giáo án môn Toán lớp 10 bài “Mệnh đề”

1
Chương 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
§1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức
-Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết được một câu có phải là mệnh đề (theo ý
nghĩa toán học) hay không?
- Nắm được các khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương.
2. Về kỹ năng
- Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương
đương từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng - sai của các mệnh đề này.
- Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc an cho biến một giá
trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu

và

vào phía trước nó.
- Biết sử dụng các kí hiệu

và

trong các suy luận toán học.
- Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề chứa kí hiệu

và

.
3. Về thái độ
Nghiêm túc, nề nếp, tích cực tham gia xây dựng bài.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy hoc
GV: phiếu học tập, giáo án, phấn.

HS: SGK, vở ghi.
Phương pháp: vấn đáp.
III. Nội dung bài học
Hoạt động 1: Mệnh đề là gì?
Hoạt động 2: Mệnh đề phủ định
Hoạt động 3: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo.
Hoạt động 4: Mệnh đề tương đương.
Hoạt động 5: Khái niệm mệnh đề chứa biến.
Hoạt động 6: Các kí hiệu

và

.
Hoạt động 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu

,

.
2
IV. Tiến trình bài học
Tiết 1
Hoạt động 1: Mệnh đề là gì?
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
VD1: yêu cầu nhận xét
Những câu nào khẳng định là
đúng, câu nào khẳng định là sai.
+ Gọi HS cho một vài ví dụ và
nhận xét.
+ phát biểu thế nào là mệnh đề
logic?

xem VD1- SGK trang 4.
Mệnh đề logic (gọi tắt là
mệnh đề) là một câu
khẳng định đúng hoặc
một câu khẳng định sai
+ Đọc chú ý – SGK trang
4.
ĐN: SGK trang 4
*) Chú ý
Câu cảm thán, câu hỏi
không phải mệnh đề.
VD?
Hoạt động 2: Mệnh đề phủ định
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
1. VD2: Nhận xét 2 bạn
trong tranh làm gì?
+ Muốn phủ định đúng
thành câu khẳng định sai
thì làm thế nào?
2. Gọi 1 HS cho một
mệnh đề và 1 HS khác
phủ định mệnh đề đó.
H1:
Áp dụng làm BT2a).
Xem VD2 (tranh vẽ SGK).
- Muốn phủ định một câu đúng (P)
thành câu khẳng định sai có thể diễn
đạt “không phải P”
HS hoạt động theo nhóm.
Cho ví dụ tương tự vd2.

H1:
a) “Pari không phải là thủ đô của
nước Anh”. Đây là MĐPĐ đúng.
b) “2002 không chia hết cho 4”.
MĐPĐ này đúng.
BT2a:“Phương trình
2
3 2 0x x  
vô nghiệm”. MĐPĐ sai.
Định nghĩa: SGK tr 5.
Kí hiệu:
P
VD: P: Hà Nội là thủ
đô của nước Pháp.
P
: Hà Nội không phải
thủ đô của nước Pháp.
Nếu P đúng thì
P
sai
còn nếu P sai thì
P
đúng.
3
Hoạt động 3: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Gọi HS cho ví dụ về mệnh đề kéo
theo. Nhận xét xem đúng hay sai.
Dựa vào tính đúng sai của MĐ kéo
theo có thể cho HS bảng giá trị chân

lý. Bảng giá trị chân lý: nếu quy ước
nếu P đúng thì P nhận giá trị là 1, còn
nếu P sai thì P nhận giá trị bằng 0.
P Q P

Q
1 1 1
1 0 0
VD4: sgk 5
+) Cho vd mệnh đề
P Q
yêu cầu
cả lớp lập mệnh đề
Q P
HS đọc VD3 và nêu định
nghĩa.
Dựa vào mệnh đề kéo
theo đúng – sai từ đó rút
ra kết luận về tính đúng
sai của mệnh đề kéo theo.
HS rút ra kết luận,
VD4: a) Dựa vào tình
huống P đúng, Q đúng
khi đó
P Q
là đúng.
b) P đúng, Q sai khi đó
P Q
là sai.
VD: Nếu tứ giác có hai

đường chéo vuông góc
thì tứ giác đó là một hình
thoi.
Định nghĩa: sgk
trang 5.
Mệnh đề đảo: Mệnh
đề
Q P
là mệnh
đề đảo của mệnh đề
P Q
.
Hoạt động 4: Mệnh đề tương đương.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung kiến thức
Xem vd6 và nhận xét:
P Q
?
Q P
? Nếu viết “P nếu
và chỉ nếu Q” thì được gọi là một
MĐ tương đương.
*) Thành lập mệnh đề tương đương
với mệnh đề sau:
P: “tam giác ABC là tam giác đều”
Q:” tam giác ABC có hai trung
Đọc VD6.
HS thảo luận và rút ra
nhận xét.
P Q
: “ Tam giác

ABC là tam giác đều nếu
và chỉ nếu tam giác ABC
có hai trung tuyến bằng
Định nghĩa: sgk 5
Kí hiệu:
P Q
.
Đôi khi người ta cũng
phát biểu mệnh đề
P Q
là “P khi và
chỉ khi Q”.
Mệnh đề
P Q
đúng
nếu cả hai mệnh đề P
4
tuyến bằng nhau và có một góc
bằng
0
60
.
GV ghi kết luận lên bảng.
H3: a) Giống ví dụ trên
b)i)
P Q
“Vì 36

4 và 36


3 nên
36

12”.
Q P
“Vì 36

12 nên
36 4
và
36

3”.
P Q
“ 36

4 và 36

3 nếu và chỉ
nếu 36

12”.
ii) P: mệnh đề đúng
Q: mệnh đề đúng
P Q
mệnh đề đúng.
nhau và có một góc bằng
0
60
”.

P Q
là mệnh đề đúng
và
Q P
là mệnh đề
đúng.
nên
P Q
là MĐ đúng.
HS ghi định nghĩa.
HS nhận xét tính đúng
sai của mệnh đề tương
đương.
và Q cùng đúng hoặc
cùng sai. Khi đó, ta
nói rằng hai mệnh đề P
và Q tương đương với
nhau.
P Q
Sai khi P sai
và Q đúng hoặc P
đúng và Q sai.
Tiết 2
Hoạt động 5: Khái niệm mệnh đề chứa biến.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Giảng VD7.
(1): “ n

3” với n là số tự nhiên.
(2): “y>x+3” với x, y là 2 số thực.

(1), (2) là những câu chứa một hay nhiều
biến nhận giá trị trong một tập hợp X nào
đó.
tính đúng sai của chúng tuỳ thuộc vào giá
trị cụ thể của các biến đó.
*) MĐ chứa biến chính là những ptrình,
bpt.
H4: P(x): “ x > x
2
với x là số thực”. Hỏi
mệnh đề P(2) và P(
2
1
)đúng hay sai.
HS xem vd7 SGK 7.
HS nhắc lại mệnh đề
chứa biến.
H4: P(x): “ x > x
2
với x
là số thực”
P(2) : “2 > 4” là MĐ
sai.
P(
2
1
): “
2
1
>

1
4
” là
MĐ đúng.
HS nêu ví dụ.
(1): “ n

3” với n là
số tự nhiên.
(2): “y>x+3” với x,
y là 2 số thực.
Các kiểu câu như
câu (1); (2) đgl
những mệnh đề
chứa biến.
VD: “n chia hết
cho 5: với n là số
tự nhiên; “x <
6

x
2
< 36 với x
là số thực;
5
Hoạt động 6: Các kí hiệu

và

.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi
a) Kí hiệu

: “Với mọi
x

X, P(x) đúng” (hay
“P(x) đúng với mọi
x

X”). Để xác định tính
đúng sai của mệnh đề
“

x

X, P(x)” ta phải
kiểm tra xem với tất cả
các giá trị của x

X, P(x)
có đúng hay không.
+ Nếu phát hiện được một
giá trị
0
x

X sao cho
P(
0

x
) sai thì MĐ
“

x

X, P(x)” là sai.
+ Nếu không phát hiện
một
0
x
nào như vậy thì
MĐ “

x

X, P(x)” là
đúng.
VD8: sgk 7
H5: Hoạt động cả lớp.
b) ký hiệu

H6:

n

N: Q(n) “2
n
là
mệnh đề đúng. Vì n = 3 thì

2
3
– 1 = 7 là số nguyên
tố.
VD8: a) P(x):
“
3
, (3) 2 1 9n N P    
”
với x là số thực khi đó MĐ
“
, ( )x R P x 
” đúng vì với
bất kì
x R
, P(x) đều
đúng.
b) P(n): “
2 1
n

là số
nguyên tố”. Với n là số tự
nhiên. Khi đó MĐ:
“
, ( )n N P n 
” sai vì
“
3
(3) 2 1 9P   

”không là
số nguyên tố nên MĐ này
sai.
H5: MĐ sai.
P(n): “n(n+1) là số lẻ” với
n là số nguyên. Mệnh đề
“

n

Z, P(n)”
là mệnh đề
sai. + Yêu cầu HS tìm kí
hiệu

và

gán vào mệnh
đề chứa biến để được mệnh
đề đúng.
a) Kí hiệu

(lượng từ
mọi): Kí hiệu: “

x

X,
P(x)”.
kí hiệu


đọc là “mọi”
b) Kí hiệu

(lượng từ tồn tại)
KH: “

x

X, P(x)” (1).
(1) đúng nếu có
0
x X
để P(
0
x
) là mệnh đề
đúng.
(1) Sai nếu với
0
x
bất kì
thuộc X, P(
0
x
) là mệnh
đề sai.
Kí hiệu

đọc là “tồn

tại”
VD9 – sgk 8
6
Hoạt động 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu

,

.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi
H7: Hoạt động nhóm.
Nêu ví dụ phủ định
mệnh đề
+ VD1:

x

R :
x
2
> x + 1 là gì ?
+ VD2:

x

Z:
2
1x x 
là một số lẻ.
H7: HS hoạt động theo
nhóm.

VD1:

x

R:
2
1x x 
VD2: Phủ định là:

x

Z:
2
1x x 
là một số chẵn.
Nhắn nhở HS phủ định của tất cả
là có một từ đó HS tìm phủ định
với mọi là tồn tại.
Định nghĩa: Cho mệnh đề chứa
biến P(x) với x

X.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề
“

x

X, P(x)” là “

x


X,
( )P x
”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề
“

x

X, P(x)” là “

x

X,
( )P x
”.
V- Củng cố:
Yêu cầu HS phải lập được các mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, phủ định
mệnh đề có chứa biến.
Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà BT2 đến BT5 – sgk 9.
7
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC (2tiết).
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức
- Hiểu rõ phương pháp suy luận toán học.
- Nắm vững các phương pháp chứng minh trực tiếp và chứng minh bằng phản chứng.
- Biết phân biệt giả thiết và kết luận của định lý.
- Biết phát biểu mệnh đề đảo, định lý đảo, biết sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”,
“điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” trong phát biểu toán học.
2. Về kỹ năng

Chứng minh được một số mệnh đề bằng phương pháp phản chứng.
3. Về tư duy
Góp phần bồi dưỡng tư duy logic và năng lực tìm tòi sáng tạo.
4. Về thái độ
Nề nếp, nghiêm túc, tích cực xây dựng bài.
II. Chuẩn bi của giáo viên và của học sinh
Chuẩn bị của GV: bài soạn, phấn,
Chuẩn bị của HS: sgk, vở ghi, đồ dùng học tập và các kiến thức đã học có liên quan.
Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở vấn đề.
III. Kế hoạch bài học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.
Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý.
Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ.
Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ.
III. Tiến trình bài học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Yêu câu HS nhắc lại mệnh đề, mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương.
Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý.
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi
-VD1 – sgk 10 - VD1 – sgk 10
Yêu cầu HS phát biểu một
Định lý : sgk 10.
“
, ( ) ( )x X P x Q x  
” (1)
8
VD: “
r R 
, nếu r là
số hữu tỷ thì

2
2 0r  
”
- Thử đưa ra nhận xét về
sự giống nhau giữa các
định lý đó.
- Phát biểu lại các cách
chứng minh định lý.
- Chứng minh định lý
trong VD1-sgk bằng
cách chứng minh trực
tiếp.
- Chứng minh đlý trong
vd2-sgk bằng cách
chứng minh phản chứng.
H1: Giả sử 3n +2 lẻ và n
= 2k (
k N
). Khi đó
3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k +
1) chẵn (mâu thuẫn) suy
ra đpcm
vài định lý.
- Có định lý không phát biểu
ở dạng (1) ví dụ: “Có vô
số số nguyên tố”.
VD: phát biểu định lý “
2
là
số vô tỷ” dưới dạng (1)?

- Điều chỉnh và xác nhận các
nhận xét của HS.
*) CM định lý
- CM trực tiếp ta cần chứng
tỏ với
x X
,
( ) ( )P x Q x
đúng. Lấy tuỳ
ý
x X
mà P(x) đúng (vì
P(x) sai thì dù Q(x) đúng hay
sai thì P(x) vẫn đúng).
-CM phản chứng:
MĐPĐ của dạng (1):
k N
để đi đến mâu thuẫn: (2) sai
do đó (1) đúng.
H1?
trong đó P(x) và Q(x) là
những mệnh đề chứa biến, X
là một tập hợp nào đó.
*) Chứng minh định lý:
có 2 cách: trực tiếp và gián
tiếp bằng phản chứng.
- Chứng minh trực tiếp
Khi đó việc chứng minh MĐ
( ) ( )P x Q x
đúng tương

đương với việc chứng minh
x X
mà P(x) đúng thì Q(x)
đúng.
- Chứng minh gián tiếp:
+ Giả sử tồn tại
0
x X
,
0
( )P x
đúng
0
( )Q x
sai, tức là
(1) sai.
+ Dùng suy luận và kiến thức
toán học đã học để đi đến mâu
thuẫn. suy ra đpcm.
Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ.
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi
- Trả lời vai trò của
P(x), Q(x).
- Phát biểu một vài
- Đặt câu hỏi trong đlý P(x),
Q(x) có vai trò gì?
- HS phát biểu một đlý và
Cho định lý:
“
, ( ) ( )x X P x Q x  

”
P(x) được gọi là giả thiết và
9
định lý và phát biểu lại
bằng cách sử dụng
điều kiện cần và điều
kiện đủ.
H2: P(n):“n chia hết
cho 24”.
Q(n): “ n chia hết cho
8”
phát biẻu lại bằng thuật ngữ
“điều kiện cần”, “điều kiện
đủ”
- Điều chỉnh và xác nhận lai
các phát biểu của HS
- Lưu ý một điều kiện nào là
dủ nhưng không là điều kiện
cần hoặc ngược lại.
H2?
VD: Điều kiện: “tứ giác có 2
đường chéo bằng nhau” là
điều kiện cần để tứ giác đó là
HCN.
+ Điều kiện “tứ giác có 4 góc
bằng nhau” là điều kiện đủ
để tứ giác nội tiếp được.
Q(x) là kết luận của định lý.
- P(x) là điều kiện đủ để có
Q(x).

- Q(x) là điều kiện cần để có
P(x).
VD: HS điền từ thích hợp vào
dấu “ ” và giải thích?
+ Điều kiện để tứ giác là
HCN là tứ giác có 2 đường chéo
bằng nhau.
+ Điều kiện để một tứ giác lồi
nội tiếp là tứ giác có 4 góc bằng
nhau.
Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ.
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi
- Phát biểu mệnh đề
đảo của đlí (1)
- Phát biểu mệnh đề
đảo của hai ví dụ.
- Nhận xét về tính
đúng sai của hai mệnh
đề đảo đó.
- Yêu cầu HS phát biểu
mệnh đề đảo của đlý (1).
- Nhận xét về tính đúng sai
của hai mệnh đề đảo đó.
- Xét cụ thể hai VD ở phần
trên.
- Nhận xét về tính đúng sai
của hai mệnh đề đảo đó.
- Điều chỉnh và xác nhận
các nhận xét của HS.
MĐ đảo của định lý dạng

(1):“
)()(, xPxQXx 
” (2).
MĐ (2) có thể đúng hoặc sai. Nếu
mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi
là định lý đảo của định lý dạng
(1). Lúc đó định lý dạng (1) sẽ
được gọi là định lý thuận. Định
lý thuận và đảo có thể viết gộp
thành một định lý
“
, ( ) ( )x X P x Q x  
”. Khi đó,
ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ
để có Q(x).
10
IV. Củng cố:
Tóm tắt lại các kiễn thức đã học trong bài.
Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà SGK trang 12.
*) Hướng dẫn HS làm BT
Bài 8, 9 HS hiểu đk thế nào là đk cần nhưng chưa đủ hoặc ngược lại.
Bài 8: “Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỷ là cả hai số a, b đều là số hữu tỷ”
Chú ý: Đk này là đk đủ nhưng không cần vì :
Chẳng hạn với
2 1a  
;
2 1b  
thì a + b = 2 là số hữu tỷ nhưng a, b đều là số vô tỷ.
Bài 9: Điều kiện cần “để một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5”
Chú ý: Đk này không đủ vì chia hết cho 5 chưa chắc đã chia hết cho 15.

VD” 10 chia hết cho 5 nhưng 10 không chia hết cho 15.
Bài 11: CM: “nếu
2
; 5n N n 
thì
5n
”
Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng. CM bằng phản chứng gồm những bước gì?
Chứng minh:
Giả sử
2
; 5n N n 
thì n không chia hết cho 5 suy ra
5 1; 5 2n k n k   
+ Nếu
5 1n k 
(
k N
) ta có
2 2
25 10 1 5 (5 2) 1n k k k k     
không chia hết cho 5 (1)
+ Nếu
5 2n k 
(
k N
) ta có
2 2
25 20 4 5 (5 4) 4n k k k k     
không chia hết cho 5 (2).

Từ (1), (2) mâu thuẫn với
2
; 5n N n 
do đó ta có đpcm.
Bài 1.19 SBT 10. Cho các MĐ chứa biến
P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n+4 là số chẵn”
a) MĐ
" , ( ) ( )"n N P n Q n  
: “
n N 
, n là số chẵn thì 7n + 4 là số chẵn”
Chứng minh:
nếu n chẵn thì 7n cũng là số chẵn suy ra 7n + 4 là số chẵn vì tổng của hai số chẵn là số chẵn.
b) Định lý đảo: “Mọi số tự nhiên n, nếu 7n + 4 là số chẵn thì n chẵn”.
Chứng minh:
Nếu 7n + 4 chẵn, đặt 7n + 4 = 2k

7n = 2k – 4 chẵn. Vì 7n chẵn nên n chẵn.
c) Gộp định lý thuận và định lý đảo: “ Với mọi số tự nhiên n, n chẵn khi và chỉ khi 7n + 4 là
số chẵn”.
11
Bài 1.22+1.23 SBT 10. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định
lý sau:
a) Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là hai tam giác đó bằng nhau.
b) Điều kiện đủ để một hình thang là hình thang cân là hai đường chéo của nó bằng nhau.
c) Tam giác ABC là cân tại A điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam
giác ABC cũng là đường cao.
d) Để một số nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng của hai số chính phương điều kiện
cần là số đó có dạng 4k + 1.
e) Cho m, n là hai số nguyên dương. Điều kiện cần để

2 2
m n
là số chính phương là tích
mn chia hết cho 12.
Bài 1.24 SBT 11.
Định lý đảo: “Nếu m, n là hai số nguyen dương và
2 2
m n
chia hết cho 3 thì cả m và n đều
chia hết cho 3”.
Chứng minh:
+) nếu một trong hai số m hoặc n không chia hết cho 3 thì tổng
2 2
m n
không chia hết cho 3.
+) vai trò của m, n là như nhau nên ta giả sử m, n đều không chia hết cho 3. khi đó ta đặt
" , ( ) ( )"n N P n Q n  
chia cho 3 đều dư 1 nên
2 2
m n
chia cho 3 dư 2.
Vậy điều giả sử m, n đều không chia hết cho 3 là sai do đó
2 2
m n
chia hết cho 3 khi cả hai số
m, n đều chia hết cho 3.
Vậy: “Cho hai số m, n nguyên dương. Điều kiện cần và đủ để
2 2
m n
chia hết cho 3 là cả hai

số m, n đều chia hết cho 3”