 − x+3

x>

2

11
2

<

)

( x + 4 ) ( x + 3)

11


x>

⇔
2
 x 2 − 11x + 30 > 0

11

x > 2

⇔
x<5

x > 6


⇔ x>6
KL: Tập nghiệm bpt là: ( 6; +∞ )
Câu 5
(1
điểm)

0,5

6

J=

2
∫ x x + 3dx

1

Đặt u= x 2 + 3 suy ra x dx = u du
x =1⇒ u = 2
x= 6 ⇒u =3
3

u3
Ta có J= ∫ u du =
3
2

3

=

2

2

19
3

Câu 6 Thể tích khối chóp S.ABCD
(1
+Chứng tỏ ∆SAB vng và tính được
điểm)
SA= AB tan 300 = a
+ Tính thể tích
1

3
VS . ABCD = SA. AB. AD = a 3
3
3
(hình khơng có điểm)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lập luận: tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của SC, bán kính

SC
.
2
Tính SC 2 = SA2 + AC 2 = SA2 + AB 2 + BC 2 =
SC a 5
.
a 2 + 3a 2 + a 2 = 5a 2 ⇒ SC = a 5 ⇒ r =
=
2
2
R=

0,5

0,25

0,25
0,25


a 5

2
Diện tích mặt cầu : S= 4π r = 4π 
 2 ÷ = 5π a
÷



0,25

Gọi H là chân đường cao vẽ từ A
1

x = − 5
x + 2 y −1 = 0

 1 3
⇔
⇒ H − ; ÷

 5 5
2 x − y + 1 = 0
 y=3

5

Gọi d là đường thẳng qua G và song song BC,
d : x + 2 y + m = 0, m ≠ −1
G ∈ d ⇔ m = −3
⇒ d : x + 2y −3 = 0

0,5

2

2

Câu 7
(1
điểm)

1

x = 5
x + 2 y − 3 = 0

I = d ∩ AH , 
⇔
 2x − y + 1 = 0
y = 7

5

1 7
⇒I ; ÷
5 5
u u uu  x = 1
ur
u
r
HA = 3HI ⇔ 

⇒ A ( 1;3)
y = 3
S ABC =

1
2S
60
BC. AH ⇒ BC =
=
=2 5
2
AH 6 5

Gọi M là trung điểm BC, M(x;y)
uu
ur
uu
uu  x = 1
r
MA = 3MG ⇔ 
⇒ M ( 1;0 )
y = 0
B ∈ BC ⇔ B ( 1 − 2b; b )
MB = 5 ⇔ 5b 2 = 5 ⇔ b = ±1
b = 1: B ( −1;1) ⇒ C ( 3; −1)

b = −1: B ( 3; −1) ⇒ C ( −1;1)

kl : A ( 1;3) , B ( −1;1) , C ( 3; −1) hay A ( 1;3 ) , B ( 3; −1) , C ( −1;1)

0.25

0,25


Câu 8
1 + 2 − 12 + 3
6
=
= 2
Bán kính mặt cầu R=d(A;(P))=
(1
1 + 1 + 16
18
điểm)

0,25

Phương trình mặt cầu (S): (x-1)2 + (y-2)2 + (z-3)2 =2
0,25
ur
u
Vectơ chỉ phương của d là ud =(1;1;-4)

0,25
0,25

 x = 1+ t

Phương trình tham số của d là:  y = 2 + t

 z = 3 − 4t

Câu 9 Tính số cách chọn 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người:
4
(0,5 B1) 12 người chọn 4: C12
điểm)
4
B2) 8 người còn lại chọn 4: C8
B3) 4 người còn lại chọn 4: 1
4
4
4
4
Số cách chọn là: C12C8 ⇒ n ( Ω ) = C12C8

0,25

Gọi A là biến cố “ Chọn 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người trong đó có đúng 1 nữ”. Tính n(A):
3
3
B1) Chọn 1 trong 3 nữ: 3 cách, rồi chọn 3 trong 9 nam: C9 ⇒ 3.C9 cách
B2) còn lại 8 người (6 nam và 2 nữ): Chọn 1 trong 2 nữ: 2 cách, rồi chọn 3 trong 6 nam:
3
3
C6 ⇒ 2.C6 cách
B3) còn lại 4 người (3 nam và 1 nữ): có 1 cách
3
3
3
3

Số cách chọn là: 3C9 2C6 ⇒ n ( A ) = 3C9 2C6

0,25

3 3
6C9 C6 16
⇒ P ( A) = 4 4 =
C12C8
55

Câu
10
(1
điểm)

Xét pt: x 2 + 2ax + 9 = 0 (1) có ∆ / = a 2 − 9 ≥ 0 với a ≥ 3
2
Nên pt (1) có nghiệm và ( 1) ⇔ x + 9 = −2ax ⇒ x < 0

0,25

Xét pt: y 2 + 2by + 9 = 0 (2) có ∆ / = b 2 − 9 ≥ 0 với b ≥ 3
2
Nên pt (2) có nghiệm và ( 2 ) ⇔ y + 9 = 2by ⇒ y > 0
Đặt x = -t , t > 0
M = 3 ( −t − y )

2

2

2

 1 1
1 1 
2
+  − − ÷ = 3( t + y ) +  + ÷
 t y
t y

0,5
1 1
4
1 1
4
t > 0, y > 0 ⇒ + ≥
; + =
⇔t= y
t y t+y t y t+y
⇒ M ≥ 3( t + y ) +
2

16

( t + y)

2

≥ 2 3( t + y)

2

16

( t + y)

2

=8 3


0,25


1

t=y

t=y
 y= 43

16 ⇔  4 1 ⇔ 
2
min M = 8 3 ⇔ 


3 t + y) =
2
 (
y = 3

x = − 1
( t + y)
4



3



Vì x, y thỏa (1) và (2) nên:
 1 2
 1 
 − 4 ÷ + 2a  − 4 ÷+ 9 = 0
3
3



1+ 9 3
  1 2
 1 
⇔a=b=
 
÷ − 2b  4 ÷+ 9 = 0
24 3
  43
 3

a≥3



b≥3

Vậy min M = 8 3 khi x = −

1
1
1+ 9 3
, y = 4 ,a = b =
3
3
24 3

4


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
(ĐỀ 14)
Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số: y = 2x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 - 4)x - m + 1
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 2.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C ) với trục tung.
Câu 2 (1,0 điểm):
π
a/ Giải phương trình lượng giác: 2 cos(2x + ) + 4s inx.sin3x - 1 = 0
3

b/ Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 2z 2 - 2z + 5 = 0
Câu 3 (0,5điểm): Giải phương trình: 2log 2 (x - 2) + log 0,5 (2x - 1) = 0

Câu 4 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình

 y
x
2 x +1
+ 2log 2
2.4 + 1 = 2
y , (x,y ∈ R).

 x3 + x = y + 1 xy + 1 + x 2
(
)(
)


1

Câu 5 (1,0 điểm): Tính tích phân I =

x

ị (1 + x)e dx
0

Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0. Tính
thể tích của hình chóp.
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Biết AM có
phương trình là: 3x+y-7 = 0, đỉnh B(4;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vng, biết đỉnh A có tung độ dương,
điểm M có tung độ âm
;

Câu 8 (1,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm A(- 3;2 - 3) và hai đường thẳng
d1 :

x -1
y+2
z-3
x -3
y -1 z - 5
=
=
=
=
và d 2 :
1
1
-1
1
2
3

a/ Chứng minh rằng

d1

và

d2

cắt nhau.

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

d1

và

d2 .

Tính khoảng cách từ A đến mp(P).
n

 1

Câu 9 (0,5 điểm): Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển của: x 3  2 + x5 ÷ , biết tổng các hệ số
x

trong khai triển trên bằng 4096 ( trong đó n là số nguyên dương và x > 0 ).
Câu 10 (1,0 điểm): Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

a 2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
1
1
1
.
+
+
≥
+
+
4b 2

4c 2
4a 2
a+b b+c c+a

………………….HẾT……………...


ĐÁP ÁN (ĐỀ 14)
Câu

Nội dung
3

Điểm

2

Với m = 2 ta có hàm số: y = 2x + 3x - 1
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y¢= 6x2 + 6x
 Cho y¢= 0 Û 6x2 + 6x = 0 Û x = 0 hoac x = - 1
;
lim y = +Ơ
Gii hn: lim y = - Ơ
xđ- Ơ

xđ+Ơ

Bng bin thiờn
x

yÂ



0
0

+Ơ
+

+Ơ

1
),(0; +Ơ ) , NB trờn khong (- 1
;0)
 Hàm số ĐB trên các khoảng (- ¥ ;- 1
Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tại xCÑ = - 1, đạt cực tiểu yCT = –1 tại xCT = 0 .
ỉ 1 1ư
1
1
¢
 y¢ = 12x + 6 = 0 Û x = - Þ y = - . im un: I ỗ ;- ữ
ỗ
ữ
ỗ 2 2ữ
ố
ứ

2
2
Giao điểm với trục hoành:
y

1a

+

–1
0
0

cho y = 0 Û 2x3 + 3x2 - 1 = 0 Û x = - 1 hoac x =
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 1
3
- 2
 Bảng giá trị: x
0
- 1 - 1
2
y - 1
0
 Đồ thị hàm số: như hình vẽ dưới đây

1
2

- 1

1
2

1.0đ

1
2

0

)
Giao điểm của (C ) với trục tung: A(0;- 1
 x0 = 0 ; y0 = - 1
1b

2a

(0)
 f¢ = 0
(
 Vậy, pttt tại A(0;–1) là: y + 1 = 0 x - 0) Û y = - 1
π
Giải phương trình : 2 cos(2x + ) + 4s inxsin3x − 1 = 0 (1)
3
π
π
⇔ 2(cos2xcos − sin 2x sin ) + 4sin x sin 3x − 1 = 0
3
3
⇔ cos2x − 3 s in2x+4sin x sin 3x − 1 = 0

⇔ 1 − 2s in 2 x-2 3 sin x cos x + 4sin x sin 3x − 1 = 0
⇔ s inx(2s in3x-sin x- 3 cos x) = 0

1.0đ

0.5 đ


s inx = 0
⇔
s inx + 3 cos x = 2sin 3x
*s inx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ z)
1
3
*s inx + 3 cos x = 2sin 3x ⇔ s inx +
cos x = sin 3x
2
2
π
π


3x = x + 3 + k2π
 x = 6 + kπ
π
↔ sin(x + ) = sin 3x ⇔ 
↔
(k ∈ z)
3
3x = π − x − π + k2π

x = π + k π


3
6
2


π
π
(k ∈ z)
vậy phương trình đã cho có nghiệm x = kπ ; x = + k
6
2
2z2 - 2z + 5 = 0 (*)
 Ta có, D = (- 2)2 - 4.2.5 = - 36 = (6i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:
2 + 6i
1 3
2 - 6i
1 3
z1 =
= + i ; z2 =
= - i
4
2 2
4
2 2

2b

3

4

2log2(x - 2) + log0,5(2x - 1 = 0 (*)
)
ì
ïx>2
ì x - 2> 0
ï
ï
ï
ï
Û í
Û x>2
 Điều kiện: í
ï 2x - 1 > 0 ï x > 1
ï
ï
ỵ
ï
2
ỵ
2
)
)
 Khi đó, (*) Û log2(x - 2) - log2(2x - 1 = 0 Û log2(x - 2)2 = log2(2x - 1
é = 1 (loai)
x

)
Û (x - 2)2 = (2x - 1 Û x2 - 6x + 5 = 0 Û ê
ê = 5 (nhan)
x
ê
ë

2 x ≥ 0
x > 0

⇔
Điều kiện:  x
y > 0
y >0


( 2 ) ⇔ ( x 2 + yx + 1) ( x − y − 1) = 0 ⇔ x − y − 1 = 0 ( Vì
⇔ y = x −1

2.4 y + 1 = 2

2 x +1

⇔ 22 y + log 2 2 y = 2
Xét hàm số:

x 2 + yx + 1 > 0 )

(a)

x
y

+ 2log 2

( *)
trên ( 0; +∞ )

+ log 2 2 x

2x

f ( t ) = 2t + log 2 t

1
> 0 ∀t ∈ [ 0; e] ,vậy f ( t ) là hàm số đồng biến.
t ln 2
2x ⇔ 2 y = 2x
Biểu thức ( *) ⇔ f ( 2 y ) = f
(b)

t
Ta có: f ' ( t ) = 2 ln 2 +

(

Từ (a) và (b) ta có:

0.5 đ

1.0 đ

Ta có:

( 1) ⇔

0.5 đ

)

x ≥ 1

x ≥ 1
x ≥ 1
 x=2
⇔ 
2 ( x − 1) = 2 x ⇔  2
⇔ 2

4 x − 8 x + 4 = 2 x
2 x − 5 x + 2 = 0
 x = 1

2



⇔x=2
Với x = 2 ⇒ y = 1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm ( 2;1) .
1

I = ị (1 + x)exdx
0

5

ì u = 1+ x
ï
ï
Þ
 Đặt í
ï dv = exdx
ï
ï
ỵ
x

I = (1 + x)e

1
0

ì du = dx
ï
ï
. Thay vào cơng thức tích phân từng phần ta được:
í
ï v = ex
ï
ï

ỵ
1

x

1

ị0 e dx = (1+ 1)e

-

0

x

- (1+ 0)e - e

1
0

1

1.0 đ

0

= 2 - 1- (e - e ) = e
e

1

x
 Vậy, I = ò(1+ x)e dx = e
0

6

 Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO ^ (ABCD ) do đó SO là đường cao
của hình chóp và hình chiếu của SB lên mặt đáy là BO,
·
do đó SBO = 600 (là góc giữa SB và mặt đáy)
·
·
·
SO
BD
 Ta có, tan SBO =
Þ SO = BO.tan SBO =
.tan SBO
BO
2
= a 2.tan600 = a 6
 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là
1
1
1
4a3 6
V = B .h = AB .BC .SO = 2 .2 . 6 =
a aa
3
3

3
3

7

x

A

I
D

B

H
M
C

x
2

Gọi H là hinh chiếu vng góc của B trên AM ⇒ BH = d ( B; AM ) =

6
10

Đặt cạnh hình vng là x>0
1
1
1

10 1 4
=
+
⇔
= +
⇔ x=3 2
Xét tam giác ABM có
2
2
2
BH
BA BM
36 x 2 x 2
A thuộc AM nên A ( t;7 − 3t )

1.0 đ


( 4−t)

AB = 3 2 ⇔
t = 1
⇔  17 ⇒
t =
5


2

+ ( 3t − 6 ) = 3 2 ⇔ 10t 2 − 44t + 34 = 0

2

 17 16 
A  ; − ÷− loai, A ( 1; 4 ) − t / m
5
 5

Làm tương tự cho điểm B, với BM =
M là trung điểm của BC ⇒ C ( 1; −2 )

x 3 2
5 1
=
⇒ M  ;− ÷
2
2
2 2

Gọi I là tâm của hình vng ⇒ I ( 1;1)
Từ đó ⇒ D ( −2;1)

r
; ;3)
;1 )
a/  d1 đi qua điểm M 1(1 - 2 , có vtcp u1 = (1 ;- 1
r
;5)
;2
 d2 đi qua điểm M 2(3;1 , có vtcp u2 = (1 ;3)
ổ - 1 - 1 1 1 1ử

ữ
r r
ỗ1
ữ
=
)
Ta cú [u1, u2 ] = ỗ
ỗ2 3 ; 3 1 ; 1 2ữ (5;- 4;1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
uuu
u uu
r
v M 1M 2 = (2;3;2)
u uu
r
r r uuu
 Suy ra, [u1, u2 ].M 1M 2 = 5.2 - 4.3 + 1.2 = 0 , do đó d1 và d2 cắt nhau.
8

b/ Mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 .

1.0 đ

; ;3)
 Điểm trên (P): M 1(1 - 2

r
r r
)
 vtpt của (P): n = [u1, u2 ] = (5;- 4;1
)
(
 Vậy, PTTQ của mp(P) là: 5(x - 1 - 4(y + 2) + 1 z - 3) = 0
Û 5x - 4y + z - 16 = 0
 Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là:
d(A,(P )) =

5.(- 3) - 4.2 + (- 3) - 16
52 + (- 4)2 + 12

=

42
42

= 42

Xét khai triển :
n

n

5

 1
5 

3 1
x  3 + x ÷ = x  3 + x2 ÷
x

x

3

k
n −1
n −k
5 n
  1 n
 5
 5
0
1 1 
k  1 
n 2 
2
2
= x Cn  3 ÷ + Cn  3 ÷  x ÷+ ... + Cn  3 ÷  x ÷ + ... + Cn  x ÷ 
x   
x   
 x 
  


x = 1 vào khai triển ta được:
Thay

1
2n = Cn0 + Cn + ... + Cnk + ... + Cnn 


3

9

Theo giả thiết ta có:
0
1
k
Cn + Cn + ... + Cn + ... + Cnn = 4096
10

0.5 đ

⇔ 2n = 212 ⇔ n = 12

12

Với n = 12 ta có khai triển:

 1

x3  2 + x5 ÷
x


k + 1( 0 ≤ k ≤ 12, k ∈ Z )

Gọi số hạng thứ

12 − k

 1
Tk +1 = x C  2 ÷
x 
Ta có :
3

k
12

( x)
5

k

=C x
k
12

6
là số hạng chứa x .
2 k − 21+

5k
2

0,5


6

Vì số hạng có chứa x nên :

2k − 21 +

2 ( 21 + 6 )
5k
=6⇔ k =
=6
2
9
.

6
Với k = 6 ta có hệ số cần tìm là : C12 = 924 .
Ta có:

 a2
1   b2
1   c2
1 
VT =  2 + 2 ÷+  2 + 2 ÷+  2 + 2 ÷
4b   4c
4c   4 a
4a 
 4b

a
b
c
1 a b
c 
≥ 2+ 2+ 2 =  2+ 2+ 2÷
2b 2c
2a
2b c
a 
a 1 2
b 1 2
c 1 2
+ ≥ ;
+ ≥ ;
+ ≥
Mặt khác:
2
2
b
a b
c b c
a2 c a
a b
c 1 1 1
Cộng theo vế các BĐT trên ta được: 2 + 2 + 2 ≥ + +
b c
a
a b c
Suy ra:

1  1 1 1  1  1 1   1 1   1 1  
VT ≥  + + ÷ =  + ÷+  + ÷+  + ÷
2  a b c  4  a b   b c   c a  
1 4
4
4 
1
1
1
≥ 
+
+
 = a + b + b + c + c + a = VP
4 a + b b + c c + a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
(ĐỀ 15)

1.0 đ


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm có tung độ y = 1 .
Câu 2: (1,0 điểm)
a) Giải phương trình:

1 − cos x(2 cos x + 1) − 2 s inx

=1
1 − cos x

b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + 2i ) z + (2 − 3i) z = −2 − 2i . Tính mơ đun của z.
x
Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình: x + log 2 (9 − 2 ) = 3 .

Câu 4: (1,0 điểm) Giải phương trình: (4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2
ln 2

Câu 5: (1,0 điểm) Tính tích phân: I =

∫
0

e2 x
ex +1

dx

Câu 6: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B, AB = BC = a , CD = 2a
, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D
đến mặt phẳng (SBC).
Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh B(2; –1), đường cao qua A có
phương trình d1: 3x – 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A.
Câu 8: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0; −3), B(2;0; −1) và mặt phẳng
( P ) : 3 x − y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng AB, bán kính bằng 2 11 và
tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu 9: (0,5 điểm) Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó chữ số 3
có mặt đúng ba lần, các chữ số cịn lại có mặt khơng q một lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên

một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
Câu 10: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a ≤ c và ab + bc = 2c 2 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P =

a
b
c
+
+
.
a−b b−c c −a

---------HẾT--------

ĐÁP ÁN
(ĐỀ 15)


CÂU
Câu 1
(2,0 điểm)

ĐÁP ÁN

Điểm

a) (1,0 điểm)
+ Tập xác định: D = ¡
+ Giới hạn: xlim y = −∞; xlim y = +∞ y ' = 3 x 2 + 6 x
→−∞

→+∞

0,25

+ Sự biến thiên:
x = 0
Chiều biến thiên: y ' = 0 ⇔ 
 x = −2

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0) và đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;-2),
(0; +∞ )

0,25

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x= -2; yCĐ= 5, đạt cực tiểu tại x=0; yCT=1
Bảng biến thiên:
-∞

x

-2

y’

+ 0

y

+∞

0
-

0

+

0,25
+∞

5
-∞ Z

] 1 Z

+ Đồ thị (C)
y
7
6
5
4
f(x)=x^3+3x^2+1

3

x(t)=-2, y(t)=t
f(x)=5

2

x(t)=1, y(t)=t
x(t)=-3, y(t)=t

1

f(x)=1

x
-5

-4

-3

-2

-1

1

2

0,25

3

-1

b) (1,0 điểm)
Hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình x 3 + 3 x 2 + 1 = 1 . Suy ra

x0 = 0; x0 = −3
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là: y '(0) = 0; y '(−3) = 9

0,25

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3;1) là: y=9x+28

(1,0 điểm)

0,25

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (0;1) là: y=1

CÂU 2

0,25

0,25

a) (0,5 điểm)
b) Điều kiện: cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ¢