Đáp án đề thi thử số 2 môn toán kỳ thi Trung Học Phổ Thông quốc gia năm 2015

Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
1

-


ĐỀTHI THỬ





Câu Đáp án
Điểm
Câu 1
(2.0 điểm)

a.(1 điểm) Khảo sát
- Với
2
1
2 1
x
m y
x
+
= ⇒ =
+

- Tập xác định:
1
\
2
D R
 
 
 
= −
 
 
 
 

- Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
3
' 0,
(2 1)
y x D
x
−
= < ∀ ∈
+

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
1
;

2
 



−∞ −





 
và
1
;
2
 



− +∞





 

0.25
Giới hạn:

1 1
lim ; lim
2 2
x x
y y
→+∞ →−∞
= =
1
2
y⇒ =
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1 1
2 2
lim ; lim
x x
y y
+ −
   
 
 
 
→ − → −
 
 
 
 
 
   
= +∞ = −∞
1

2
x⇒ = −
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
0.25
Bảng biến thiên:
x

−∞

1
2
−

+∞

'
y


−

−

y





1

2

+∞




−∞

1
2


0.25
- Đồ thị:

0.25
x
y
O
1
ĐỀ THI THỬ

ĐỀ SỐ 2
KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015
MÔN: TOÁN – Thời gian: 180 phút
Hợp tác sản xuất giữa ViettelStudy.vn và Uschool.vn

Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
2

-


b) Tìm
đi
ều kiện để h
àm s
ố đồng biến…

Tập xác định:
\
2
m
D R
 
 
 
= −
 
 
 
 

2
2
4
'

(2 )
m
y
x m
−
=
+

0.25
Hàm s
ố đồng biến trên
(1; )
+∞
khi và chỉ khi hàm số xác định trên
(1; )
+∞
và
' 0, (1; )
y x
> ∀ ∈ +∞

0.25
Hàm số xác định trên
(1; ) 1 2
2
m
m+∞ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −

0.25
2

2
' 0 4 0
2
m
y m
m

>

> ⇒ − > ⇔

< −



Kết hợp điều kiện: Để hàm số đồng biến trên
(1; ) 2
m
+∞ ⇔ >

0.25
Câu 2
(1.0 điểm

Tính tích phân:
1
2 2
0
3 1
x

I x x e dx
 


= + +



 
∫

Ta có:
1
2 2
0
3 1
x
I x x e dx
 


= + +



 
∫
1 1
2 2
0 0

3 1
x
x x dx xe dx
= + +
∫ ∫

Xét
1
2
1
0
3 1I x x dx= +
∫

Đặt:
2
3 1 ( 0)x t t+ = >

2 2
1
3 1
3
x t xdx tdt⇔ + = ⇒ =


0.25
Đổi cận: Với
0 1
x t
= ⇒ =

Với:
1 2x t= ⇒ =

2
3
2
1
1
2
1 7
1
3 9 9
t
I t dt⇒ = = =
∫

0.25
Xét
1
2
2
0
x
I xe dx=
∫

Đ
ặt:
2x

u x
dv e dx


=




=



Ta có:
2
2
x
du dx
e
v


=





=






1
2 2 2 2 2
2
0
1 1
1
0 0
2 2 2 4 4 4
x x x
xe e dx e e e
I⇒ = − = − = +
∫

0.25
Vậy:
2
1 2
37
4 36
e
I I I= + = +

0.25

Câu
3

(1.0 điểm)


a) Ta có:
2
1 2
2 5 0
1 2
z i
z z
z i

= +

− + = ⇔

= −



0.25



Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
3

-

3 3 3 3 2 3 2 3
1 2
(1 2 ) (1 2 ) 1 6 12 8 1 6 12 8z z i i i i i i i i+ = + + − = + + + + − + −

2 24 22= − =

0.25
b) Xét khai triển:
20
1
20
1
20
3
20
3
20
3
0
1 1
2 2
2
k
k
k k
k
x
x x C x x
x
−

−
−
=
 


 

 
 








 





− = − = −
 






 










 
  

 
 


 
∑

0.25
20
20
3
20
0
1
2

k
k
k
k
k
C x
− −
=
 



= −





 
∑

Số hạng chứa
8
4
20 8 12 9
3 3
k k
x k k⇒ − − = ⇔ = ⇔ =

⇒

Số hạng chứa
8
x
là:
8
9
20
9
2
x
C−

0.25
Câu 4
(1.0 điểm)

3 3
2 log 3 log 1
2 3.2 1 0
x x+ +
− + =

Điều kiện:
0x >

Phương trình tương đương với:
3 3
2(log 1) log 1
2.2 3.2 1 0 (*)
x x+ +

− + =

0.25
Đặt:
3
log 1
2 ( 0)
x
t t
+
= >

2
1
(*) 2. 3 1 0
1
2
t
t t
t

=


⇒ ⇔ − + = ⇔

=



0.25
Với:
3
log
3
1 2 1 log 0 1( / )
x
t x x t m= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

0.25
Với:
3
log
3
1 1 1
2 log 1
2 2 3
x
t x x= ⇔ = ⇔ = − ⇔ =

Kết luận:
0.25
5
(1.0
điểm)

Đường thẳng
1
d

đi qua điểm
1
(2;1;0)M
và có vec-tơ chỉ phương:
1
( 1; 2;1)u = − −


Đường thẳng
2
d
đi qua điểm
2
(1;2;0)M
và có vec-tơ chỉ phương
2
(1; 1;1)u = −


0.25
Ta có:
1 2
, ( 1;2; 3)u u
 
= −
 
 
 
;
1 2

( 1;1;0)M M = −


1 2 1 2
, 1 2 3 0u u M M
 
= + = ≠
 
 
  

1
d⇒
và
2
d
chéo nhau.
0.25
Đường thẳng
1
2
: 1 2
x t
d y t
z t


= −




= −



=




Gọi
1 1
B d B d= ∆ ∩ ⇒ ∈
(2 ;1 2 ; )B b b b⇒ − −

0.25



Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
4

-


∆
nhận
( 1 ;3 2 ; 2)
AB b b b
= − − − +


là 1 vec-tơ chỉ phương
2 2
. 0 1 3 2 2 0d AB u b b b∆ ⊥ ⇔ = ⇔ − − − + + + =
 

1 ( 2;1;3)
b AB
⇔ = ⇒ = −


Đường thẳng
∆
đi qua
(3; 2; 2)A − −
và nhận
( 2;1;3)
AB
= −

là vec-tơ chỉ phương
Phương trình đường thẳng
3 2 2
:
2 1 3
x y z− + +
∆ = =
−

0.25
Câu 6
(1.0
điểm)

Ta có:
0 2
1 3
2. 2. . . .sin120 .2 . 3
2 2
ABCD ABD
S S AB AD a a a
∆
= = = =
0.25
2 3
.
1 1
. . 3. 3
3 3
S ABCD ABCD
V SAS a a a= = =

0.25
Gọi
N
là trung điểm của
/ /
CD MN SD
⇒

/ /( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))SD BMN d BM SD d SD BMN d D BMN⇒ ⇒ = =

Gọi
I AC BD= ∩

Kẻ
( )
IH BN H BN
⊥ ∈

Kẻ
( )
IK HM K HM
⊥ ∈

Ta có:
/ / ( )MI SA MI ABCD⇒ ⊥

Ta có:
( )
BN IH
BN HMI IK BN
BN MI


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥



Mà:
( ) ( ,( ))IK HM IK BMN d I BMN IK⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có:
I
là trung điểm của
BD

( ,( ))
2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2
( ,( ))
d D BMN BD
d D BMN d I BMN IK
d I BMN IB
⇒ = = ⇒ = =
0.25
Ta có:
2 2
2 2 2 0 2
1 21
2. . .cos120 4 2.2 . .
4 2 2 4
a a a
BN BC CN BC CN a a
 




= + − = + − − =





 

0.25
120
0
H
N
I
C
B
M
I
N
C
A
D
B
A
D
S
H

K



Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
5

-


2
1 1 3
2 4 4
BND BCD ABCD
a
S S S
∆ ∆
= = =
2
2.
1 3 7
( , ). ( , )
2 7
21
2.
2
BND
BND
S
a a

S d D BN BN d D BN
BN
a
∆
∆
= ⇒ = = =

Ta có:
1 7
( , ) ( , )
2 14
a
IH d I BN d D BN= = =

Trong tam giác vuông:
MIH
ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 28 4 88 3
3 3
2 22
a
IK
IK IH MI a a a
= + = + = ⇒ =

66
( , ) 2.
22
a

d BM SD IK⇒ = =



Câu 7
(1.0
điểm)

Gọi
G AI CD G= ∩ ⇒
là trọng tâm tam giác
.
ABC

Ta có:
J
là trọng tâm tam giác
ADC DJ⇒
đi qua trung điểm của
/ /AC DJ BC⇒
GI DJ
⇒ ⊥

Gọi
E
là trung điểm của
CD

Ta có:
1 1 2

.2.
3 3 3
DG CD ED ED= = =

Mà:
2 2
/ /
3 3
DG AJ
AJ AE GJ AD ID GJ
DE AE
= ⇒ = = ⇒ ⇒ ⊥

I
⇒
là trực tâm của tam giác
DGJ


0.25
Đường thẳng
CD
qua
(3; 1)M −
nhận
2
;0
3
IJ
 




=





 

là 1 vec-tơ pháp tuyến
: 3 0
CD x
⇒ − =

Gọi
( )
2 5
3; ; ; (6; )
3 3
D d ID d ND d
 



⇒ = − − =






 
 

0.25
G
J
E
I
D
B
C
A
M



Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
6

-


Có:
2
3
5
. 0 4 0
4

3
3
d
ID ND ID ND d d
d

=


⊥ ⇔ = ⇔ − − = ⇔

= −


   


Với:
3 (3;3)
d D
= ⇒

Đường thẳng
AB
qua
(3;3)D
nhận:
(6; 3)
ND
=


là vec-tơ chỉ phương
: 2 3 0 (2 3; )AB x y A a a⇒ − + = ⇒ −

(3; )C c

Ta có:
J
là trọng tâm tam giác
ADC

2 3 3 3 11
5
3 3
(7;5); (3; 3)
3 5 3
3 3
a
a
A C
a c c


− + +

=



=




⇒ ⇔ ⇒ −
 
 
+ + = −
 

=




; ( 1;1)B −

0.25
Với:
4 4
3;
3 3
d D
 



= − ⇒ −






 

Đường thẳng
AB
qua
4
3;
3
D
 



−





 
nhận:
4
6;
3
ND
 




= −





 

là vec-tơ chỉ phương
9 6
: 2 9 6 0 ; ( 0)
2
a
AB x y A a a
 
− −



+ + = ⇒ >





 
;
(3; )C c

Ta có:
J
là trọng tâm tam giác
ADC

9 6
3 3
11
2
3 3
4
5
3
3 3
a
a c


− −

+ +



=


⇒




+ −



=



16
0
9
a⇒ = − < ⇒
loại
Kết luận:
(7;5); ( 1;1); (3; 3)A B C− −



0.25
Câu 8
(1.0
điểm)
3 3 2 2
2
8 6( 2 ) 15 12 10 0 (1)
( 3)
6 ( 3) 2 2 2 2 (2)
2
y x y x y x

y x
y x x x x y


− + − + − + =




− +

+ + + + = + + +





Điều kiện:
2; 6x y≥ − ≥ −

Ta có:
3 2 3 2
(1) 6 15 8 12 12 10
y y y x x x
⇔ + + = + + −

3 3
( 2) 3( 2) (2 1) 3(2 1) (*)y y x x⇔ + + + = + + +

0.25

Xét hàm số:
3
( ) 3
f t t t
= +
trên
R

Ta có:
2
'( ) 3 3 0,
f t t t R
= + > ∀ ∈

Suy ra, hàm số đồng biến trên
.
R

Ta có:
(*) ( 2) (2 1) 2 2 1 2 1f y f x y x y x⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = −

Thay vào
(2)
ta được:
0.25
2
( 2)
(2) 2 5 ( 3) 2 6
2
x

x x x x x
+
⇔ + + + + = +

0.25



Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
7

-


(
)
(
)
2
( 2) 5
2 5 3 ( 3) 2 2 9
2 2
x x
x x x x
+
⇔ + − + + + − = + −

2 3 9
( 2) 0
2

2 5 3 2 2
x x
x x
x x
 
+ +
 
⇔ − + − − =
 
+ + + +
 
 

2 3
2 3 9
0 (3)
2
2 5 3 2 2
x y
x x
x
x x

= ⇒ =


⇔
+ +

+ − − =


+ + + +



(3) ⇔
1 1 1 1
(3) ( 2) ( 3) 2 0
2 2
2 5 3 2 2
x x
x x
   
 
 
 
 
⇔ + − + + − − =
 
 
 
 
 
   
+ + + +

( ) ( )
2 5 1 2
( 2) ( 3) 2 0, 2
2 2 5 3 2 2 2

x x
x x x
x x
− + − − +
⇔ + + + − < ∀ ≥ −
+ + + +

(3) VN⇔

Kết luận: Nghiệm của hệ:
(2;3)

0.25
Câu 9
(1.0
điểm)
Ta có:
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
x y z
P
x y z
x y z
= + + = + +
+ + +
+ + +

Đặt:
1 1 1

; ;a b c
x y z
= = =
1
1; , 1; 1
4
a b c abc⇒ ≤ ≤ ≥ =

1 1 1
1 1 1
P
a b c
⇒ = + +
+ + +

0.25

Ta chứng minh:
1 1 2
, , 1
1 1
1
b c
b c
bc
+ ≥ ∀ ≥
+ +
+

(1 )(2 ) 2(1 )(1 )bc b c b c⇔ + + + ≥ + +

2 2 ( ) 2 2( ) 2b c bc b c bc b c bc⇔ + + + + + ≥ + + +

( )
1 ( 2 ) 0bc b bc c⇔ − − + ≥

(
)
2
( 1) 0,bc b c⇔ − − ≥
Đúng với mọi
, 1b c ≥

0.25
1 2 1 2
1 1
1 1
1
P
a a
bc
a
⇒ ≥ + = +
+ +
+
+

Đặt:
1
(1 2)t t

a
= ≤ ≤

2
2
2
( )
1
1
t
f t
t
t
= +
+
+
trên
[1;2]D =

0.25



Giáo viên ra đề: Thầy Lưu Huy Thưởng - Trang |
8

-


3 2 4 2

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1
'( ) 2
(1 ) ( 1) (1 ) ( 1)
t t t t t t
f t
t t t t
 
+ + − − −
 
= − =
 
+ + + +
 
 


[1;2]
3 3 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1 ) ( 1) ( 1)(1 ) ( 1) ( 1)
2 2 2 0,
(1 ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) ( 1)
t t t t t t t t
t
t t t t t t
     
− + − − − − + +
     
= = = − ≤ ∀ ∈

     
+ + + + + +
     
     

Suy ra, hàm số nghịch biến trên [1;2]
22
(2)
15
P f≥ =

Vậy,
22
15
MinP = Dấu
" "=
xảy ra khi:
4; 1x y z= = =

0.25


HẾT