chuyên đề thể tích khối đa diện

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghóa : Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có tính chất sau :
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau .
b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng
thể tích của các khối đa diện nhỏ đó .
c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1 .
2 Thể tích của khối hộp chữ nhật
ĐL : V = abc với a,b,c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
ĐL : V = a3 với a là cạnh của hình lập phương
3 Thể tích của khối chóp
1
ĐL : V = .Sđáy .h với h là chiều cao
3
4 Thể tích của khối lăng trụ
ĐL : V = Sđáy .h với h là chiều cao

B. VÍ DỤ

Vấn đề 1 : THỂ TÍCH KHỐI HỘP

1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2 , chiều dài
bằng 3 và chiều cao bằng 4 .
Giải
Ta có : V = 2.3.4 = 24
2 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều
dài bằng 3 và đường chéo của hình hộp hợp với mặt đáy một góc

30o .
Giải
g∆ABC vuông tại B nên AC2 = AB2 + BC2 = 1 + 3 = 4 ⇒ AC = 2
gTa coù : C'C ⊥ (ABCD) ⇒ C = hc(ABCD)C' ⇒ AC = hc(ABCD)AC'
·
·
⇒ (AC';(ABCD)) = C 'AC = 30o
Vì ∆C'AC vuông tại C nên C'C = AC.tan30o = 2.
Ta có : V = AB.BC.C'C = 1. 3.

2
3

1

3

=

2

3

=2

3 Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2 . Thể tích bằng
64 . Tìm các kích thước đó .
Giải
Gọi kích thước nhỏ nhất là x với x > 0 thì ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x , 2x , 4x .
Vì : V = x.2x.4x = 8x3 . Theo đề : V= 64 ⇔ 8x3 = 64 ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 (nhaän)

Vaäy : Ba kích thước cần tìm là 2,4,8 .
4 Tính thể tích của khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 .
Giải
Gọi a là cạnh của hình lập phương ta có diện tích của một mặt của hình lập phương là a2
Theo đề : Tổng diện tích các mặt baèng 24 hay S = 6a2 = 24 ⇔ a2 = 4 ⇔ a = 2
Vậy thể tích của hình lập phương là V = a3 = 23 = 8

5 Các đường chéo của các mặt bên của một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13 . Tính thể tích hình
hộp đó .
Giải
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' có
AC = 5,AB' = 10,AD' = 13 .
Đặt : AB = a, AD = b,AA ' = c ta coù :
a2 + b2 = AC2 = 5
a = 1

 2 2

2
 b + c = AD ' = 13 ⇔ ... ⇔ b = 2
c2 + a2 = AB'2 = 10
c = 3



Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật laứ V= abc = 1.2.3 = 6

Giáo Viên

Lê văn Ch ¬ng

- 1 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
6 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm. Khi đó tính
độ dài cạnh của hình lập phương .
Giải
Gọi a (với a > 0) là cạnh của hình lập phương . Khi đó thể tích của hình lập
phương là V = a3 .
Thể tích của hình lập phương khi cạn h tăng thêm 2cm là V' = (a+2)3
a = 3 (nhận)
Theo đề : V' − V = 98 ⇔ (a+2)3 − a3 = 98 ⇔ a 2 + 2a − 15 = 0 ⇔ 
a = −5 (loại)
Vậy cạnh của hình lập phương đã cho là a = 3cm
7 Đáy của hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60o Đường chéo lớn của đáy bằng đường
.
chéo nhỏ của hình hộp . Tính thể tích của hình hộp .
Giải
·
gABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o ⇒ ∆ABD là tam giác đều cạnh a
BD = a

⇒
a 3
=a 3
AC = 2AO = 2.

2
gTheo đề : Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình

hộp nên AC = B'D = a 3
g∆B'BD vuông tại B nên BB'2 = B' D2 − BD2 = 3a2 − a2 = a 2
Vaäy V= SABCD .BB' = 2.SABD .BB' = 2.

a2 3
a3 6
.a 2 =
4
2

8 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60o . Tính thể tích của hình hộp.
Giải
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' . Kẻ A'K ⊥ AB và A'H ⊥ (ABCD) suy ra A'H ⊥ BD (1)
Vì BD ⊥ AC,BD ⊥ A'C' nên BD ⊥ (AA'C'C) (2)
Từ (1),(2) suy ra H ∈ AC .
1
·
g∆A'KA vuông tại K có A ' AK = 60o nên AK = a
2
a 3
·
g∆AKH vuông tại K có AKH = 30o neân AH =
3
a 6
⇒ A'H =
.
3
a2 3
g∆ABD là tam giác đều cạnh a nên SABD =
4

a2 3 a 6 a3 2
Vaäy V = SABCD .A ' H = 2SABD ' A ' H = 2.
.
=
4
3
2

9 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45o, cạnh bên của hình
hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳn g đáy một góc 45o
.Tính thể tích của khối hộp .
Giải
·
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' với BAD = 45o .
·
Kẻ A'H ⊥ (ABCD) tại H thì A ' AH = 45o

2
= 18 2
2
10 2
∆A ' HA vuông cân tại H nên A'H =
=5 2
2
Vậy thể tích hình hộp là V = SABCD .A ' H = 18 2.5 2 = 180(cm 2 )
Ta coù : SABCD = AB.AD.sin 45o = 6.6.

10 Với một tấm bìa hình vuông , người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm , rồi
gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp . Nếu dung tích của cái hộp đó là 4800cm 3 , hãy

tính độ dài cạnh của tấm bìa .
Giải
Gọi x là cạnh của tấm bìa ( x > 24)
Khi gấp lại ta được một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông có cạnh x − 24 và chiều cao h = 12
Khi đó thể tích hình hộp là V = (x − 24)2 .12

 x = 44 (nhận)
Theo đề : V = 4800 ⇔ (x − 24)2 .12 = 4800 ⇔ (x − 24)2 = 400 ⇔ x − 24 = ±20 ⇔ 
 x = 4 (loại vì x > 24)
Vậy cạnh tấm bìa có độ dài 44cm

- 2 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
·
11 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60 o, AB' hợp với đáy
(ABCD) một góc α . Tính thể tích của hình hộp .
Giải
g∆ABD là tam giác đều cạnh a nên SABD =

a2 3
4

a2 3 a2 3
=
4
2
g∆ABB' vuông tại B nên BB' = AB.tanα = a tan α
⇒ SABCD = 2.SABD = 2.

Vậy thể tích của hình hộp laø V = SABCD .BB' =

a2 3
3 3
.a tan α =
a tan α
2
2

Vấn đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tứ diện đều đã cho là ABCD . Khi đó ta coi đó chính là khối chóp A.BCD . Kẻ AH ⊥ (BCD)
tại H thì là tâm của tam giác đều BCD ( tâm của đường tròn ngoại tiếp )
Gọi M là trung điểm BC . Ta cóù : AH =
∆AHD vuông tại H nên :

2
2 a 3 a 3
AM = .
=
3
3 2
3

a 3 2
3a2 a 6
) = a2 −
=

3
9
3
1
1 a2 3 a 6 a3 2
Vaäy : VABCD = VA.BCD = .SBCD .AH = .
.
=
3
3 4
3
12
AH = AD2 − AH 2 = a2 − (

Chú ý : Tứ diện có thể coi là một khối chóp theo 4 cách khác nhau .
( Lấy 1 đỉnh làm chuẩn )

3 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 và các cạnh bên tạo với
mặt phẳng đáy một góc 60o Tính thể tích của khối chóp .
.
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH ⊥ (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
·
·
Vì H = hc
S ⇒ AH = hc
AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60 o
(ABC)

(ABC)

1
·
∆SHA vuông tại H có SAH = 60o nên AH = SA.cos60o = 2. = 1 ,
2
2
3
3
SH = AH.tan60o = 3 . Mặt khác : AH = AM ⇒ AM = .AH =
3
2
2
2.AM
2 3
Mà ∆ABC đều có đường cao AM neân AB =
=
. = 3
3
3 2
⇒ SABC =

AB2 . 3 3 3
=
4
4

Vậy thể tích của khối chóp là V =

1
1 3 3
3
.S
.SH = .
. 3=
3 ABC
3 4
4

4 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 5 và các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
45o. Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH ⊥ (ABCD) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi N là trung điểm AB . Khi đó : CH ⊥ AB hay NH ⊥ AB (1)
Vì H = hc (ABCD)S ⇒ NH = hc (ABCD)NS nên theo đlí ba đường vuông ta có SN ⊥ AB (2)
·
·
Từ (1),(2) ⇒ ((SAB);(ABCD)) = SNH = 45o
∆SNH vuông tại H , ta có : SH = NH.tan45o = NH

∆SHC vuông tại H , ta có : SC2 = SH 2 + HC2 ⇔ 5 = NH2 + (2NH)2 ⇔ NH = 1
Do đó : SH = NH = 1 . Vì ∆ABC đều có đường cao CH neân CH = 3NH = 3 .
AB. 3
2CH
6
⇒ AB =
=
=2 3

2
3
3
2
2
AB . 3 (2 3) . 3
⇒ SABC =
=
=3 3
4
4
1
1
Vậy thể tích của khối chóp là V = .SABC .SH = .3 3.1 = 3
3
3
Maø CH =

5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ⊥ (ABC) . Mặ t bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc α . Tính thể tích khối chóp .
Giải
Gọi M là trung điểm BC , vì ∆ABC đều nên AM ⊥ BC (1)
đl3đ ⊥

Do AM = hc(ABC)SM, AM ⊥ BC  SM ⊥ BC (2)
→
Mặt khác : (SBC) ∩ (ABC) = BC (3)
·
·
Từ (1),(2),(3) ⇒ ((SBC);(ABC)) = SMA = α

∆SAM vuông tại A nên SA = AH.tanα =

a 3
1
1 a2 3 a 3
a3
.tan α Vậy thể tích hình chóp là V= .SABC.SA = .
.
.tan α = tan α
2
3
3 4
2
8

- 3 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α.
Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH ⊥ (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
·
·
Vì H = hc
S ⇒ AH = hc

AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = α
(ABC)

(ABCD)

·
∆SHA vuông tại H có SAH = α neân AH = SA.cosα = a.cosα .
SH = AH.tanα = a cos α.tanα = asin α .
2
3
3
Mặt khác : AH = AM ⇒ AM = .AH = a cos α
3
2
2
2.AM
2 3
Mà ∆ABC đều có đường cao AM nên AB =
=
. a cos α = 3a cos α
3
3 2

( 3a cos α)2 . 3 3 3a2 cos2 α
=
4
4
1
1 3 3a2 cos2 α
3 3

Vậy thể tích của khối chóp là V = .SABC .SH = .
.asi n α =
a cos2 α sin α
3
3
4
4
⇒ SABC =

7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC =
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60o
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải
a) Dựng SH ⊥ (ABC)

a 3
và
2

a 3
⇒ HA = HB = HC
2
⇒ H là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Vì ∆ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .
Ta có : SA = SB = SC =

a 3 2 a 2 3a2
a 2

) −( ) =
⇒ SH =
2
2
4
2
·
·
b) Do SH ⊥ (ABC) ⇒ H = hc(ABC)S ⇒ AH = hc(ABC)AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60 o

Do SH2 = SB2 − HB2 = (

SH
·
·
∆SAH vuông tại H nên tanSAH =
= 2 ⇒ SAH = acr tan 2
AH

c) Gọi M là trung điểm AB

Do SH ⊥ (ABC) ⇒ H = hc(ABC)S ⇒ MH = hc(ABC)MS mà HM ⊥ AB (1) vì HM // AC
đlí 3 đ ⊥

 MS ⊥ AB (2)
→
·
·
Từ (1),(2) ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60o
∆SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60o =

a 2 1
a 6
a 6
.
=
⇒ AC = 2MH =
,
2
6
3
3

a
a 6 2 a 3
a 3
MB = HB2 − MH2 = ( )2 − (
) =
⇒ AB = 2MB =
2
6
6
3
1
1 a 3 a 6 a2 2
1

⇒ SABC = .AB.AC = .
.
=

2
2 3
3

6

1 a2 2 a 2 a3
⇒ V = .SABC .SH = .
.
=
3
2 6
2
12

8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đườn g cao hạ từ A của ∆SAC .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') .
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' .
HD
1
1 a 2 a3
a) Ta coù : VS.ABC = .SABC .SA = .a. =
3
3 2
6
b) Ta coù :
BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB' (1)


BC ⊥ SA
∆SAB cân tại A nên SB ⊥ AB' (2)
Từ (1),(2) suy ra AB' ⊥ (SBC) ⇒ AB' ⊥ SC . Mặt khác : AC' ⊥ SC nên SC ⊥ (AB'C')
c) Ta có
1
1
VS.AB' C' = .SC'.SAB' C' = .SC'.AB'.B'C'
3
6
1
a 2
g∆SAB vuông cân tại A, ta coù : SB = a 2,AB' = SB' = SB =
2
2
g∆SAC vuông cân tại A, ta có : SC 2 = SA 2 + AC2 = SA 2 + AB2 + BC2 = 3a2 ⇒ SC = a 3
SA 2 = SC'.SC ⇒ SC' =

SA 2
a2
a 3
=
=
SC a 3
3

a 2
B'C' SB'
6
a 6

=
= 2 =
⇒ B'C' =
BC
SC a 3
6
6
3
1 a 3 a 2 a 6 a
Vaäy V = .
.
.
=
6 3
2
6
36

- 4 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 .
Giải
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD .
1
Ta có : SH ⊥ (ABCD) tại H và AH = AC = 2
2
Vì ∆SHD vuông tại H nên SH = SD 2 − HD 2 = 11 − 2 = 3
1

1
Vaäy V = .SABCD .SH = .2 2.3 = 4
3
3
10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó .

Giải
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD.
gCạnh đáy : a = 4 = 2

1
gMặt bên : SSCD = 2 ⇔ .CD.SM = 2 ⇔ SM = 2
2
gChieàu cao : SH = SM2 − HM 2 = 2 − 1 = 1

Vậy thể tích của khối chóp là V =

1
1
4
.S
.SH = .4.1 =
3 ABCD
3
3

11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA ⊥ (ABCD) và
cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đá y một góc 30o . Tính thể

tích của khối chóp S.ABCD .
Giải
Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ A = hc(ABCD)S ⇒ AC = hc(ABCD)SC
·
·
⇒ (SC;(ABCD)) = SCA = 30o
g∆SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 o = 2.
AC 2
) =2
2
1
1 2 3 4 3
gV = .SABCD .SA = .2.
=
3
3
3
9

3 2 3
=
2
3

⇒ SABCD = AB2 = (

12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a .
a) Tính diện tích ∆SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD ⊥ SC .

c) Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SBD) .
d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
Giải
a) Ta có : SA ⊥ (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD .
1
gNối S và H thì SH ⊥ BD (Đlí 3 đ ⊥ ) nên SBCD = .BD.SH
2
a 2 2
a 6
1
a 6 a2 3
2
2
2
g∆ASH vuông tại A : SH = SA + AH = a + (
) =
⇒ SBCD = .a 2.
=
2
2
2
2
2
BD ⊥ AC ( hai đường chéo hình vuông)
b) Ta có : 
⇒ BD ⊥ (SAC) mà SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC
BD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD))
·
·
c) Kẻ CK ⊥ SH thì CK ⊥ BD ( do BD ⊥ (SAC)) ⇒ CK ⊥ (SBD) ⇒ K= hc(SBD)C ⇒ (SC;(SBD)) = CSH

Áp dụng đlí hàm số cosin trong ∆SCH ta được :

2 2
2 2
·
·
·
HC2 = SH 2 + SC2 − 2SH.SC.cos HSC ⇒ cos HSC =
⇒ HSC = acr cos
.
3
3
3
1
1
a
d) V = .SABCD .SA = .a2 .a =
3
3
3

12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a vaø SA = SB = SC = SD = a .
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a .
b) Tính cosin của góc nhị dieän (SBA,SAD) .

HD

a) gStp = SABCD + 4.SSAB = a2 + 4.
gV =

a2 3
= (1 + 3)a2 .
4

1
a 2 2 a 2
1
a 2 a3 2
.SABCD .SH , ta coù : SH = SA 2 − HA 2 = a2 − (
) =
⇒ V= .a2 .
=
3
2
2
3
2
6

·
b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM ⊥ SA và DM ⊥ SA ⇒ α = BMD là góc phẳn g của nhị diện
(SAB,SAD) .
Áp dụng đlí hàm số cosin trong ∆BMD ta được :

3a2 3a2
3a2
1
·
·

·
BD2 = MB2 + MD2 − 2MB.MD.cos BMD ⇒ 2a 2 =
+
− 2.
.cos BMD ⇒ cos BMD = −
4
4
4
3

- 5 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạ nh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc α . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
HD
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và mặt đáy là hình
vuông ABCD có tâm H .
·
·
·
·
Kẻ đường cao SH , ta có SAH = SBH = SBH = SBH = α
a 2
tan α
2
3
1
1

a 2
a 2
Vaäy V = .SABCD .SH = .a2 .
tan α =
tan α
3
3
2
6
Xét ∆SAH vuông tại H nên SH = AH .tanα =

14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc α . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .

HD
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
·
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH = α
a
tan α
2
1
1
a
1
V = .SABCD .SH = .a2 . tan α = a3 tan α
3
3
2
6

SH = HM.tan α =

15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
·
đáy AB = a và SAB = α . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α .
HD
Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB .
Khi đó : SH ⊥ (ABCD) và HM ⊥ AB .
đlí 3 đ ⊥

Vì H = hc(ABCD)S ⇒ HM= hc(ABCD)SM  SM ⊥ AB
→

a
a2
∆SMA vuông tại M nên SH 2 = SM 2 − HM 2 = ( tan α)2 −
=
2
4
a2
a
= (tan2 α − 1) ⇒ SH =
tan 2 α − 1
4
2
1
1
a
a3

Vaäy V= .SABCD .SH = .a2 .
tan 2 α − 1 =
tan 2 α − 1
3
3
2
6
π
π
Với điều kiện tan 2 α − 1 > 0 ⇔ < α <
4
2

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bê n là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng α .

HD
·
gGọi BSH = β . Áp dụng ñl cosin vaøo ∆SBD vaø ∆SBC :

BD2 = 2SB2 (1 − cos2β) ⇔ BC2 = 2SB2 .sin 2 β
2
 ⇒ sin β = 1 − cos α
2
2
2
BC = 2SB (1 − cos α) ⇔ cos α = cos β


gSABCD = BC2 = 2HB2 = 2a2 tan2 β = 2a2 .

⇒ S=

4a2 sin2
cos α

1 − cos2 β
cos2 β

= 2a2 .

1 − cos α
cos α

α
2

1
1
gV = .SABCD .SH = .
3
3

α
2α
3 sin
2 .a = 4a .
2
cos α
3 cos α

4a2 sin2

17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vuông BCDE có cạnh bằng a .
Vì mặt BCDE chia khối tám mặ t đều thành hai phần bằng nhau nên :
1
1
a 2 a3 2
VABCDEF = 2.VABCDE = 2. .SBCDE .AO = 2. .a2 .
=
3
3
2
3
18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương .
Giải . Khối lập phương có cạnh bằn g a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a 2
2
Thật vậy : ∆AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :
có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng

a
a
a 2
AB = OA 2 + OB2 = ( )2 + ( )2 =
2

2
2
Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
1
1 a 2 2 a a3
VABCDEF = 2.VA.BCDE = 2. .SBCDE .AO = 2. .(
) . =
3
3 2
2 6
( xem hình baøi 17 )

- 6 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đều .
a
Giải . Khối tám mặt đều được tạ o thành có các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC .
Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD . Tam giác APQ vuông tại P .
Ta coù : PQ =

AQ 2 − AP 2 = (

a 3 2 a 2 a 2
) −( ) =
2

2
2

∆PRQ vuông tại R và PQ 2 = RP 2 + RQ 2 ⇔ 2RP 2 = PQ 2 =

a2
2

a2
a
a 2
⇒ cạnh RP = ⇒ đường cao AO =
.
4
2
4
Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thà nh hai phần bằng nhau neân :
⇒ RP 2 =

1
1 a a 2 a3 2
VABCDEF = 2.VA.BCDE = 2. .SBCDE .AO = 2. .( )2 .
=
3
3 2
4
24

a 5
·

20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD = 60o, SA = SC =
, SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
b) Chứng minh rằng : (SAC) ⊥ (SBD) .
c) Tính Stp của hình chóp .

Giải
a) Gọi O = AC ∩ BD
SA = SC
SO ⊥ AC,AC ⊂ (ABCD)

Ta coù : SB = SD
⇒
⇒ SO ⊥ (ABCD)
O là trung điểm AC vaø BD SO ⊥ BD,BD ⊂ (ABCD)

⇒ O = hc(ABCD)S ⇒ SO là đường cao của S.ABCD
gOA =

a 3
( đường cao ∆ABD đều cạnh a )
2

5a2 3a2 a 2
−
=
4
4
2

1
1 a 2
a2 3
gSABCD = 2SABD = 2. .OA.BD = 2. .
.a =
2
2 2
2
2
3
1
1 a 2 a 3 a 6
⇒ V = .SO.SABCD = .
.
=
3
3 2
2
12
b) Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD)
AC ⊥ BD (đ/c hình thoi)
AC ⊥ (SBD)

Ta có : AC ⊥ SO ( vì SO ⊥ (ABCD)) ⇒ 
⇒ (SAC) ⊥ (SBD)
AC ⊂ (SAC)
SO ⊂ (SBD)

c) Stp = 4SSCD + SABCD ( Vì ∆SCD = ∆SBC = ∆SAB = ∆SAD )
g∆SOA vuông tại O , ta có : SO = SA 2 − AC2 =

SD + SC + DC a( 3 + 5 + 2)
=
2
2
Áp dụng công thức He-rông ta đượ c : SSCD = p(p − SD)(p − SC)(p − DC)
a
p − SD = ( 5 + 2 − 3)
(1)
4
a
p − SC = ( 3 − 5 + 2)
(2)
4
a
p − DC = ( 3 + 5 − 2) (3)
4
a2 11
a2
a2
Vaäy : SSCD =
[( 3 + 5)2 − 2][4 − ( 3 − 5)2 =
60 − 16 =
16
16
8
a2 11 a2 3 a2
⇒ Stp =
+
= ( 11 + 3)

2
2
2

gTính SSCD : Vì nửa chu vi p =

Vấn đề 3 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính thể tích của lăng
trụ .
Giải
Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C'
Ta có : V = AA '.SABC = 2a.

a2 3 a3 3
=
4
2

2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm . Mặt đáy của lăng trụ là một tam
giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích là 30cm 2 . Tính diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ .
Giải
Gọi hình lăng trụ là ABC.A'B'C'
g∆ABC vuông tại B , AC = 13cm
SABC = 30cm 2 , AA ' = 20cm
Goïi x,y là hai cạnh góc vuông của ∆ABC . Điều kieän : 0 < x,y < 13 .

- 7 -

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
x2 + y 2 = 132 = 169
2



Theo đề :  1
⇔ (x + y) − 2xy = 169
xy = 60

 xy = 30
2
 (x + y)2 = 169 + 2xy = 289 ⇒ x + y = 17
→

Vậy : Sxq = CVi đáy × cạnh bên = (17+13) × 20 = 600cm 2
Stp = Sxq + 2.Sđáy = 600 + 2.30 = 660cm 3

3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện
tích xung quanh bằng 480 . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 ⇒ p = 40 .
480
Chiếu cao của khối lăng trụ : h =
=6
80
Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của khối lăng trụ là :
S = 40(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180
Vậy thể tích khối lăng trụ : V = S.h = 1080 .

4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30o và
có chiều cao bằng 8 . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Gọi khối lăng trụ là ABC.A'B'C' . Kẻ A'H ⊥ (ABC) tại H .
·
·
Ta có : H = hc
A ' ⇒ AH = hc
AA ' ⇒ (AA ';(ABC)) = A ' AH = 30o
(ABC)

Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 .

(ABC)

Diện tích : S = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84
1
∆A ' HA vuoâng tại H : A'H = AA'.sin30o = 8. = 4
2
Thể tích : V = S.h = 336

5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
19 + 20 + 37
gNửa chu vi đáy : p =
= 38
2
gDiện tích đáy : S = 38(38 − 19)(38 − 20)(38 − 37) = 114

19 + 20 + 37 76
gChiều cao : h =
=
3
3
76
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114.
= 2888
3
·
6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ∆ABC vuông tại A , AC = a , ACB = 60o.Đường thẳng
BC′ , tạo với mp(AA′C′C) một góc 30o .
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′ .
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .

Giải
a) Tính AC'
g∆ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60o = a 3
gTa coù : AB ⊥ AC,AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C) ⇒ A= hc(AA 'C' C)B
·
·
⇒ AC'= hc
BC' ⇒ (BC';(AA 'C'C)) = BC' A = 30 o
(AA 'C'C)

∆AC'B vuông tại A ⇒ AC' =

AB
a 3
=

= 3a
tan30o 1/ 3

b) gAA'= AC'2 − A 'C'2 = (3a)2 − a2 = 2 2a
gSABC =

a2 3
2

Vaäy : VABC.A′B′C′ = AA '.SABC = 2 2a.

a2 3
= a3 6
2

7 Cho laêng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' ⊥ (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .
Giaûi
VABCC'B' = VABC.A'B'C' − VAA'B'C' = a.

a2 3 1 a2 3 a3 3
− .a.
=
4
3
4
6

8 Cho lăng trụ xiên ABC.A ′B′C′có đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vuông góc của A lên mp
Vì I = hc(ABC)A ' ⇒ AI = hc(ABC) AA '

(ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối lăng
·
·
⇒ (AA ';(ABC)) = A ' AI = 60o
trụ này .
Giải
a 3
3a
·
∆A ' IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA ' IA =
. 3=
Theo đề : A'I ⊥ (ABC)
2
2
⇒ A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.SABC
3a a2 3 3 3a3
Vaäy : V = A'I.SABC = .
=
a 3
2
4
8
∆ABC đều có đường cao AI =
2

- 8 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'

cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o .
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó .
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .
Giải
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC . Vì A'A = A'B = A'C
nên A'O ⊥ mp(ABC) .
·
Vậy : A ' AO = 60o
a 3
. 3 =a
3
a2 3
a3 3
Vậy thể tích cần tìm là V = SABC .A 'O =
.a =
4
4
b) Vì BC ⊥ AO nên BC ⊥ AA' hay BC ⊥ BB' . Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật
c) Gọi H là trung điểm của AB . Ta có :
Từ đó ta có : A'O = AO.tan60o = AO. 3 =

Sxq = 2.SAA ' B' B + SBB'C 'C = 2.A 'H.AB + BB'.BC =

a2 3
(2 + 13 )
3

10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a.
Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N .

a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB .
b) Chứng minh rằng : AN ⊥ A'B .
c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN .
d) Tính diện tích ∆AMN .
Giaûi
1
1
a) VC.A 'AB = VA '.ABC = .SABC .AA ' = .a.2a.3a = a3
3
6
b) Ta coù : CB ⊥ AB,CB ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABC)) , suy ra : CB ⊥ (A'AB)
Mặt khác : AN ⊥ CA' ( do CA' ⊥ (AMN)) .
Suy ra : AN ⊥ A'B (đlí 3 đường ⊥ )
c) Ta có : VA '.AMN = VM.AA ' N = VM.AA 'B ( Vì NB//AA')
= VC.AA ' B ( do MC//(AA'B))
= a3 .
3.VA '.AMN
d) SAMN =
=
A'I

3a3
2

(3a)

=

a2 14
3

2

a + (2a)2 + (3a)2

11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
(BB'C'C) bằng ϕ .
a 3
.
2sin ϕ
b) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ .
c) Tính thể tích của lăng trụ .
Giải
a) Gọi I là trung điểm của BC .
 AI ⊥ BC
·
Ta có : 
⇒ AI ⊥ (BB'C'C) ⇒ AB' I = ϕ vaø AI ⊥ B'I
 AI ⊥ BB'
a) Chứng minh rằng : AB' =

∆AB'I vuông tại I , ta có : AB' =

AI
a 3
=
.
sin ϕ 2sin ϕ

b) ∆AB'B vuông tại B nên BB'2 = AB'2 − AB2 =

⇒ BB' =

a
2 sin ϕ

c) V= SABC .BB' =

3a2

4sin2 ϕ

a
3 − 4sin 2 ϕ ⇒ Sxq = 3a.
2sin ϕ

a2 3
a
.
4 2sin ϕ

3 − 4 sin 2 ϕ =

− a2 =

3a2
4 sin2 ϕ

3 − 4 sin 2 ϕ =

a3 3

8sin ϕ

(3 − 4sin 2 ϕ)

3a2
2 sin ϕ

3 − 4 sin 2 ϕ .

3 − 4 sin 2 ϕ

·
12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′ C′ có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC = α ;
BC′ hợp với mặt đáy (ABC) một góc β . Gọi I là trung điểm cạnh AA′ .
·
Biết BIC = 90o .
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .

b) Chứng minh : tan2 α + tan2β = 1
Giải
a) Gọi H là trung điểm của BC .
∆ABC cân tại A nên AH ⊥ BC (1)
Mặt khác : AI ⊥ (ABC) ⇒ A = hc(ABC)I ⇒ AH = hc(ABC)IH (2)

Từ (1) , (2) suy ra : IH ⊥ BC ( Đlí 3 đường ⊥ )

⇒ ∆BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I .

- 9 -

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
AH 2AH
b) ∆AHB vuông tại H cho tanα =
=
BH
BC
·
Mặt khác : C = hc(ABC)C' ⇒ BC = hc(ABC)BC' ⇒ C' BC = β
∆BCC' cho tanβ =

CC' AA '
=
BC BC

Mặt khác : ∆IAH vuông tại H cho IA 2 + AH 2 = IH2 ⇒
Chia hai veá cho

AA '2
BC2
+ AH 2 =
4
4

BC2
AA '2 4AH 2
ta được :
+
= 1 ⇔ tan 2 α + tan 2 β = 1
4

BC2
BC2

Vaán đề 4 : TỈ SỐ THỂ TÍCH
1 (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba
điểm A', B', C' khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' .
V SA SB SC
Chứng minh rằng :
=
.
.
V ' SA ' SB' SC '
Giải
Gọi H , H' theo thứ tự là hình chiế u vuông góc
của A,A' lên mặt phẳng (SBC) . Ta có : S,H,H'
thẳng hàng , vì chúng cùng nằm trên hình chiếu
vuông góc của tia SA lên mặt phẳn g (SBC) .
1
.AH.SABC
V
SA SB SC
Khi đó :
= 3
=
.
.
V' 1
SA ' SB' SC'
.A ' H '.SSB' C'
3

2 (Bài 25-P29 SGK) Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện
V
3
A'B'C'D' thì A ' B'C' D ' = k
VABCD
Giải
Gỉa sử có phép vị tự V tỉ số k tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' . Khi đó :
gV biến đường cao AH của hình chóp ABCD thành đường cao A'H' của hình chóp A'B'C'D' .
Do đó : A'H' = k AH
gV biến ∆BCD thành ∆B'C' D ' neân SB'C' D' = k 2 .SBCD
1
VA ' B'C' D' 3 .SB'C' D' .A ' H '
3
Suy ra :
=
= k2. k = k .
1
VABCD
.S
.AH
3 BCD
3 (Baøi 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB
và AD . Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần . Tính thể tích của mỗi phần đó .
Giải
Gọi V1 là thể tích của phần chứa điểm A và V2 là thể tích phần còn lại .

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích , ta coù :
V
AB' AC AD ' 1 1 1 1

= A.B'CD' =
.
.
= . . = ⇒
VA.BCD
AB AC AD 2 1 2 4
1
1
1
⇒ VA.B'CD' = VA.BCD ⇒ VA.B'CD ' = V ⇒ V1 = V
4
4
4
3
Suy ra : V2 = V
4
V1

V2

4 (Baøi 2-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Hãy tính
thể tích của hình tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt
của tứ diện đã cho .
Giải
Gọi G1,G 2 ,G3 ,G 4 và G lần lượt là trọng tâm của các ∆ABC,∆ABD, ∆ACD,∆BCD và của tứ diện ABCD.
1
Xét phép vị tự tâm G tỉ số k = − , ta coù : V
1 (ABCD) = (G1G 2G3G 4 )
3
(G;− )

3

VG G G G
1 1 1 1
V
1 2 3 4
Suy ra :
= . . =
hay VG G G G =
1 2 3 4
VABCD
3 3 3 27
27

5 (Bài 16-P28 SGK) Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai
khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước .
Giải
Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = kCE .
Hạ AM , AN lần lượt vuông góc với mp(BDE) tại M và N.
1
.AM.SBDE
V
AM AE
Khi đó : A.BDE = 3
=
=
=k
VC.BDE 1
CN CE
.CN.SBDE

3

- 10 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
5 (Bài 24-P29 SGK) Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình
hành, M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng (P) đi qua
AM , song song với BD chia khối chóp thành hai phần .Tính
tỉ số thể tích của hai phần đó .
Giải
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD và G là giao của SO với AM
SG 2
thì G là trọng tâm của ∆SAC . Vậy :
=
SO 3
Vì mp(P) song song với BD nên nó cắt mp(SBD) theo giao tuyến
B'D' đi qua G và B'D'//BD ( với B' ∈ SB,D' ∈ SD)
SB' SD ' SG 2
Suy ra :
=
=
=
SB SD SO 3
Mp(P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần : khối
chóp S.AB'MD' và khối đa diện ABCDB'MD'
V
V
SA SB' SD' 2 2 4
2

Ta có : S.AB' D' =
.
.
= . = ⇒ S.AB' D' =
VS.ABD
SA SB SD 3 3 9
VS.ABCD 9
VS.MB' D' SM SB' SD ' 1 2 2 2
V
1
=
.
.
= . . = ⇒ S.MB' D' =
VS.CBD
SC SB SD 2 3 3 9
VS.ACBD 9
V
V
+ VS.MB' D' 2 1 1
V
1
Suy ra : S.AB' MD' = S.AB' D'
= + = ⇒ S.AB' MD' =
VS.ACBD
VS.ACBD
9 9 3
VACBDB' MD' 2
Chú ý : Để áp dụng được công thứ c tính tỉ số của thể tích thì buộc phải
chia khối đa diện đã cho thành các khối tứ diện

6 (Bài 22 - P28 SGK) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' .
Gọi M là trung điểm của AA' . Mặt phẳng đi qua M,B',C chia khối
lăng trụ thành hai phần . Tính tỉ số thể tích của hai phần đó .
Giải
Gọi a là cạnh của ∆ABC và V là thể tích của khối lăng trụ :
V = VABC.A'B'C' = AA '.SABC = a.
Kẻ CH vuông góc với AB , ta có :

a2 3 a3 3
=
4
4

1
1 a 3 1
a
a3 3
V' = VC.ABB' M = .CH.SABB' M = .
. (a + ).a =
3
3 2 2
2
8
a3 3
V
V'
8
Do đó : C.ABB' M =
=

=1
VCC' B' A ' M V − V ' a3 3 a3 3
−
4
8

6 (Bài 5 - P31 SGK) Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB . Mặt phẳng
(B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần . Tính tỉ số thể tích hai phầ n đó .
Giải
a3 3
4
Gọi I là giao điểm của đường thẳng MB' và đường thẳng AA' , N là giao điểm của IC' và AC .
Thiết diện của khối lăng trụ khi cắt bởi mp(B'C'M) là hình thang cân B'C'NM . Mặt phẳng (B'C'M)
chia khối lăng trụ thành hai phần .
Gọi V1 là thể tích của phần chứa cạnh AA' và V2 là thể tích phần còn lại .
Gỉa sử khối lăng trụ có đáy là S và chiều cao AA' = h . Khi đó :
1
1
V1 = VAMN.A ' B' C' = VI.A ' B'C' − VI.AMN = .SA ' B' C' .IA '− .SAMN .IA =
3
3
1
1 S
7
7
7
= .S.2h − . .h = Sh = VABC.A ' B'C' = (V1 + V2 )
3
3 4
12

12
12
V
7
Từ đó suy ra : 12V1 = 7( V1 + V2 ) ⇔ 1 =
V2 5
Gọi a là cạnh của lăng trụ , ta có : VLT =

C. BÀI TẬP
1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC .

ĐS : V =

2 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ AB, SA ⊥ BC , BC ⊥ AB . Bieát AB = BC = a 3, SA = a .Tính thể

a3
8

a3
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
tích của khối chóp S.ABC .

ĐS : V =

đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp đó .
.

ĐS : V = 16 3

a 3
µ
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A = 60o , SA = SB = SD =
.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .

VS.ABCD =

b) Chứng minh rằng : (SAC) ⊥ (SBD) .

a3 5
12

a2
( 2 + 2 3)
2
5 Cho S.ABC laø hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình
chóp ấy .
HD : Kẻ SH ⊥ (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điểm BC , ta được :
a 3
1
a2 3
2
2
2
2
c) Tính Stp của hình chóp .

AM =

3

,SH =

3

Stp =

9b − 3a ⇒ V =

36

9b − 3a

- 11 -


CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .
a) Tính thể tích của khối chóp H.ABC .

VH.ABC =

b) Chứng minh rằng : AH ⊥ SB và SB ⊥ (AHK) .

a3 3
7

2a3 3
21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A ′B′C′D′ . Biết khối chóp C.C′B′D′ là một tứ diện đều cạnh a .
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .

VH.ABC =

V=

a3 2
2

8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ∆ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC)
vuông góc với đáy và SA = 2a .
a) Tính thể tích của khối chóp .
b) Tính Stp của khối chóp .
Đáp số : a) V=

a3 3
6

b) Stp =

a2
(8 +
4

3 + 19)

9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặ t đáy một góc 30o,mặt bên (SDC) tạo với mặt đáy một góc 60o
.
a) Tính thể tích của khối chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .
30
2 2
·
b) Sxq = 2(1 + 3)
c) SCA = arctan
3
10
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông gó c mặt đáy, SA=AB= a.
a) Tính diện tích ∆SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD ⊥ SC .
·
c) Tính (SC,(SBD)).
Đáp số : a) V =

d) Tính thể tích hình chóp .

Đáp số : a) SSBD =

a2 3
2

2 2
·
c) HS C = arccos

3

d) VS.ABCD =

a3
3

11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A ′B′C′ có chiều cao h và hai đường thẳng B′C,BC′ vuông góc với nhau .
Tính thể tích lăng trụ đó.

V=

h3 3
4

12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường thẳng d vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm M . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác BMC
a) Chứng minh rằng : MC ⊥ (BHK) , HK ⊥ (BMC) .
b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC .

V=

a3
48

1
13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ
3
V
diện ABMD và ABMC .

Đáp số : ABDM = 2
VABCM

14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C′ . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB′C′C và khối
lăng trụ ABC.A′B′C′
V
2
Đáp số : A.BB'C'C =
VABC.A'B′C′ 3

- 12 -