Cẩm nang phương pháp giải bài tập cho chương dao động cơ

Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
CHUN ĐỀ I : DAO ĐỘNG CƠ
A. BỔ TÚC MỘT SỐ KIẾN THỨC VẬT LÍ & TỐN HỌC LIÊN QUAN
I. Kiến thức vật lí :
1. Các lực cơ học :
- Lực đàn hồi : + Cơng thức:
lkF
đh
∆−=
.

; + giá trị đại số là
lkllkF
đh
∆−=−−=
.).(
0
.
Lực đàn hồi ln ln ngược chiều biến dạng và có độ lớn là
lkllkF
đh
∆=−=
.
0
.
- Trọng lực : + cơng thức:
gmP


.
=

; +
P

ln hướng về tâm trái đất và có giá trị đại số là
gmP .
=
- Lực hấp dẫn : + Cơng thức :
2
21
.
.
r
mm
GF
hd
=
.
+ Trọng lực là lực hấp dẫn của trái đất (M) tác dụng vào một vật (m) cách tâm trái đất một
khoảng r = R + h , do đó :
2
)(


hR
mM
Ggm
+
=
→ gia tốc trọng trường ở độ cao h là :
2

)(
.
hR
M
Gg
+
=

Với những vị trí gần mặt đất có h<<R thì gia tốc trong trường ở đó là:
2
.
R
M
Gg
=
.
- Lực qn tính : Cơng thức :
amF
qt


.
−=

+ Lực qn tính sinh ra do tính chất phi qn tính của hệ quy chiếu , ln ln ngược chiều với
véctơ gia tốc
a

và có độ lớn là
amF

qt
=
; Lực qn tính khơng có phản lực .
2. Lực điện trường : Cơng thức :
EqF

.
=
.
+ Chiều của lực điện trường phụ thuộc vào dấu của điện tích mà nó tác dụng . q > 0 thì
FF

↑↑
;
q< 0 thì
FF

↓↑
. Lực điện trường có độ lớn là
EqF
=
.
3. Định luật 2 Newton :
amF


.=
- Nếu vật chịu nhiều lực tác dụng thì hợp lực

321

+++= FFFF

- Trường hợp có hai lực tác dụng :
21
FFF

+=
, độ lớn của hợp
lực là :
);cos(2
2121
2
2
2
1
FFFFFFF

++=
.
4. Động năng – thế năng – cơ năng :
- Động năng :
2
.
2
vm
W
đ
=
. - Thế năng trọng trường :
zgmW

t

=
. (hoặc
hgmW
t
=
)
- Thế năng đàn hồi của lòxo :
2
2
1
kxW
t
=
. Với x là độ biến dạng của lò xo kể từ VTCB .
5. Sự nở dài của vật rắn :
[ ]
)(1
00
ttll
−+=
λ
. Với l
0
là chiều dài dây treo ở nhiệt độ ban đầu t
0

0
C và

λ là hệ số nở dài .
II. Kiến thức tốn học :
1. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm : - Vận tốc :
'lim
0
x
t
x
v
t
=
∆
∆
=
→∆
. - Gia tốc :
'''lim
0
xv
t
v
a
t
==
∆
∆
=
→∆
.
2. Một số cơng thức đạo hàm thường dùng :

Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
y = C = const y’ = 0 y = cosx y’ = sinx
y = x
n
y’ = n.x
(n-1)
y = sin(u) y’ = u’cos(u)
y = a.x + b y’ = a y = cos(u) y’ = - u’sin(u)
y = sinx y’ = - cosx
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 1

1
F


F


2
F

Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
3. Công th ức tính gần đúng :
- (1 + ε)
n
.(1 + ε’)
m
≈ 1 + nε +mε’ với ε << 1 và m , n khơng lớn .
- Với α nhỏ thì sinα ≈ tanα ≈ α (rad).
B. CÁC VẤN ĐỀ TRONG DAO ĐỘNG CƠ

VẤN ĐỀ I CHU KÌ – TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA.
I. CHU KỲ - TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA.
1. Cơng thức chung :
N
t
f
T ===
ω
π
21
, Với N là số dao động tồn phần (hay số chu kì) mà hệ thực
hiện được trong thời gian t .
2. Ba hệ dao động điều hòa thường gặp là con lắc lò xo , con lắc đơn và con lắc vật lí :
- Con lắc lò xo : ω =
K
m
T
m
K
π
2=⇒
và
m
k
T
f
π
2
11
==

.
- Con lắc đơn dao động nhỏ : ω =
g
l
T
l
g
.2
π
=⇒
và
l
g
T
f
π
2
11
==

- Con lắc vật lí (chương trình nâng cao):
mgd
I
T
I
mgd
πω
2=⇒=
và
I

mgd
T
f .
2
11
π
==

II. CON LẮC LỊ XO :
1. Tr ường hợp con lắc lò xo dao động thẳng đứng : Gọi
l
∆
là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí
cân bằng , ta có :
đh
FP =

g
l
k
m
lkmg
∆
=⇒∆= .
, từ đó ta suy ra : T = 2π.
k
m
= 2π.
g
l∆

2. Trường hợp con lắc lò xo dao động trên phương nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang :
Khi cân bằng có
đht
FP =
 mg.sinα = k.∆l =>
α
sin.g
l
k
m
∆
=
=>
α
π
sin
2
g
l
T
∆
=
(
t
P

là thành phần trọng lực // với mặt phẳng nghiêng )
3. Khảo sát sự thay đổi chu kì dao động của con lắc lò xo : Chu kì dao động riêng của con con lắc
lòxo chỉ phụ thuộc và cấu tạo của con lắc (tức là chỉ phụ thuộc vào m và k ), khơng phụ thuộc vào tác

động từ bên ngồi . Dao động của con lắc lò xo là dao động tự do .
a. Đại lượng đặc trưng (m , k) thay đổi :
- Chu kì ban đầu :
k
m
T
π
2=
- Chu kì sau khi m thay đổi thành m’ , k thay đổi thành k’ :
'
'
2'
k
m
T
π
=
Lập tỉ số giữa các chu kì T và T’ ta được biểu thức :
m
k
k
m
T
T
.
'
''
=

↔

m
k
k
m
TT .
'
'
.'=

• Trường hợp chỉ có khối lượng m thay đổi một lượng ∆m thì :
m
mm
m
m
T
T ∆±
==
''
;
Nhận xé t : Khối lượng m tăng n lần thì chu kì tăng
n
lần => tần số f giảm
n
lần và ngược lại .
• Trường hợp chỉ có độ cứng k thay đổi thành k’ thì :
'
'
k
k

T
T
=
.
Nhận xét : Độ cứng k tăng n lần thì chu kì giảm
n
lần => tần số f tăng
n
lần và ngược lại .
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 2
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
• Trường hợp chu kì khơng đổi khi m và k thay đổi (tức là có T’ = T) thì :
1.
'
'
=
m
k
k
m
a. Cắt hoặc ghép lò xo : Khi cắt hoặc ghép các lò xo thì độ cứng k thay đổi do đó chu kì con lắc lò xo
sẽ thay đổi . Tủy vào từng trường hợp cụ thể của bài tốn, các em hãy vận dụng các kiến thức sau để giải
quyết bài tốn theo u cầu của đề bài .
 Tr ường hợp hệ h ai lò xo ghép nối tiếp (H.1) : Hệ hai lò xo này tương đương một lò xo duy
nhất có độ cứng : K =
21
21
.
KK
KK

+
.
Nếu nhiều lò xo ghép nối tiếp thì sử dụng công thức tổng quát:
++=
21
111
KKK
… để tìm K
Chú ý : Giá trị của K ln thỏa điều kiện : K < K
1
, K
2
,
K
1
m
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ K
1
K
2
m
K
2
(H.2) (H.1)
 Trường hợp hai lò xo ghép song song (H.2) : Hệ hai lò xo này tương đương một lò xo duy nhất
có độ cứng là : K = K
1
+ K
2

.
Nếu có nhiều lò xo ghép song song thì sử dụng công thức tổng quátø : K = K
1
+ K
2
+ . . . để tìm K .
Chú ý : Giá trị của K ln thỏa điều kiện : K > K
1
, K
2
,. . . .
 Tr ường hợp lò xo có độ dài l và độ cứng K, được cắt thành 2 lò xo có độ dài l
1
và l
2
: Sau khi cắt
ta được hai lò xo có độ cứng K
1
và K
2
.
Độ cứng của hai lò xo này tỉ lệ nghịch với độ dài của chúng :
2211
KlKlKl
==
 Tr ường hợp lò xo có độ cứng K được cắt thành n phần dài bằng nhau : Các lò xo thành phần
có độ cứng bằng nhau là : K
1
= K
2

= K
3
= . . . = K
n
= n.K hay K
i
= n.K .
- Ví dụ : lò xo có độ cứng K = 100N/m , cắt thành 2 lò xo có độ dài bằng nhau thì mỗi lò xo có độ
cứng là K’ = 2.K = 200N/m.
III. CON LẮC ĐƠN : Nói chung trong điều kiện bỏ qua mọi lực cản và ma sát của mơi trường thì dao
động của con lắc lò xo là dao động tuần hồn .
1. Chu kì dao động riêng : Trong trường hợp con lắc đơn dao động bé (biên độ góc
0
α
< 10
0
) thì dao
động của con lắc đơn là dao động điều hòa với chu kì riêng là : T = 2π
g
l

Chu kì dao động riêng của con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào g và l . Chu kì này khơng phụ thuộc vào
khối lượng m của vật . Xét con lắc dao động ở một vị trí xác định ( g = hằng số ) thì dao động của con
lắc đơn là dao động tự do .
2. Khảo sát sự thay đổi chu kì (dao động bé) của con lắc đơn :
a. Trường hợp g và l thay đổi thành g’ và l’ : Lúc này chu kì con lắc sẽ là :
'
'
2'
g

l
T
π
=
.
Lập tỉ số ta được biểu thức :
l
g
g
l
T
T
.
'
''
=

↔

'
.
'
'
.'
g
g
g
l
TT =
. Tỉ số này giúp cho ta biết được mối

tương quan giữa T và T’ .
b. Trường hợp chu kì thay đổi theo độ cao ( coi l = const) :
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 3
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
• Do g thay đổi theo độ cao h so với mặt đất theo công thức :
2
)(
.
hR
M
Gg
+
=
=> g giảm khi con
lắc lên cao => Chu kì dao động T của con lắc tăng lên một lượng
∆
T khi đưa lên độ cao h
• Cách xác định độ tăng của chu kì khi đưa con lắc lên độ cao h : Khi ở mặt đất (hoặc h << R)
thì coi h ≈ 0 nên g =
2
0
.
R
M
Gg =
, lập tỉ số giữa T và T’ =>
R
h
R
hR

T
T
+=
+
= 1
'
=>
R
h
TT .=∆
(Với
bán kính trái đất: R ≈ 6400 km và T là chu kì dao động của con lắc ở mặt đất, T’ là chu kì dao động
ở độ cao h )
c. Trường hợpï chu kì thay đổi theo nhiệt độ (coi g = const) :
• Do l thay đổi theo nhiệt độ theo công thức :
[ ]
)(1
00
ttll −+=
λ
=> Chu kì dao động T tăng khi
nhiệt độ tăng , Chu kì dao động T giảm khi nhiệt độ giảm .
• Cách xác định độ tăng (giảm) của chu kì khi nhiệt độ thay đổi từ t
1
0
c đến t
2
0
c : khi nhiệt độ thay
đổi từ t

1
0
c đến t
2
0
c chu kì con lắc thay đổi từ T
1
đến T
2
=>
tt
l
l
T
T
∆+≈∆+== .
2
1
1.1
1
2
1
2
λλ
=>
tTTTT ∆=−=∆
2
1
112
λ

. Với
∆
t = t
2

−
t
1
. Nếu ∆T > 0 thì chu kì tăng , Nếu ∆T < 0 thì chu kì giảm .
d. Trường hợp chu kì thay đổi khi có tác dụng của một lực phụ
f

không đổi:
Trong quá trình dao động , ngoài sự tác dụng của trọng lực
P

và lực căng dây
Q

như trong các bài
tốn thường gặp, còn có những trường hợp con lắc còn chịu tác dụng của một lực khơng đổi
f

như lực
qn tính , lực điện trường . . . . khi đó ta khảo sát dao động của con lắc trong trường trọng lực biểu
kiến
'P

, với :
fgmgmfPP





+=⇔+= .' '
→ Gia tốc trọng trường biểu kiến là :
m
f
gg


+=
'
.
Chu kì dao động bé của con lắc lúc này sẽ là :
'
.2'
g
l
T
π
=
Khi làm bài các em cần phải căn cứ
vào hướng của
g

và
f

để xác định trị số của g’ theo cơng thức :

m
f
gg


+=
'
.
Loại bài tập này thường cho ở dạng con lắc đơn dao động trong thang máy, dao động trong toa xe
chuyển động có gia tốc
a

, con lắc có quả cầu tích điện dao động trong điện trường đều có cường độ
điện trường
E

có phương thẳng đứng hoặc nằm ngang .
e. Sự trùng phùng trong dao động của hai con lắc đơn có chu kì khác nhau :
Quan sát dao động của con lắc A (có chu kì T
A
) và con lắc B ( có chu kì T
B
≠ T
A
). Giả sử vào thời
điểm t
1
hai con lắc cùng đi qua vị trí cân bằng theo cùng một chiều , đến thời điểm t
2
q trình lại được

lặp lại . Lúc đó ta nói có sự trùng phùng giữa hai con lắc và khoảng thời gian
12
ttt −=∆
là thời gian
giữa hai lần trùng phùng lien tiếp .
Để giải quyết loại bài tốn này, các em cần chú ý kiến thức sau : Gọi N là số chu kì mà con lắc B
thực hiện được trong thời gian
t
∆
này, ta có :
a. Nếu T
A
< T
B
thì ∆t = (N +1).T
A
= N.T
B
; b. Nếu T
A
> T
B
thì ∆t = (N – 1).T
A
= N.T
B


VẤN ĐỀ 2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA .
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 4

Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
CON LẮC LỊXO – CON LẮC ĐƠN .

I. Các biểu thức tổng qt :
Con lắc lò xo Con lắc đơn ( dao động nhỏ)
Phương trình
động lực học
a + ω
2
x = 0 hay x'' + ω
2
x = 0 a
t
+ ω
2
s = 0 hay s'' + ω
2
s = 0
(a
t
: gia tốc tiếp tuyến )
Phương trình
dao động (li độ)
).cos(
ϕω
+= tAx

A = x
max
 cos(ωt + ϕ) = 1

•
Li độ dài :
).cos(
0
ϕω
+= tss

s
0
= s
max
 cos(ωt + ϕ) = 1 .
•
Li độ góc :
).cos(
0
ϕωαα
+= t

α
0
= α
max
 cos(ωt + ϕ) = 1 .
Biểu thức vận
tốc tức thời
)sin('
ϕωω
+−== tAxv
hoặc







++=
2
cos
π
ϕωω
tAv

- Tốc độ cực đại (khi vật đi qua vị trí
cân bằng x = 0) là :
Avv
ω
==
max
.
- Vận tốc v sớm pha
2
π
so vớ li độ x .
)sin('
0
ϕωω
+−== tssv
hoặc







++=
2
cos
0
π
ϕωω
tsv

- Tốc độ cực đại (khi vật đi qua vị trí cân
bằng) là :
00max

αωω
lsvv ===
.
- Vận tốc v sớm pha
2
π
so vớ li độ s .
Biểu thức gia tốc
tức thời
.)cos('''
22
xtAxva
ωϕωω

−=+−===
- Trị cực đại của gia tốc: a
max
= ω
2
.A
= ω.v
max
khi vật ở biên .
- Gia tốc a ngược với li độ x và vng
pha với vận tốc v .
.)cos('''
2
0
2
stssva
ωϕωω
−=+−===
- Trị cực đại của gia tốc (khi vật ở biên)
là : a
max
=
ω
2
.s
0
=
ω
.v
max

=
ω
2
.

l
α
0

- Gia tốc a ngược với li độ s và vng pha
với vận tốc v .
Hệ thức liện hệ
giữa li độ và vận
tốc
.
22222
Axv
ωω
=+
hoặc :
2
2
22
ω
v
xA +=
2
0
2222
ssv

ωω
=+
→
2
2
22
0
ω
v
ss +=
Vì
α
ls =
;
00
α
ls =
nên có thể viết:

( )
22
0
2
αα
−=
glv
Hệ thức liện hệ
giữa vận tốc và
gia tốc
.

24222
Aav
ωω
=+
hoặc :
4
2
2
2
2
ωω
av
A +=
.
2
0
4222
sav
ωω
=+
hoặc :
4
2
2
2
2
0
ωω
av
s +=

(Khi học và làm bài các em học sinh cần phát hiện sự tương tự trong hệ thống các cơng thức của 2 loại
con lắc , chúng có bản chất giống nhau, chỉ khác nhau về kí hiệu của một số đại lượng )
II. Lập phương trình dao động : Để lập được phương trình dao động điều hòa ta cần tìm được ω , A
& ϕ theo dự kiện của đề bài rồi thế vào các phương trình tổng quát đã nêu trên .( Khi làm bài phải
đặc biệt chú ý tới việc chọn gốc tọa độ O, chiều dương của hệ tọa độ và gốc thời gian )
1 . Tìm tần số góc ω : Để xác định tần số góc ω , trong hầu hết các bài tốn ta đều sử dụng các cơng
thức ở trong vấn đề 1. Một số ít trường hợp cần phải sử dụng các cơng thức có liên quan tới vận tốc , gia
tốc , năng lượng dao động
2 . Tìm pha ban đầu và biên độ dao động dựa vào điều kiện ban đầu:
- Pha ban đầu ϕ của dao động điều hòa phụ thuộc vào hệ quy chiếu , tức là phụ thuộc vào việc
chọn hệ tọa độ Ox và gốc thời gian . Thông thường gốc tọa độ được chọn tại VTCB của con lắc .
- Biên độ A của dao động điều hòa phụ thuộc vào cách kích thích dao động .
Như vậy để xác định A và ϕ ta có thể dựa vào điều kiện ban đầu như sau :
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 5
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Giả sử theo đề bài ta có : lúc t = 0, vật có



=
=
0
0
vv
xx
=>



=−

=
0
0
sin
cos
vA
xA
ϕω
ϕ

Ta dựa vào các phương trình trên sẽ xác đònh được A và ϕ ; Khi giải các phương trình lượng giác các
em cần đặc biệt chú ý điều kiện về dấu của li độ và vận tốc để lấy nghiệm duy nhất của pha ban đầu.
• Nếu x
0
> 0 thì cosϕ > 0 ; x
0
< 0 thì cosϕ < 0 .
• nếu v
0
> 0 thì sinϕ < 0 ; v
0
< 0 thì sinϕ > 0 ; v
0
= 0 thì sinϕ = 0.
3 . Tìm biên độ A: Tùy vào dự kiện mà đề bài cho ta có thể xác định biên độ A như sau :
a. Xác đònh biên độ A bằng phương pháp năng lượng :
Từ đònh luật bảo toàn cơ năng : W = W
đ
+ W
t


222
.
2
1
2
1
.
2
1
xKmvAK +=

2
2
22
ω
v
xA
+=
.
(hoặc từ biểu thức li độ x và biểu thức vận tốc v ta cũng suy ra được biểu thức trên)
b. Xác đònh biên độ A từ vận tốc cực đại và gia tốc cực đại :
Sử dụng cơng thức : v
max
= ω.A ; a
max
= ω
2
.A = ω.v
max

.
c. Xác đònh biên độ A theo độ dài quỹ đạo của v ật dao động điều hòa : Gọi MN là độ dài quỹ
đạo của vật, ta có biên độ dao động là : A = MN / 2 . (Tức là độ dài quỹ đạo bằng hai lần biên độ
dao động) .
d. Xác đònh biên độ A theo độ dài lò xo trong quá trình dao động : A = (l
max
– l
min
) /2.

 Áp dụng cho trường hợp con lắc đơn dao động nhỏ : Dao động nhỏ của con lắc đơn là dao động
điều hòa do đó các cơng thức áp dụng cho con lắc đơn tương tự như của con lắc lò xo , bằng cách thay
kí hiệu li độ x bởi li độ dài s , biên độ A bởi s
0
, và chú ý giữa li độ dài s và li độ góc có hệ thức liện hệ
là :
α
ls =
;
00
α
ls =
Chú ý : Nếu kích thích dao động bằng phương pháp va chạm thì sử dụng các đònh luật bảo toàn :
• Trường hợp va chạm mềm thì sử dụng đònh luật bảo toàn động lượng .
• Trường hợp va chạm đàn hồi thì sử dụng đònh luật bảo toàn cơ năng (thường chuyển thành bảo
toàn động năng vì thế năng không đổi trong thời gian va chạm) và đònh luật bảo toàn động lượng .
Từ đó ta xác đònh vận tốc ngay sau khi va chạm => biên độ của dao động.
VẤN ĐỀ 3 TÌM THỜI GIAN VẬT ĐI TỪ ĐIỂM NÀY ĐẾN ĐIỂM KIA TRONG KHI DAO ĐỘNG.
Phương pháp gi ải quyết vấn đề :
a. Phương pháp đại số : Dùng biểu thức li độ (và chú ý điều kiện của vận tốc), giải phương trình

lượng giác ta suy ra các thời điểm ứng với các vò trí đã cho. Từ đó tìm đươcï thời gian chuyển động.
Giả sử phương trình dao động là x = Acos(ωt + ϕ). Hãy tìm thời gian vật chuyển động theo chiều
dương từ x
1
đến x
2
? Để giải quyết bài toán này ta giải hai phương trình sau với điều kiện v > 0 :
x
1
= Acos(ωt
1
+ ϕ) → t
1
và x
2
= Acos(ωt
2
+ ϕ) → t
2
. Thời gian chuyển động là t = t
2
– t
1
. Phương
pháp này thường gặp khó khăn khi lấy các nghiệm t
1
và t
2
phù hợp với dự kiện của đề bài .
( Phương pháp này thường làm cho các em học sinh gặp khó khăn khi làm bài trắc nghiệm vì vậy hạn

chế sử dụng )
b. Phương pháp s ử dụng hình chiếu của chuyển động tròn
đều lên trục ox :
Sử dụng tính chất : Hình chiếu của chuyển động tròn đều x
trên trục Ox nằm trong mặt phẳng qũy đạo là dao động
điều hòa => Thời gian (t) chất điểm quay từ M
1
đến M
2
bằng thời M
2
gian vật dao động đi từ x
1
đến x
2
, từ đó sử dụng hệ thức lượng M
1
trong tam giác vuông để suy ra thời gian (t) và quảng đường s mà vật đi được trong thời gian đó .
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 6
x
1
O x
2
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Từ đó xác định tốc độ trung bình trong thời gian t theo công thức
t
s
v =
và vận tốc trung bình là
t

x
v
TB
∆
∆
=
.
Trong một chu kì T vật đi được quảng đường s = 4A nên tốc độ trung bình là
T
A
t
s
v
4
==
, còn vận
tốc trung bình
t
x
tt
xx
v
TB
∆
∆
=
−
−
=
2

12
= 0 .
Khi cần tìm nhanh đáp án cho câu trả lời trắc nghiệm, phương pháp này có nhiều lợi thế hơn
phương pháp đại số nói trên.
 Chú ý : Để làm trắc nghiệm nhanh có thể nhớ các khoảng thời gian đặc biệt sau :
Thời gian ngắn nhất vật đi từ
− Vò trí cân bằng x = 0 đến li độ
2
A
x ±=
là :
12
T
.
− Vò trí cân bằng x = 0 đến li độ
2
2A
x ±=
là :
8
T
.
− Vò trí cân bằng x = 0 đến li độ
2
3A
x ±=
là :
6
T
.

VẤN ĐỀ 4 NĂNG LƯNG VÀ LỰC TÁC DỤNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN
I. B ảng hệ thống c ác biểu thức :
Con lắc lò xo Con lắc đơn (dao động nhỏ)
Động năng
2
.
2
1
vmW
d
=
=
).(sin
2
1
222
ϕωω
+tAm
.
Hay: W
đ
= Wsin
2
(ω.t + ϕ) .

Dùng phép biến đổi lượng giác →
)(2cos
4
1

4
1
2222
ϕωωω
+−= tAmAmW
đ
2
.
2
1
vmW
d
=
=
).(sin
2
1
22
0
2
ϕωω
+tsm
.
Hay: W
đ
= Wsin
2
(ω.t + ϕ) .
Vì :
)(

22
0
22
ssv −=
ω
nên có thể viết
W
đ
=
)(
2
1
222
sAm −
ω
≈
)(
2
1
22
0
αα
−mgl
Dùng phép biến đổi lượng giác →
)(2cos
4
1
4
1
2

0
22
0
2
ϕωωω
+−= tsmsmW
đ
Thế năng
2
.
2
1
xkW
t
=
=
).(cos
2
1
222
ϕωω
+tAm

Hay : W
t
= Wcos
2
(ω.t + ϕ)

Dùng phép biến đổi lượng giác →

)(2cos
4
1
4
1
2222
ϕωωω
++= tAmAmW
t
22
2
1
)cos1( smmglmghW
t
ωα
≈−==
hay: W
t
=
).(cos
2
1
22
0
2
ϕωω
+tsm

hoặc W
t

= Wcos
2
(ω.t + ϕ)
Vì:
l
g
=
2
ω
và
α
ls
=
→
2
.
2
1
α
l
mg
W
t
≈
Dùng phép biến đổi lượng giác →
)(2cos
4
1
4
1

2
0
22
0
2
ϕωωω
++= tsmsmW
t
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 7
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Cơ năng(năng
lượng dao động)
W = W
đ
+ W
t
=W
đ(max)
= W
t(max)
= const
W =
222
.
2
1

2
1
AKAm =

ω
W = W
đ
+ W
t
= W
đ(max)
= W
t(max)
= const
W =
2
0
2

2
1
sm
ω
; vì
l
g
=
2
ω
nên có
thể viết là :
2
0
2

0
2
1
.
2
1
α
mgls
l
mg
W ==
Lực tác dụng
- Lực kéo về :
xmmaF
2
ω
−==
→
)cos(.
ϕω
+−=−= tkAkxF

- Lực kéo về cực đại :
.
max
kAF
=
- Lực đàn hồi :
lkF
dh

∆−=
.

- Độ lớn lực đàn hồi :
0
llkF
dh
−=
- Lực đàn hồi cực đại:
AlkF
dh
+∆=
(max)
- Lực đàn hồi cực tiểu:
Nếu A <
∆
l :
AlkF
dh
−∆=
(min)
Nếu A
≥

∆
l : F
đh(min)


= 0.

- Lực kéo về : :
smmaF
2
ω
−==
→
)cos(.
0
2
ϕωω
+−= tsmF

- Lực kéo về cực đại :
0
2
max
smF
ω
=
.
- Lực căng dây :







−+=
22

0
2
1
1
αα
mgQ
- Lực căng dây cực đại(ở vị trí CB):

( )
PmgQ
>+=
2
0max
1
α
- Lực căng dây cực tiểu(ở vị trí biên):







+=
2
min
2
1
1
α

mgQ
Từ các biểu thức trên cho thấy : Khi vật dao động điều hòa với tần số góc là
ω
thì
- Động năng và thế năng biến đổi tuần hồn với tần số góc
ωω
2'
=
, hay
ff 2'=
và
2
'
T
T =
.
- Khi động năng tăng thì thế năng giảm , nhưng tổng của chúng (cơ năng) ln ln bảo tòan .
constAmAkWWW
tđ
===+=
222

2
1
.
2
1
ω
.
- Khi

0=
đ
W
thì
WW
t
=
(max)
và ngược lại , do đó
WWW
tđ
==
(max)(max)
- Đồ thị biến thiên của động năng , thế năng , cơ năng ( ứng với pha ban đầu
0=
ϕ
):
•






= t
T
AmW
t
π
ω

2
cos
2
1
222
. W
•






= t
T
AmW
đ
π
ω
2
sin
2
1
222
.
•
22
2
1
AmWWW

LC
ω
=+=
.
t
1
=
8
T
4
T

8
3T

2
T
t
Từ đồ thò em có thể đưa ra được nhận xét gì về khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng
thế năng và suy ra cơng thức tổng qt để xác định thời điểm động năng bằng thế năng ?
(Tự ghi nhận xét nhé :
)
2. Độ dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của con lắc lòxo :
* Trường hợp điểm cố đònh của lòxo nằm ở trên :

Alll
+∆+=
0max

Alll

−∆+=
0min
.
* Trường hợp điểm cố đònh của lòxo nằm ở dưới :

Alll
+∆−=
0max

Alll
−∆−=
0min
.
Trong đó l
0
là chiều dài tự nhiên của lò xo ,
∆
l là độ biến dạng của loxo khi vật cân bằng .
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 8
W
W
t
W
đ
W
W/2
O
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
- Nếu con lắc dao động thẳng đứng thì :
k

mg
l =∆
- Nếu con lắc dao động trên mặt phẳng nghiêng một góc α so với mặt phẳng nghiêng thì :
k
mg
l
α
sin
=∆
- Trường hơp con lắc lòxo nằm ngang :
0
=∆
l
3. Trường hợp con lắc dao động với biên độ góc α
0
≤ 90
0
(với f
ms
= 0):
* Nếu α
0
nhỏ thì dao động cuả con lắc là dao động điều hòa (Như đã xét ờ trên)
* Nếu α
0
> 1rad : dao động của con lắc là dao động tuần hồn . Dùng kiết thức vật lí 10 ta có thể dễ
dàng chứng minh được các cơng thức sau :
• Vận tốc ở góc lệch α :
( )
0

2
coscos2
αα
−=
glv
hay
)cos(cos2
0
αα
−= glv
.
- Khi qua VTCB (α = 0) :
)cos1(2
0max
α
−== glvv
- Khi con lắc ở ví trí biên (α = α
0
) : v = 0
• Lực kéo về :
α
sinmgPF
t
−=−=
.
• Lực căng dây : Q = mg(cosα +
gl
v
2
)

= mg (3cosα − 2cosα
0
). với : 0 ≤ α ≤ α
0
+ Lực căng dây cực đại (ứng với α = 0) : Q
max
= mg(3 – 2cosα
0
) > P.
+ Lực căng dây cực tiểu (ứng với α = α
0
): Q
min
= mg.cosα
0
.< P .
+ Lực căng dây bằng trọng lực con lắc ở vị trí có :
3
cos21
cos
0
α
α
+
=
.
• Năng lượng :
Chọn vò trí thấp nhất của vật làm gốc thế năng và, ở góc lệch α ta có:
+ Động năng : W

đ
=
2
.
2
1
vm
= mgl.(cosα - cosα
0
) ;
+ Thế năng vật nặng : W
t
= mgh = mgl(1 - cosα)
+ Cơ năng : W = W
đ
+ W
t
= W
đ(max)
= W
t(max)
= mgl(1 − cosα
0
).

VẤN ĐỀ 5
TỔNG HP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG,CÙNG TẦN SỐ.
Kiến thức và phương pháp:
I/ Phương pháp sử dụng giản đồ véc tơ quay :
Dao động tổng hợp: x = x

1
+ x
2

21
AAA

+=
1. Trường hợp t ổng qt : tổng hợp hai dao động đh
cùng phương cùng tần số :
x
1
= A
1
cos(ωt + ϕ
1
) = A
1
cospha(x
1
).
x
2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
) = A
2
cospha(x

2
).
thì phương trình dao động tổng hợp sẽ là :
21
xxx +=
 x = Acos(ωt + ϕ) = A

cospha(x).
+ Tính độ lệch pha của hai dao động :
∆ϕ = pha(x
2
) – pha(x
1
) = ϕ
2
− ϕ
1

+ Tính biên độ dao động tổng hợp A :
A
2
=
ϕ
∆++ cos2
21
2
2
2
1
AAAA

.
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 9
M
M
2

A


2
A


1
A

M
1
O
'
2
M

'
1
M
P x
Giãn đồ véc tơ tổng hợp hai dao động
điều hòa cùng phương cùng tần số
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .

+ Tính pha ban đầu ϕ của dao động tổng hợp: tgϕ =
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
AA
AA
+
+
.
+ Tính năng lượng của dao động tổng hợp: W =
222
2
1
2
1
AmkA
ω
=
.
2. Một số trường hợp đặc biệt: Sử dụng giản đồ véc tơ ta tìm ra các kết quả sau:
a/ Hai dao động cùng pha: Là hai dao động có độ lệch pha ∆ϕ = 0 hoặc ∆ϕ = k2π , khi đó :
+ Biên độ dao động tổng hợp : A = A
1
+ A
2
.
+ Pha dao động tổng hợp : pha(x) = pha(x

1
) = pha(x
2
).
b/ Hai dao động ngược pha:

Là hai dao động có độ lệch pha ∆ϕ = π hoặc ∆ϕ = (2k + 1)π , khi đó :
+ Biên độ dao động tổng hợp : A = A
1
- A
2
 .
+ Về pha của dao động tổng hợp thì :
- nếu A
1
> A
2
thì pha(x) = pha(x
1
).
•
Hình vẽ x
2
sớm pha hơn x
1
- nếu A
1
< A
2
thì pha(x) = pha(x

2
). A
2
A
c/ Hai dao động vuông pha: Có độ lệch pha ∆ϕ = ± π/2 :
+ Biên độ dao động tổng hợp:
2
2
2
1
AAA +=
. O α Trục pha
+ Về pha của dao động tổng hợp thì : A
1
- Nếu ∆ϕ = ϕ
2
− ϕ
1
> 0 (tức là x
2
sớm pha hơn x
1
) :
•
Hình vẽ x
1
sớm pha hơn x
2
ta có pha(x) = pha(x
1

) + α . Với
1
2
A
A
tg =
α
.
1
A


A

- Nếu ∆ϕ = ϕ
2
− ϕ
1
< 0 (tức là x
2
trể pha hơn x
1
) :
ta có pha(x) = pha(x
2
) + α . Với
2
1
A
A

tg =
α
. O Trục pha
d/ Trường hợp A
1
= A
2
và có góc lệnh pha là ∆ϕ : Véctơ
21
AAA

+=
là đường chéo hình thoi nên
ta có :
+ Biên độ dao động tổng hợp :
2
cos 2
1
ϕ
∆
= AA
=
2
cos2
2
ϕ
∆
A
.
+ Về pha của dao động tổng hợp thì : A

2
A
- Nếu ∆ϕ = ϕ
2
− ϕ
1
> 0 (tức là x
2
sớm pha hơn x
1
) :
ta có pha(x) = pha(x
1
) + ∆ϕ /2 ∆ϕ
- Nếu ∆ϕ = ϕ
2
− ϕ
1
< 0 (tức là x
2
trể pha hơn x
1
) : ∆ϕ/2
ta có vẫn có pha(x) = pha(x
1
) + ∆ϕ /2 , hoặc A
1
Trục pha
pha(x) = pha(x
2

) + ∆ϕ /2 . Hình vẽ : x
2
sớm pha hơn x
1
Chú ý : Trong trường hợp đề bài chỉ cho độ lệch pha mà kkông cho pha ban đầu của mỗi dao động
thành phần thì có thể chọn gốc thời gian sao cho pha ban đầu của dao động thứ 1 hoặc thứ 2 bằng 0 .
II. Ph ương pháp sử dụng máy tính cầm tay : Để tìm A và
ϕ
của dao động tổng hợp :
21
xxx +=
. Sử
dụng máy tính cầm tay (fx.570MS, fx.570ES) ta bấm : A∠ϕ = A
1
∠ϕ
1
+ A
2
∠ϕ
2
=
Thao tác trên máy như sau :
MODE 2 A
1
SHIFT (−) ϕ
1
+ A
2
SHIFT (−) ϕ
2

Xem giá trị biên độ A và pha ban đầu
ϕ
:
- Đối với máy fx.570MS: nhấn SHIFT + = & nhấn SHIFT =
- Đối với máy fx.570ES: Nhấn SHIFT 2 3
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 10
2
A

Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
VẤN ĐỀ 6
MỘT SỐ TRƯỜNG HP KHÁC TRONG BÀI TOÁN DAO ĐỘNG.
I/ DAO ĐỘNG TẮT DẦN - DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC - HIỆN TƯNG CỘNG HƯỞNG:
1 . Dao động tắt dần :
- Khi hệ chòu tác dụng bởi lực cản của mơi trường thì năng lượng (và do đó biên độ) của dao động
giảm liên tục theo thời gian . Dao động đó gọi là dao động tắt dần.
- Dao động tắt dần không có tính tuần hoàn , sự tắt nhanh hay chậm phụ thuộc vào độ nhớt của mơi
trường, độ nhớt càng cao thì tắt dần càng nhanh .
2 . Dao động duy trì :
Nếu ta dùng một nguồn và cơ cấu truyền năng lượng để cung cấp năng lượng cho vật dao động có
ma sát để bù lại sự tiêu hao năng lượng vì ma sát mà chu kì dao động vẫn bằng chu kì riêng của nó
thì dao động kéo dài mãi mãi . Dao động đó gọi là dao động duy trì ( ví dụ : dao động của con lắc
đồng hồ là dao động duy trì).
3 . Dao động cưỡng bức :
Khi hệ dao động điều hòa nhờ sự tác dụng của một ngoại lực tuần hoàn : F = F
0
.cos
Ω
t có tần số

góc
Ω
thì dao động của hệ khi đã ổn đònh là dao động cưỡng bức. dao động cưỡng bức có tần số
góc bằng tần số góc
Ω
của lực tuần hoàn. Lực đã cung cấp năng lượng một cách tuần hoàn cho hệ
và duy trì dao động của hệ.
+ Biên độ dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ
của lực tuần hoàn và quan hệ giữa tần số của lực tuần
hoàn và tần số riêngcủa hệ .
+ Nếu Ω = ω hay f = f
0
( f
0
là tần số riêng của hệ)
hoặc T = T
0

thì biên độ của dao động tăng nhanh
đến một giá trò cực đại. Hiện tượng này gọi là hiện
tượng cộng hưởng. Biên độ dao động khi cộng hưởng
phụ thuộc vào lực ma sát của môi trường , ma sát nhỏ
có cộng hưởng rõ , ma sát lớn có cộng hưởng mờ .
2/ CON LẮC QUAY ĐỀU VỚI VẬN TỐC GÓC ω
q
:
Khi con lắc quay đều với vận tốc góc ω
q
thì ta dựa vào công thức lực hướng tâm :
F

ht
= m.a
ht
= m.
2
q
ω
.r . Với r là bán kính qũy đạo (mét), ω
q
là vận tốc quay (rad/s) ;
m là khối lượng vật (kg).
C . MỘT SỐ THÍ DỤ :
Ví dụ 1 : Trên trần của một chiếc xe ta treo một con lắc đơn. Khi xe chưa chuyển động con lắc dao động
với chu kì T. Cho xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc
a

trên đường thẳng nằm ngang .
a/ Con lắc cân bằng ở vị trí lệch với phương thẳng đứng một góc α được xác định bởi cơng thức nào ?
b/ Chu kì dao động nhỏ của con lắc khi xe chuyển động với gia tốc a là T’ được xác định bởi cơng thức
nào ? Coi con lắc dao động trong mặt phẳng chứa véc tơ gia tốc
a

.
Hướng dẫn giải:
a/ Chọn hệ quy chiếu gắn liền với xe , ta có
P
F
qt
=
α

tan
→

g
a
=
α
tan
(từ kết quả này suy ra giá trị của
α
theo a và g)
b/ Coi con lắc dao động trong trường trọng lực biểu kiến có
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 11
A
A
max

A
1
A
2
O f
1
f
0
f
2
f

a


Q

α
qt
F



'P


P

Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
gia tốc
agg

+='

→

22
aga +=
. Như vậy chu kì dao động là :
22
2
'

2'
ag
l
g
l
T
+
==
ππ
.
Ví dụ 2: Con lắc đơn có chiều dài l , quả cầu nhỏ của con lắc có khối lượng m. Chu kì dao động nhỏ của
con lắc này là T. Bây giờ tích điện q > 0 cho quả cầu và cho con lắc này dao động nhỏ trong một điện
trường đều có cường độ
E

. Xác định công thức tính chu kì dao động nhỏ của con lắc trong các trường
hợp sau :
a/ Véc tơ cường độ điện trường
E

có phương thẳng đứng , chiều từ trên xuống .
b/ Véc tơ cường độ điện trường
E

có phương thẳng đứng , chiều từ trên xuống .
c/ Véc tơ cường độ điện trường
E

có phương nằm ngang .
Hướng dẫn giải:

(Hãy quan sát các hình vẽ bên)
Trong cả 3 trường hợp , chu kì dao
Động của con lắc đều xác định bởi
công thức :
'
2'
g
l
T
π
=
Với
m
Eq
g
m
F
gg




.
' +=+=
a/ Trường hợp này có
FP

↓↓
→
m

qE
gg +='
, nên chu kì dao động là :
m
qE
g
l
T
+
=
π
2'
.
b/ Trường hợp này có
FP

↓↑
→
m
qE
gg −='
, nên chu kì dao động là :
m
qE
g
l
T
−
=
π

2'
.
c/ Trường hợp này có
FP

⊥
→
2
2
'






+=
m
qE
gg
, nên chu kì dao động là :
2
2
2'







+
=
m
qE
g
l
T
π
.

Khi làm loại bài toán này , điều quan trọng là các em phải xác định được hướng của lực điện
trường tác dụng vào quả cầu tích điện , kiến thức này cần xem lại ở vật lí 11.
Ví dụ 3: Một con lắc đơn có chu kì dao động là T khi ở trên mặt đất . Xác định công thức tính chu kì
dao động nhỏ T’ khi đưa con lắc này lên độ cao h so với mặt đất. Coi chiều dài của con lắc không đổi
trong quá trình đưa con lắc lên cao và bán kính trái đất là R .
Hướng dẫn giải : Các em chú ý tới giá trị gia tốc trọng trường ở mặt đất và ở độ cao h là

2
.
R
M
Gg =
;
2
)(
.'
hR
M
Gg
+

=
. Từ đó lập tỉ số
T
T'
→ Đ/số :






+=
R
h
TT 1.'
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 12

E

α

Q


Q


Q


E


E


F

m q m q
F

q

F


P


P


P

a/ b/ c/
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Ví dụ 4 : Một lò xo nhẹ L, chiều dài l
o
có độ cứng K được cắt thành hai lò xo L
1

và L
2
có độ dài bằng
nhau.
a/ Dùng một trong hai lò xo đó gắn với một viên bi có khối lượng m để tạo thành một con lắc. Tìm chu
kì dao động điều hòa của con lắc này?
b/ Chập hai đầu của hai lò xo L
1
và L
2
lại với nhau để tạo thành một lò xo duy nhất có chiều dài l
0
/2.
Gắn vật m vào lò xo này để tạo thành một con lắc . Tìm chu kì dao động điều hòa của con lắc này ?
c/ Lấy hai lò xo L nối tiếp lại với nhau rồi gắn vật m vào một đầu của một lò xo để tạo thành một con
lắc. Tìm chu kì dao động điều hòa của con lắc này.
Hướng dẫn giải :
Để giải quyết dạng bài tập này , điều đầu tiên các em phải chú ý là độ cứng của lò xo tỉ lệ
nghịch với chiếu dài và chu kì dao động của các con lắc trong các trường hợp này vẫn là
k
m
T
π
2=
.
Chỉ có sự khác biệt nhau về độ cứng của lò xo trpng các trường hợp đề bài đã cho .
a/ Trường hợp này có
KK 2
1
=

→
K
m
T
2
2
1
π
=
.
b/ Trường hợp này ta có hai lò xo ghép song song , mỗi lò xo có độ cứng là 2K nên K
2
= 4K →
K
m
K
m
T
ππ
==
4
2
2
.
c/ Trường hợp này ta có hai lò xo ghép nối tiếp , mỗi lò xo có độ cứng là K nên K
3
= K/2 →
K
m
T

2
2
2
π
=
.
Ví dụ 5: Một con lắc đơn được treo vào trần của một thang máy , khi thang máy chuyển động thẳng đều
con lắc dao động điều hòa với chu kì T.
a/ Nếu thang máy chuyển động nhanh dần đều lên trên với gia tốc a =
9
g
thì chu kì con lắc là T' bằng
bao nhiêu ?
b/ Nếu con lắc chuyển động chậm dần đều lên trên với gia tốc a =
9
g
thì chu kì con lắc là T' bằng bao
nhiêu ?
c/ Nếu con lắc chuyển động chậm dần đều xuống dưới với gia tốc a =
9
g
thì chu kì con lắc là T' bằng
bao nhiêu ?
d/ Nếu con lắc chuyển động nhanh dần đều xuống dưới với gia tốc a =
9
g
thì chu kì con lắc là T' bằng
bao nhiêu ?
Hướng dẫn : Sử dụng
'

2'
g
l
T
π
=
. Với
)(' ag
m
f
gg
qt



−+=+=
cho mỗi trường hợp .
( Đ/số : a/ và c/ có T ' = T.
10
3
; b/ và d/ có T ' = T.
8
3
).
Ví dụ 6: Một con lắc đơn có dây treo làm bằng một rợi dây kim loại mảnh có hệ số nở dài là α = 2.10
-5

(K
-1
) , dao động nhỏ tại một nơi với chu kì T = 2(s). Nếu nhiệt độ ở nơi đó giảm xuống 10

o
C thì chu kì
dao động của con lắc tăng hay giảm bao nhiêu ?
Hướng dẫn : Sử dụng kiến thức chu kì con lắc thay đổi theo nhiệt độ . Đ/số : chu kì tăng 4.10
– 4
(s)
Ví dụ 7: Vật m = 2kg được treo vào đầu dưới một lò xo có k = 50N/cm. Kéo vật ra khỏi VTCB theo
phương thẳng đứng xuống dưới
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 13
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
3cm rồi truyền cho nó một vận tốc 2m/s về phía vị trí cân bằng . Coi dao động của vật là dao động điều
hòa .
a/ Xác định biên độ dao động .
b/ Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ x = + 5cm . Lập phương trình dao động của vật .
c/ Nếu truyền cho vật vận tốc theo chiều ngược lại so với giả thiết đã cho thì đại lượng nào trong
phương trình sẽ thay đổi ?
Hướng dẫn :
a/ Cần chú ý một chút là : có m và k
→

m
k
=
ω
; và vào thời điểm ban đầu ta đã có vận tốc và li độ
của vật nên vận dụng công thức
ω
2
2
v

xA +=
→
A .
b/ Ta đã có A và
ω
ở câu trên , do đó cần tìm pha ban đầu
ϕ
. (ôi ! quá dễ )
lúc t = 0 , có x = + 5 cm
→
5 = Acos
ϕ

→

ϕ
( làm tiếp đi nhé )
c/ A và
ω
không đổi , đương nhiên là
ϕ
thay đổi thôi .
Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nhỏ m = 250g và độ cứng của lò xo k = 100N/m.
Kéo vật thẳng đứng xuống dưới đến vị trí lò xo giản 7,5 cm rồi thả nhẹ .Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân
bằng , chiều dương thẳng đứng lên trên và gốc thời gian lúc thả vật . Cho g = 10m/s
2
, coi vật dao động
điều hòa . Viết phương trình dao động của vật ? Tại những thời điểm nào vật có li độ 2,5 cm và đang
chuyển động theo chiều dương của hệ tọa độ .
Hướng dẫn :

Đương nhiên em sẽ tìm được
ω
theo công thức quen thuộc
m
k
=
ω
.
Chú ý đừng sai lầm khi coi
cmx 5,7
0
=
, mà 7,5 (cm) này bao gồm cả độ dãn
∆
l ban đầu và
0
x


→

k
mg
lx −=∆−= 075,0075,0
0
(m) . Như vậy ta đã có A =
0
x
.
Chiều dương được cho hướng lên trên , điều này cho biết khi t = 0 vật có x = - A

→
cos
ϕ
= -1
→

ϕ

(nào làm tiếp đi nhé ……)
Ví dụ 9: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng . Thời gian vật đi từ vị trí thấp
nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 20 cm là 0,75s . Gốc thời gian được chọn là lúc vật đang chuyển động
nhanh dần theo chiều dương của hệ tọa độ với độ lớn vận tốc là
)/(
3
2,0
sm
π
. Viết phương trình dao
động của vật ?
Hướng dẫn :
Con lắc đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cho biết điều gì đây nào ? Đó là độ dài qũy đạo dài 20
cm
→
A = 10 cm .
Thời gian 0,75 s này là gì vậy ? Đó là thời gian vật đi từ biên này đến biên kia
→

75,0
2
=

T
s , hãy suy
ra
ω
nhé .
Để ý một chút này nhé : lúc t = 0 , vật chuyển động nhanh dần theo chiều dương
→
lúc này vật có tọa
độ x < 0 và
)/(
3
2,0
smv
π
=
→ t = 0 , có :





=−
<
3
2,0
sin
0cos
π
ϕω
ϕ

A
. Giải hệ này sẽ tìm được một giá trị
thích hợp của
ϕ
. ( ….Tiếp đi nhé)
Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa, trong một chu kì vật đi được quảng đường dài 16cm , tần số
20Hz. Chọn gốc thời gian vào lúc vật có li độ x = +
cm32
và đang chuyển động nhanh dần . Viết
phương trình dao động của vật ?
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 14
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Hướng dẫn : Thế này nha ! Trong một chu kì vật đi được quảng đường bằng 4 lần biên độ
→
A = 4 cm.
Đương nhiên các em sẽ tìm được
ω
. (quá dễ phải không nào)
t = 0 lúc vật có li độ x = +
cm32
và đang chuyển động nhanh dần cho biết điều gì nào ??? Chuyển
động nhanh dần là chuyển động về phía VTCB nên điều này có nghĩa là t = 0 , vật có :



<
+=
0
)(32
v

cmx
.
(….Tự giải tiếp đi thôi, ko làm tiếp được là quê lắm đấy nha !)
 PHẦN TỰ GIẢI :
Ví dụ 11: Cho con lắc lò xo nằm ngang như hình vẽ bên, m = 100g
k = 80N/m. Kéo m ra khỏi vị trí cân bằng một đọan OB = 2cm k m B
và truyền cho nó một vận tốc 40
6
cm/s hướng về vị trí cân ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ •
bằng O. Coi dao động của vật là dao động điều hòa . x O
a/ Tính tần số góc và biên độ dao động của vật ?
b/ Chọn hệ tọa độ như Ox như hình , gốc thời gian vào lúc truyền vận tốc cho vật. Viết phương
trình dao động của vật ?
Ví dụ 12: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm một lòxo có độ cứng k, một đầu cố định, một đầu gắn với
một vật nhỏ khối lượng m trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang . Tại thời điểm ban đầu , vật
đang ở vị trí cân bằng , người ta truyền cho nó một vận tốc v
o
= 1m/s theo chiều dương, sau đó vật dao
động điều hòa . Biết rằng cứ sau những khoảng thời gian t
1
=
)(
40
s
π
thì động năng lại bằng thế năng .
Viết phương trình dao động của vật ?
Ví dụ 13: Lòxo có độ cứng k = 245N/m và chiếu dài tự nhiên l
0
= 20 cm , đầu trên của lò xo cố định ,

đầu dưới mang một vật có khối lượng m = 1kg. Hệ thống được đặt trên một mặt phẳng nghiêng góc
30
0
so với mặt phẳng ngang .
a/ Tính chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng ?
b/ Kéo vật xuồng dưới 2cm theo phương trùng với trục của lòxo rồi thả cho vật dao động điều
hòa . Chọn gốc tọa độ ở VTCB , chiều dương là chiều chuyển động của vật ngay sau khi thả . Lấy g =
10m/s
2
. Viết phương trình dao động của vật ?
Ví dụ14: Một vật dao động điều hòa theo phương trình






−=
3
2cos4
π
π
tx
cm. Tính vật tốc và gia tốc
vào thời điểm t = 0,5s. Hãy cho biết hướng chuyển động của vật lúc này .
Ví dụ 15: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng , dọc theo trục x’Ox có li độ thỏa mãn
phương trình :







++






+=
6
5sin3
3
5sin3
π
π
π
π
ttx
cm. Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động .
Ví dụ 16: Một vật dao động điều hòa với độ dài quỹ đạo 10cm và tốc độ khi qua vị trí cân bằng là v =
20πcm/s .
a/ Viết phương trình dao động của vật . Chọn gốc thời gian vào lúc vật có li độ - 2,5cm và đang
chuyển động chậm dần .
b/ Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào?
c/ Ở vị trí nào thì vật có động năng bằng thế năng ?
Ví dụ 17:Chất điểm M dao động điều hòa theo phương trình : x = 2,5cos10πt (cm)
a/ Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị
3

π
, lúc ấy li độ x và vận tốc v bằng bao nhiêu ?
b/ Tính tốc độ trung bình của chất điểm :
+ Trong thời gian một chu kì ?
+ khi chất điểm chuyển động từ li độ cực tiểu (còn gọi là cực đại âm) đến li độ cực đại?
+ Trong thời gian chất điểm chuyển động từ li độ cực đại đến li độ - 1,25cm lần thứ nhất.
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 15
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Ví dụ 18: Một chất điểm dao động điều hòa vạch ra một đoạn thẳng AB có độ dài 10cm , thời gian mỗi
lần đi hết đoạn thẳng từ đầu nọ tới đầu kia là 0,5s .
a/ Chọn gốc thời gian vào lúc chật điểm có vận tốc lớn nhất và đang chuyển động ngược chiếu
dương của hệ tọa độ . Viết phương trình dao động của chất điểm ?
b/ Tính thời gian mà chất điểm đi hết đoạn thẳng OP và PB. O là điểm chính giữa của AB , P là
điểm chính giữa của OB.
Ví dụ 19: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 2s và có vận tốc 1m/s vào lúc pha dao động là
4
π
.
a/ Tìm biên độ dao động ?
b/ Chọn gốc thời gian vào lúc chất điểm có li độ
2
A
+
và đang chuyển động nhanh dần .Viết
phương trình dao động của chất điểm ?
c/ Ở thời điểm chất điểm có độ lớn vận tốc bằng 20% vận tốc cực đại , tỉ số giữa động năng và
thế năng bằng bao nhiêu?
Ví dụ 20: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng . Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương
thẳng đứng . Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm . Chọn trục x'Ox thẳng đứng chiều
dương hướng xuống , gốc tọa độ ở VTCB , gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều

dương . Lấy g = 10m/s
2
và π
2
= 10 . Xác định thời gian ngắn nhất :
a/ kể từ khi t = 0 đến khi vật có li độ
24
cm .
b/ kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi có giá trị cực đại .
c/ kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi có giá trị cực tiểu .
Ví dụ 21: Một lòxo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k , chiều dài tự nhiên l
0
treo trên mặt
phẳng nằm nghiêng một góc α và ma sát không đáng kể . Khi cho lòxo mang vật có khối lượng m thì
chiều dài lò xo là l
1
= 32cm. Cho lòxo mang thêm vật m’ = m thì lòxo có chiều dài l
2
= 24cm . Bỏ vật m’
và nâng vật m dọc theo mặt phẳng nghiêng đến vị trí lòxo không biến dạng rồi thả nhe cho dao động
điều hòa , biết thời gian vật đi kể từ lúc buông đến khi vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất là t = 0,1s .
Tính l
0
và α . cho g = 10m/s
2
và π
2
= 10 .
Ví dụ 22: Một con lắc đơn có khối lượng m = 500 g và độ dài dây treo l = 2m dao động điều hòa với
góc lệch cực đại của dây treo so với phương thẳng đứng là

)(175,010
0
0
rad==
α
. Tính cơ năng của
con lắc và vận tốc của vật nặng khi nó đi qua vị trí thấp nhất .
Ví dụ 23: Một con lắc đơn có chiều dài l = 100cm dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = π
2
(m/s
2
).
Từ vị trí cân bằng đưa con lắc tới vị trí có góc lệch α
0
= 0,1 rad và buông không vận tốc ban đầu. Chọn
gốc thời gian lúc buông con lắc , chiều dương hướng từ VTCB đến vị trí buông con lắc .
a. Viết phương trình li độ góc của con lắc .
b. Tính tốc độ của con lắc khi qua vị trí cân bằng .
Ví dụ 24: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 100g , chiều dài dây treo 1m , treo tại nơi có gia
tốc trọng trường g = 9,86m/s
2
. Bỏ qua mọi masát . Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng để dây treo hợp
với phương thẳng đứng một góc α
0
rồi thả không vận tốc ban đầu . Biết con lắc dao động điều hòa với
năng lượng W = 8.10
−
4
J. Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc . Chọn gốc thời gian lúc vật
nặng có li độ cực đại dương . Lấy π

2
= 10.
Ví dụ 25: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 100g , treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10
m/s
2
. Bỏ qua mọi masát . Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng để dây treo hợp với phương thẳng đứng
một góc α
0
= 0,04(rad) rồi thả không vận tốc ban đầu . Tính lực căng dây khi con lắc ở vị trí biên và khi
đi qua vị trí cân bằng .
Ví dụ 26: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối luợng m = 200g , dây treo dài 0,25m . Bỏ qua mọi
masát . Con lắc dao động với biên độ bằng 3,5cm . Tính năng lượng dao động của con lắc . Lấy g =
9,86m/s
2
= π
2
m/s
2
.
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 16
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
Ví dụ 27: Một con lắc đơn treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,86m/s
2
= π
2
m/s
2
. Con lắc dao động
điều hòa theo phương trình
t

πα
2cos05,0=
(rad). Tính tốc độ của vật năng khi con lắc có góc lệch
3
0
α
α
=
(rad).
Ví dụ 28: Mơt con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2s , biên độ A = 3cm .Tìm tốc độ trung
bình của con lắc khi con lắc đi từ vị trí động năng cực đại đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng lần
thứ nhất .
Ví dụ 29: Một con lắc đơn có chiều dài l , vật nặng có khối lượng m , kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng
góc α
0
rồi tảh khơng vận tốc ban đầu . Bỏ qua mọi ma sát . Hãy tìm tỉ số của lực căng lớn nhất và nhỏ
nhất của dây treo . Áp dụng với α
0
= 60
0
.
Ví dụ 30: Một con lắc đơn có chiều dài l , vật nặng có khối lượng m , kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng
góc α
0
rồi tảh khơng vận tốc ban đầu . Bỏ qua mọi ma sát . Hãy xác định góc lệch α mà ở đó lực căng
dây có giá trị bằng trọng lực . Áp dụng với α
0
= 60
0
.

Ví dụ 31: Con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
α
0
= 0,1 (rad) tại nơi có g = 10(m/s
2
). Tại
thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ dài
)(38 cms =
với vận tốc v = 20(cm/s). Chiều dài dây treo
bằng bao nhiêu ?
(H/dẫn: Sử dụng W = W
đ
+ W
t
suy ra được P/ trình 5l
2
-2l -9,6 = 0, với điều kiện l > 0
→
l =1,6 m ).
Ví dụ 32: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số có phương trình
dao động là : x
1
= A
1
cos(ωt − π/6) (cm) và x
2
= A
2
cos(ωt − π) (cm). Phương trình dao động tổng hợp
của hai dao động này là : x = 9cos((ωt + ϕ) (cm). Biên độ A

1
thay đổi được .
a. Cho A
1
= 9cm . Hãy xác định A
2
.
b. A
1
có giá trị bao nhiêu để A
2
có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 33: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có cùng tần số trên trục Ox . Biết
dao động thành phần thứ nhất có biên độ
cmA 25
1
=
, dao động tổng hợp có biên độ
cmA 5=
. Dao
động thành phần thứ 2 sớm pha hơn dao động tổng hợp là
2
π
. Tìm biên độ dao động của thành phần thứ
2.
Ví dụ 34: Một chất điểm có khối lượng m = 100g, tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có cùng tần
số f = 10Hz trên trục Ox . Biết dao động thành phần thứ nhất có biên độ
cmA 35
1
=

, dao động tổng
hợp có biên độ
cmA 5=
. Dao động thành phần thứ 2 sớm pha hơn dao động tổng hợp là
3
π
. Tìm Năng
lượng dao động của chất điểm và biên độ dao động của thành phần thứ 2.
Ví dụ 35: Một chất điểm có khối lượng m = 100g đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa cùng
phương Ox, cùng tần số góc 2π rad/s, có biên độ lần lượt là 2cm và 4cm, có pha ban đầu lần lượt là
6
π

và
2
π
a. Viết phương trình dao động của hai dao động thành phần ?
b. Biểu diễn trên cùng một giản đồ hai véc tơ quay biểu diễn hai dao động ?
c. Tìm phương trình dao động tổng hợp của chất điểm ?
d. Tìm năng lượng dao động của chất điểm . Ở vị trí có li độ bằng bao nhiêu thì tỉ số giữa động
năng và thế năng bằng 1 ?
e. Xác định : độ dài quỹ đạo , vận tốc cực đại và gia tốc cực đại ?
Ví dụ 36: Một con lắc lò xo đặt trên một tấm ván nằm ngang , một đầu lò xo gắn chặt vào tấm ván
tại O, đầu kia gắn vật m.Cho tấm ván quay đều quanh một trục đi qua O với vận tốc quay ω
q.
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 17
Hệ thống kiến thức & Phương pháp giải quyết các vấn đề của Dao động cơ .
(Tấm ván quay trong mặt phẳng ngang) Biết khi dao động tự
do con lắc có tần số f = 2,5 Hz. Qũy đạo của vật khi quay có
bán kính r = 20cm, chiều dài tự nhiên của lò xo là l

0
=18cm. Bỏ
qua mọi ma sát. Tìm vận tốc quay ω
q
?
Đ/số :
ω
q
= 5 (rad/s)
Ví dụ 37: Một con lắc lò xo được treo cố đònh tại O.Con lắc dao động theo phương thẳng đứng có
động năng cực đại bằng 0,8J. Phương trình dao động của con lắc là x = 2.sin20t (cm)( trong đó t tính
bằng giây)
a. Tính khối lượng quả cầu của con lắc và hệ số đàn hồi của lò xo.
(Đ/số: k = 4000N/m ; m = 10kg)
b. Bây giờ cho con lắc nói trên quay chung quanh đường thẳng đứng x’x với vận tốc góc
ω
q
=
3
5
(vòng /giây). Khi đó lò xo làm thành với đường thẳng đứng x’x góc α = 60
0
.Tìm
chiều dài tự nhiên của lò xo?
( Đ/số : l
0
= l -
∆
l = 25cm)
c. Giả sử đang quay thì mối hàn giữa quả cầu với lò xo bò đứt. Hỏi ngay sau khi bò đứt thì quả

cầu chuyển động theo phương nào và vận tốc bằng bao nhiêu? Lấy g = 10m/s
2
; π
2
= 10.
(Đ/số : v =
ω
q
.R =
ω
q
.l.sin
α
= 2,1 m/s).
Ví dụ 38 : Một vật có khối lượng m = 0,500kg gắn vào một lòxo có hệ số đàn hồi k = 245N/m. Vật dao
động có ma sát nhỏ trên mặt phẳng nằm ngang . Hệ số ma sát µ = 0,05 .
a. Từ vị trí cân bằng , kéo vật theo phương của trục lòxo một đoạn x
0
= 5cm rồi bng cho dđ tự
do . Tính gần đúng thời gian của dao động đầu tiên .
b. Tính vận tốc cực đại mà vật có thể đạt được trong q trình dao động vật
c. Tính độ giảm giá trị cực đại của li độ sau mỗi chu kì dao động . Suy ra số dao động mà hệ thực
hiện được .
(Đ/số : a. 0,286s ; b. Sử dụng kiến thức : cơng của lực ma sát(lực khơng thế) = độ biến thiên
cơ năng của vật (khi vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu và vị trí bng vật
c.
)(4
4
mm
k

mg
A ==∆
µ
; N = 12,5 dao động )

CHÚC CÁC EM GẶT HÁI ĐƯỢC KẾT QUẢ TỐT NHẤT
TRONG CÁC KÌ THI SẮP TỚI !
GV biên soạn : Nguyễn Kiếm Anh – THPT An Mỹ - BD trang 18
ω
q
r m
O \/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\
F
đh