Đề thi HSG Toán 9 vòng Tỉnh năm học 2004-2005

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH CÀ MAU
CÀ MAU NĂM HỌC 2004-2005
ĐỀ CHÍNH THỨC
- Môn thi: TOÁN
- Ngày thi: 03 – 04 – 2005
- Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
2
2
1
1
x x x x
y
x x x
+ +
= + −
− +
a). Rút gọn y. Tìm x để y = 2
b). Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Bài 2: (4 điểm)
a).Cho đa thức
( )
3 2
1f x x ax bx a= + + + −
. Xác định a, b để
( )
f x
chia hết cho
( )
1x −
và

( )
2x +
b). Giải phương trình:
2 2
3 5 3 5 12 48 5x x x x+ − − = +
Bài 3: (4 điểm)
Cho phương trình
( ) ( )
2
4 2 0 1x a b x ab− + + =
(a, b là tham số).
a). Giải phương trình với
1, 2a b= =
b). Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm với mọi a, b.
c). Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1).
Chứng minh rằng:
2 2
2 2
1 2
4
a b
x x
+
+ =
.
Bài 4: (5,5 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm E thuộc miền trong của tứ giác sao cho:
·
·
ABE = CBD
và
·
·
BAE = BDC
a). Chứng minh rằng: Tam giác EBC đồng dạng với tam giác ABD.
b). Chứng minh rằng:
AC.DB AB.DC + AD.CB
≤
.
Suy ra một điều kiện để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Bài 5: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm , AC = 16 cm, M là trung điểm của cạnh
BC. Lấy điểm F thuộc cạnh AC và điểm E thuộc cạnh AB sao cho AF = 2AE, EF
cắt AM tại G. Tính tỉ số
GF
GE
a). Chứng minh
»
»
FC = 2DE
b). Đường thẳng qua O và song song với DA cắt AC tại J. Chứng minh EJ là
tia phân giác của góc CEF.
HẾT