Bài tập về phương trình bất phương trình và hệ phương trình mũ

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 1/36
A. PHNG TRèNH M LOGARIT
I. MT S PHNG PHP C BN GII PHNG TRèNH M
Phng trỡnh m c bn a
x
= m (0 < a 1)
. Nu
0

m
thỡ phng trỡnh a
x
= m vụ nghim
. Nu m > 0 thỡ phng trỡnh a
x
= m cú mt nghim duy nht
mx
a
log=

1. Phng phỏp ủa v cựng c s
Ta cú tớnh cht:


== aa
;
Cỏc tớnh cht ủú cho phộp ta gii mt s dng phng trỡnh m bng cỏch ủa cỏc
lu tha trong phng trỡnh v lu tha vi cựng mt c s.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh (0,75)
2x-3

=
x






5
3
1
1
(1)
Li gii. Phng trỡnh (1)

xx






=






532

3
4
4
3

532
4
3
4
3







=






xx


2x-3=x-5

x =-2.

Vy phng trỡnh cú nghim x = -2
Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3
x+1
+ 3
x+2
+ 3
x+3
= 9.5
x
+ 5
x+1
+ 5
x+2
(2).
Li gii: Phng trỡnh (2)

3
x
.39 = 5
x
.39
1
5
3
=

x

x = 0.
Vy phng trỡnh cú nghim x = 0.
Bi tp tng t:
1) 2
x
.3
x-1
.5
x-2
=12; 2) 5
x
+5
x+1
+5
x+3
=3
x
+3
x+3
-3
x+1
.
2. Phng phỏp ủt n ph
Mc ủớch ca phng phỏp ủt n ph l chuyn cỏc bi toỏn ủó cho v PT hu t ủó
bit cỏch gii.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh

(
)
(
)
16738738
tantan
=++
xx
(1)
Li gii.
iu kin cosx? 0.
NX:
(
)
(
)
1738738 =+
. t t =
(
)
)0(738
tan
>+ t
x
thỡ phng trỡnh (1) cú dng
16
1
=+
t
t

0116
2
=+ tt

t =
738 +
v t =
738
.
. Vi t =
738 +
thỡ
(
)
(
)
738738
tan
+=+
x


tanx =1


kx +=
4
(t/mủk).
. Vi t =
738

thỡ
(
)


kxx
x
+===+
4
1tan738738
tan
(t/mủk).
Vy phng trỡnh cú hai h nghim


kx +=
4
v


kx +=
4
(
Zk

)
Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3.49
x
+ 2.14
x

- 4
x
= 0 (4)
Li gii:
Chia c hai v ca phng trỡnh cho 4
x
> 0, ta ủc
(4)


.01
2
7
.2
2
7
.3
2
=






+

xx
(*)
t
)0(
2
7
>






= tt
x
, phng trỡnh (*)cú dng 3.c
2
+ 2.t - 1 = 0

t = -1(loi) v t = 1/3.
Vi t = 1/3 thỡ
3log
3
1
2
7
2
7

==






x
x
. Vy phng trỡnh cú nghim
3log
2
7

=
x

Vớ d 3: Tỡm nghim x < 1 ca phng trỡnh 3
2x-1
+ 3
x-1
(3x - 7) x + 2 = 0
Li gii.

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 2/36
t t = 3
x-1
(t > 0), phng trỡnh cú dng 3t
2

+ (3x - 7).t + 2 x = 0.
Coi phng trỡnh trờn l phng trỡnh n t v tham s x.
Khi ủú bit s
2
)53( = x
. Phng trỡnh cú hai nghim t = 1/3 v t = -x + 2
Vi t = 1/3 thỡ 3
x-1
= 1/3
11

=


x


x = 0
Vi t = -x + 2 thỡ 3
x-1
= 2 - x. Ta thy x < 1 thỡ 3
x-1
< 1, cũn 2 - x > 1 suy ra phng trỡnh vụ
nghim. Vy phng trỡnh cú mt nghim x = 0.
Vớ d 4: Gii phng trỡnh
12.222
56165
22
+=+
+ xxxx

Li gii.
t u =
65
2
2
+
xx
, v =
2
1
2
x
(u > 0, v > 0). Khi ủú u.v = 2
7-5x
= 2.2
6-5x
Phng trỡnh tr thnh u + v = u.v + 1

(u - 1)(v - 1) = 0

u =1 hoc v = 1.
. Vi u =1 thỡ
65
2
2
+
xx
=1

x
2
- 5x + 6 = 0

x = 2 hoc x = 3
. Vi v =1 thỡ
2
1
2
x
=1

1 x
2
= 0

x = 1 hoc x = -1.
Vy phng trỡnh cú 4 nghim x = -1, x = 1, x = 2, x = 3.
Lu ý:
1. PT cú dng
(
)
(
)
cbaba
xfxf
=+
)()(
vi
(

)
(
)
1=+ baba
, ta thng ủt
(
)
)(xf
bat
+=
(xem vớ d 1).
2. PT cú dng
(
)
0
)(2
)(
)(2
=++
xf
xf
xf
vcuvbua
, ta thng chia c hai v cho v
2.f(x)

Ri ủt
)( xf
v
u

t






=
(xem vớ d 2).
3.Nhng PT sau khi ủt n ph cho mt biu thc thỡ cỏc biu thc cũn li khụng
biu din ủc trit ủ hoc biu din quỏ phc tp. Khi ủú ta thng ủc mt phng
trỡnh bc hai theo n ph cú bit s

chớnh phng (xem vớ d 3).
4. i vi mt s bi toỏn ta la chn n ph v ủa v phng trỡnh tớch (xem vớ
d 4)
Bi tp tng t:
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
; 2) 02)73(33
112
=++

xx
xx
;

3)
(
)
(
)
sinsin
5265262
xx
++=
; 4)
1
4
4
4
7325623
222
+
=
+
+++++
xxxxxx

5)
02)73(33
112
=++

xx
xx
; 6)

05
15
1
3
1cos2sin2
8logsincos
1cos2sin2
15
=+







++

++ xx
xx
xx

3. Phng phỏp logarit hoỏ.
Phng phỏp lụgarit hoỏ rt cú hiu lc khi hai v ca phng trỡnh cú dng tớch
cỏc lu tha nhm chuyn n s khi s m.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
xx
57
75 =

Li gii.
Hai v ca phng trỡnh ủu dng, ly lụgarit c s 5 c hai v ta ủc phng
trỡnh 7
x
= 5
x
.log
5
7

7log
5
7
5
=






x

7loglog
5
5
7
=x

Vớ d 2: Gii phng trỡnh

68.3
2
=
+x
x
x

Li gii.
K x? - 2. Lụgarit c hai v ca phng trỡnh theo c s 3, ta ủc
0
2
2log2
1)1(2log12log
2
3
3
33
=






+
++=
+
+
x
x

x
x
x


x = 1 hoc x = 2(1 + log
3
2).
Lu ý: Khi ly lụgarit hoỏ hai v, ta thng lụgarit theo c s ủó cú sn trong bi

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 3/36
Bi tp tng t:
1)
5log
34
55.
x
x = ; 2)
9
1
4
)2cossin5(sinlog
2
5,0
=
++ xxx
;
3)
5008.5

1
=

x
x
x
; 4)
11
1
11
1
2
7log5log
3
2
3
++

+
=
+
xx
x
xx

4. Phng phỏp hm s .
Cỏc bi toỏn dng ny thng ủc s dng mt trong ba tớnh cht sau (chỳ ý hm s
fc (x) liờn tc trong tp cỏc ủnh)
Tớnh cht 1: Nu hm y = f(x) tng hoc gim trong khong (a; b) thỡ phng trỡnh
f (x) = k (

Rk

)cú khụng quỏ mt nghim trong khong c (a; b).
Tớnh cht 2: Nu hm y = f(x) tng trờn khong (a;b) v y = g(x) l hm gim trờn (a;b).
Do ủú nu tn ti
(
)
bax ;
0

ủ f (x
0
) = g(x
0
) thỡ ủú l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Tớnh cht 3: Nu hm s y = f(x) liờn tc, tng hoc gim trờn (a;b) thỡ

vuvfuf
=

=
)()(
vi mi u,v

(a; b).
Vớ d 1: Gii phng trỡnh 3
x+1
= 3 - x
Li gii.
K x < 3.

Nhn xột:
. VT f(x) = 3
x+1
l hm ủng bin trờn R. VP g(x) = 3 - x l hm nghch bin trờn R.
. x = 0 l nghim duy nht ca phng trỡnh
Tht vy: Vi x > 0 thỡ 3
x+1
> 3; 3 x < 3
Vi x < 0 thỡ 3
x+1
< 3; 3 x > 3. Vy x = 0 l nghim ca phng trỡnh
Vớ d 2: Gii phng trỡnh
x
x
381
2
=+
.
Li gii.
Chia c hai v ca phng trỡnh cho 3
x
, ta ủc
1
3
8
3
1
=

+






x
x

Nhn xột v trỏi f(x) =
x
x








+

3
8
3
1
l hm nghch bin trờn R.
x = 2 l nghim ca phng trỡnh
Vi x > 2 thỡ
x
x








+






3
8

3
1
<1 Vi x < 2 thỡ
x
x








+






3
8
3
1
>1.
Vy x = 2 l nghim ca phng trỡnh
Vớ d 3: Gii phng trỡnh
(
)
2

1
122
2
=

x
xxx

Li gii.
Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi
)(2)1(2
21
2
xxx
xxx
+=+


t Đ = x - 1; v = x
2
- x. Phng trỡnh cú dng 2
u
+ u = 2
v
+ v (2)
Xột hm s f(t) = 2
t
+ t ủng bin v liờn tc trờn R.
Phng trỡnh (2)

f(u) = f(v)

u = v

x
2
-x = x- 1

x
2
- 2x + 1 = 0

x = 1.
Vy phng trỡnh cú nghim x = 1.
Vớ d 4: Gii phng trỡnh
3loglog
2
9log
222
3. xxx
x
=
(1)
Li gii.
k x > 0. ỏp dng cụng thc
ac
bb
ca
loglog
=

. Khi ủú
(1)

xxx
x
222
loglog
2
log.2
33.3 =
(2). t t = log
2
x suy ra x = 2
t
.
Khi ủú phng trỡnh (2)

3
2t
= 4
t
.3
t
- 3
t

9
t
+ 3
t

= 12
t
.
Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 4/36
Chia c hai v cho 12
t
v ỏp dng cỏch gii ca vớ d 2.
Bi tp tng t: Gii cỏc phng trỡnh
1) 2
2x-1
+ 3
2x
+ 5
2x+1
= 2
x
+ 3
x+1
+ 5
x+2
; 2)
x
xx
10625625 =

+






+
5. Mt s phng phỏp khỏc .
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
x
x
2cos2
2
=

Li gii.
Ta cú x
2
= 0 suy ra
x
x
2cos13
2


Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi h

=



=
=

=
=
0
12cos
0
12cos
13
2
2
x
x
x
x
x

Vy phng trỡnh cú nghim x = 0.
Lu ý:
Ngoi phng phỏp nhn xột ủỏnh giỏ nh trờn, ta cú th s dng
nh lớ Rụn: Nu hm s y = f(x) li hoc lừm trờn khong (a;b) thỡ PT f (x) = 0 cú
khụng quỏ hai nghim thuc (a;b).

Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
Li gii.
Phng trỡnh trờn tng ủng vi 3
x
+ 5
x
- 6x 2 = 0.
Xột hm s f(x) = 3
x
+ 5
x
- 6x - 2, vi x

R.
Ta cú f

(x) = 3
x
.ln3 + 5
x
.ln5 - 6, f

(x) = 3
x
.ln
2

3 + 5
x
.ln
2
5 > 0 vi mi x

R.
Nh vy, hm s y = f(x) liờn tc v cú ủ th lừm trờn R nờn theo nh lớ Rụn phng
trỡnh cú ti ủa 2 nghim trờn R.
Nhn thy f(0) = f(1) = 0. Vy phng trỡnh cú hai nghim x = 0, x = 1.
Vớ d 3: Gii phng trỡnh 2003
x
+ 2005
x
= 2.2004
x
Li gii.
Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi 2003
x
- 2004
x
= 2004
x
- 2005
x
.
Gi a l mt nghim ca phng trỡnh, khi ủú ta cú 2003
a
- 2004
a

= 2004
a
- 2005
a
(2).
Xột hm s f(t) = t
a
- (t + 1)
a
, vi t > 0. D thy hm s f (t) liờn tc v cú ủo hm trờn
khong (2003; 2005). Do ủú, theo nh lớ Lagrange tn ti c

(2003; 2005) sao cho
f

(c) = 0
2003
2005
)2003()2005(
)(
'


=
ff
cf


a[c
a-1

- (c + 1)
a-1
] = 0



=
=

1
0
a
a

Th li ta thy x = 0, x =1 ủu tho món.
Lu ý:
Bi toỏn trờn ta s dng nh lớ LagrangeB: Nu hm s y = f(x) liờn tc trờn ủon
[a;b] v cú ủo hm trờn khong (a;b) thỡ tn ti mt ủim
(
)
bac ;
sao cho
a
b
afbf
cf


=
)()(

)(
'

Bi tp tng t:
1) x
x
2cos3
2
= ; 2) 6
x
+ 2
x
= 5
x
+ 3
x
; 3) 9
x
+3
x
=10x+2;
II. MT S PHNG PHP C BN GII PHNG TRèNH LOGARIT.
Phng trỡnh logarit c bn cú dng log
a
x = m. Vi mi giỏ tr tu ý ca m, phng
trỡnh cú mt nghim duy nht x = a
m
.
1. Phng phỏp ủa v cựng c s.
Nu 0,0

>
>


thỡ
==
aa
loglog

Vớ d 1: Gii phng trỡnh
2
1
)123(log
2
)3(
=+
+
xx
x
(1)
Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 5/36
Li gii. Phng trỡnh (1)





+=+
+<

3123
1)3(0
2
xxx
x




+=
<

313
23
xx
x
(2)
* Nu x = 1 THè H (2)




+=
<
34
23
xx
x

+=

<
3)4(
4
23
2
xx
x
x




=+
<

0139
2;43
2
xx
xx
. Gii h tỡm ủc nghim
2
299

=x

* Nu x < 1 thỡ h (2) tng ủng vi



+=+
<
32
23
xx
x







+=+

<
3)2(
2
23
2
xx
x
x

=++
<

013
2
2
xx
x
. Gii h tỡm ủc nghim
2
53+
=x
.
Vy phng trỡnh cú hai nghim
2
299
=x
v
2
53 +
=x
.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh log
3
[1 + log

3
(2
x
- 7)] = 1 (1)
Li gii.
(1)

1 + log
3
(2
x
- 7) = 3

log
3
(2
x
- 7) = 2

2
x
-7 = 9

2
x
= 16

x = 4.
Vớ d 3: Gii phng trỡnh log
2

x + log
3
x + log
4
x = log
20
x.
Li gii.
k: x > 0.
Dựng cụng thc ủi c s, ta ủc log
2
x + log
2
x.log
3
2 + log
2
x.log
4
2 = log
2
x.log
20
2.

(1 +log
3
2 + log
4
2 - log

20
2).log
2
x = 0

log
2
x = 0

x = 1(t/mủk).
Lu ý:
1. PT log
f(x)
g(x)=b



=
<

b
xfxg
xf
)()(
1)(0
(xem vớ d 1)
2. Nu PT cú dng log
a
x + log
b

x + log
c
x + log
d
x = 0, cỏc c s a, b, c, d khụng biu
din lu tha qua nhau. Khi ủú ta dựng cụng thc ủi c s ủ ủa chỳng v cựng mt c
s v ỏp dng cỏc phộp toỏn trờn logarit (xem vớ d 3)
Vớ d 4: Gii phng trỡnh
(
)
(
)
3
8
2
2
4
4log4log21log ++=++ xxx

Li gii.
k:




<<
1
44
x
x

Vi ủiu kin trờn phng trỡnh tng ủng vi

)4(log)4(log21log
222
++=++
xxx



)16(log4.1log
2
22
xx =+

2
164.1 xx =+
(2).
. Nu x = -1 thỡ (2)

x
2
+ 4x 12 = 0

x = 2 hoc x = -6. Kt hp ủk ta ủc x = 2.
. Nu x < -1 thỡ (2)

x
2
- 4x 20 = 0

622 = x
.
Kt hp ủiu kin ta ủc
622 =x
.
Vy phng trỡnh cú hai nghim x =2 v
622 =x
.
Lu ý:
iu kin ca PT cha ủm bo x > 0 thỡ log
a
x
2
= 2.
x
a
log

Bi tp tng t:
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 6/36
1)
()
3log
2
1
log
2
1
65log

3
3
2
2
9
−+






−
=+− x
x
xx

2)
x
x
=−
+
)52(log
1
2
; 3) log
3
x + log
4
x = log

12
x
2. Phương pháp ñặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình log
2
(2
x
- 1).log
1/2
(2
x+1
- 2) = -2.
Lời giải.
Đk: x > 0.
Với ñều kiện trên phương trình tương ñương với log
2
(2
x
- 1).[- log
2
2.(2
x
- 1)] = -2

⇔
log
2
(2
x
- 1).[- 1 - log

2
(2
x
- 1)] = -2 (1)
Đặt t = log
2
(2
x
- 1). Phương trình (1) trở thành t
2
+ t – 2 = 0
⇔
t = 1 hoặc t = -2.
. Với t = 1 thì log
2
(2
x
- 1) = 1
⇔
2
x
– 1 = 2
⇔
2
x
= 3
⇔
x = log
2
3(tmñk)

. Với t = -2 thì log
2
(2
x
- 1) = -2
⇔
2
x
– 1 = 1/4
⇔
2
x
= 5/4
⇔
x = log
2
5/4(tmñk).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = log
2
3 và x = log
2
5/4.
Ví dụ 2: Giải phương trình
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx

Lời giải.
Đk:x > 0. Đặt t =
1log
2
3
+x
, t = 1.
Phương trình trở thành P
2
+ t – 6 = 0
⇔
t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại).
. Với t = 2 thì
1log
2
3
+x
=2
⇔
log
3
2
x = 3
⇔



−=
=
3log

3log
3
3
x
x





=
=
⇔
− 3
3
3
3
x
x
(tmñk).
Vậy phương trình có hai nghiệm
3
3=x
và
3
3
−
=x
Ví dụ 3: Giải phương trình log
2x-1

(2x
2
+ x - 1) + log
x+1
(2x - 1)
2
= 4
Lời giải.
Phương ⇔ log
2x-1
(2x - 1).(x + 1) + log
x+1
(2x -1)
2
= 4 (1)
Đk:



≠<⇔
≠−<
≠+<
0
2
1
1120
110
x
x
x

(*) .
Với ñiều kiện (*),phương trình pt (1)
⇔
log
2x-1
(x + 1) + 2log
x+1
(2x - 1) – 3 = 0.
Đặt t = log
2x-1
(x + 1), do ñiều kiện (*) nên t≠0.
Phương trình trở thành
03
2
=−+
t
t

⇔
t
2
- 3t + 2 = 0
⇔
t = 1 hoặc t = 2.
. Với t = 1 thì log
2x-1
(x + 1) = 1
⇔
x + 1 = 2x - 1
⇔

x = 2 (tmñk).
. Với t = 2 thì log
2x-1
(x + 1) = 2
⇔
x + 1 = (2x - 1)
2
⇔
4x
2
- 5x = 0
⇔
x = 0(loại)
hoặc x = 5/4(tmñk).Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4.
Lưu ý:
1. Trong phương trình có chứa căn thì cách ñặt ẩn phụ cần khéo léo ñặt ñể pt của
ẩn phụ không còn chứa căn. Đối với ví dụ 2 nếu ta ñặt t =log
3
x thì pt vẫn chứa căn, nhưng
nếu ñặt t =
1log
2
3
+x
,thì PT của ẩn phụ rất ñơn giản.
2. Nếu PT có chứa log
a
b và log
b
a thì ta ñặt log

a
b=t thì log
b
a =1/t. (xem ví dụ 3).
Ví dụ 4: Giải phương trình
(
)
(
)
2
loglog
122.22
22
xx
xx
+=−++
(1)
Lời giải.
Đk x > 0. Đặt t = log
2
x suy ra x = 2
t
.
Phương trình (1) trở thành
(
)
(
)
t
t

t
t
2
2122.222 +=−++
(2)
Nhận xét:
(
)
(
)
t
tt
22222 =−+
, nên pt (2) tương ñương với

(
)
()
021
22
2
.222
2
=−−
+
++
t
t
t
t

t

()
(
)
()
0
22
122
2122
2
=








+
−+
−






−+⇔

t
t
t
t

Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 7/36
()
0
22
4
1122 =














+
−







−+⇔
t
t
(
)





=⇔
=






+
=+
⇔ 0
1
22
4
122
t

t
t

Với t = 0 thì x = 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 5: Giải phương trình
0log.40log14log
4
3
16
2
2
=+− xxx
xxx
(1)
Lời giải.
Đk: x > 0, x≠ 1/4, x≠ 1/16, x≠ 2 (*)
Với ñiều kiện trên phương trình tương ñương với

0log.20log.42log.2
416
2
=
+
−
xxx
xxx
(2)
Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của pt.
Với 0 < x≠ 1, pt (2)
⇔

0
4log
20
16log
42
2
log
2
=+−
xx
x
xx
x

Đặt t = log
x
2
,
⇒
0
2
1
20
4
1
42
1
2
=

+
+
+
−
−
t
t
t
(3)
Do ñiều kiện (*)nên pt luôn có nghĩa.
(3)
⇔
2t
2
+ 3t – 2 = 0
⇔
t = 1/2 hoặc t = -2(tmñk)
. Với t = -2 thì log
x
2 = -2
⇔
2
1
±=x

. Với t = 1/2 thì log
x
2 = 1/2
⇔
x = 4.

Kết hợp ñk ta ñược nghiệm của phương trình là x = 4, x =
2
1

Bài tập tương tự:
1)
3
4
loglog
3
2
3
2
=+ xx
; 2)
062)1(log)5()1(log
3
2
3
=+−+−++ xxxx

3)
4)21236(log)4129(log
2
32
2
73
=+++++
++
xxxx

xx

3. Phương pháp hàm số .
Ví dụ 1: Giải phương trình log
5
x = log
7
(x + 2)
Lời giải.
Đk x > 0. Đặt t = log
5
x = log
7
(x + 2) ⇒



=+
=
t
t
x
x
72
5




=+

=
⇔
tt
t
x
725
5

Xét phương trình 5
t
+ 2 = 7
t
. Chia cả hai vế của phương trình cho 7
t
, ta ñược
1
7
1
.2
7
5
=






+







tt
.
f(t)=
tt






+






7
1
.2
7
5
là hàm nghịch biến trên R, t = 1 là nghiệm của phương trình
Với t > 1 thì f(t) < 1. Với t < 1 thì f(t) > 1.
Vậy t = 1 thì x = 5.

Ví dụ 2: Giải phương trình
(
)
xxx
2
3
3
log21log3 =++

Lời giải.
Đk x > 0. Đặt t =
(
)
xxx
2
3
3
log21log3 =++
, suy ra
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 8/36






=++
=
3

3
2
31
2
t
t
xx
x

()()



=++
=
⇔
)2(32)2(1
)1(2
3
3
tt
t
t
x

chia cả hai vế của (2) cho
(
)
t
3

3
ta ñược
1
3
2
3
2
3
1
3
3
33
=








+









+








tt
t
.
Vế trái là hàm nghịch biến và t = 12 là nghiệm.
Với t = 12 thì x = 2
12

Lưu ý:
1. Với PT dạng log
a
u = log
b
v, ta thường giải như sau:
Đặt t = log
a
u = log
b
v




=
=
⇒
t
t
bv
au
; sử dụng phương pháp thế ñể ñưa về một phương trình
mũ; tìm t (thông thường PT có nghiệm duy nhất); suy ra x.
2. Đối với ví dụ 2 h /s cần chú ý cách nhẩm nghiệm: Vế trái của PT có chứa căn bậc
3 và căn bậc 2, vế phải là một số nguyên. Do ñó khi tìm nghiệm phải tìm t là bội của 6.
Ví dụ 3: Giải phương trình
23
3
2
2
1
log
2
2
2
3
+−=
+
−
++
xx
x
x
xx

Lời giải.
Đặt u = x
2
+ x + 1; v = 2x
2
- 2x + 3 (u > 0, v > 0) suy ra v - u = x
2
- 3x + 2.
PT ñã cho trở thành
uv
v
u
−=
3
log

⇔
log
3
u - log
3
v = v-u
⇔
log
3
u + u = log
3
v + v (1).
Xét hsố f(t) = log

3
t + t, ta có
0,01
3
ln
.
1
)(
'
>∀>+=
t
t
tf
nên hàm số ñồng biến khi t > 0.
Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x
2
-3x+2=0.
Phương trình có nghiệm x = 1,x = 2.
Lưu ý: Với phương trình dạng
uv
v
u
a
−=log
với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta thường biến ñổi
log
a
u - log
a
v = v - u

⇔
log
a
u + u = log
a
v. Vì hàm số f(t) = log
a
t + t ñồng biến khi t > 0,
suy ra u = v.
Bài tập tương tự:
1)
xx coslogcotlog2
23
=
; 2) log
5
x + log
3
x = log
5
3.log
9
225
3)
(
)
2loglog
37
+= xx
; 4)

42
1
532
log
2
2
2
−−−=
++
++
xx
xx
xx

4. Phương pháp khác .
Ví dụ1: Giải phương trình 6
x
= 1 + 2x + 3log
6
(1 + 5x).
Lời giải.
Đk x > -1/5. Đặt a = log
6
(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6
a
.
Ta có hệ




++=
+=
1236
156
xa
x
x
a

Trừ vế với vế của hai phương trình, ta ñược 6
a
- 6
x
= 3x - 3 a
⇔
6
a
+ 3a = 6
x
+ 3x (2).
Xét hàm số f(t) = 6
t
+ 3t liên tục và ñồng biến với mọi t.
Phương trình (2) ñược viết dưới dạng f(a) = f(x)
⇔
a = x
⇔
log
6
(5x + 1) = x

⇔
5x + 1 = 6
x
⇔
6
x
- 5x - 1 = 0.
Xét hàm g(x) = 6
x
- 5x - 1, với x > -1/5. Ta có g
’
(x) =6
x
.ln6-5, g
’’
(x)=6
x
.ln
2
6> 0 với mọi x.
Theo ñịnh lí Rôn phương trình có tối ña hai nghiệm trên






+∞−∈ ;
5

1
x
.
Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 9/36
Nhn xột rng g(0) = g(1) = 0. Vy phng trỡnh cú hai nghim x = 0, x = 1.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh
(
)
2354log
23
=++
xx

Li gii.
k -5 x 4. Theo bt ủng thc Bunhiacopxki ta cú:

(
)
32
45(11).(45)32log451
xxxxxx
+++++=++
.
Do ủú phng trỡnh cú nghim khi v ch khi
2
1
1
5
1

4
=
+
=

x
xx
.
Vy x = -1/2 l nghim ca phng trỡnh.
Bi tp tng t:
1) log
2
[3log
2
(3x - 1) - 1] = x; 2) 7
x-1
= 6log
7
(6x - 5) + 1
III. PHNG TRèNH M V LOGARIT Cể CHA THAM S
Vớ d 1: Tỡm m ủ phng trỡnh 4
sinx
+ 2
1+sinx
- m = 0 cú nghim
Li gii.
t t = 2
sinx
,
2

2
1

t
Phng trỡnh ủó cho cú dng t
2
+ 2t m = 0

t
2
+ 2t = m.
Xột f(t) = t
2
+ 2t, f

(t) = 2t + 2 > 0 vi mi






2;
2
1
t
, do ủú hm s ủng bin vi

2;
2
1
t

Phng trỡnh cú nghim

)()(
2;
2
1
2;
2
1
tfMaxmtfMin

8
4
5
)2()
2
1
( mfmf
.
Vy phng trỡnh cú nghim khi
8
4
5
m

Vớ d 2: Tỡm a ủ phng trỡnh sau cú nghim
0123).2(9
22
1111
=+++
++
aa
tt
(1)
Li gii.
t x =
2
11
3
t

+
. Vỡ
2111
2
+ t
nờn 3 x 9.
Phng trỡnh (1) cú dng x
2
- (a + 2).x + 2a + 1 = 0

)2(12
2
=+ xaxx
2
12
2

+
=
x
xx
a
do x
[
]
9;3

nờn x 2.
Xột f(x) =
2

12
2

+
x
xx
vi x
[
]
9;3

,
2
2
'
)2(
34
)(

+
=
x
xx
xf
,



=
=

=
3
1
0)(
'
x
x
xf

Lp Bng bin thiờn . T bng bin thiờn ta ủc
64
4
7
a

Lu ý:
1. Cho hm s y = f(x) liờn tc trờn khong (a;b). Khi ủú Pt f (x) = m cú nghim
(
)
bax ;

()()
)()(
;;
xfMaxmxfMin
baba


2. Vi vớ d 1 chỳng ta cụ lp ủc tham s m ngay v s dng lu ý 1.
i vi vớ d 2 s m ca tham s a l ging nhau, do ủú ta rỳt a qua x ủc

a = f(x). Lp bng bin thiờn ca hm s y = f(x), t ủú suy ra ủỏp s.
i vi phng trỡnh khụng cụ lp ủc tham s m v khụng cú cụng c nh lớ ủo
ta s s lớ ra sao? Chỳng ta cựng xem vớ d 3.
Vớ d 3: Cho phng trỡnh
02)4(log)1(2)4(log.
3
2
1
22
2
1
=++++ mmxmxm
.
Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit tho món 4 < x
1
< x
2
< 6.
Li gii.
t t =
)4(log
2
1

x
, phng trỡnh cú dng m.t
2
- 2(m
2
+ 1).t + m

3
+ m + 2 = 0 (1)
Yờu cu bi toỏn tng ủng vi phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit tho
món -1 < t
1
< t
2
(*)
Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 10/36
C1: m 0, ta cú

=(m - 1)
2
phng trỡnh (1) cú hai nghim
m
mm
t
2
2
1
++
=
v
1
2
+
=
mt
.

Khi ủú (*)







>+
>
++


11
1
2
1;0
2
m
m
mm
mm

<
>
>


>
>
++

10
2
0
1;0
2
0
22
1;0
2
m
m
m
mm
m
m
mm
mm

Vy 0 < m 1 tho món yờu cu bi toỏn
C2: Ta chuyn v bi toỏn so sỏnh vi s 0.
t X = t + 1 suy ra t = X - 1, phng trỡnh (1) tr thnh
m.X
2
- 2(m
2
+ m + 1).X + m
3
+ 2m
2
+ 2m + 4 = 0 (2)
(*)tng ủng vi phng trỡnh t (2) cú hai nghim dng phõn bit










<
>
+++
>
++
>=

>
>
>

10
0
422
0
)1(2
0)1(;0
0
0
0;0
23
2
2'
'
m
m
mmm
m
mm
mm
P

S
m

C3:(*)







>
+
>+++
>=








>
>++
>

0
1
0.1

0)1(
1
2
0)1).(1(
0
2
2121
2
21
m
m
tttt
m
S
tt





>
>
++
+
+
+


0
0

2)1(2
1
1
32
m
m
mm
m
m
m

Gii h trờn ta ủc kt qu 0 < m 1.
Lu ý:
i vi PT trờn cỏc lu tha ca tham s m khụng ging nhau nờn ta khụng th cụ
lp ủc tham s. Vỡ vy ta cú th cú cỏc hng sau:
Hng 1: Tớnh trc tip cỏc nghim v so sỏnh nú vi 1
Hng 2: t X = t + 1 v chuyn v bi toỏn so sỏnh vi s 0.
PT cú nghim -1< t
1
< t
2
khi v ch khi PT n X cú hai nghim dng phõn bit.
PT cú nghim t
1
< t
2
< 0 khi v ch khi PT n X cú hai nghim õm phõn bit.
PT cú nghim t
1
< 0 < t

2
khi v ch khi PT n X cú hai nghim trỏi du
Hng 3: Ta s dng kt qu
*

<t
1
<t
2







>
>
>



2
0))((
0
21
S
tt

*

<
<

21
tt







<
>
>


2
0))((
0
21
S
tt

*
0))((
2121
<<< tttt

Vớ d 4: Cho phng trỡnh (m - 4).9
x
- 2(m - 2).3
x
+ m 1 = 0 (1)
a) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim trỏi du
b) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit tho món x
1
+ x
2
= 3
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 11/36
Lời giải. Đặt t = 3
x
, (t > 0) Phương trình (1) trở thành (m - 4).t
2
- 2(m - 2).t + m – 1 = 0 (2)
a) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt thoả mãn 0 < t
1
< 1 < t
2
(*)
C1: Với m≠ 4,
m=∆
'
. Để thoả mãn (*)thì t > 0. Khi ñó phương trình (2) có hai nghiệm
là
2

1
1
4
2
1
−
+=
−
+−
=
m
m
mm
t
và
2
1
1
4
2
2
+
−=
−
−−
=
m
m
mm
t

Ta nhận thấy 0 < t
2
< 1 với mọi m > 0. Vậy ñể thoả mãn (*)ta cần có t
1
> 1
4021
2
1
1
>⇔>−⇔>
−
+⇔ mm
m
. Vậy m > 4 thoả mãn bài
C2: (*) tương ñương với
121212
12
4
44
1
(1)(1)01()004
4
.01
14
0
4
m
mm
ttttttm

m
ttm
mm
m

≠


≠≠



−

⇔−−<⇔−++<⇔<⇔>

−

>−

<∨>

>

−


Vậy m >4 thoả mãn bài
C3: Cô lập tham số m
Phương trình (1) tương ñương với m(t

2
- 2t + 1) = 4t
2
- 4t + 1, do t = 1 không phải là
nghiệm nên
(
)
()
2
2
1
12
−
−
=
t
t
m
. Xét hàm số f(t) =
(
)
()
2
2
1
12
−
−
t
t

với t > 0.
Ta có
3
'
)1(
24
)(
−
+
−
=
t
t
tf
, f
’
(t) = 0 khi t = 1/2. Do ñó có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra m > 4.
b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt và thoả mãn t
1
.t
2
= 27
26
107
0
4
)2(2
27
4

1
0
=⇔









>
−
−
=
=
−
−
>=∆
⇔ m
m
m
S
m
m
m
.
Ví dụ 5: Tìm a phương trình sau có nghiệm duy nhất log
5

(ax) = 2.log
5
(x + 1) (1)
Lời giải.
Phương trình trên tương ñương với



+=
>+
2
)1(
01
xax
x



=+−+
−>
⇔
(*)01)2(
1
2
xax
x

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*)có ñúng một
nghiệm lớn hơn c -1.
Ta có

aa 4
2
−=∆

Nếu
∆
= 0 thì a = 0 hoặc a = 4.
Với a = 0 pt có một nghiệm x = -1(loại).
Với a = 4 pt có một nghiệm x = 1(tm).
Nếu
∆
> 0 thì a < 0 hoặc a > 4. Khi ñó pt có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
2
4
1
2
42
22
aaaaaa −+
+−=
−+−

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 12/36
x
2
=

2
4
1
2
42
22
aaaaaa
+=


Nhn xột:
. Nu a < 0 thỡ x
2
< -1, do ủú ủ tho món bi thỡ x
1
> - 1
04
2
>+ aaa

044
2
>> aaaa
(luụn ủỳng do a < 0).
. Nu a > 4 thỡ x
1
> -1, do ủú ủ tho món bi thỡ x
2
< -1
04

2
< aaa
044
2
><
aaaa
(vụ lớ do a > 4).Vy a = 4 hoc a < 0 tho món bi
C2: (*)

a
x
x
=
+
2
)1(
, do x = 0 khụng l nghim ca pt.
Xột hm s f(x) =
x
x
2
)1( +
.Chỳng ta cú th gii bng phng phỏp lp bng bin thiờn.
C3: TH1:
0
'
=
ta tỡm thy a=4 tho món.
TH2:
0

'
>
, pt cú hai nghim phõn bit v ủ tho món bi ta cn cú
21
1 xx <
.
Nu pt cú nghim x = -1 thỡ a = 0. Vi a = 0 thay vo ta ủc pt x
2
+ 2x +1 = 0 suy
ra x = -1 (loi)
Nu
21
1 xx <<
012101)(0)1)(1(
212121
<
+

+

<
+
+
+

<
+
+

axxxxxx

a<0.
Vy a < 0 hoc a = 4.
Vớ d 6: Tỡm m phng trỡnh
mm
xx
2
2009
2008
2
56
2
=






+
cú 3 nghim phõn bit
Li gii.
k m < 0 hoc m > 2.
Lụgarit hoỏ hai v theo c s
2009
2008
, ta ủc phng trỡnh tng ủng vi
)2(log56
2
2009
2008

2
mmxx =+

Xột hm s g(x) =
56
2
+ xx
, ta cú



<<+
+
=
51);56(
51;56
)(
2
2
xxx
xxxx
xg

Do ủú ta cú ủ th sau (v hỡnh)
T ủ th suy ra phng trỡnh cú 3 nghim phõn bit

+=






++=
=






=
4
4
4
22
2009
2008

2009
2008
11
2009
2008
11
0
2009
2008
24)2(log
m
m
mmmm
Tmủk
Lu ý:
PT dng a
f(x)
=m, ủ bin lun nú ta sa dng phng phỏp ly lụgarit hoỏ hai v
theo c s a v ủa v Pt ủi s.
Vớ d 7: Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú nghim
mmxx
mmxxmxx
++=
+++++
255
224222
22

Li gii.

Ptrỡnh
)242(5)22(5
2242222
22
++++=+++
+++++
mmxxmxx
mmxxmxx
(1)
Xột f(t) = 5
t
+ t, f

(t) = 5
t
.ln5 + 1 > 0 vi mi t. Do ủú f(t) l hm liờn tc v ủng bin vi
mi t.
Phng trỡnh (1)

f(x
2
+ 2mx + 2) = f(2x
2
+ 4mx + m + 2)
Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 13/36


x
2

+ 2mx +2 = 2x
2
+ 4mx + m + 2

x
2
+ 2mx + m = 0 (2)
Phng trỡnh (1) cú nghim khi v ch khi pt (2) cú nghim



= m
2
m =0

m = 0 hoc m = 1.
Vớ d 8: Tỡm x ủ phng trỡnh sau nghim ủỳng vi mi a

)2(log)13(log
22
222
xx
xaa
=+
++
(1)
Li gii.

. iu kin cn
Gi s (1) nghim ủỳng vi a vi a = 0, ta ủc:

(1)
xxxx =+=+ 213)2(log)13(log
22










=+


=++++

+
=++
xxx
x
xxxx
x
x
xx
3)3(
0
9)3(23
0

03
33





=
=







=+


1
1
30
)3()3(
03
0
2
x
x
x
xxx

x
x

Vy x =1 l ủiu kin cn ủ phng trỡnh nghim ủỳng vi mi a.
. iu kin ủ
Vi x =1, phng trỡnh (1) cú dng

001log1log)12(log)131(log
2222
2222
===+
++++ aaaa
(luụn ủỳng)
Vy x = 1 l ủiu kin cn v ủ ủ phng trỡnh cú nghim vi mi a
Lu ý:
Ngoi cỏc phng phỏp trờn, thỡ ủi vi cỏc bi toỏn cn tỡm ủk ca x ủ bi
toỏn ủỳng vi mi tham s
Da

, ta thng s dng phng phỏp ủiu kin cn v ủ.
Bi tp tng t:
1) Tỡm m ủ phng trỡnh
)3(log3loglog
2
4
2
2
1
2
2

=+ xmxx
cú nghim
[
)
+
;32x

2) Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú nghim duy nht

0)(log)1(log
2
722722
=++
+
xmxmx

3) Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim
[
]
3
3;1x


0121loglog
2
3
2
3
=++ mxx

4) Tỡm x ủ phng trỡnh sau cú nghim ủỳng vi mi a.

(
)
(
)
13log65log
2
2
2232
2
=+
+
xxxaxa
a

Phn C. BT PHNG TRèNH M V LOGARIT
I. Mt s phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit
Cng ging nh phng trỡnh m v PT lụgarit, bt PT m v lụgarit cng cú
cỏch gii tng t. Chỳng ta cú lu ý sau:
. Bt phng trỡnh m
Nu a >1 thỡ
)()(
)()(
xgxfaa
xgxf
<<
.
Nu 0 < a < 1 thỡ
)()(

)()(
xgxfaa
xgxf
><
.
. Bt phng trỡnh lụgarit
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 14/36
Nếu a > 1 thì





<<⇔
<
>
>
⇔< )()(0
)()(
0)(
0)(
)(log)(log xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
aa

Nếu 0 < a < 1 thì






>>⇔
>
>
>
⇔< 0)()(
)()(
0)(
0)(
)(log)(log xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
aa

1. Phương pháp ñưa về cùng cơ số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
1
2
3
1
3
2
−−
−







≥
xx
xx

Lời giải.
Đk: x ≤ 0 hoặc x ≥ 2. Khi ñó bất phương trình tương ñương vớ
i
2
1
22
3321
xx
xx
xxxx
−−
−
≥⇔−≥−−
(1)
Nếu x ≤ 0 thì
xx
−=−
11
, khi ñó pt (1)
122

2
−≥−⇔
xxx
(Vô nghiệm)
Nếu x ≥ 2 thì
11 −=− xx
, khi ñó pt (1)
2
21
xx
⇔−≥−
luôn ñúng
Ví dụ 2: Giải bất phương trình log
x
(5x
2
- 8x + 3) > 2

Lời giải. Bất phương trình trên tương ñương với




























>∨<
>





>∨<
<<
<<
⇔




>+−
>





>∨<
<+−
<<
⇔



>+−
>





>+−
<+−
<<
⇔
2/32/1
1
15/3
2/32/1
10

0384
1
15/3
0384
10
385
1
0385
385
10
2
2
22
2
22
xx
x
xx
x
x
xx
x
xx
xx
x
xxx
x
xx
xxx
x






>
<<
⇔
2
3
5
3
2
1
x
x

Lưu ý:
- Với bất pt dạng log
f(x)
g(x)>a, ta xét hai trường hợp của cơ số 0<f(x)< 1 và 1<f(x).
- Ta có thể giải bằng cách khác như sau:
Điều kiện :
2
01
01
3
0
5830

5
x
x
xx
xx
<≠

<≠


⇔

<∨>
−+>



(*).
Với ñiều kiện (*), BPT ⇔ (x-1)(5x
2
-8x+3-x
2
)>0 ⇔ ½<x<1 hoặc x>3/2.
Kết hợp ñiều kiện (*) ta ñược tập nghiệm.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
()
63
3
2
3

loglog
≤+
xx
x

Lời giải.
Đk x > 0.
Ta có
()
(
)
x
x
xx
x
3
3
3
2
3
log
log
loglog
33 ==
⇒BPT ⇔
36
333
logloglog
≤⇔≤+
xxx

xxx
.
Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta ñược:
(
)
1log1log.log3log)(log
2
3333
log
3
3
≤⇔≤⇔≤
xxxx
x
3
3
1
1log1
3
≤≤⇔≤≤−⇔ xx

Vậy phương trình có nghiệm
3
3
1
≤≤
x

Ví dụ 4: Giải bất phương trình
0

1
21
loglog
2
3
1
>






+
+
x
x

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 15/36
Li gii. Bt phng trỡnh trờn tng ủng vi





<
+
+
>

+
+
1
1
21
log
0
1
21
log
2
2
x
x
x
x

>
>
><

<
+

>
+

<
+
+
>
+
+

0
1
01
0
1
1
0
1
2
1

21
1
1
21
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

Vy x > 0 l nghim ca bt phng trỡnh.
Vớ d 5: Tỡm k ủ hm s








++
+
=
1
1

3log
2
2
xx
kxx
y
cú tp xỏc ủnh l mi x
R


Li gii.
Hm s cú ngha
1
1
30
1
1
3
2
2
2
2
++
+
>>
++
+

xx
kxx

xx
kxx
(1)
Nhn xột x
2
+ x +1 > 0 vi mi x
R

. Do ủú (1)
1)1(3
22
+>++
kxxxx










>++
>+++

++>+
++<+

04)3(4

02)3(2
)1(31
)1(31
2
2
22
22
xkx
xkx
xxkxx
xxkxx

Yờu cu bi toỏn tng ủng vi h trờn cú nghim vi mi x
R









<<
<<
<<

<==
<+=+=
15

115
17
055664)3(
07616)3(
22
2
22
1
k
k
k
kkk
kkk

Vy -5 < k < 1 tho món yờu cu ca bi
Bi tp tng t:
1)
0
4
loglog
2
67,0
<

+
+
x
xx
2)
1)3(log
2
3
>

x
xx

3)
2
1125
55
525
log(5)3log(5)6log(5)4log(502)0
xxxx
+++

2. Phng phỏp ủt n ph .
Vớ d 1: Gii bt phng trỡnh
1
2
3
23.2
2

+
xx
xx
(1)
Li gii.
K x 0. Chia c t v mu cho 2
x
, ta ủc (1)
1
1
2
3
4
2
3
.2

x
x
(2)
t t =
t






2
3
, 0 < t 1. Khi ủú bt phng trỡnh (2) tng ủng vi

3log03
2
3
1310
1
3
01
1
42
2

3
<






<<





xt
t
t
t
t
x

Vy bt phng trỡnh cú nghim
3log0
2
3
< x

Vớ d 2: Gii bt phng trỡnh
)(log4
32

log9
8
log)(log
2
2
1
2
2
3
2
2
1
4
2
x
x
x
x <






+

Li gii.
iu kin x > 0.Bt phng trỡnh trờn tng ủng vi
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 16/36

)(log4
32
log9
8
log)(log
2
2
2
3
2
2
4
2
11
x
x
x
x
−−
<







+








−


[
]
[
]
)(log4log32log98loglog)(log
2
2
2
22
2
2
3

2
4
2
xxxx <−+−−⇔


[
]
[
]
)(log4log2593log3)(log
2
22
2
2
4
2
xxxx <−+−−⇔

Đặt t = log
2
(x), bất phương trình trên tương ñương với
t
4
- 13t
2
+ 36 < 0













<<
<<
⇔
<<
−<<−
⇔
<<
−<<−
⇔<<⇔
84
4
1
8
1
3log2
2log3
32
23
94
2
2

2
x
x
x
x
t
t
t

Vậy bất phương trình có nghiệm
()
8,4
4
1
,
8
1
∪







Ví dụ 3: Giải bất phương trình
231523102
55.45
−+−−−−
<−

xxxx

Lời giải.
Đặt X = 5
x-5
> 0, Y =
23
5
−x
> 0 ⇒ BPT trở thành
YX
Y
X
54
2
<−
(1),
Do Y > 0 nên (1)
⇔
X
2
- 4XY < 5Y
2
⇔
X
2
- 4XY - 5Y
2
< 0
⇔

(X + Y)(X - 5Y) < 0

2362315
55505
2315
−<−⇔−+<−⇔
<⇔<⇔<−⇔
−+−
xxxx
YXYX
xx

Bất phương trình trên tương ñương với hai hệ sau
(I)



<≤⇔
<−
≥−
62
06
02
x
x
x

(II)












<≤⇔
<<
≥
⇔
<+−
≥
⇔
−>−
≥−
186
183
6
05421
6
)6()2(9
06
22
x
x
x
xx

x
xx
x

Vậy bất phương trình có nghiệm là :
182
<
≤
x

Bài tập tương tự:
1)
(
)
(
)
x
xx
215
4
1
15 =−++
; 2)
)3(log53loglog
2
4
2
2
1
2

2
−>−+ xxx
;
3)
09.93.83
442
>−−
+++
xxxx

3. Phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
(
)
xx
45
log3log
>+

Lời giải.
ĐK x > 0.
Đặt t = log
4
x
⇔
x = 4
t
, ⇒ log
5
(3+2

t
) > t
⇔
3 + 2
t
> 5
t

⇔
1
5
2
5
3
>






+
t
t

Hàm số
t
t
tf







+=
5
2
5
3
)(
nghịch biến trên R và f(1) = 1.
Bất phương trình trở thành : f(t) > f(1)
⇔
t < 1, ta ñược log
4
x < 1
⇔
0 < x < 4.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
23
3
2
2
1
log
2
2
2
3

+−>
+
−
++
xx
x
x
xx

Lời giải.
Đặt u = x
2
+ x + 1; v = 2x
2
- 2x + 3 (u > 0,v > 0) suy ra v-u=x
2
-3x + 2
Bất phương trình ñã cho tương ñương với
333
logloglog
u
vuuvvu
v
>−⇔−>−


⇔
log
3
u + u > log

3
v + v (1)
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 17/36
Xét hàm số f(t) = log
3
t + t, có
0,01
3
ln
1
)(
'
>∀>+= t
t
tf

Nên h /s ñồng biến khi t > 0. Từ (1) ta có f(u) > f(v)
⇔
u > v

⇔
x
2
+ x + 1 > 2x
2
- 2x + 3
⇔
x
2

- 3x + 2 < 0
⇔
1 < x < 2.
Lưu ý:
1. Với bất phương trình dạng log
a
u<log
b
v, ta thường giải như sau:
Đặt t =log
a
u (hoặc t =log
b
v); ñưa về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của
hàm số.
2. Với bất phương trình dạng
vvuuuv
v
u
aaa
+<+⇔−< logloglog . Ta xét hàm số f
(t)=log
a
t+t ñồng biến khi t >0, suy ra f(u)<f(v)
⇔
u<v.
Bài tập tương tự:
1)
(
)

xxx
x
64
3
6
loglog
≥+
; 2) 2.2
x
+ 3.3
x
> 6
x
– 1; 3) 16
x
- 3
x
< 4
x
+ 9
x
.
4. Phương pháp vẽ ñồ thị .
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
0
1
3
2
5
5

log
<
+
−
−
+
x
x
x
x

Lời giải.
Bất phương trình trên tương ñương với hai hệ
(I)





<+−
>
−
+
0132
0
5
5
log
x
x

x
x
và (II)





>+−
<
−
+
0132
0
5
5
log
x
x
x
x

Giải hệ (I)
+)
500
5
2
1
5
5

0
5
5
log <<⇔>
−
⇔>
−
+
⇔>
−
+
x
x
x
x
x
x
x

+) 2
x
< 3x - 1, ta vẽ ñồ thị của hai hàm số y = 2
x
và y = 3x - 1 trên cùng một hệ trục toạ
ñộ. Khi ñó ta ñược nghiệm là 1< x < 3. Do ñó hệ (I) có nghiệm 1 < x < 3.
Giải hệ (II)
+)









<<−⇔
>∨<
<<−
⇔
<
−
<<−
⇔<
−
+
<⇔<
−
+
05
50
55
0
5
2
55
1
5
5
00
5

5
log x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x

+) 2
x
> 3x - 1
⇔
x < 1 hoặc x > 3 Do ñó hệ (II) có nghiệm -5 < x < 0.
Vậy bất phương trình có nghiệm
)3,1()0,5(
∪
−

Bài tập tương tự:
0
1
2
122
1
≤
−

+−
−
x
x
x

5. Một số phương pháp khác .
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
(
)








+
−
≤+−
8
1
1
log42log
32
x
x

Lời giải.

Điều kiện x ≥ 2.
Ta có nhận xét sau:
.
(
)
242log442
2
≥+−⇔≥+−
xx
⇔
VT=2.
. x
≥
2
⇔
x-1=1
⇔
28
1
1
log98
1
1
1
1
1
11
3
≤









+
−
⇔≤+
−
⇔≤
−
⇔≥−
xxx
x


⇔
VP=2 ⇒ Vậy bất phương trình có nghiệm ⇔








=⇔
=

=−
⇔
=
=
2
2
02
2
2
x
x
x
VP
VT

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 18/36
Vy bt phng trỡnh cú nghim duy nht x = 2.
Nh chỳng ta ủó bit vic ủt ủiu kin ủ bt phng trỡnh cú ngha l cn thit, vỡ
ủú l bc ủu tiờn khi gii bt phng trỡnh. T ủ/k ủú ủ loi ủi cỏc giỏ tr khụng tho
món bt phng trỡnh ủó cho. ú l ý ngha chung ca vic ủt ủiu kin ủi vi mt bt
phng trỡnh. Hn na trong nhiu trng hp, chớnh t bc ny cho phộp ta ủn gin
hoỏ phộp gii tip theo. Sau ủõy ta xột thờm mt s vớ d.
Vớ d 2: Gii bt phng trỡnh log
x
[log
9
(3
x
-9)] < 1

Li gii.
log
9
(3
x
-9) cú ngha, ta cn cú 3
x
> 9

3
x
> 9

x > 2 (*).
Vi ủiu kin (*), BPT








<
>

<
>
>
xx

x
xx
x
x
993
193
)93(log
0)93(log
2
9
9

t 3
x
= t, (t > 0), ta cú h



>>>
>+
>
10log1030
09
10
3
2
xt
tt
t
x

Vớ d 3: Gii bt phng trỡnh
2
2
2
2
432
655log)(log65
xxxxxxxxxx
+++>+

Li gii:
K:



<
+
>
30
06
0
2
x
xx
x
.
Bt phng trỡnh ủó cho tng ủng vi
(
)

016)5log(
2
2
>++ xxxxx
Do
532log3log3log3
222
=< xxx
. Vy khi
30

<
x
thỡ xlog
2
x-5<0, do ủú
(1)



<
>
<




<++
<
3

2
5
0532
30
016
30
22
x
xx
x
xxx
x
. Vy nghim
3
2
5
< x

Vớ d 4: Gii bt phng trỡnh
2122
22.2).(4284 xxxxxx
xx
++>+
+

Li gii.
k
22 x
(1)
Bt phng trỡnh tng ủng vi

(
)
(
)
02212.4
2
>+ xxx
x
(2).
T (1) ta cú
42.22.22.2
2
3
2
=<
x
xx
. Do ủú (2) tng ủng vi




>
>+

xx
xx
x
122
0221

22
2
2
(3)
(3) tng ủng vi hai h sau (I)



<
<

21
01
02
2
x
x
x

(II)
()






<

>

0725
1
1)2(4
01
2
2
2
xx
x
xx
x






<<

11
5
7
1
1
x
x
x

Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l
[
]
2;1x

Vớ d 5: Gii bt phng trỡnh
)23(log
1
)1(log
1
22
xx
>
+

Li gii.
k

<<

<
<

<
+<
1;0
2
3
1
2
3
1
01
1230
110
x
x
x
x
x
x

. log
2
(x + 1) > 0

x + 1 > 1

x > 0
. log
2
(3 - 2x) > 0

3 - 2x > 1

x < 1
Ta cú bng xột du
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 19/36

Từ ñó ta có các trường hợp sau:
TH1: Với -1 < x < 0 thì VT < 0, VP > 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm
TH2: Với 0 < x < 1 thì VT > 0, VP > 0. Khi ñó bất phương trình tương ñương với
log
2
(x + 1) < log
2
(3 - 2x)
⇔
3 - 2x > x + 1
⇔
0 < x < 1.
TH3: Với 1 < x < 3/2 thì VT > 0, VP < 0, bất phương trình có nghiệm với mọi 1 < x < 3/2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{}

1\
2
3
0






<<x
.
Lưu ý:
Với bất phương trình dạng
vu
ba
log
1
log
1
>
, ta thường giải như sau:
+) Lập bảng xét dấu của log
a
u và log
b
v trong tập xác ñịnh của bất phương trình.
+)Trong tập xác ñịnh ñó nếu log
a
u và log

b
v cùng dấu thì bất phương trình tương ñương
với log
a
u<log
b
v.
Ví dụ 6: Trong các nghiệm (x; y) của bất phương trình
1)2(log
22
2
≥+
+
yx
yx
, chỉ ra các
nghiệm có tổng 2x + y lớn nhất.
Lời giải.
Bất phương trình trên tương ñương với hai hệ sau
(I)





>+
+≤+
<+<
02
22

120
22
22
yx
yxyx
yx
và (II)



+≥+
>+
22
22
22
12
yxyx
yx

Rõ ràng nếu (x; y) là nghiệm của bất phương trình thì tổng 2x +y lớn nhất chỉ xảy ra khi nó
là nghiệm của hệ (II).
(II)





≤







−+−
>+
⇔
8
9
22
1
2)1(
12
2
2
22
yx
yx

Ta có
4
9
22
1
2
2
1
)1(22 +







−+−=+
yxyx

áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số






−−
22
1
2;1
yx
và






2
1
;2
, ta ñược

16
81
2
9
.
8
9
2
1
4
22
1
2)1(
22
1
2
2
1
)1(2
2
2
2
=≤






+















−+−≤












−+− yxyx

2
9
20
4
9
22
1
2
2
1
)1(2
4
9
≤+<⇔≤






−+−≤−⇔
yxyx
.
















=
=
⇔
−
=
−
=+
⇔=+
2
1
2
2
1
22
1
2
2
1
2
9
2
2

9
2
y
x
y
x
yx
yx

Với x = 2 và y = 1/2 thoă mãn bất phương trình x
2
+ 2y
2
> 1.
log
2
(3
-
2x)

x

-
1

0

1

-

+

+

+

+

-

2
3

log
2
(x+1)

Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 20/36
Vậy trong các nghiệm của bất phương trình thì nghiệm (2; 1/2) là nghiệm có tổng 2x + y
lớn nhất bằng 9/2.
Bài tập tương tự:
1)
(
)
(
)
1729loglog
3

≤−
x
x
; 2)
3
)5(log
)35(log
3
>
−
−
x
x
a
a
với
10
≠
<
a
.
3) Trong các nghiệm (x; y) của bất phương trình
1)(log
22
≥
+
+
yx
yx
.

Tìm nghiệm có tổng x + 2y lớn nhất.
4)
)1(log
1
132log
1
3
1
2
3
1
+
>
+−
x
xx

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT CHỨA THAM SỐ .
Ví dụ 1: Cho bất phương trình 4
x
- 3.2
x
+ m = 0 (1)
a) Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm với mọi x
≤
1
b) Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm x
≤
1
Lời giải.

Đặt t = 2
x
(t > 0) .Bất phương trình có dạng t
2
- 3t + m = 0
⇔
t
2
- 3t = - m (2)
a) Bất phương trình (1) có nghiệm với mọi x
≤
1
⇔
bất phương trình (2) có nghiệm với
mọi t thoả mãn 0 < t = 2
⇔
(
]
mttMin
t
−≥−
∈
)3(
2
2;0

Xét f(t) = t
2
- 3t, t∈(0;2]. Từ bảng biến thiên suy ra -9/4 = -m

⇔
m = 9/4
b) Bất phương trình (1) có nghiệm x
≤
1
⇔
bất phương trình (2) có nghiệm
t
(
]
2;0
∈
(
]
mttMax
t
−≥−⇔
∈
)3(
2
2;0
.Từ bảng biến thiên suy ra 0 > -m
⇔
m > 0.
Lưu ý:
Cho bất phương trình f (x) > m. Hàm số f (x) liên tục và xác ñịnh trênD
1) Bất phương trình có nghiệm với mọi
mxfMinDx
Dx
>⇔∈

∈
)(

2) Bất phương trình có nghiệm
mxfMaxDx
Dx
>⇔∈
∈
)(

Ví dụ 2: Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm với mọi x ≥ 1
)132(log)132(log
2
2
2
4
−+<+−+ xxmxxm
(1)
Lời giải.
ĐK:









≥

−≤
⇔≥−+⇔
≥−+
≥−+
2
1
2
0232
1132
0132
2
2
2
x
x
xx
xx
xx

ñặt t =
)132(log
2
4
−+ xx
, vì x ≥ 1 nên t ≥ 1. Khi ñó bất phương trình (1) có dạng
mt + m < 2.t
2

⇔
m(t + 1) < 2t

2
⇔
m <
1
2
2
+
t
t
(2) (vì t≥ 1 nên t +1>0)
Bất phương trình (1) có nghiệm với mọi x ≥1
⇔
bất phương trình (2) có nghiệm với mọi t ≥ 1
⇔
[
)
m
t
t
Min
t
>
+
+∞∈
1
2
2
;1
(3). Đặt
1

2
)(
2
+
=
t
t
tf
, với
t≥1. Ta có
0
)1(
42
)(
2
2
'
>
+
+
=
t
tt
tf
với mọi t ≥ 1, suy ra f(t) luôn ñồng biến với mọi t ≥ 1.
Do ñó (3)
⇔
[
)
mftfMin

t
>
=
=
+∞∈
1)1()(
;1
.Vậy m < 1.
Ví dụ 3: Cho bất phương
0)2(log)1(log.4
23
2
22
4
<+−+−− kkkxkx
(1).
Tìm k ñể bất phương trình có nghiệm với mọi
)4;2(
∈
x
.
Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 21/36
Li gii. k x > 0. t t = log
2
x, vỡ
)4;2(

x
nờn

(
)
2;1t
.
Bt phng trỡnh (1) cú dng
0)2()1(
2322
<++ kkktkt
(2)
Nhn xột: k
2
- 1 = (k
2
- k) + (k - 1) ; k
3
- 2k
2
+ k = (k
2
- k).(k - 1)
Do ủú f(t) =
)2()1(
2322
kkktkt ++
cú hai nghim t
1
= k
2
- k v t
2

= k - 1.
Xột hiu t
1
- t
2
= (k - 1)
2
= 0 suy ra t
1
= t
2
. Do ủú bt phng trỡnh (2) cú nghim
(
)
12
;ttt


Bt phng trỡnh (1) cú nghim vi mi
)4;2(

x

bt phng trỡnh (2) cú nghim vi
mi
)2;1(

t

2
02
11
2
);()2;1(
22
12
k
kk
k
kk
tt

=








1
2
2
1
2
k
k
k
k
k
.
Vy k = 2 hoc k = - 1.
Lu ý:
Vi bi toỏn tỡm m ủ bt phng trỡnh f (x, m) > 0 cú nghim vi mi
Dx

, trong
trng hp khụng cụ lp ủc tham s m, ta thng lm nh sau:
+) Gii bt phng f (x, m) > 0 ủc tp nghim Sx

.
+) Bt phng trỡnh cú nghim vi mi
Dx

khi v ch khi
DS


Vớ d 4: Tỡm m ủ mi
[
]
2;0x
tho món bt phng trỡnh
5)2(log42log
2
4
2
2
+++
mxxmxx

Li gii.
K:

+
+
>+
12
12
02
2
2
2
mxx
mxx
mxx
. t
)2(log
2
4
mxxt
+=
, t 0
Bt phngtrỡnh cú dng t
2
+ 4t 5 0

-5 t 1, vỡ t 0 nờn ta ủc
0 t 1 hay 0 log
4
(x
2
- 2x + m) 1
Vy bt phng trỡnh trờn tng ủng vi h (I)

+
+
mxx
mxx
mxx
mxx
42
12
42
12
2
2
2
2

Bt phng trỡnh cú nghim vi mi
[
]
2;0x

tng ủng vi h (I) cú nghim vi mi
[
]
2;0

x

mi bt phng trỡnh trong h (I) cú nghim vi mi
[
]
2;0

x
.
Xột hm s f(x) = x
2
- 2x, ta cú bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta suy ra 2 = m = 4.
Vớ d 5: Xỏc ủnh a ủ bt phng trỡnh sau cú nghim duy nht

(
)
0112log.32log11log
22
2
1
++++ xaxxax
aa

Li gii.

k: 0 < a 1; ax
2
- 2x + 1 0.
Vi ủiu kin ủú, ủt
txax =+ 12
2
, t = 0 ta cú th vit bt phng trỡnh ủó cho di
dng:
2log).1(log11log.2log
2
22
++
tt
aa
(1)
. Nu a > 1 thỡ
2log).1(log)(
2
2
++= tttf
a
l hm ủng bin khi t = 0 v
11log.2log11log.4log)3(
22 aa
f ==
. Do vy (1)
3


t

hay ax
2
- 2x + 1 = 9. Bt phng
trỡnh ny khụng th cú nghim duy nht.
. Nu 0 < a < 1. Khi ủú f(t) l hm nghch bin vi t = 0. Do vy (1) 3


t
hay










+

+
+
082
012
912
012
2
2
2

2
xax
xax
xax
xax
(3)
Cn xỏc ủnh a (0 < a < 1) ủ (3) cú nghim duy nht.
Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 22/36
Nhận xét rằng với mọi a (0 < a < 1) hệ (3) ñều có nghiệm x = 0 và x = 1/2 thoả mãn. Suy
ra (3) không thể có nghiệm duy nhất.
Kết luận: Không tồn tại a ñể bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 6: Cho các bất phương trình
3
)5(log
)35(log
3
>
−
−
x
x
a
a
với 0 < a≠ 1. (1)
và 1 + log
5
(x
2
+ 1) - log

5
(x
2
+ 4x + m) > 0 (2)
Tìm m ñể mọi nghiệm của (1) ñều là nghiệm của (2)
Lời giải.

Giải bất phương trình (1), ñk:








<⇔
<≠
<
⇔
≠−<
>−
3
3
3
35
54
35
150
035

x
x
x
x
x

Vì
3
35<x
nên 5 –x > 1. Do ñó (1)
333
5
)5(353)35(log xxx
x
−>−⇔>−⇔
−

32065
2
<<⇔<+−⇔ xxx

Bất phương trình (2) tương ñương với hệ sau









+−<
−−>
⇔
++>+
>++
)4(544
)3(4
455
04
2
2
22
2
xxm
xxm
mxxx
mxx

Để bất phương trình (2) nghiệm ñúng với mọi x thoả mãn 2< x <3 tương ñương với mỗi
bất phương trình (3) và (4) có nghiệm với mọi
(
)
3;2∈x

()
()









<<−⇔
>
<−
⇔
>+−
<−−
⇔
∈
∈
1312
13
12
)544(
)4(
2
3;2
2
3;2
m
m
m
mxxMin
mxxMax
x
x

Ví dụ 7: Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm ñúng với mọi
[
]
1;0
∈
x


[
]
4)1(log)2log(22
224)1(
2
++−−−>−
−−++
xmmm
mmxm
(1)
Lời giải. Đk



>++
>−−
04)1(
02
2
xm
mm

Bất phương trình (1) tương ñương với

[
]
)2log(24)1(log2
224)1(
2
−−+>+++
−−++
mmxm
mmxm
(2)
Xét hàm số f(x) = 2
x
+ log(x) ñồng biến với x > 0
Bất phương trình (2) ñược viết dưới dạng
[
]
24)1()2(4)1(
22
−−>++⇔−−>++ mmxmmmfxmf


06)1()(
2
>++−+=⇔ mmxmxg
(3)
Vậy bất phương trình (1) nghiệm ñúng với mọi
[
]

1;0
∈x

[]



∈∀>++−+=
>−−
⇔
1;006)1()(
02
2
2
xmmxmxg
mm















−<<−
<<
⇔
<<−



−<
>
⇔
>
>
−<∨>
⇔
181
32
381
1
2
0)1(
0)0(
12
m
m
m
m
m
g
g
mm

Vậy với
(
)
(
)
3,21,81 ∪−−∈m
thì bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
[
]
1;0∈x
.
Lưu ý: g(x) = ax + b > 0 với mọi
[
]
βα;∈x




>
>
⇔
0)(
0)(
β
α
g
g

Ví dụ 8: Tìm a ñể bất phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất

a
x
xx
x
x
x
>
−
−−
+
−
−
−−
100
)105(103
log
105
101
log)100(log
2
2
12

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 23/36
Li gii.
iu kin cn. Gi s h ủó cho cú nghim duy nht x = x
0

. Khi ủú x
0
phi thuc min xỏc
ủnh ca bt phng trỡnh, tc ta phi cú













=


<<



>
>
102
103
101
105100

0103
0101
0105
0100
0
0
0
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
hoc x
0
=104
Vy ủiu kin cn l nghim nguyờn duy nht x
0
phi l 102 hoc 104.
iu kin ủ.
. x = 102 l nghim duy nht, ta phi cú

<
+
>+
03log
4
1
log3log4log
2
3
log
3
1
log2log
2
2
2
12
2
2
12
a
a
a
,
trng hp ny loi do log

2
3 > 1
. x =104 l nghim duy nht ta phi cú







<
+
>+
3log0
2
3
log
3
1
log2log
4
1
log
3
1
log4log
2
2
2
12

2
2
12
a
a
a

Vy cỏc giỏ tr phi tỡm ca tham s a l: 0 = a < log
2
3.
Bi tp tng t:
1) Tỡm m ủ bt phng trỡnh
3)2(log
2
2
1
>+
mxx
cú nghim, v mi nghim ca nú
khụng phi l nghim ca bt pt
02log).1(log
1
3
+
+
xx
xx
.
2.Tỡm m ủ bt phng trỡnh sau nghim ủỳng vi mi x tho món:
2

1
x


04)1(6)1(29
222
222
++

xxxxxx
mm

3.Tỡm cỏc giỏ tr







2
5
;
2
1
x
nghim ủỳng bt phng trỡnh

1ã)3(log
2

3
<


a
xx
vi mi a m 0 < a < 2.
C. H PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH M V LOGARIT.
1. Phng phỏp bin ủi tng ủng
+) t ủiu kin cho cỏc biu thc trong h cú ngha
+) S dng cỏc phộp th ủ nhn ủc t h mt phng trỡnh theo n x hoc y (ủụi khi l
theo c hai n x v y)
+) Gii v bin lun theo tham s phng trỡnh nhn ủc bng cỏc phng phỏp ủó bit
ủi vi phng trỡnh ủó bit.
Vớ d 1: Gii h phng trỡnh





=+
=
25
1
1
log)(log
22
4
4
1

yx
y
xy

Li gii.
k:



>
>
xy
y
0

Vi ủiu kin trờn h tng ủng vi



=+
=+
25
1log)(log
22
44
yx
yxy

Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 24/36







=+
−=
⇔
=+
−=
⇔
25
4).(
25
4).(loglog
2222
44
yx
xyy
yx
xyy







=







+
=
⇔
25
3
4
3
4
2
2
x
x
x
y







=




−=
=
⇔
3
4
3
3
x
y
x
x

Với x = 3 suy ra y = 4 (tmñk)
Với x = - 3 suy ra y = - 4 (không tmñk). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình



=
=
182.3
123.2
yx
yx

Lời giải.

Lôgarit cơ số 2 cả hai vế của hai phương trình trong hệ




+=+
+=+
3log.213log.
3log23log.
22
22
yx
yx
, ñây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta có
03log1
13log
3log1
2
2
2
2
≠−==D
,
3log22
13log21
3log3log2
2
2
2
22
−=

+
+
=
x
D
,

3log1
3log213log
3log21
2
2
22
2
−=
+
+
=
y
D
⇒ hệ có nghiệm







==
==

1
2
D
D
y
D
D
x
y
x

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình



−=
+=
3log).1(loglog
1loglog2
222
23
xy
xy

Lời giải.
Đk x > 0, y > 0.
Hệ phương trình trên tương ñương với






−=
+=
1log
3log
log
1loglog2
2
2
2
23
x
y
xy





−=
+=
⇔
1loglog
1loglog2
23
23
xy
xy







=
=
⇔
=
=
⇔
8
9
2log
3log
3
2
y
x
y
x

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (9,8)
Ví dụ 4: Tìm k ñể hệ bất phương trình sau có nghiệm
()






≤−+
<−−−
)2(11log
3
1
log
2
1
)1(031
3
2
2
2
3
xx
kxx

Lời giải.
Từ bất phương trình (2) trong hệ suy ra (x-1)
3
> 0
1
>
⇔
x
.

1)1(loglog)2(
22
≤−+⇔ xx

212)1(1)1(log
2
≤
<
⇔
≤
−
⇔
≤
−
⇔
xxxxx

Với
21
≤
<
x
thì (1)
(
)
kxx <−−⇔ 31
3
.
Xét hàm số f(x) = (x - 1)
3
- 3x với
21
≤

<
x
. f
’
(x) = 3x
2
- 6x; f
’
(x) = 0
20
=
∨
=
⇔
xx
.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra
5
−
≥
k

Bài tập tương tự:
-
3

x

-

∞

0

1

2

+
∞

y
’

+

-

-

0

+

0

y


-

5

-
∞

+
∞

Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit
NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 25/36
1)
()



=−
=−+−
3log9log3
121
3
3
2
9
yx
yx
; 2)
()()






+−=−
=
+
yxyx
x
y
y
x
32
log1log
324

3) Tìm m ñể hệ sau có nghiệm





=−+
=−
0
0loglog
2
1
2
3
3
2

3
myyx
yx

2. Phương pháp ñặt ẩn phụ.
+) Đặt ñiều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
+) Lựa chọn ẩn phụ ñể biến ñổi hệ ban ñầu về các hệ ñại số ñã biết cách giải.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình



=−−+
=−
1)23(log)23(log
549
35
22
yxyx
yx

Lời giải.
Đk



>
−>
yx
yx
23

23
, Hệ ⇔



−=+
=−+
)23.(3log)23(log
5)23)(23(
35
yxyx
yxyx
.
Đặt t =
)23(log)23(log
35
yxyx
−
=
+
, suy ra



=−
=+
−1
323
523
t

t
yx
yx

Thay vào phương trình (1) trong hệ ta ñược 5
t
.3
t-1
= 5
(
)
1515 =⇔
t

⇔
t =1
Do ñó ta có hệ



=−
=+
123
523
yx
yx



=

=
⇔
1
1
y
x
(tmñk)
Lưu ý:
Với hệ phương trình dạng
22
()()
log[()()]log[()()]
ab
fxgxk
fxgxfxgx
−=


+=−

, thông thường
ta giải theo hướng:
Đặt
[
]
[
]
log()()log()()
ab
tfxgxfxgx

=+=−
, suy ra
f(x) + g(x) = a
t
và f (x) - g(x) = a
t
. Thay vào phương trình ñầu trong hệ ta tìm ñược t.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
()()



=
=
5log7log
loglog
57
75
yx
yx

Lời giải.
Đk: x > 0, y > 0
Lấy logarit theo cơ số 10 cả hai vế ta ñược



+=+
=
5log)log5(log7log)log7(log

7log.log5log.log
yx
yx

Đặt u = logx, v = logy. Khi ñó hệ có dạng



−=−
=−
⇔
7log5log5log.7log.
07log.5log.
22
vu
vu

5log7log
5log7log
7log5log
22
−=
−
−
=D
,
7log).7log5(log
5log7log5log
7log0
22

22
−=
−−
−
=
u
D

5log).7log5(log
7log5log7log
05log
22
22
−=
−
=
v
D

Dễ thấy D≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất





−==
−==
5log
7log
D

D
v
D
D
u
v
u
, suy ra





=
=
5
1
7
1
y
x

Vậy hệ có một nghiệm (1/7; 1/5)