Phương pháp giải các bài toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển
những cơ sở ban đầu để hình thành nhân cách mỗi con người.
Trong các môn học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị
trí đặc biệt quan trọng bởi các kiến thức, kĩ năng của môn Toán có nhiều ứng dụng
trong đời sống mỗi con người và rất cần thiết cho mọi người lao động. Môn Toán
là môn công cụ giúp học tập các môn học khác ở tiểu học và học tập môn Toán
trung học. Môn Toán còn giúp học sinh nhận biết được những mối quan hệ về số
lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có
phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động
có hiệu quả trong đời sống
Môn Toán còn góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ,
phương pháp suy luận giải quyết vấn đề, nó góp phần phát triển trí thông minh,
cách suy nghĩ độc lập của học sinh.
Từ những yêu cầu trên, cho thấy việc giảng dạy môn Toán ở bậc tiểu học có vai trò
quan trọng trong quá trình hình thành nhân cách của học sinh. Trong chương trình
môn Toán bậc tiểu học, việc dạy các bài toán về dãy số là một trong những dạng
toán giúp học sinh rèn luyện về trí tuệ, đồng thời giúp học sinh hình thành những
kỹ năng biến đổi các phép tính, các dãy tính để hình thành được quy luật của dãy
số. Nó giúp các em định hướng được cách giải để tìm ra kết quả dãy số cần tìm.
Chính vì vậy, việc nâng cao hiệu quả giảng dạy các dạng bài tập về dãy số để bồi
dưỡng học sinh giỏi ở bậc tiểu học là một việc rất cần thiết của mỗi giáo viên để
nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn nâng cao hiệu quả giảng dạy
về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ở trường Tiểu học, tôi đã nghiên cứu và rút ra
kinh nghiệm: "Phương pháp giải các bài toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ".
Qua kinh nghiệm này, tôi xin đưa ra một vài ý kiến về phương pháp giảng dạy,
nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân và các bạn đồng nghiệp, mong
phần nào nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán nói chung và nhất là nâng cao
hiệu quả giảng dạy về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ở trường Tiểu học

II. MỤC ĐÍCH:
Việc chọn nghiên cứu kinh nghiệm "Phương pháp giải các bài toán về dãy số cho
học sinh giỏi lớp 5 " nhằm mục đích:
- Nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán cho học sinh lớp 5 trong trường Tiểu
học.
- Rèn được kỹ năng giải các dạng bài tập về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5, kỹ
năng tìm quy luật dãy số và biến đổi dãy số cho học sinh.
- Rèn luyện cách tính nhanh, nhẩm nhanh kết quả một dãy tính, để vận dụng vào
tính nhẩm trong cuộc sống hàng ngày cho mỗi học sinh lớp 5.
III. PHẠM VI:
1. Điều tra việc giảng dạy các dạng bài tập về dãy số trong môn Toán của giáo viên
dạy lớp 5 trường Tiểu học Phú Xá.
2. Điều tra việc học Toán và làm bài tập với các dạng bài về dãy số của học sinh
lớp 5 trường Tiểu học Phú Xá.
3 . Phạm vi về quy mô:
- Nghiên cứu trên 2 đối tượng:
+ Học sinh giỏi.
+ Học sinh khá.
4. Phạm vi về không gian:
- Nghiên cứu tại lớp 5A, 5B, 5C, 5D trường Tiểu học Phú Xá - Thành phố Thái
Nguyên.
5. Phạm vi về thời gian:
- Nghiên cứu trong thời gian một năm học: năm học 2011 – 2012.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1 - Khảo sát chất lượng dạy và học dạng bài tập về dãy số lớp 5A, 5B, 5C, 5D
trường Tiểu học Phú Xá - Thành phố Thái Nguyên.
2- Tìm ra nguyên nhân dẫn đến chất lượng học dạng bài tập về dãy số chưa tốt
của học sinh.
3- Tìm biện pháp gây hứng thú học dạng bài tập về dãy số, nhằm nâng cao chất
lượng làm dạng bài tập về dãy số cho học sinh.

4- Dạy thực nghiệm trên đối tượng học sinh khá giỏi lớp 5A, 5B, 5C, 5D trường
Tiểu học Phú Xá - Thành phố Thái Nguyên.
5 - Thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh qua việc sử dụng phương pháp giảng dạy
mới.
6- Tổng kết kinh nghiệm.
V. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU TRA, NGHIÊN CỨU:
1. Phương pháp điều tra khảo sát.
2. Phương pháp thử nghiệm.
3. Phương pháp thực hành.
4. Phương pháp phân tích tổng hợp.
5. Phương pháp kiểm tra đánh giá.
6. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
7. Phương pháp tổng két kinh nghiệm.
VI. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:
- Tháng 9: Điều tra, khảo sát chất lượng dạy và học môn Toán, giảng dạy các bài
tập về dãy số trong môn Toán lớp 5.
- Tháng 10: Tìm biện pháp giảng dạy thích hợp. Dạy thực nghiệm.
- Tháng 11, tháng 12, tháng 1, tháng 2: Dạy thực nghiệm.
- Tháng 3, tháng 4: Đúc rút viết thành kinh nghiệm, sáng kiến để phổ biến rộng rãi
trong trường.
- Tháng 5: Tổng kết kinh nghiệm, viết sáng kiến kinh nghiệm.

PHẦN II: NỘI DUNG:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Xuất phát từ yêu cầu đặt ra trong quá trình dạy và học. Trong chương trình
giáo dục Tiểu học hiện nay, môn Toán cùng với các môn học khác trong nhà
trường Tiểu học có những vai trò góp phần quan trọng đào tạo nên những con
người phát triển toàn diện.
Toán học là môn khoa học tự nhiên có tính lôgíc và tính chính xác cao, nó là chìa
khoá mở ra sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Vì vậy người giáo viên

phải gây được hứng thú học tập cho học sinh để các em tích cực, chủ động tiếp thu
kiến thức. Việc dạy học Toán theo chương trình sách giáo khoa và giải các bài toán
nâng cao đối với học sinh khá giỏi là hết sức cần thiết, nó giúp cho việc rèn luyện
tư duy, làm quen với cách phân tích, tổng hợp. Tao điều kiện cho học sinh hoạt
động học tập một cách chủ động, linh hoạt, sáng tạo. Từ đó học sinh mới có thể tự
mình tìm tòi, phát hiện, tri thức mới, có hứng thú, tự tin trong học tập.
Nhiều năm học qua, bản thân tôi được giao nhiệm vụ trực tiếp bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 3; 4; 5, tôi luôn luôn trăn trở đi sâu tìm hiểu những vấn đề còn vướng mắc
trong giảng dạy. Thực tế cho thấy khi giảng dạy có rất nhiều học sinh nắm lí thuyết
một cách máy móc và khi vận dụng vào thực hành thì gặp nhiều lúng túng khó
khăn. Tôi nhận thấy trong chương trình Toán ở bậc Tiểu học, các vấn đề về dãy số,
quy luật của dãy số đã trở thành một chủ đề khá quan trọng trong chương trình
toán nâng cao lớp 3, lớp 4, lớp 5. Các bài toán về dãy số cũng hay xuất hiện trong
các kì thi học sinh giỏi Toán ở bậc Tiểu học. Vì thế, việc tìm ra quy luật của dãy
số, nắm được cách giải thành thạo các bài toán về dãy số là một yêu cầu cần thiết
đối với tất cả các em học sinh ở cuối bậc Tiểu học, đặc biệt là đối với các em học
sinh khá giỏi.
Vậy dạy và học như thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức, vận dụng kiến thức đã
học để giải toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp một cách linh hoạt, chủ
động? Đó là điều trăn trở của mỗi giáo viên Tiểu học nói chung và của mỗi giáo
viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng.
Từ cơ sở lý luận trên, tôi đã nghiên cứu những mặt còn tồn tại trong quá trình
dạy và học dạng toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5. Để tìm ra những biện pháp
giảng dạy đạt được hiệu quả cao nhất trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi
môn Toán cho học sinh lớp 5 trường Tiểu học Phú Xá.
II. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY VÀ HỌC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Ở LỚP 5:
Những năm qua, trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở tiểu học,
tôi đã cố gắng trong việc thực hiện đổi mới phương pháp học để phát huy tối đa
khả năng tư duy, óc sáng tạo của học sinh, giúp các em nâng cao kiến thức trong
học tập.

Đối với môn Toán ở bậc tiểu học, tôi đã nhận thấy có sự đổi mới rõ rệt về phương
pháp dạy trong giờ học đó là: Học sinh đã làm việc nhiều hơn và đạt hiệu quả cao
hơn. Tuy nhiên việc giảng dạy các dạng toán về dãy số cho học sinh lớp 5, tôi còn
thấy có những mặt thuận lợi và khó khăn sau:
1. Thuận lợi.
- Các đồng chí giáo viên trong tổ có lòng yêu nghề mến trẻ, có tinh thần học
hỏi, nghiên cứu tài liệu để nâng cao chất lượng giảng dạy nên việc hỗ trợ và giúp
đỡ nhau trong quá trình nghiên cứu và dạy thực nghiệm đề tài có nhiều thuận lợi.
- Là những giáo viên đã giảng dạy lớp 5 nhiều năm và chuyên bồi dưỡng học sinh
giỏi nên tôi nắm được đặc điểm, đặc trưng của môn Toán và khả năng tiếp thu của
học sinh với dạng bài tập về dãy số cũng như các lỗi hay mắc của học sinh khi giải
dạng bài tập này.
2. Khó khăn:
- Dạng bài tập về dãy số thường có trong các đề kiểm tra học sinh giỏi các cấp và
có trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ít có trong chương trình học hàng
ngày nên đối tượng nghiên cứu hẹp và ít.
3. Quá trình điều tra:
3- 1. Điều tra việc giảng dạy dạng toán về dãy số ở lớp 5:
a) Hạn chế về phương pháp giảng dạy:
- Phần lớn giáo viên chưa đưa dạng bài tập này vào chương trình buổi 2 trong năm
học mà phó mặc cho giáo viên dạy bồi dưỡng.
- Nội dung dạy và học chỉ gói gọn trong các giờ học bồi dưỡng học sinh giỏi, ít
được thực hành và ít vận dụng với thực tế.
- Việc tạo nguồn cảm hứng, niềm yêu thích với dạng bài tập này vẫn chưa được
nhiều giáo viên quan tâm.
b) Hạn chế về việc vận dụng, giảng dạy dạng bài tập về dãy số của giáo viên :
- Thiếu sáng tạo khi giảng dạy dạng bài tập này. Còn máy móc, khuôn mẫu, chưa
vận dụng sáng tạo trong quá trình giảng dạy dạng bài tập về dãy số.
- Chưa chịu tìm tòi để tìm ra cách giảng dạy tốt nhất về quy luật của dãy số.
- Chưa vận dụng các kiến thức toán học trong giảng dạy dạng bài tập về dãy số để

giúp học sinh phát hiện ra sự liên quan giữa các mạch kiến thức toán học.
3- 2. Điều tra về việc học dạng bài tập về dãy số của học sinh lớp 5:
a) Về hứng thú khi học dạng bài tập về dãy số:
- Học sinh ít hứng thú với dạng toán dãy số
- Học sinh vận dụng giải dạng bài tập này một cách máy móc, không linh hoạt.
Nhiều em sợ gặp dạng toán này.
- Nguyên nhân:
+ Chưa biết cách tìm ra quy luật của dãy số.
+ Chưa nắm chắc phương pháp giải với mỗi dạng bài tập.
+ Chưa có sự say mê, hứng thú với môn Toán.
b) Về kỹ năng giải dạng bài tập về dãy số:
- Học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu bài máy móc, chỉ làm theo
khuôn mẫu chứ chưa tự suy nghĩ để tự tìm cách giải.
- Học sinh chưa được rèn luyện giải nhiều về dạng bài nên khả năng nhận dạng bài
tập và vận dụng phương pháp giải cho từng dạng bài tập chưa có. Dẫn đến học sinh
lúng túng, chán nản khi gặp loại toán này.
- Kỹ năng thực hiện phép tính, trình bày bài giải còn yếu.
- Vận dụng còn máy móc, chưa linh hoạt.
- Nguyên nhân: Không được tiếp xúc nhiều với dạng toán này.
+ Thiếu vốn kiến thức về dãy số và thứ tự thực hiện các phép tính.
+ Kỹ năng biến đổi dãy số chưa tốt.
+ Chưa biết cách tìm ra mối liên quan trong dãy số để phát hiện ra đặc điểm chung
của dãy số đó .
3- 3. Điều tra chất lượng bài làm của học sinh:
– Số bài điều tra: 3 bài
+ Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
+ Bài 2: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng
2002
783 998

+ Bài 3: Tính nhanh tổng sau:
1 + 2 + 3 + …… + 999
- Số lượng điều tra: 30 em học sinh khá, giỏi lớp 5A, 5B, 5C, 5D
- Kết quả điều tra:
Tổng hợp
chất lượng
bài khảo sát
Nắm chắc
kiến thức cơ
bản.
Nhận dạng
bài tập tốt
Kỹ năng
thực hiện
bài giải hợp
lý

Chưa nắm
được quy
luật bài tập.


Kết quả
chung bài
giải của HS

Điểm giỏi

6 bài
Đạt 20%

7 bài
Đạt 23,3%

3 bài
Đạt 10%

5 bài
Đạt16,6%

7 bài
Đạt 23,3%

Điểm khá

10 bài
Đạt 33,4%


8 bài
Đạt 26,7%

12 bài
Đạt 40 %

9 bài
Đạt 30%

8 bài

Đạt 26,7%

Điểm trung
bình

9 bài
Đạt 30%

12 bài
Đạt 40 %

9 bài
Đạt 30%

10 bài
Đạt 33,4%


11 bài
Đạt 36,7%

Điểm yếu

5 bài
Đạt16,6%


3 bài
Đạt 10%

6 bài
Đạt 20%


6 bài
Đạt 20%


4 bài
Đạt 13,3%


III- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIÊN:
Các giải pháp cải tiến phương pháp giảng dạy, cách giải dạng toán về dãy số cho
học sinh lớp 5:
Trước thực trạng như vậy, đầu năm học 2011 – 2012, được sự đồng ý của
chuyên môn, tôi đã áp dụng các giải pháp nâng cao hiệu quả dạy học dạng bài tập
về dãy số ở lớp 5A, 5B, 5C. 5D, nhằm nâng cao hiệu quả dạy học, góp phần tăng tỉ
lệ học sinh khá giỏi và nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh khá giỏi, Nghiên
cứu dạng bài tập về dãy số tôi đã thực hiện như sau:
1. Dạy học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm rõ bản chất toán học.
2. Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các
bài tập của từng dạng.
3. Hướng dẫn học sinh nắm chắc các bước giải toán.
4. Giáo viên tự học, tự bồi dưỡng nâng cao kiến thức, tìm tòi phương pháp giải,
phương pháp truyền đạt dễ hiểu để học sinh tiếp thu kiến thức tốt nhất.
5. Dạy giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm rõ bản chất toán học.
6. Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các
bài tập của từng dạng.

IV. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CỤ THỂ:
1. Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm rõ bản chất toán học.
Để làm được điều này thì ngay trên lớp, khi dạy dạng bài tập về dãy số, tôi đã
chú trọng giúp học sinh hiểu rõ bản chất toán học, hiểu rõ ý nghĩa, bản chất của nội
dung kiến thức. Hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu kiến thức bằng hiểu biết của mình
dựa trên những gợi ý rồi tôi mới hướng dẫn học sinh chốt kiến thức.
Lưu ý: Để củng cố vững chắc và hướng dẫn học sinh nắm sâu các kiến thức
đã học đòi hỏi người giáo viên phải tâm đắc với công việc của mình, nghiên cứu kĩ
quy luật của dãy số, khai thác những kiến thức cơ bản và dựa trên kinh nghiệm
nhiều năm giảng dạy, phát hiện những sai lầm học sinh hay mắc phải, chuẩn bị
những câu hỏi, những bài tập giúp học sinh tư duy để nhận thức sâu sắc những kiến
thức trong sách.
* Các kiến thức cơ bản:
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một
số chẵn…
- Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc là một số chẵn thì số lượng các số chẵn bằng
số lượng các số lẻ
- Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc là một số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng
số lượng các số lẻ
- Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc cũng là một số lẻ, thì số lượng các số lẻ
nhiều hơn số lượng các số chẵn là 1 số
- Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc cũng là một số chẵn, thì số lượng các số
chẵn nhiều hơn số lượng các số lẻ là 1 số
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bát đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số
chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số ấy.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bát đầu từ số khác 1 thì số lượng các số trong dãy
số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
2. Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các
bài tập của từng dạng.
Các bài toán về dãy số cá thể phân ra các loại sau:

* Dãy số cách đều.
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
* Dãy số không cách đều:
- Dãy số Phi bo na xi.
- Dãy số có tổng (hiệu) giữa 2 số liên tiếp là một dãy số.
- Dãy số thập phân, phân số.
3. Hướng dẫn học sinh nắm chắc các bước giải toán :
Cách giải các dạng toán về dãy số :
* Dạng 1 : Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước dãy số :
- Trước hết cần xác định lại quy luật của dãy số.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng ( hoặc trừ)
với một số tự nhiên a.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia)
với một số tự nhiên q khác 0.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trước nó.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng số hạng đứng trước nó cộng với
một số tự nhiên d rồi cộng với thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng bằng số hạng đứng trước nó nhân với số thứ tự.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền
trước.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước
trừ đi 1.
* Ví dụ 1 :Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau :
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
- Muốn giải được dãy số này, trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau :
Ta thấy : 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8
2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
……… …………

Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng
bằng tổng của hai số hạng liền trước nó.
Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144…
* Ví dụ 2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:
1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy : 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15
15 = 3 + 4 + 8 ……………
Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2)
bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó
Vậy dãy số được viết như sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169….
* Ví dụ 3 : Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : Biết mỗi dãy số có 10 số hạng.
b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110: Biết mỗi dãy số có 10 số hạng.
Giải :
a) Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2
Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2
Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2
Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi,
mỗi số liền sau gấp 2 lần số liền trước đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là : 1 x 2 = 2.
b) Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10
Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9
Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8
Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng bằng 11 nhân với số thứ tự

của số hạng ấy.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là : 1 x 11 = 11.
* Ví dụ 4 : Tìm các số hạng còn thiếu trong dãy số sau :
a. 3, 9, 27, , 729,
b. 3, 8, 32, , 608,
Muốn tìm được các số còn thiếu trong dãy số này, trước hết cần xác định quy luật
của dãy số đó :
b) Ta nhận xét : 3 x 3 = 9
9 x 3 = 27

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở
đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 ( đúng)
Vậy dãy số còn thiếu 2 số là : 81 và 243.
b) Ta nhận xét : 3 x 3 – 1 = 8 ;
8 x 3 – 1 = 23.

Quy luật của dãy số đó là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền
sau bằng 3 lần số liền trước trừ đi 1.
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu 2 số là : 68 và 203.
* Ví dụ 5 : Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng
2002 :
783 998
Giải: Ta đánh số thứ tự các ô như sau:
783 998
ô1 ô 2 ô 3 ô 4 ô 5 ô 6 ô 7 ô 8 ô 9 ô 10
Theo đề bài, ta có: 783 + ô7 + ô 8 = 2002.

ô 7 + ô 8 + ô 9 = 2002.
Vậy ô 9 + 783; từ đó ta tính được:
ô 8 = ô 5 = ô 2= 2002 - (783 + 998) = 2002
ô 7 = ô 4 = ô 1 = 998
ô 3 = ô 6 = 783.
Điền số vào các ô, ta được:
998 221 783 998 221 783 998 221 783 998
Khi giảng dạy dạng toán này, cần lưu ý : Trước hết cần xác định quy luật của dãy
số là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ ? Từ đó giúp học sinh có thể điền
được các số vào dãy đã cho.
Dạng 2 : Xác định số A có thuộc dãy số đã cho hay không ?
* Cách giải dạng toán này :
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số A có thỏa mãn quy luật đó hay không.
* Ví dụ 1 : Cho dãy số : 2, 4, 6, 8,……
Nêu quy tắc viết dãy số.
Số 85 có phải là số hạng của dãy số đó không ?
Giải :
a) Ta nhận thấy :
Số hạng thứ 1 là : 2 = 2 x 1
Số hạng thứ 2 là : 4 = 2 x 2
Số hạng thứ 3 là : 6 = 2 x 3
…………………………….
Số hạng thứ n là : ? = 2 x n
Quy luật của dãy số là : Một số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
b) Ta nhận thấy : Các số hạng của dãy số là số chẵn, mà số 85 là số lẻ, nên số 85
không phải là số hạng của dãy số đó.
* Ví dụ 2. Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……
- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
Số 2012 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

* Giải:
- Ta thấy: 8 – 5 = 3 11 – 8 = 3
Dãy số trên được viết theo quy luật sau : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng
số hạng đứng liền trước nó cộng với 3
Vậy 3 số tiếp theo của dãy số là : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
Số 2012 có thuộc dãy số trên vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2012 đều chia
cho 3 dư 2
* Ví dụ 3: Em hãy cho biết :
a) Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,… hay không?
b) Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11, hay không ?
c) Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24, không ? Tại
sao ?
* Giải :
a) Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy số đã cho vì :
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5
b) Số 2002 không thuộc dãy 2, 5, 8, 11, vì mọi số hạng của dãy đều chia cho 3 dư
2, mà 2002 thì chia cho 3 dư 1.
c) Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24, vì :
- Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân với 2, nên
các số hạng ( kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798
chia cho 2 = 399 lại là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 3, mà 1000 không chia hết cho 3.
- Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 lại là số lẻ.
* Ví dụ 4: Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, 2.
Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?
* Giải :
Ta có : 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……
- Quy luật của dãy số là : Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn số
hạng liền trước nó 1,2 đơn vị.

- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2
Ta thấy : (13 - 1) : 1,2
(3,4 - 1) : 1,2
(34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0.
Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.
*Ví dụ 5 : Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49.
Các số sau đây có phải là số hạng của dãy đó không?
100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999?
* Giải: Nhận xét: Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị.
Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996, số bé nhất là 49. do đó 1999 không phải là
số hạng của dãy số đã cho.
Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia cho 3 dư 1. Do đó số 100 vf số 1900laf số
hạng của dãy số đó.
Các số 123, 456, 789, 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng
của dãy số đã cho.
Dạng 3: Tìm số hạng của dãy.
* Cách giải dạng bài tập này:
- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách ( Toán trồng cây), ta có công thức
sau:
Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1
Quy luật của dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số
đó bằng tổng bấy nhiêu số tự nhiên liên tiếp ( bắt đầu từ 1) thì được tính theo công
thức:
Ví dụ :
* Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số nào?
* Giải:
a) Ta có:

2 4 6 8 10 ………… 1992
4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2
6 – 4 = 2 ; ………
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng
với 2. Nói cách khác: Đây là dãy số chẵn hay dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức sau:
( Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có số các số hạng của dãy là:
(1999 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
Ta nhận xét : Số hạng thứ 1 là : 4 = 2 – 2 = 2 + (2 – 1) x 2
Số hạng thứ 2 là : 6 = 2 + 4 = 2 + (3 – 1) x 2
Số hạng thứ 3 là : 8 = 2 + 6 = 2 + (4 – 1) x 2
…………………………….
Số hạng thứ 2002 là : 2 + (2002 – 1) x 2 = 4004
Đáp số : a) 996 số hạng
b) 4004 số hạng.
*Ví dụ 2: Cho dãy số 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp. Hỏi số 1981 là số
hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
( Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
*Giải: Ta thấy: Số hạng thứ 1 là : 1 = 1 + 2 x 0
Số hạng thứ 2 là : 3 = 1 + 2 x 1
Số hạng thứ 3 là : 5 = 1 + 2 x 2
…………………………….
Số hạng cuối cùng là : 1981 = 1 + 2 x 990
Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 của dãy số trên.
Dạng 4 : Tìm tổng các số hạng của dãy số .
Cách tính :
- Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của 2 số hạng cách đều số hạng
đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau.Vì vậy :
Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đều số

hạng đầu cà cuối nhân với số hạng của dãy rồi chia cho 2.
- Viết thành công thức :
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2)
Từ đó suy ra :
Số đầu của dãy = Tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối
Số cuối của dãy = Tổng x 2 : số số hạng – số hạng đầu
Ví dụ :
*Ví dụ 1:Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên:
Giải : 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là :
1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37.
Ta thấy : 1 + 37 = 38 ; 5 + 33 = 38
1 + 35 = 38 ; 7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng số
là 38.
Số cặp là: 19 : 2 = 9 (cặp) dư 1 số hạng.
Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19, Vậy tổng của 19 số lẻ
liên tiếp đầu tiên là:
39 x 9 + 19 = 361
Đáp số: 361
Nhận xét: Khi số lượng số hạng của dãy số lẻ ( 19 số hạng) thì khi sắp xếp cặp số
sẽ dư lại số hạng ở chính giữa, vì số lẻ không chia hết cho 2 nên dãy số có nhiều số
hạng thì việc tìm số hạng còn lại (không trong cặp nào) sẽ rất khó khăn. Vậy ta có
thể hướng dẫn học sinh làm theo 2 cách sau:
Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40
5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40
……… ………
Khi đó, nếu sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số vào gồm 18 số hạng, thì được các
cặp số có tổng là 40
Số cặp là: 18 : 2 = 9 (cặp số)ổng của 19 số liên tiếp đầu tiên là :
1 + 40 x 9 = 361

Chú ý: Khi số số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở một trong 2 đầu dãy số (số
đầu hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn các số hạng rồi sắp cặp, lấy tổng của mỗi
cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.
- Từ ví dụ trên, ta nhận thấy: Khi giải dạng toán bằng phương pháp lí thuyết tổ
hợp, phải chú ý phân biệt rõ cặp nào sắp xếp thứ tự và cặp nào không sắp xếp thứ
tự để tránh sự nhầm lẫn trong tính toán.
* Ví dụ 2: Tình tổng của các số tự nhiên từ 1 đến n
Giải:
Ghép các số: 1,2,…., n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với n –
1, 3 với n – 2, …
Khi n chẵn. ta có: (n ; 2) = n x (n + 1) : 2
Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có :
1 + 2 + + (n – 1) = (n - 1) x n : 2
Từ đó ta có :
S = (n – 1) x n : 2 + n
= (n - ) x n : 2 + 2 x n : 2
= [(n – 1) x n : 2 + 2 x n] : 2
= (n – 1 + 2) x n : 2
= n x (n + 1) : 2
*Ví dụ 3 : Cho dãy số : 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy ?
Giải :
- Cách 1 : Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số : 0, 196, 197, 198, 199 vào
dãy :
1, 2, 3, ……, 9
10, 11, 12, 13, ……, 19
90, 91, 92, 93, ……, 99
100, 101, 102, 103, ……, 109
Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có: 200 : 10 = 20 (dòng)
Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là:
1 + 2 + 3 + …… + 9 = 9 x 10 : 2 = 45

Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là:
45 x 20 = 900
Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đều bằng tổng các chữ số hàng chục
trong 10 dòng sau và bằng:
1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450
Tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900
Ngoài ra, dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là 100.
Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:
900 + 900 + 100 = 1900
Do đó tổng các chữ số của dãy số ban đầu là:
1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830
- Cách 2: Ta bổ sung thêm số 0 vad các số từ 196 đến 199 vào dãy và ghép các số
thành cặp: 0, 199
1, 198
2, 197
……
x, 199 – x
Ta thẫy tổng các chữ số của mỗi số này đều bằng 19 ( nếu số x có 2 chữ số là a, b
thì 199 – x có các chữ số là: 1, 9 – a và 9 – b)
Tổng các chữ số - x và 199 – x là:
a + b + 1 + 9 – a + 9 – b = 1 + 9 + 9 = 19.
Vậy tổng các chữ số của dãy số bổ sung là:
19 x 100 = 1900
Sau khi bớt đi các chữ số của các số bổ sung như cách giải trên, ta được tổng cần
tìm là 1830.
* Ví dụ 4: Tính tổng của dãy số sau:
+ + + +
Để có lời giải chặt chẽ, ta có thể sử dụng suy luận diễn dịch, đầu tiên ta viết đầy đủ
tổng:
+ + + + + + + +

= =
Đáp số :
Cách 2: Ký hiệu:
S = + + + + + + + +
Nhân cả về trái và vế phải với 2, ta được:
S x 2 = 1 + S -
Từ đó duy ra: S = 1 - =
S x 2 = 1 + S -
* Ví dụ 5: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3
chữ số:
Giải: Ta có:
9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức là
có 1000 số.
Ta thấy : 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19
9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19
…………… ……………
Nếu ta bỏ số đầu tiên và sắp xếp các cặp số cách đều 2 đầu dãy vào như trwn thì
được các cặp số đều có tổng là 19, còn lại 9,005 chưa được tính.
Số cặp số được sắp xếp là :
998 : 2 = 499 ( cặp số) chưa kể hai số 9,000 và 9,500
Tổng tất cả các số ở dãy số trên là :
19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5
Đáp số : 9499,5
4. Một số lưu ý khi giải toán về dãy số :
Trong bài toán về dãy số thường, người ta cho biết cả dãy số ( vì dãy số có nhiều
số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy ( mà có rất
nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là
những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoạc dựa vào dấu hiệu
chia hêt để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuối cùng
của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm số khoảng cách

của dãy số bằng cách lấy số số hạng của dãy số đó trừ đi 1, sau đó tìm hiệu của số
đầu và số cuối băng số khoảng cách giữa 2 số nhân với số khoảng cách. Từ đó tìm
được số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên
của dãy.
*Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thỏa mãn quy luật của dãy đã cho hay không?
Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (có
cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho.
*Ở dạng 3: Có các yêu cầu sau:
+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
Khi giải cũng tính bằng một công thức như ở phần hướng dẫn cách giải đã nêu.
+ Tìm chữ số thứ n của dãy.
Ta cần tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy số là có bao nhiêu
chữ số, từ đó tìm ra lời giải của bài toán.
+ Tìm số hạng thứ n của dãy
Ta chỉ việc tìm ra quy luật của dãy số là được (nếu là dãy số cách đều), nếu là dãy
số ( không cách đều) được tính theo công thức n x (n - 1) : 2
*Ở dạng 4: Có các yêu cầu sau:
+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
+ Tính nhanh tổng.