Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2011-2012 - Lời giải và bình luận môn toán

Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2011-2012 - Lời giải và Bình luận
A1. Bất đẳng thức và cực trị
1. (Hưng Yên) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
2 2 2
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y xy yz zx x y y z z x+ + + + + ≥ + + + + +
2. (Hà Tĩnh) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
5 5 5 3 3 3
8 8 8
1 1 1 ( )( )
(1 )
(1 ) (1 ) (1 )
a b c a b c
abc
a b b c c a a b c
 
+ + + +
+ + + ≥
 ÷
+ + + + +
 
3. (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y
+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1
2
x y z+ +
4. (ĐHKHTN HN) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
3 7 3 7 3 7
7 7 7
( 1) ( 1) ( 1) 9

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
a b c b c a c a b
b b c c c a a a b
+ + + + + +
+ + ≥
+ + + + + +
5. (THPT chuyên Thái Bình) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
(3 1) (3 1) (3 1)
4
2 1 2 1 2 1
a b c
a b c
− − −
+ + ≥
+ + +
6. (Tp HCM) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
1 1 1 3
(1 ) (1 ) (1 ) 1a b b c c a abc
+ + ≥
+ + + +
7. (Tp HCM) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
+ +
+ + ≤

+ + + + + +
8. (PTNK) Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh bất đẳng
thức:
2 2 2
1 1 1
1
3 2( ) 3 2( ) 3 2( )a bc b ca c ab
+ + ≥
+ − + − + −
9. (Thái Nguyên)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( ) 2cos 6 sin
2
x
f x x= +
b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
5 10
sin sin 6 sin
4
A B C+ + ≤
10. (Hải Phòng) Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
3 3 3
4( ) 15 1a b c abc+ + + ≥
11. (ĐH Vinh) Cho các số thực không âm phân biệt a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
( )
( ) ( ) ( )

P a b c
a b b c c a
 
= + + + +
 ÷
− − −
 
12. (Nghệ An) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2 2 2
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a a b b c c
a a b b c c
+ + +
+ +
+ + + + + +
13. (Cần Thơ) Chứng minh rằng với mọi α ta có:
2 2
17 cos 4cos 6 cos 2cos 3 2 11
α α α α
≤ + + + − + ≤ +
14. (Nam Định) Cho a, b, c là 3 số dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 12
a b c a b c
b c c a a b a b c abc

+ +
+ + ≤
+ + + + + + + + +
15. (Đồng Nai) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3