SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn dưới dấu căn bậc HAI BẰNG PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn PHỤ CHO học SINH lớp 10

Tên đề tài:
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO HỌC SINH LỚP 10
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
o

oá
o

thông.
o

thi
ã

nh h
n
trong ệ
o á e
,

e
hêm,
ới

.Rê
ố
ừ ớ 9,
t

ăn
á

o
,

á
á Đặ
ặ
ố ê

h
n phụ

ê
á
phân tích
ữ á
. ề
oá xá ị
ớ
ê
ặ
o
ớ
ớ
ra
ặ
nh h
n ới

ăn
ã
ề tài
.

n
ữ
l
o
á e
á

ớ

á

ổ
–
,
có

ớ
ố ớ 10 á e
o
á
. Tuy nhiên, á
ề gi i ph ng
;
ề
ốe

á
.
ệ
ê á
á
ệ
.
ới
ăn
ề á
o
ề
oá
.T
nên
xé ,
á
o
ê
o
e
ừ
cách
ý
á
.
ớ 10 á
oá
ổ
ê

ố
ề gi i ph ng
ặ
,
o nên tôi

II. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Đặt vấn đề
Ph ng nh h
n ới
ăn là
bài
ề em
ặ
o
á
o
.
á
ặ
ề
oá
á
..
o
oá
các em
ữ
ề
: N ữ

ề
; Cá
á
á
; Cá
é
ổ
ệ
; Các phép toán
trê
; Cá
ủ
; Cá
; ệ
ệ
… ồ
á e
có ỹ
ổ oá
o. Chí
o
á
ệ
áo ê
ổ
á
ặ
á
ừ
ổ

ê á
o
ệ ỹ
cho
các em ặ ệ là gi i bằng ph ng pháp đặ n phụ.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

1


2. Các biện pháp thực hiện
-To
á
áo ê
ớ mà
ớ
á e
- Từ ữ
giúp các em
á
ý. R
ữ
á
oá nâng cao.

á
phâ
ổ

.

xé bài toán
oá

á

tìm

III. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi:
- Cá e
ã
ị
á
á
é
ổ
ớ 9.
- Cá e
e ớ
ớ
á
ề
.
ố á e
ữ
ề
.T
o
ị

.
-N
ệ ớ
ủ á
áo t
o
á e
, ổ
o
.
2. Khó khăn:
-T
gian
o
ề
oá
á
,
ủ giúp các em
ệ ỹ
i.
- D
ph ng nh h
n ới
ăn
o
ề á
.
- Cá e
ớ

ề e
ớ
á
ớ.
IV. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Một số kiến thức liên quan:
* Các kiến thức cơ bản về căn thức.
- Số
ẵ .
-M ố
ê
ỹ ừ
ẵ
ặ ề
ệ .

ủ

* Các dạng phương trình cơ bản.
a.
b.


g  x  0
f  x  g  x  
2
f
x



g
x










 f  x  0
f  x  g  x  
oặ
f
x

g
x








g  x  0
f  x  g  x  


 f  x  g  x

* Các hệ phương trình thường gặp:
- Hệ ố x
2
o
:
ệ

ổ

 Cá
:
+ ặ S=x+ ;

ớ

ổ

ủ

x, y.
=x :

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

ệ ã

o ề ệ

ớ

S

.
2


+

ệ

S .K
x
2
( ề
ệ
ệ : S  4 P  0 ).
+ N (x; )
ệ
( ; x)
- Hệ ố x
2
o
:
ệ
 Cá
+ Từ
+

ệ

:X2 – SX + P = 0

ủ
ệ .
ổ ị

2

x

o

.
:
ớ

ủ

á

o
o

ề

.
ệ

x= .

* Các bước giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ (cách chung):
ử
ớ ề
ệ d:
F(x) = 0. (*)
- Nế F(x)
ớ
F(x) = f  u  o
= (x)
ệ
(*)
:
Bước 1: ặ
.
To
(*) ặ = (x)
(
)
f  u   0 (**)
Bước 2:
(**).
- N (**)
ệ
(*)
ệ .
-N

(**)

Bước 3:
K
Chú ý:
-H

á
các
ệ

ệ

 g  x   u1

u1 ,u2 ,...
ớ ề
ệ d: (*)   g  x   u2
.....

ệ d.
g  x   u1 , g  x   u2 , ... ớ ề

ủ

(*)

(*) (**)
ữ
(*)  (**).

ặ ề
ệ
o
ề
ệ ( ễ
)
g  x  u (
ố
o

á

ệ
ù

x)

ê

(**). T
ệ
ớ 3.

* Dấu hiệu để giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ:
ố ớ á
ủ
á
ố
ữ
ố ê ệ o

á ệ
o é
ễ
á
.T
ê
ý
ữ
oá
ã ử
cá
o
oá
2. Nội dung
M
ủ
ớ
ặ
ã o ề
oặ
ã
. Từ
ệ
ủ
ớ
ệ
ủ
.C
ề á
ặ

;
ặ
ễ
á
o
eo
.N
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

.

ớ

oá
ặ

á
á
á
3


ữ

ễ
ủ

o

o

ặ
ớ 10
ặ .S

ố
ố

o
ù

ồn
.N

ẽ ố
dung ề
ề á
ớ

ố

á

eo
ề

.

ớ
xé

ớ
á

ặ

.

Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau:
a) x 2  4 x  6  2 x 2  8 x  12
b) x( x  4 )  x2  4 x  ( x  2 )2  2
c) T

ệ

(1)
(2)
: x2  2 x  2m 5  2 x  x2  m2 (3)


á
câu a) x 2  4 x  6  2 x 2  8 x  12
(1)
Nhận t:
- Có ữ
á
o
?C
là gì?
-T
b

o
ử
ẽ
ố , không
ù
ễ. Do
á
eo á
ã
.
- T
, á
o g và ngo
ề
2
2
2
2 x  8 x  12
ặ làm
x  4 x  6 , do
x  4 x  6 oặ
.
- L ý: N
ặ
ề
ệ
x2  4 x  6 = t thì t
ặ 2 x 2  8 x  12 = t,
ề
ệ ố

t  0.
Bài giải:
Ta

: x 2  4 x  6  2 x 2  8 x  12  x 2  4 x  6  2  x 2  4 x  6 

ặ t  2 x 2  8 x  12, t  2 ,

t  0  loaïi 
t 2  2t  0  
n
t  2  nhaä

:

ớ t = 2  2 x 2  8 x  12  2  2 x 2  8 x  8  0  2  x  2   0  x  2
ệ ủ
: x 2.
câu b) x( x  4 )  x2  4 x  ( x  2 )2  2
Nhận t:
-P
(2) có gì k á o ớ
(1) ?
có 3
ố
: x( x  4);  x2  4 x ; ( x  2)2 mà x( x  4) và  x 2  4 x
.
t ê
o ặ
ễ các

oá
ê ?
2
- Rõ
ẽ
ý
.
x  4x ặ
2

t

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

4


Bài giải:
Ta có:
x( x  4 )  x 2  4 x  ( x  2 )2  2  ( x 2  4 x )  x 2  4 x  x 2  4 x  2  0 (*)

ặ t   x 2  4 x  0  t 2   x 2  4 x  x2  4 x  t 2
(*)
:
t 3  t 2  2  0  t 3  t 2  2  0  (t  1)(t 2  2t  2)  0
t  1  0
 2
 t 1
m
t  2t  2  0  voânghieä

x  2  3
ớ t = 1   x2  4x  1   x2  4x  1  0  
 x  2  3
ệ ủ
: x  2 3 ; x  2 3

Câu c) x2  2 x  2m 5  2 x  x2  m2
Nhận t:
(3)
?
ã o
õ ề
ệ ủ
?

(3)
o ặ

câu nào? ta nên

ặ t  5  2x  x2 ,

ố ê

: 5  2 x  x 2  6   x  1  t  0; 6 
Bài giải:
2

-T

ặ t  5  2 x  x 2  6   x  1  t  0; 6  và x2  2 x  5  t 2
K
ã o
: t 2  2 mt  m 2  5  0 *   t  m  5
P
ã o
ệ
(*)
ệ
2

t  0; 6 
0  m  5  6
 5  m  6  5


 5  m  6  5
0  m  5  6
 5  m  6  5
ớ 
thì
 5  m  6  5

* Tổ
á : Từ
1 ta
Dạng 1:
N
oá
ề

ề
ệ ố
t 0
ớ .
Bài tập tự lu ện
Bài 1:
á h ng trình:

ã

rút ra bài toán ổ

o

ệ .
á

: a f ( x)  b f ( x ) = c
ã o

o?
ặ t
ề

ố

9
2

a) 2 x 2  5 2 x 2  3x  9  3x  3 ;

S: x  3; x  

b) 3x 2  15 x  2 x 2  5 x  1  2 ;

S: x  0; x  5

c) ( x  4)( x  1)  3 x 2  5 x  2  6 ;

S: x  2; x  7 .

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

f ( x) ,

5


Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau:
a) x  2  5  x   x  2  5  x   4

(4)

b) 3 x  2  x  1  4 x  9  2 3 x 2  5 x  2
c) 2 x  5  2 x 2  5 x  2 x  5  2 x  48 .

(5)
(6)

* Phân tích để tìm cách chọn ẩn phụ và lời giải:

Câu a) x  2  5  x   x  2  5  x   4
Nhận t :
- Cá
o
á
có liên ệ ớ
T
ệ
 x  2  5  x  ẽ x
x2  5x

và  x  2   5  x   7 ,

x2  5x

,

eo

o?
ổ

o

ặ
ã

o ẽ

ổ

hoàn toàn

.
Lời giải:
ề
ệ : 2  x  5 .
ặ = x  2  5  x , (t  0)

t2 7
 t  7  2  x  2  5  x    x  2  5  x  
2
2
t  3
t 7
ã o
: t
 4  t 2  2t  15  0  
2
t  5 ( loaïi )
ớ t  3 x  2  5  x  3
2

7 2

 x  2  5  x   9   x  2  5  x   1


33 5
x 

2
 x2  3x  9  0  

33 5
x 
2


C

á ị ủ x ề
ệ

o

ủ

ề

ệ .
ã

o là: x 

33 5
33 5
;x 
2
2

Câu b) 3 x  2  x  1  4 x  9  2 3 x 2  5 x  2 (5)
Nhận ét:
Ta n
(5) có gì khác pt (4)?
3 x  2  x  1 ; 3x 2  5 x  2
-N o á
ệ
( ), pt
4x
;
- Tổ
ố.
3x  2   x  1  4x  1
-N
Do

ta

3x  2  x  1
ổ
ễ pt ho o theo t.

4x

ố

x

ê

ệ .

Lời giải:
ề k ệ : x1
ặ t  3 x  2  x  1 ; t  0  t 2  4 x  3  2 3 x2  5 x  2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

6


ã

t  3
t  2 ( loaïi )

: t  t2  6 t2  t  6  0  

o

ớ t  3  3x  2  x  1  3
 4 x  3  2 3x 2  5 x  2  9

 3x 2  5 x  2  6  2 x

6  2 x  0
x  3
 2
 2
2
3x  5 x  2  36  24 x  4 x

 x  19 x  34  0
 x3

  x  2
x2
  x  17


ệ

ủ

: x = 2.

Câu c) 2 x  5  2 x 2  5 x  2 x  5  2 x  48 .
(6)
N
xé :
-p
(6)
á so ớ
(4) (5)?
T
á
ề
ệ ố 2.
- Các ệ ố
ệ ặ
không?
o ặ

?
Lời giải:
ề
ện: x  5 . t  x  5  x ; t  0  t 2  2 x  5  2 x 2  5 x
ã

t  8  loaïi 

: t 2  2t  48  0  

o

t  6

ớ t  6  x  5  x  6  2 x  5  2 x 2  5 x  36  2 x 2  5 x  41  2 x
41


1701
41  2 x  0
5  x 

 thoûa ñk 
2 x
2 
2
164
4
x


5

41

2
x







164 x  1701
1701
x
ệ ủ
.
164

*N
xé : Từ
Dạng 2:
▪N
oá
ố)

ặ: t

ổ

(2)

á

o?

f ( x)  g ( x) ; f ( x).g ( x) và f ( x)  g ( x)  k ( ớ
f ( x)  g ( x)

▪N

f ( x).g ( x) 

t2  k
.
2

:

m  f ( x )  g( x )   2n f ( x ).g( x )  n  f ( x )  g( x )  p  0 .

T

ặ : t  f ( x)  g ( x)
x
,

ẽ
ã

ễ
o ề

ữ
ố

ớ

t.
Bài tập tự lu ện
Bài 2:
á
ng trình:
a) 2 x  1  9  2 x  3  2 x  1 9  2 x   13 .
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

S: x = 0; x = 4.
7


b) 1 

2
x  x2  x  1  x
3

c) 3  x 2  6  x 2  3 
d) x  1  x  3  2

S: x = 0; x = 1.

 3  x  6  x  .
2

S: x   6 .

2

 x  1 x  3  4  2 x .

S: x = 1.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) x 2  1  2 x x 2  2 x ;
b) 2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16
c) 2008 x 2  4 x  3  2007 x 4 x  3 ;

(7)
(8)
(9)

d) 4 x  1  1  3x  2 1  x  1  x 2 ;
(10)
* Phân tích tìm cách chọn ẩn phụ và lời giải:
Câu a) x 2  1  2 x x 2  2 x ;
(7)
Nhận t:
- PT (7)
ố

o ã
?
N
á
ặ
t  x2  2 x thì x 2  1  x 2  2 x  2 x  1 ,
PT
ễ o toàn qua
.
- Ta
ã o ề
ừ ặ.V k
ớ,
 ủ
-T
xe
ố
ệ
ớ
ớ
.
Lời giải:

ề

ử

ặ
trong

o?
: ồ
o?

x  2
x  0

ệ : x2  2 x  0  

Ta có: x 2  1  2 x x 2  2 x  x 2  2 x  2 x  1  2 x x 2  2 x
ặ t  x2  2 x ớ t  0
ã o
: t 2  2 xt  2 x  1  0 (*)
Ta có:  '  x 2  2 x  1  ( x  1) 2
Do
(*)
ệ :

x2  2 x  1
t  1
t  x m( x  1)  

t  2 x  1  x 2  2 x  2 x  1

x  1 2

ớ t  1  x2  2 x  1  x2  2 x  1  0  

 x  1  2
2x  1  0

ớ t  2 x  1  x2  2 x  2 x  1   2
2
x  2x  ( 2x  1 )
1

x 

2
2
3x  2 x  1  0, voânghieä
m


o

( o

ề

ệ )

ệ : x  1 2

Câu b) 2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

(8)
8

Nhận t :
- So ớ pt (7)
T (8)
ệ
ễ
ố ê ệ ữ á
o
ớ
,
ề
ủ T (8).
Ta có thể trình bầ lời giải như sau:
ề
ệ : 2  x  2 .

ớ 3
á

,
. Do

khó
)

Ta có (8)  4  2 x  4   16 2  4  x 2   16  2  x   9 x 2  16
 8  4  x 2   16 2  4  x 2   x 2  8 x

ặ t  2  4  x 2  ; t  0 , Pt

: 4t 2  16t  x2  8x  0 (*)

Ta có:  '  64  4   x 2  8 x   4( x  4) 2
 x
t  2
Do
(*)
ệ : 
t   x  4  loaïi 

2
 x  0
x
4 2
x
x
ớ t  thì 2  4  x 2    
(
2
2
2
2
3
8  4  x   x
4 2
x
ã o
ệ
3
2
Câu c) 2008 x  4 x  3  2007 x 4 x  3

(9)

Nhận

t:
t2  3
ặ t  4 x  3 t  0   x 
4

N

K)

(*)

:

2

 t2  3 
 t2  3 
 t2  3 
2008 
  4
  3  2007 
t
 4 
 4 
 4 

ặ

Ta

ặ t  4x  3
t  2007 xt  2008x2  0 .
Bài giải:

ta

T

ã

o

ặ
ệ . Do
rình
hai

ề

2

ệ : x

ề

3

4

ặ t  4 x  3 t  0 

ã

o

:

2008 x  2007 xt  t  0
2

2

 2008 x 2  2008 xt  xt  t 2  0
  x  t  2008 x  t   0

xt


 x   t  loaïi vì t  0,x  3 

2008 
4
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

9

x  1
( o
x

3


ớ x  t , ta có x 2  4 x  3  0  
ệ

ủ

ề

ệ );

: S = {1 ; 3}.

Câu d) 4 x  1  1  3x  2 1  x  1  x 2
(10)
Nhận t :
ớ
ề
ệ : 1  x  1 . N
ặ t  1  x , t  0   x  1  t 2 .
ã o
:
2
3t  ( 2  1  x )t  4( x  1  1)  0 .





2

Tính   2  1  x  48



1  x  1  x  1  44 1  x  53 ,



T





 
2

1 x ;





.

á

2

1  x sao cho

ệ ố

3x + 1 = – (1 – x) + 2(1 + x) ;
Lời giải :
ề
ệ : 1  x  1 .
T
ã o ớ

o. C

3x

eo

:

:

4 x  1   1  x   2 1  x   2 1  x  1  x 2

ặ t  1  x , t  0   x  1  t 2 .

ã

o

:

4 x  1  t 2  2  1  x   2t  t 1  x
 t 2  ( 2  1  x )t  4 x  1  2  x  1  0





Ta có   2  1  x  4 4 1  x  2  x  1  9  x  1  12 x  1  4
2

t  2  x  1

t  2 x  1
vôù
i t  2  x 1  1 x  2  x 1



  3 x1 2



2

 1 x  1 x  2



1  x 1  x   1  x 2  0  x  0 (T

)

3
(T
5
3
ệ : x = 0; x  .
5

)

ớ t  2 x  1  1  x  2 x  1  5 x  3  x  
ã
* Nhận t: Từ
Dạng 3:
N

o
3

ổ
ề

á

o?

:

a. f ( x)  g ( x). f ( x)  h( x)  0.

ặ t

ớ
eo

f  x  , t  0 

: at 2  g ( x)t  h( x)  0 . (xe

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

x

ố)
10


2 : ừ
n phụ không iệ đ .

P
đặ
Bài tập tự lu ện.
Bài 3.

á



x

ừ

ê

:



1
2

a) x2  3  x2  2 x  1  2 x 2  2

S: x   ; x   7

b) (4x – 1) x 2  1  2 x 2  2 x  1

S: x 

c) 2(1 – x) x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  1
d)  x  1 x 2  2 x  3  x 2  1

S: x  1 6

4
3

S: x  1  2

Ví dụ 4 : Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
b) 5 x3  1  2  x 2  2 

(11)
(12)

c) x2  2 x  2 x 1  3x2  4 x  1

(13)

* Phân tích để tìm cách chọn ẩn phụ và lời giải:
Câu a) 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
Nhận t:
ề
ệ ủ
x5
2
Ta có: 11  5 x  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
Do
á
2x  5x  2  5
2

x

2

:

 x  20   x  1 * 

do x  5

ữ
ê

.
ố

ủ

ớ

ệ

, ta
trong h
Ta có:

(11)

ê

ệ

ữ

á

ặ

(*):

x 2  x  20   x  4  x  5

x

2

 x  20   x  1   x  4  x  5 x  1   x  4   x 2  4 x  5

Và 2 x 2  5 x  2  2  x 2  4 x  5   3  x  4 
Từ

ố

ê

ệ ê

o

é

 x  x  20   x  1
 2  x  4 x  5  3  x  4   5 x  4 x  5.

2 x2  5x  2  5

:

2

2

(p

2

x  4 (*)

: a. A  x   bB  x   c A  x  .B  x  ); ( ớ a, b, c là các

ố; A x  , B  x 
á
Vì x  5 nên x +4 > 0

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

ủ x).
hia

ủ (*) cho x + 4 .

11


t

x2 4 x 5
,
x4

ó

o

2

eo

.

Li gii:

: x5

11

5 x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1

2x2 5x 2 5

x

2

x 20 x 1

2 x 2 4 x 5 3 x 4 5 x 2 4 x 5. x 4
x2 4x 5
x2 4x 5
2

3

5
(**) (Vỡ x 5 nờn x + 4 > 0)

x

4
x

4


x2 4 x 5
, t 0. P
t
x4
t 1
2
2t 5t 3 0 3

t
2

(**)

:

x2 4 x 5
x2 4 x 5
1
1
x4
x4

5 61
loaùi
x
2
2
x 5x 9 0

5 61
nhaọn
x
2


*t 1

3

* t
2

x2 4 x 5 3
x2 4 x 5 9


x4
2
x4
4

x 8 nhaọ
n

4 x 25 x 56 0
x 7 loaùi

4
5 61
o
: x = 8; x
2
2

ó

V

Cõu b) 5 x3 1 2 x 2 2

(12)

Nhn t:
- Theo ỏ

)
lm gỡ?
- Ta cú x3 1 x 1 x 2 x 1 ;

- phõn tớch x 2 2 theo x 2 x 1 vaứ x 1 nh
Li gii:
T
:



o?

: x 1 .

5 x3 1 2 x 2 2 5
2

x 1 x 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1
x 1
x 1
5 2
20
x x 1

x x 1
2

Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10

(Do x 2 x 1 0, x).
12


: 2t 2 5t 2 0 t 1 .


x 1
4 4 x 2 5x 3 0 :
x x 1

*t 2
*t

t 2

x 1
,t 0
2
x x 1

: t

2

.

2

1
x 1
1
5 37
2
x 2 5x 3 0 x
;
2
2
x x 1 4

Cõu c) x2 2 x 2 x 1 3x2 4 x 1

(13)

Nhn xột v li gii:
-T

hai cõu trờn,

-T

?


ng trỡnh khụng õm

x2

ỏ







pt:

x

2

2 x 2 x 1 x 2 1

B
Ta
cú:

ỏ

ta

x

2

x2 1 theo x 2 2 x vaứ 2 x 1 .

2 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2 x 2 x 1

2

2 x 2 x 1 0

o x2 2 x > 0 (vỡ x 2 )

C
2x 1

x2 2 x

t

t

T

x

:

2x 1
1 0
x2 2 x
2x 1
,t 0 . T
x2 2 x

1 5
2


Tng quỏt: T
N

o


1 5
(loaùi)
t
2
2

: t t 1 0
1 5
nhaọn
t
2

ờ ta
ó

4 ờ


x

1 5
2

o.
rỳt ra

ỏ?
: a. A x bB x c A x .B x (1)

(
ỏ
; A x , B x
ỏ
T
:
b 1: T
B x 0
b 2: Xột B x 0

o B x .
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10



x).

(1)

:
13


 A x    A x  
a 
  b  0 . (*)
  c 

B
x
B
x





 

A x

; t 0,
B  x

ặ t

t : at2 - ct + b =

ề

(*)

0.
Bài tập rèn lu ện
Bài 4.
á
a) 2 x 2  5 x  1  7 x3  1
b) 2( x 2  3x  2)  3 x3  8

:
S: x  4  6
S: x  3  13

Ví dụ 5 : Giải các phương trình sau:
a) 3  x  6  x   3  x  6  x   3
b) 1 

(14)

3
x  x2  x  1  x

2

c) ớ

á ị

(15)

o ủ

ệ :
(16)

1 x  1 x  a

Phân tích để tìm cách chọn ẩn phụ:
Câu a) 3  x  6  x   3  x  6  x   3
N

(14)

xé :
ủ

- Pt (14)
-N o
ã

á
o

nào trong á
á

v  6  x

; u, v  0

- Hệ
o ã
Bài giải :
ề
ệ : 3  x  6
u  3  x

ặ 

v  6  x

á

2)

ề
ử
ớ

ệ
u  3  x

?(

ặ

2

ử ặ 

ã

ã

.
o

ề ệ

o?

?

; u, v  0  u 2  v 2  9

K

ã

o

ệ ố x

o

:



u  v  9
(u  v)  2uv  9

 (uv  3) 2  2uv  9

u  v  uv  3 
u  v  uv  3

2

2

2

 3 x  0
uv  0
u  0
 x  3




(T

uv


4
loaï
i
v

0
x

6


6

x

0






ệ

ủ

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

ề

ệ )

S = { – 3 ; 6}
14


Câu b) 1 

3
x  x2  x  1  x
2

Nhận t:
)
á
-T
Lời giải:
ề
ệ : 0  x 1
u  x

ặ 

v  1  x

(15)

)?
)

?C

o?

; u, v  0  u 2  v 2  1

K

ã

o

ệp

ố x

o

:

u  v  1
(u  v)  2uv  1
uv  0
2 2




 (1  uv)  2uv  1  
 2
2
uv  3
3
1  uv  u  v
u  v  1  uv
2

3
 3

2

2

ớ

2

 x0
u  0
x  0



v  0

x  1
 1  x  0

u  v  2

m vì s2  4 P  0

3 voânghieä
u
.
v


2


=0

ớ uv 



3
2

ệ ủ
Câu c) ớ á ị o ủ



S = { 0 ; 1}
ệ :
(16)

1 x  1 x  a

Nhận t và lời giải :
(1 )
nào ?
ề
ệ : 1  x  1
u  1  x

ặ 

v  1  x

K

câu trên ta,

; u, v  0  u 2  v 2  1

ã

o

ệ:

u  v  a

u 2  v 2  1 
(u  v)2  2uv  1 

a 2  2uv  1 




a 2  1 (I)
u  v  a
u  v  a
u  v  a



uv 
2

ã
o
ệ
ệ
(I)

ệ

(S  4P  0) :
2

 a2  4

a2 1
 0  2a 2  4  0  a 2  2   2  a  2 .

2
ệ
 2a 2.

Tổng quát: Q
Dạng 5:
N

5

ổ

rút ra
ề

a  f  x  b  f  x  c ( ớ

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

á

o?

:
á

ố)

15

u  a  f  x 

ặ 
; u, v  0  u 2  v 2  a  b

v  b  f  x 
u 2  v 2  a  b
ã o
ệ: 
.
u  v  c

T
K
ệ

; ồ suy ra x.

Bài tập rèn lu ện
Bài 5.
á
a) x  1  4  x 

:

 x  1 4  x   5

S: x = 0; x = 3

 3  x  6  x 

b) 3  x 2  6  x 2  3 

2

S: x   6

2

1
1

2
x
2  x2

c)

S: x = 1 ; x 

1  3
.
2

Ví dụ 6 : Giải các phương trình sau:
a) x 2  2 x  2 2 x  1

(17)

b) 2 x 2  6 x  1  4 x  5 .
)
ệ

(18)
x m  xm
2

(19)

Phân tích để tìm cách chọn ẩn phụ:
Câu a) x 2  2 x  2 2 x  1
N
xé :
- N ta ặ
theo t
ớ
- Ta
T

ặ

(17)

t  2x 1

ễ hoàn toàn

: t  2t  x  4 x  1  0 .
2

'

2

ệ
eo á
2
: x  2 x  2 2 x  1  ( x  1)  1  2 2 x  1 .

.

2

2x 1   y  

, 

o

o ệ

 x 2  2 x  2( y   )
ệ ố x
o 2.

2
( y   )  2 x  1
T eo ệ ố x
o 2

ừ ệ ê
: 2  2    1 ;
2   2    1
ừ ệ
 1

Ta có lời giải sau:
1
.
2
Ta có: x 2  2 x  2 2 x  1  ( x  1)2  1  2 2 x  1

ề

ệ : x

ặ y  1  2 x  1  y  1 thì

ề ệ

:

 x 2  2 x  2( y  1)
 x 2  2 x  2( y  1)

 2
2
2
y


2
y

2(
x

1)

 x  y  0

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

16


  x 2  4 x  2  0
  x 2  2 x  2( y  1)


y

x

 y  x



 x  y  2 2
2
2



x


2
,
voâ
nghieä
m
x

2
x

2(
y

1)






  y   x
  y   x


ố

ớ ề
ệ ,
ệ
là: x  2  2
2
2x  6x 1  4x  5
Câu b)
(18)
N
xé :
(18)
)
?T
ặ 4x  5   y  
? Vì sao?
-T
ệ ố ủ x2
2 ê
ặ
2 x2  6 x  1 ớ
ổ.
ề
á
o?
-N
ớ 2
oá
ề
).
Lời giải :

5
ề
ệ x .
4
Ta có: (18)  4 x2  12 x  2  2 4 x  5  (2 x  3)2  2 4 x  5  11 .
3

ặ 2 y  3  4x  5  y  
ệ
sau:
2

(2 x  3) 2  4 y  5
 ( x  y )( x  y  1)  0

2
(2 y  3)  4 x  5
ớ x  y  2x  3  4x  5  x  2  3 .
ớ x  y 1  0  y  1  x  x  1  2 .
ố
ớ ề
ệ
ệ
ệ
x  2  3 ; x  1 2
x2  m  x  m
Câu c)
ệ
Nhận t:
ố pt nào? C

o
?
N
ặ y  xm
ệ
o? C
ệ ố x
?

Lời giải:
ề

ệ x  m.
x  y2  m
y  0

ặ y  x  m thì 

ệ

 y  x
 2
 x  x  m  0
2
2
x  m  y
x  m  y
  x  m; y  0
 2



 y  m  x  ( x  y )  x  y  1  0  
  y  1  x
 x  m; y  0
 x  m; y  0
 2


 x  x  m  1  0
  x  m; y  0


:

1

 2

ệ (1):
*) N

m  0 thì (1)

ệ

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

x y

1  1  4m

.
2

17


*) N

m0

ệ (1)

ệ

K

x  m  x2  0  x  m

1
.
4
1 m 1  4m
x y
2

   1  4m  0  0  m 

ệ (1)

ệ

ệ (2):
*) N

m  1  0  m  1,

*) N

m  1  0  m  1, thì:


1 
 x 
 

1 
 y 
(2)   

1 
 x 


  y  1 
 

ệ

x  m


 y  1  x  0

x

3  4m
 m  loaïi 
2
3  4m
2
3  4m
2
3  4m
 0  loaïi 
2

Nhận t: Từ á
ổ
át nào ?
Dạng 6:
* Khi pt có thể đưa về dạng :
f 2  x   b  a af  x   b ,
ề ệ ố x
2
ặ

t  f  x  , y  af  x   b

ệ

á

:

t 2  b  ay
.
 2
 y  b  at

* Khi phương trình đưa về dạng :
2
ax  b  c  dx  e    x   .
Vớ á ệ ố
ã : d  ac   ; e  bc  
- Cá
:
ề
ệ ax  b  0 . ặ dy  e  ax  b
ề
K
ệ:

(*)
ệ dy  e  0 .


dy  e  ax  b

2

dy  e  c  dx  e    x  

2
2

1
(dy  e)  ax  b
c(dy  e)  acx  bc



2
2
c(dx  e)   x  dy  e  
c(dx  e)   ac  d  x  dy  bc  2 



Từ

eo

ủ

ệ (I)

 3
 4

x  y
d  x  y  .h  x, y   0  
 h  x, y   0

 ớ (3)
 ớ ( )
C
ý

o (1)
o (1)
ử
ề

ã

I 

:

ề

á
ê
ệ (*)

eo x
eo x.
éo éo

ổ

Bài tập rèn lu ện

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

18


Bài 6:
á
2
a) x  2  8 x  8 ;

:

4x  9
 7 x2  7 x, x  0 ;
28

b)

4x  9
1 7

7x   
ý:
28
2 4

1
4x  9
1
3

3 7
ặ y 
ñk: y  
 y
2
28
2 2 7
2 7
2

Khi đó ph

ng

nh đ ợ

h y n hành hệ:

1

1

y

 7 x2  7 x
y   7 x2  7 x


2



2


2
 y  1   4 x  9
x  1  7 y2  7 y



2

2
28

ệ

ệ

Ngoài ra :

 1
2

trình là: x 

ủ

ố

ề

 f  x   ax  by  m

 f  y   a ' x  m '

ệ

50  6
(vì x > 0).
14

 * ( ệ

x=

ố x

)

: – ’=
= ’.
2
: 4 x  5  13x  3x  1  0

Ví dụ 7 :
Nhận t :
-N

ữ

ớ :
2

13 
33

4 x 2  5  13 x  3 x  1  0   2 x    3x  1 
4
4

13
ặ 2 y   3 x  1 thì
ệ
4

o ệ

.
ệ pt ã
á
ố x
oặ
ố x
2

 y     3x  1

ệ

ặ :  y    3x  1

 ,  sao

.

2 2
2

 y  2 y  3x    1  0 (1)
ệ: 
 2
(*)
2
4
x

13
x


y

5



0
(2)


4 x  13x  5   y  



T

ệ ê
ệ

(1)

ớ

ớ (2) ớ

o

ố là có

x y

Nê

:

2
4



2  3  2  1

  13
5 

  2;   3

Ta có lời giải như sau :
ề
T

ệ : x
ệ

1
3

ặ

3
3 x  1  (2 y  3), ( y  )
2
2
(2 x  3)  2 y  x  1
 ( x  y )(2 x  2 y  5)  0
:
2
(2 y  3)  3 x  1

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

19


ớ x yx

15  97
8

ớ 2x  2 y  5  0  x 
K

:

ệ

11  73
8

ủ

15  97 11  73 
;
.
8
8



:

Ta cũng có thể biến đổi phương trình về một hệ pt ở dạng khác.
Ví dụ 8 :
: 7 4 x 2  5 x  1  14 x 2  3x  3  17 x  13 *
Nhận t:
B
ễ
ố ê ệ ữ á
o
?
T ê
ặ
o o
ý?

 *  7

4  x 2  3x  3  17 x  13  14 x 2  3x  3  17 x  13

ặ:
u  13

x

u

17
x

13


17




2
2
2
v  x  3x  3  v  0 
v 2   u  13   3  u  13   3  u  25u  373





289
 17 
 17 

*

7 4v 2  u  14v  u

7 4v 2  u  14v  u 1

T
ệ: 
u 2  25u  373
2

v


 2
289

2
1  49  4v 2  u   14v  u   49u  28uv  u 2
u  0
 u  u  28v  49   0  
u  49  28v
13
u0 x
17
 u  49  28v
Thay vào  2  :
 25  49  28v   373
289
2
2
 289v  784v  2044v  1549

v

2

 49  28v 


2

 495v 2  2044v  1549  0


v  1
  1549  
v 

495


 x  1

2
 x  2
x  3x  3  1

746
1549    x  
2
x  3x  3 
495

495

2231
 x 
495


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

20


T

á

á ị

ệ : x  2, x  

o

746
495

 746 13 
S  
; ; 2
 495 17 

Bài tập tự lu ện:
á
:
2
2
1) x  x  3 x  5  3 x  7

S x = -1, x = 4

2)_ x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1

S: x = 1. x = 

S: S  1; 2  2

2 x  1  x 2  3x  1  0

3)

S: S  4;5

4) x  2 7  x  2 x 1   x2  8x  7  1
ệ

5) Tìm m
S: m 

ệ

x2  mx  2  2 x  1

9
2

V. KẾT QUẢ
To
á

o
oá
ừ
ặ
.N o
o
á ề
nâng o ớ
ề
ớ 10 ã

ã o
oá
á e
ê
o á e
C o
á
á

ớ 10, ớ
o

oá
ê

õ
o

á

xé

e
; ồ
. ớ

ệ ,
ớ á

oá

á
K

ê

á
á

ề

ổ

ố

á

ố

ề

ố

á
ã

7
2

ề

e

.
o á

o á e

5

ủ hai ớ 10

:
Lớp
10A7
10A9

Trước khi áp dụng
Bài 45 phút
50 %

55 %

VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
B oá
ớ
.L
o
oá
á e
á
o. N
o
ề
ệ
á á
á e
ệ
á e á
á
ề
ố
o á e
.B
á e
ý
á
á
o
ỹ ý
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

Sau khi áp dụng
Bài 45 phút
85 %
80 %
o
ệ
o

ệ
ê
o

ý. T
ề

o
ệ

ớ

ề .
á e .K

ủ
xá

á
á

ị
x

ớ

o
.
21


Bê
o ổ

ủ

,
ữ

ề
o

e
.

o o

nhữ

á e

iáo viên
ẽ o

ề

. Hã ố
o á e

ệ

ớ

VII. KẾT LUẬN
Toá
á ề
,

ặ o
áo
T

o
ê
-C o

TH T

á

.

ổ

0
ề
o HS.

ề
. Do

ê

ủ
ý

, và

tôi
ê
ặ

á
á

ớ
ớ 10

á

. Mặ

ề

ã
á

o

ố

.

VIII. KIẾN NGH
N

ố

ớ

ị:
-To
á
- ố ớ
ố

ố
o

Toá

ê

ê

ố

.

ố

áo ê ê
ị ố o á e
.

o
C o

IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sá
áo o á
á
áo
200 .
- Toán nâng cao
ố 10 – o

x

ớ 10

áo

Q

ê

ê
o

o á e
H

ố nâng cao ớ 10 – Nhà

( ủ

ê )–N

x

áo

.
B

á

H N .
- Cá

á

x

S
-R

x

ệ
áo

ệ

Toá – Lê Hồ
ố –H

–N
C

x

T á – Nhà

.
ệ

oá – N

ễ Thái Hòe – Nhà

.

Biên Hoà, ngày 25 tháng 3 năm 2013
N
ệ

Ngu ễn Thị Qu ên
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

22


MỤC LỤC
Trang
I. Lý do c
ề .........................................................................................
II. C
............................................................................................. 1
1. ặ
ề ................................................................................................ 1
2. Cá ệ
á
ệ ........................................................................... 2
III. T
ớ
ệ á
á ủ ề
....................... 2
1. T
i .................................................................................................. 2
2. K

.................................................................................................. 2
I .N
ề
...................................................................................... 2
1. M ố
ê
....................................................................... 2
2. N
................................................................................................... 3
.K
.................................................................................................. 21
I. B
ệ ............................................................................ 21
II. K
.............................................................................................. 22
III. K
ị ........................................................................................... 22
IX. T
ệ
o ............................................................................... 22
M
...................................................................................................... 23

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

23