Đề thi HSG Toán 9 vòng Tỉnh năm học 1999-2000

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG TỈNH
CÀ MAU NĂM HỌC 1999-2000
ĐỀ CHÍNH THỨC
- Môn thi: TOÁN
- Ngày thi: 01 – 04 – 2000
- Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Cho
5
A n n= −
a). Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
5 1 1 1 1 4A n n n n n n n= − + + − + −
b). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, A luôn chia hết cho 5.
Bài 2: (2 điểm)
Cho
( )
1
1
f x
x x
=
+ +
Tính
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 1999A f f f f= + + + +
Bài 3: (3 điểm)
Giải phương trình:
( ) ( ) ( )

2 2
2 1 2 2 2 1 0x y x y x y+ − + + + + + =
Bài 4: (5 điểm)
Cho
2
8 6
1
x
A
x
+
=
+
a). Tìm tất cả các số nguyên x sao cho A là số nguyên
b). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A
Bài 5: (8 điểm)
Cho hai đường tròn cố định (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B.
Một đường thẳng d quay quanh B cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao
cho B nằm giữa M và N. Tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại N của
(O’) cắt nhau tại P.
a). Chứng minh rằng tam giác AMN luôn luôn đồng dạng với chính
nó khi d quay quanh B. Suy ra rằng diện tích của tam giác AMN đạt giá trị
lớn nhất khi MN có độ dài lớn nhất
b). Chứng minh rằng bốn điểm A, M, P, N nằm trên cùng một đường
tròn.
c). Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
HẾT