De thi hoc sinh gioi toan 8 nam hoc 2010-2011 va dap an

Phòng GD&ĐT Cẩm
giàng
Trờng THCS Nguyễn Huệ
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
5
5 3
1
5 4
a) x
b ) x x
+ +
+
x
x
Câu 2 (2,0 điểm)
Giải các phơng trình sau:
a) x
2
- 4x + 4 = 25
b)
21 25 3
4
1990 1986 1004
x x x

+ + =

Câu 3 (2,0 điểm)
Cho ba số a, b, c thoả mãn abc = 2. Tính giá trị của biểu thức
22
2
12 ++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b
aab
a
A
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB). Gọi I là điểm trên cạnh AB(khác A,B).
Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với
AB. Đờng thẳng vuông góc với IC tại C cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh rằng: Tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN?
b) Chứng minh: Góc MIN = 90
0
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hai số dơng a và b thoả mãn điều kiện:
2 2
2
1
5 5 0a b ab

a
+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của ab.
Hết
1
§¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm
M«n To¸n 8
(Gåm 02 trang)
C©u
ý
Néi dung §iÓm
1
a
( )
( ) ( )
( ) ( )
5
5 2 2
2 2 2
2 3 2
1
1
1 1 1
1 1
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
+ +
= − + + +

= − + + + + +
= + + − +
0,5
0,5
b
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 3
4 2
4 2 2
2
2 2
2 2
5 4
5 4
4 4
2
2 2
2 1 1 2
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
− +
= − +

 
= − + −
 
 
= − −
 
 
= − − + −
= − + − +
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a
( )
{ }
2
2
4 4 25
2 25
2 5
2 5
7
3
3 7
x x
x
x
x

x
x
;
− + =
⇔ − =

− =
⇔

− = −

 =
⇔

= −

−vËy tËp nghiÖm cña phW¬ng tr × nh lµ S =
0,25
0,25
0,25
0,25
b
( )
21 25 3
4
1990 1986 1004
21 25 3
1 1 2 0
1990 1986 1004
1 1 1

2011 0
1990 1986 1004
1 1 1
2011 0 0
1990 1986 1004
2011
x x x
x x x
x
x
x
− − −
+ + =
     
− − −
⇔ − + − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
 
⇔ − + + =
 ÷
 
 
⇔ − = + + >
 ÷
 
⇔ =
v ×
VËy phW¬ng tr × nh cã nghiÖm lµ x = 2011
0,25

0,25
0,25
0,25
2
3
0
2
1 2
1 2
1 1 2
1
1
1
1
1
a;b;c
a b c
A
ab a abc bc b ac c abc
b
A
bc b bc b ab a
b abc
A
bc b ab a abc
bc b
A
bc b
A

= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+
= +
+ + + +
+ +
=
+ +
=
V ì abc = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
4
- Vẽ hình đúng 0,5
a Xét
ã
ã
ã
ã
ã
ã
( )
CA I
CA I CBN ABC )
CA I g g
ACI BCN BCI )

=



=


và CBN có :
(cùng phụ
CBN
(cùng phụ
:
1,0
b
( )
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
0
0
90
90
c g c CIN CA B
cmtt : CIM CBA

CA B CBA
MIN
=
=
+ =
=
Chứng minh CIN CAB
Mà
Do đó
:
0,5
0,5
0,5
5
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
1
5 0
1

4
1
4 4
1
2 2
1
2 2 0
b ab
a
ab b ab
a
ab a a ab b
a
ab a a b
a
ab a a b
a
+ + =
= + +

= + + +
ữ


= + +
ữ


+
ữ

Ta có : 5a
5a
V ì a,b
Vậy Min ab = 2. Dấu '' = '' xẩy ra a = 1; b = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
3