Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
1
( ).
1
x
y H
x




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình đường thẳng
d
song song với đường thẳng 2 0x y   và cắt ( )C tại 2
điểm ,A B phân biệt sao cho tam giác IAB có diện tích 2 3 với I là giao điểm 2 tiệm cận.
Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình cos 2 1 tan tan tan 2sin 1.
2
x
x x x x
 
   
 
 

Câu 3 (1 điểm). Tính giới hạn
3
3 2
0

1 3 1 1
lim .
x
x x x
x x

   



Câu 4 (1 điểm).
a) Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người
không bắt tay vợ/ chồng mình) trong một buổi gặp mặt biết rằng có tất cả 40 cái bắt tay.
b) Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển nhị thức Niutơn (theo thứ tự số mũ giảm dần
của
x
) của biểu thức
5
3
2
( )
n
x x
x
 
 
 
 
 với
0x 

biết trong khai triển này, tổng các hệ số
của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3 bằng hệ số của số hạng cuối cùng.
Câu 5 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
với (3;0;0); (0;3;0)A B và
C
thuộc tia
.Oz
Tìm tọa độ điểm
S
biết thể tích của khối
chóp
.S ABC
bằng 9.
Câu 6 (1 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều tâm ;O hình chiếu của
S
trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng
.AO
Biết rằng
SO a
và
SAB
là tam
giác vuông. Tính theo a thể tích của khối chóp
.S ABC
và khoảng cách từ tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác
SAC
đến mặt phẳng
.SCO

Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho đường tròn
2 2
( ) : 2 .C x y x 
Tam giác
ABC
vuông tại A có
AC
là tiếp tuyến của ( )C trong đó A là tiếp điểm, chân
đường cao kẻ từ A là (2;0).H Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác
ABC
biết B có tung độ
dương và
2
.
3
ABC
S 

Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình
3 32 2 4 2 3
3
4 3 2 3
2 2 1( )
1 ( 1) 1.
x y x x y y y x x

x x x x y

      


     



Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2 2
14.a b c  
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 22
4( ) 4 3
3 28 (7 )
5
.
( )a c a b c
a c a
a bc a b

   
    

T

T
H
H

Ử

Ử

S
S
Ứ

Ứ
C

C
T

T
R

R
Ư

Ư
Ớ
Ớ
C

C

K
K
Ỳ


Ỳ

T

T
H
H
I
I

(
Đãđư
ợc
đăngbáo
ToánH
ọcvà
Tuổi
tr
ẻ
số
448,
đề
Số
1,
năm
2014)
TRẦN
QUỐCLUẬT
(

GVTHPT
chuyên
HàTỉnh)


Câu 2. Điều kiện cos .cos 0.
2
x
x  Khi đó phương trình đã cho tương đương với
cos2 sin
2sin 1 cos 2 sin 2 cos sin
cos cos
2
cos 2 cos
2
4 4
, .
6 3
x x
x x x x x
x x
x k
x x
x k k

 
 
      



   

    
   

   
   



Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm
5
2 ; 2 ; 2 , .
6 6
x k x k x k k
 
  
       
Câu 3. Ta có
3
3 2
0
2
0
2
3 3
1 3 (1 ) (1 1 )
lim
3 1 1
lim .

2
( 1)(1 1 )
( 1)( 1 3 (1 ) 1 3 (1 ) )
x
x
x x x x
x x
x
x x
x x x x x


     


 
  
  
 
  
 
      
 


Câu 4. a) Gọi số cặp vợ chồng là ( 2).n n  Ta có số lượng cái bắt tay là
2
2
2 ( 1)
n

C n n n  
(do mỗi cách chọn 2 người trong
2n
người thì ta có 1 cặp bắt tay và mỗi người không bắt tay
vợ/ chồng mình). Ta có 2 ( 1) 40 5.n n n   
b) Ta có
5 11
2
0
( ) ( 1) 2 .
n k
n
k n k k
n
k
x C x



 

 Theo bài ra
1 1 2 2
2 ( 1) 4 ( 1) 2 .
n n n
n n
C C
 
    Do 2 0
n


và
2 1
4 2
n n
C C nên n chẵn. Khi đó
*
2 ( ).n k k  Thay vào được
2 4
( 1)
2 .
2
k
k k


 Suy ra
2 4.k n  
Hệ số của số hạng thứ 4 cần tìm là
32.

Câu 5. Ta có (0;0; )C c với
0.c 
Do
BC CA AB 
nên
2
9 18 3c c    (do
0c 
). Gọi

G
là tâm của tam giác đều
ABC
ta có (1;1;1).G Phương trình đường thẳng  đi qua
G
và
vuông góc với mặt phẳng
ABC
là
1 1 1
.
1 1 1
x y z  
  Do
.S ABC
ta hình chóp đều nên
điểm ,S   suy ra ( ; ; ).S s s s Ta có
1
. ( ) 9 2 3 3 1.
3
SG S ABC SG s s        Do vậy
có 2 điểm
S
thỏa mãn là (3;3;3); ( 1; 1; 1).S S   
Câu 6. Ta có
2 2 2 2 2
0 SB SA HB HA AB     nên tam giác
SAB
vuông tại
.S

Đặt
HA HO x 
ta có
2 .OB x
Theo Định lý cos ta có 7; 2 3.BH x BC x  Áp dụng Định
lý Pitago cho tam giác
SAB
ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
7 12 .
3
a
SA SB AB a a x x x x        

Khi đó
2 3
.
1 2 3 2
. . .4 .
3 4 3
3
S ABC
V a a a  Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAC

thì I là trung điểm của
AC
(do tam giác
SAC
vuông tại

S
). Do HI OC (tính chất đường
trung bình) nên
( ;( )) ( ;( ))I SCO I SCO
d d HL  trong đó ,K L lần lượt là hình chiếu của H trên các
đường thẳng
CO
và
.SK
Ta có
( ;( ))
2 2
3 . 22
; .
2 2 11
3
I SCO
a a HK HS
HK d HL a
HK HS
    


Câu 1. a) Bạn đọc tự giải.
b) Ta có :d y x m   với
2m 
và ( 1;1).I  Phương trình hoành độ giao điểm của ( )H và
d
là
2

1
(2 ) ( 1) 0 (1)
1
x
x m x m x m
x

        

(do
1x  
không thỏa mãn).
Ta có
2
8 0;m m     nên ( )H và
d
luôn cắt nhau tại 2 điểm ,A B với
1 1
( ; );A x x m 
2 2
( ; )B x x m  trong đó
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn
1 2
2;x x m  
1 2
1.x x m  Điều kiện để tam giác IAB có diện tích bằng 2 3 là
2 2 2

1 2
| |
( ; ). 4 3 2( ) 4 3 ( 8) 48 2
2
m
d I d AB x x m m m        
(do
2.m  
)


Câu 7. Do tam giác
ABC
vuông tại A có H thuộc ( )C và
CA
là tiếp tuyến của ( )C nên
( ).B C Ta có
2
2
3
ABC
S
AC
AB
 
nên
2
2 2
3.
BA

BH
AB AC
 

Giả sử ( ; )B a b với
0.b 

Khi đó
2 2
2 2
1
( 1) 1
1 3
; .
2 2
3
( 2) 3
BI
a b
a b
BH
a b



  
 
   
 


  


 
Vậy
1 3
; .
2 2
B
 
 
 
 

Câu 8. Điều kiện
3 2
1; 1 0.y x x    Ta có phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 2
3 3
3
3
3
2 3
( ) ( 1) 2( ) 1
1 1
1
0
( 1) .
x x y y x x y y
x x y y

x y
x
x y
     
     
  




 


Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành
4 3 2 3
4 3 2 3 2 2
4 3 2
3 2 2
3
3 2 2
1 1
1 1 0
1
( 1) 1 0
1
( 1)( 1) 0
1
(do 0).
0
1 1

x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x x x
    
        
 
     
 
  
 

   


  



    



Đáp số: ( ; ) (0;1);( ; ) (1;2).x y x y 
Câu 9. Ta có

2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )
3 28 3 2 5 2( )( ).
1 1 1 1 1 1
2 3 6 2 3 6
a b c a b c
a c a b c a b a c
 
           
 

Mặt khác
2 2 2 2 2
4 8 8 4 2
.
7 2 ( ) 2 2 ( )
( )
a a a
a bc a a b c a a b c a b c
a b c
   
        


Do vậy
2
2
2
2 5 2 3

( ) ( )
1 1 1 1 1 1 8
5 3 .
5 5 3 3 1
( )
5
( )
a b a b a b c
a
a b c
a
b
b c
   
  
 
 
      
 
 
 

 
 




Khi 3; 2; 1a b c   thì
8

.
15
 Vậy giá trị lớn nhất của  là
8
.
15