bài giải mạch điện 1 CHUONG 7:phân tích mạch trong miền tần số

Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Chương 7
PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ
Ở chương 3, ta đã phân tích mạch ở trạng thái xác lập một chiều hoặc điều
hòa, khi đó đáp ứng trên mạch cũng là một chiều hoặc điều hòa cùng tần số. Trong
thực tế, nguồn tác động (nguồn tín hiệu) không phải đều là điều hòa, mà nó có thể
có hình dạng bất kỳ, bao gồm nhiều thành phần tần số. Việc phân tích mạch với
nguồn tác động bất kỳ được gọi là phân tích mạch trong miền tần số.
Để phân tích phổ (tần số) của một tín hiệu tuần hoàn, người ta dùng phương
pháp chuỗi Fourier như sau.
7.1 Biểu diễn các quá trình tuần hoàn
Một tín hiệu được gọi là tuần khi: x(t) = X(t + nT)
Trong đó: n là số nguyên ; T là chu kỳ lặp lại giá trò của tín hiệu
Tần số tương ứng với chu kỳ T được gọi là tần số cơ bản của tín hiệu tuần
hoàn và được xác đònh theo biểu thức: ω
o
= 2π/T (rad/s)
7.1.1 Chuỗi Fourier lượng giác
Chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn tín hiệu tuần hoàn x(t) có dạng:
X(t) = a
o
+
∑
∞
=
ω+ω
1n
onon
)tnsinbtncosa(

Các hệ số a

o
, a
n
, b
n
được gọi là các hệ số khai triển chuỗi được xác đònh theo:











∫
ω=
∫
ω=
∫
=
+
+
+
Tt
t
on
Tt

t
on
Tt
t
o
o
o
o
o
o
o
tdtnsin)t(x
T
2
b
tdtncos)t(x
T
2
a
dt)t(x
T
1
a
(1*)
Trong đó: n là số nguyên ; t
o
là một điểm bất kỳ trên thang thời gian ; T và ω
o
là các đại lượng đã nói ở trên.
Từ (1*) ta nhận thấy rằng: a

o
không phụ thuộc thời gian, biểu thò trò trung bình
của tín hiệu x(t), đây chính là thành phần một chiều của tín hiệu ; a
n
, b
n
là biên độ
của các thành phần cos và sin tương ứng với các tần số nω
o
. Như vậy, tín hiệu tuần
hoàn x(t) được biểu diễn bằng tổng của thành phần một chiều và vô hạn các thành
phần điều hòa có tần số bằng n lần tần số cơ bản.
Trong các ứng dụng thực tế, chuỗi Fourier lượng giác được sử dụng chỉ với 1
hàm sin hoặc chỉ với 1 hàm cos khi biến đổi tổng sau:
a
n
cosnω
o
t + b
n
sinnω
o
t = C
n
sin(nω
o
t + ϕ
n
) = C
n

cos(nω
o
t + ψ
n
)
1
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Trong đó:









=ψ
−=ϕ
+=
n
n
n
n
n
n
2
n
2
nn

b
a
Arctg
a
b
Arctg
baC
(2*)
Như vậy, ta có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dưới dạng tiện lợi cho việc
phân tích mạch:
∑∑
∞
=
∞
=
ϕ+ω+=ψ+ω+=
1n
nono
1n
nono
)tnsin(CC)t(xhay)tncos(CC)t(x
Tổng quát hơn, ta có: x(t) = C
o
+
∑
∞
=1n
n
)t(x
, trong đó : C

o
là thành phần một
chiều của tín hiệu x(t) ; x
n
(t) là các thành phần hài của tín hiệu x(t) = C
n
cos(nω
o
t +
ψ
n
) = C
n
sin(nω
o
t + ϕ
n
)
Các thành phần hài là các dao động điều hòa có biên độ C
n
, tần số nω
o
và góc
pha đầu ϕ
n
hay ψ
n
. Khi n = 1:
x
1

(t) = C
1
cos(ω
o
t + ψ
1
) (3*) hay x
1
(t) = C
1
sin(ω
o
t + ϕ
1
) (4*)
x
1
(t) là thàn phần cơ bản, nó có tần số bằng tần số cơ bản của tín hiệu x(t).
7.1.2 Chuỗi Fourier phức
Tín hiệu tuần hoàn x(t) được biểu diễn bằng chuỗi phức như sau:
∑
∞
−∞=
ω
=
n
tjn
n
o
eX)t(x


với n = 0, ±1, ±2,… (5*)
Trong đó:
n
X

là hệ số khai triển chuỗi được xác đònh theo công thức:
∫
+
ω−
=
Tt
t
tjn
n
o
o
o
dte)t(x
T
1
X

(6*)
Nếu tín hiệu x(t) là hàm thực thì:
nn
XX
−
=


và Arg
n
X

= - Arg
n
X
−

Mối quan hệ giữa chuỗi lượng giác, chuỗi phức với chuỗi chỉ 1 hàm cos hoặc 1 hàm
sin: X
o
= C
o
= a
o
; C
n
=
2
n
2
n
ba +
= 2
n
X

;
n

X

=
2
jba
nn
−
; Arg
n
X

= ψ
n
= ϕ
n
+ 90
o
Từ (5*) ta nhận thấy rằng: chuỗi phức Fourier bao gồm thành phần một chiều
ứng với n = 0 và 2 chuỗi vô hạn các hàm đều hòa liên hợp phức ứng với các cặp ±n.
Các cặp hàm điều hòa phức có biên độ bằng nhau còn argument thì trái dấu nhau.
Việc biểu điễn biên độ và argument của các hàm điều hòa phức trên thanh tần số`
sẽ cho ta phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn. Và bởi vì n là các số
nguyên nên phổ biên độ và phổ pha của tin hiệu tuần hoàn là phổ vạch (rời rạc).
2
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Ví dụ 1. Cho tín hiệu tuần hoàn là dãy xung vuông trên hình 1. Hãy xác đònh
chuỗi lượng giác và chuỗi phức Fourier.
Giải: Tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu thức giải tích trong 1 chu kỳ:






<<
<<−−
=
2
T
t01
0t
2
T
1
)t(x
Vì x(t) là hàm lẻ nên:
∫ ∫
==ω+ω−=
−
0
2/T
2/T
0
oon
,0,0tdtncos
T
2
tdtncos)1(
T
2
a 1,2, nvới

Còn hệ số b
n
được xác đònh như sau:
∫ ∫ ∫
π−
π
=ω=ω+ω−=
−
0
2/T
2/T
0
2/T
0
ooon
)ncos1(
n
2
tdtnsin
T
4
tdtnsin
T
2
tdtnsin)1(
T
2
b






=+=
π
=→
0,1,2, kvới 1,2knlẻ,n
n
4
chẳnn0
b
n
Từ đó, chuỗi Fourier dạng lượng giác của tín hiệu trên hình 1 có dạng:
, 2,1,0k,1k2n,tnsin
n
4
)t(x
1n
o
=+=ω
π
=
∑
∞
=
với
)
5
t5sin
3

t3sin
t(sin
4
)t(xhay
oo
o
+
ω
+
ω
+ω
π
=
Nhận xét:
- Tín hiệu trên hình 1 là hàm lẻ nên trong chuỗi Fourier của nó cũng chỉ chứa
các hài lẻ.
3
x(t)
t
-1
1
-T -T/2 T/2
T
0
Hình 1
y(t)
t
-1
1
0

Hình 2
T/4
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
- Bây giờ nếu ta dòch chuyển tín hiệu hình 1 trên thanh thời gian một khỏang t
o
,
ta có tín hiệu mới hình 2:
y(t) = x(t – t
o
) = a
o
+
)]tt(nsinb)tt(ncosa[
oonoo
1n
n
−ω+−ω
∑
∞
=
hay: y(t) =a
o
+
)]t(nsinb)t(ncosa[
ono
1n
n
α−ω+α−ω
∑
∞

=
trong đó: α = ω
o
t
o
là độ dòch pha của tín hiệu.
Ta thấy rằng khi tín hiệu dòch chuyển trên thang thời gian thì các hệ số khai
triển Fourier của nó không thay đổi, mà chỉ thay đổi pha một lượng α = ω
o
t
o
.
Chẳng hạn cho t
o
= - π/4 thì α =
2
)
4
T
(
T
2 π
−=−
π
Chuỗi Fourier của tín hiệu y(t) trên hình 2 được suy ra dễ dàng từ chuỗi
Fourier của tín hiệu x(t) trên hình 1:
∑ ∑
α
=
α

=
ω
π
=
π
+ω
π
=
1n 1n
oo
tncos
n
4
)
2
t(nsin
n
4
)t(y
)
5
t5cos
3
t3cos
t(cos
4
)t(yhay
oo
o
+

ω
+
ω
+ω
π
=
Rõ ràng rằng tín hiệu y(t) chỉ gồm các thành phần chẵn vì nó là hàm chẵn theo thời
gian.
Để tìm chuổi Fourier phức, ta tính hệ số khai triển
n
X

theo (6*):
)ncos1(
jn
1
]dtedte)1([
T
1
X
0
2/T
2/T
0
tjntjn
n
oo
π−
π
=+−=

∫ ∫
−
ω−ω−






=+=
π
−
=→
2,1,0k,1k2n;n
n
2
j
n0
X
n
lẻ
chẳn

Từ đó, chuỗi Fourier dạng phức của tín hiệu trên hình 2 có dạng:
, 2,1,0k,1k2n,e
n
2
j)t(x
n
tjn

o
=+=
π
−=
∑
∞
−∞=
ω
với
Chuỗi phức Fourier của tín hiệu x(t) hình 1 chỉ chứa các hàm lẻ, trong đó các
cặp hàm điều hòa phức có biên độ bằng nhau:
π
=
n
2
X
n

và có argumen trái dấu nhau: ψ
n
= Arg
n
X

= - π/2
Vậy, phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(t) được vẽ như sau:

4
0 1
2

3 4
5
-1
-2
-3-4
-5
ω/ω
o
n
X

1
F
1
F
−
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ

7.1.3 Đẳng thức Parseval
Giả sử có 2 hàm tuần hoàn cùng ần số được biểu diễn bằng chuỗi phức
Fourier:
∑ ∑
==
∞
−∞=
∞
−∞=
ωω
n m
tjm

m
tjn
n
oo
eY)t(y;eX)t(x


Trò trung bình tích của 2 tín hiệu được xác đònh như sau:
∑ ∑
∫
=
∑
∫ ∫
∑
=
∞
−∞=
∞
−∞=
ω+
∞
−∞=
∞
−∞=
ω
n m
T
0
)mn(j
mn

m
tjm
T
0
T
0
n
tjn
n
dtte
T
1
YXdteYeX
T
1
dt)t(y)t(x
T
1
ooo

Vì:
∫



−==+
≠+
=ω+
T
0

o
mnhay,0mnkhiT
0mnkhi0
t)mn(j(e

Do đó:
∫
∑
=
∞
−∞=
−
T
0
n
nn
YX)t(y)t(x
T
1

Biết:
*
nn
YY

=
−
→
∫
∑

=
∞
−∞=
T
0
n
*
nn
YXx(t)y(t)
T
1

(7*)
Biểu thức (7*) được gọi là đẳng thức Parseval của tín hiệu tuần hoàn, và nó
được phát biểu như sau: « Trò trung bình của tích 2 tín hiệu tuần hoàn cùng chu
kỳ bằng tổng vô hạn các tích của hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của tín
hiệu thứ nhất với phức liên hợp của hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của tín
hiệu thứ hai. »
THĐB: Khi x(t) = y(t) →
nn
YX

=
, trung bình bình phương của tín hiệu
tuần hoàn bằng tổng vô hạn các bình phương môđun của hệ số khai triển chuỗi
Fourier phức:
2
T
0
n

n
2
X(t)dtx
T
1
∫
∑
=
∞
−∞=

(8*)
Biểu thức (8*) là đẳng thức Parseval, được ứng dụng để xác đònh trò hiệu dụng
và công suất của tín hiệu tuần hoàn trong miền tần số, thông qua các hệ số khai
triễn Fourier.
Bây giờ ta áp dụng đẳng thức Parseval để tính trò hiệu dụng của tín hiệu
tuần hoàn trong miền tần số.
Theo đònh nghóa, trò hiệu dụng của tín hiệu tuần hoàn là căn bậc 2 của trò
trung bình bình phương:
5
0
1
2
3 4
5
-1
-2
-3-4
-5
ω/ω

o
Arg
- π/2
π/2
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
∫
=
T
0
2
hd
dt)t(x
T
1
X
Trong miền tần số:
∑ ∑
++=
∑
=
−
−∞=
∞
=
∞
−∞=
1
n 1n
2
n

2
n
2
o
n
2
nhd
XXXXX


∑








+=
∑
+=
∞
=
∞
=
1n
2
n
2

o
1n
2
n
2
o
2
X2
XX2X


Biết :
nn
CX2 =

, do đó:
∑






+=
∞
=1n
2
n
2
ohd

2
C
XX
, lại biết:
hdn
n
X
2
C
=
, là trò
hiệu dụng của thành phần hài thứ n, do đó :
∑
+=
∞
=1n
2
hdn
2
ohd
XXX
Tóm lại, trò hiệu dụng của một tín hiệu tuần hoàn bằng căn bậc 2 của tổng
bình phương thành phần một chiều và bình phương các trò hiệu dụng của hài thành
phần.
7.2 Phân tích mạch xác lập với nguồn tác động tuần hoàn không sin
Để tìm đáp ứng của mạch (dòng, áp), ta áp dụng phương pháp chuỗi Fourier,
biểu diễn quá trình tuần hoàn bằng chuỗi lượng giác có dạng (3*) hoặc (4*), và sau
đó, áp dụng các phương pháp phân tích mạch đã nêu trong chương 3.
7.2.1 Biểu diễn quá trình tuần hoàn bằng biên độ phức
Nguồn tác động có thể là nguồn áp hoặc nguồn dòng, là các quá trình

tuần hoàn, được biểu diễn bằng chuỗi Fourier gồm thành phần một chiều và vô hạn
các hàm điều hòa. Ví dụ, một nguồn áp lý tưởngcó chuỗi Fourier lượng giác sau
đây:
e(t) = E
o
+ E
1
cos(ω
o
t + ψ
1
) + E
2
cos(2ω
o
t + ψ
2
) + …
Các thành phần điều hòa biểu diễn bằng biên độ phức:
∑
=
∞
=1n
n
EE

trong đó
n
j
nn

eEE
ψ
=

7.2.2 Áp dụng nguyên lý xếp chồng để tính đáp ứng của mạch với
thành phần một chiều và các thành phần điều hòa
Vì các thành phần điều hòa có tần số bằng bội n của tần số cơ bản (ω
n
= nω
o
)
nên trở kháng của các phần tử trong mạch sẽ phụ thuộc vào các tần số đó, và vì
vậy, chúng được phức hóa như sau: Z
nL
= jnω
o
L ; Z
nC
= - j
Cn
1
o
ω
Sau đây ta xét một vài ví dụ:
- Mạch R, L nối tiếp, trở kháng phức của mạch (ứng với hài thứ n):
6
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Z
n
= R + Z

nL
= R + jnω
o
L =
2
o
2
)Ln(R ω+
∠ϕ
n
Dòng điện trong mạch ứng với hài thứ n:
n
I

=
nn
2
o
2
n
n
n
)Ln(R
E
Z
E
ϕ−ψ∠
ω+
=



Trong đó: ψ
n
= Arg
n
E

; ϕ
n
= ArgZ
n
Thành phần một chiều: I
o
=
R
E
o
Dòng tức thời trong mạch: i(t) = I
o
+
∑
ψ+ω
∞
=1n
inom
)tncos(I
Trong đó: I
m
=
2

o
2
n
)Ln(R
E
ω+

;
nnin
ϕ−ψ=ψ
- Mạch R, C nối tiếp, trở kháng phức của mạch (ứng với hài thứ n):
Z
n
= R + Z
nC
= R - j
Cn
1
o
ω
=
n
2
o
2
)Cn(
1
R ϕ∠
ω
+

Dòng điện trong mạch ứng với hài thứ n:
n
I

=
nn
2
o
2
n
n
n
)Cn(
1
R
E
Z
E
ϕ−ψ∠
ω
+
=


Thành phần một chiều: I
o
= 0
Dòng tức thời trong mạch: i(t) =
∑
ψ+ω

∞
=1n
inom
)tncos(I
Trong đó: I
m
=
2
o
2
n
)Cn(
1
R
E
ω
+

;
nnin
ϕ−ψ=ψ
- Mạch R, L, C nối tiếp, trở kháng phức của mạch (ứng với hài thứ n):
Z
n
= R + Z
nL
+ Z
nC
= R + j(nω
o

L -
Cn
1
o
ω
) =
n
j
n
eZ
ϕ
Trong đó:
2
o
o
2
n
)
Cn
1
Ln(RZ
ω
−ω+=
;
R
Cn
1
Ln
ArctgArgZ
o

o
nn
ω
−ω
==ϕ
Dòng điện trong mạch ứng với hài thứ n:
n
I

=
nn
2
o
o
2
n
n
n
)
Cn
1
Ln(R
E
Z
E
ϕ−ψ∠
ω
−ω+
=



7
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Thành phần một chiều: I
o
= 0
Dòng tức thời trong mạch: i(t) =
∑
ψ+ω
∞
=1n
inom
)tncos(I
Trong đó: I
m
=
nnin
2
o
o
2
n
;
)
Cn
1
Ln(R
E
ϕ−ψ=ψ
ω

−ω+

7.2.3 Ví dụ về phân tích mạch trong miền tần số
Ví dụ 2. Xét mach RLC nối tiếp (hình 3) với nguồn tác động e(t) là dãy xung
vuông trên hình 4. Cho biết: R = 100 (Ω) ; L = 0,01 (H) ; C = 250 (nF).
Hãy xác đònh và vẽ phổ biên độ của nguồn tác động e(t) và đáp ứng của mạch
i(t).
Giải:
Tần số cơ bản của tín hiệu tuần hoàn: ω
o
=
3
10.628,0
2
T
2
−
π
=
π
= 10
4
(rad/s)
Tín hiệu e(t) la hàm chẵn, do đó khai triễn Fourier của nó chỉ gồm thành phần
một chiều và các thành phần chẵn cosin. Theo các công thức (1*) và (2*):
E
o
= a
o
=

)V(25)
8
T
(
T
200
dt.100
T
2
8/T
0
=
∫
=
E
n
= C
n
= a
n
=
)V(
4
n
sin
n
200
)
8
T

n(sin
Tn
400
dt.tncos100
T
4
o
8/T
0
o
o
π
π
=ω
∫
ω
=ω
Chuỗi Fourier lượng giác, theo (3*), của e(t):
)V(tncos
n
4
n
sin
8
1
(200)t(e
o
1n
ω
∑

π
π
+=
∞
=
Vì sin(
4
nπ
) = 0 khi n là bội của 4, do đó các hài thứ n là bội của 4 đều bằng 0.
Sau đây, ta áp dụng nguyên lý xếp chồng để tính các thành phần dòng điện
trong mạch.
Đối với thành phần một chiều của nguồn (n = 0), Z
o
=
∞
, do tụ điện hở mạch,
dòng một chiều I
o
= 0
8
R
L
C
e(t)
i(t)
Hình 3
T/8
T=0,628ms
100
e(t)(V)

t(s)
Hình 4
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Đối với các thành phần xoay chiều, ta áp dụng phương pháp biên độ phức để
tìm các hài dòng điện. Với mạch RLC nối tiếp, hài dòng điện thứ n được xác đònh
như sau:
inn
nn
nn
n
n
n
I
Z
E
Z
E
I ψ∠=
ϕ∠
ψ∠
==




Trong đó:
)
Cn
1
Ln(jRZ;

n
4
n
sin200
E
o
on
1n
n
ω
−ω+=
∑
π
π
=
∞
=

R
Cn
1
Ln
Arctg;)
Cn
1
Ln(RZ
o
o
n
2

o
o
2
n
ω
−ω
=ϕ
ω
−ω+=
Thay giá trò các thông số R, L, C vào, ta được:
2222
94
242
n
)4n(n
n
100
)
10.250.10.n
1
10.10.n(100Z −+=−+=
−
−
n
4n
Arctg
100
10.250.10.n
1
10.10.n

Arctg
2
94
24
n
−
=
−
=ϕ
−
−
Quá trình thời gian của dòng điện i(t):
∑
ϕ−ω
−+
π
π
=ϕ−ω
−+
∑
π
π
=
∞
=
∞
=
1n
no
222

no
222
1n
)A()tncos(
)4n(n
4
n
sin
2
)tncos(
)4n(n
n
100
n
4
n
sin200
)t(i

7.3 Tính công suất trong mạch có nguồn tác động tuần hoàn
Với các quá trình dòng và áp bất kỳ, công suất tức thời được đònh nghóa:
p(t) = u(t).i(t)
Khi dòng và áp trên hai cực là những quá trình tuần hoàn cùng chu kỳ, chúng
được biểu diễn bằng chuỗi Fourier:
9
0 1 2
3
4 5 6
7 8
9

1011
n
E

ω
0 1 2
3
4 5 6
7 8
910
11
n
I

ω
Phổ biên độ của nguồn e(t)
Phổ biên độ của dòng i(t)
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
∑
=
∑
=
∞
−∞=
ω
ψ
∞
−∞=
ω
n

tjn
j
nm
n
tjn
n
o
n
o
ee
2
U
eU)t(u

∑
=
∑
=
∞
−∞=
ω
ϕ−ψ
∞
−∞=
ω
n
tjn
)(j
nm
n

tjn
n
o
nn
o
ee
2
I
eI)t(i

Trong đó:
nn
I,U

là hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của u(t), i(t) ; U
nm
, I
nm
là biên độ của các hài điện áp và hài dòng điện (tương ứng với các hệ số C
n
trong
chuỗi Fourier lượng giác) ; ψ
n
và (ψ
n
- ϕ
n
) là các góc pha đầu tương ứng của điện áp
và dòng điện.
Theo đẳng thức Parseval (7*), công suất tác dụng được đònh nghóa bằng trò

trung bình tích của 2 hàm tuần hoàn cùng chu kỳ u(t), i(t), được xác đònh như sau:
∫
∑ ∑
===
∞
−∞=
∞
−∞=
ϕ−ψ−ψ
T
0
n n
)(j
nm
j
nm
*
nn
nnn
e
2
I
e
2
U
IUdt)t(i)t(u
T
1
P


Nếu tách riêng thành phần một chiều tương ứng với n = 0 và tách chuỗi cac
thành phần hài thành 2 chuỗi tương ứng với n < 0 và n >0, ta được:
∑ ∑
++=
−
−∞=
∞
=
ϕϕ
1
n 1n
j
nmnm
j
nmnm
oo
nn
e
4
IU
e
4
IU
IUP
∑ ∑
+=
+
+=
∞
=

∞
=
ϕ
ϕ−ϕ
1n 1n
cosnmnmoo
jj
nmnm
oo
n
nn
IU
2
1
IU)
2
ee
(
2
IU
IU
P = P
o
+ P
n
(W) (8*)
Như vậy, theo (8*), cơng suất tác dụng lên 2 cực có các đáp ứng tuần hồn,
bằng tổng cơng suất của thành phần một chiều và cơng suất của các hài thành phần.
Tương tự như với mạch xác lập điều hòa, với mạch xác lập tuần hồn, người ta
cũng đưa ra khái niệm về cơng suất tác dụng, cơng suất phản kháng, cơng suất

biểu kiến. Cơng suất tác dụng được xác định theo (8*) và là cơng suất tác dụng của 2
cực có chứa điện trở. Với 2 cực có chứa điện trở thì P > 0, còn với 2 cực thuần
điện kháng thì P = 0.
Cơng suất phản kháng của mạch có tác động tuần hồn được xác định bằng tổng
cơng suất phản kháng thành phần và được ký hiệu Q:
∑
ϕ=
∞
=1n
nnmnm
)VAR(sinIU
2
1
Q
Cơng suất biểu kiến cũng được xác định như đối với các q trình điều hòa và
được ký hiệu
S
:
S
= U
hd
I
hd
(VA)
Với một q trình điều hòa, P, Q và
S
làm nên một tam giác cơng suất:
P
2
+ Q

2
=
S
2
Tuy nhiên với một q trình tuần hồn thì đẳng thức này khơng hồn tồn đúng
nữa, vì tồn tại những hài của một trong các q trình dòng hay áp. Trong trường hợp
này: P
2
+ Q
2
=
S
2
– T
2
Đại lượng T, tính bằng VA, được gọi là cơng suất méo dạng.
10
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Ví dụ 3. Hãy tính công suất các loại và hệ số công suất của mạch RLC cho trong
ví dụ 2, giới hạn đến hài bậc 5.
Giải:
Với n ≤ 5, nguồn tác động bao gồm các thành phần:
e(t) = 25 + 45cosω
o
t + 32cos2ω
o
t + 15cos3ω
o
t – 9cos5ω
o

t (V)
Dòng trong mạch:
i(t) = 0,142cos(ω
o
t + 71
o
34
’
) + 0,318cos2ω
o
t + 0,077cos(3ω
o
t – 59
o
02’)
– 0,021cos(5ω
o
t – 76
o
36’)
Do thành phần một chiều I
o
= 0 nên P
o
= 0. Công suất tác dụng được xác định
theo công thức:
oo
5
1n
nnmnm

0cos)318,0(32'3471cos)142,0(45[
2
1
cosIE
2
1
P +=ϕ=
∑
=
)W(42,6]'3676cos)021,0(9'0259cos)077,0(15
oo
=++
Công suất phản kháng:
∑
=
+=ϕ=
5
1n
oo
nnmnm
0sin)318,0(32'3471sin)142,0(45[
2
1
sinIE
2
1
Q
)VAR(63,2]'3676sin)021,0(9'0259sin)077,0(15
oo
=++

Trị hiệu dụng của nguồn áp và của dòng điện tuần hoàn:
)V(98,479153245(
2
1
25E
22222
hd
=++++=
)A(253,0)021,0077,0318,0142,0(
2
1
I
2222
hd
=+++=
Công suất biểu kiến:
S
= E
hd
I
hd
= 47,98(0,253) = 12,14 (VA)
Hệ số công suất: cosϕ =
53,0
14,12
42,6
S
P
==
Công suất méo dạng:

)VA(96,963,242,614,12QPST
22222
2
=−−=−−=
BÀI TẬP CHƯƠNG 7
Bài 7.1: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn
f(t) có dạng như hình 1.
ĐS: f(t) = π -
∑
∞
=1n
ntsin
n
2
Bài 7.2: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn
f(t) có dạng như hình 2.
ĐS: f(t) =
∑
π
−
−π
+
∞
=1n
2
t
)1n2sin(
1n2
12
2

1
11
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Bài 7.3: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn
f(t) có dạng như hình 3.
ĐS: f(t) =
∑
π
π
−
∑
−
π−
π
−
∞
=
∞
= 1n1n
2
n
tnsin3
)1n2(
t)1n2cos(6
4
9
Bài 7.4: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn
f(t) có dạng như hình 4.
ĐS: f(t) =
]t)1n2sin(

1n2
2
t)1n2cos(
)1n2(
4
[
1n
2
−
−
+−
∑
π−
−
∞
=
Bài 7.5: Xem mạch điện hình 5. Biết: e(t) = 100 + 50sin500t + 25sin1500t (V).
Tìm dòng điện i(t) trong mạch và công suất tác dụng của nguồn.
ĐS: i(t) = 20 + 4,47sin(500t – 63,4
o
) + 0,822sin(1500t – 80,54
o
) (A) ; P = 2052 W
Bài 7.6: Điện áp: u(t) = 120 + 195sinωt – 60sin3ωt (V), f = 50 (Hz), được nối
vào mạch nối tiếp RLC, với R = 10 (Ω) ; L = 0,05 (H) ; C = 22,5 (µF). Hãy xác định
các quá trình dòng và áp trên tụ điện cùng giá trị hiệu dụng của chúng.
ĐS: i(t) = 1,54sin(ωt + 85,5
o
) – 6sin3ωt (A) ; u
C

(t) = 120 + 218sin(ωt – 4,5
o
) –
283sin(3ωt – 90
o
) (V) ; I
hd
= 4,38 (A) ; U
Chd
= 279,6 (V)
12
f(t)
-π
π
π
2π
-π
Hình 4
2π
f(t)
t(s)
0
2π
4π
6π
-2π
-4π-6π
Hình 1
f(t)
Hình 2

0
2
4-2
1
t(s)
t(s)
0
1
2
-1-2
3
f(t)
Hình 3
0,02H
5Ω
i(t)
e(t)
Hình 5
L
R
1
i(t)
e(t)
Hình 6
E
o
R
2
u(t)
j(t)

i
L
(t)
i
C
(t)
R
L
R
C
L
C
Hình 7
C
L
R
i
R
(t)i(t)
e(t)
Hình 8
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Bài 7.7: Xem mạch điện hình 6. Hãy xác định số chỉ của vôn kế đo trị hiệu
dụng và vôn kế đo trị trung bình điện áp u(t) trên điện trở R
1
. Cho biết: R
1
= 1 (KΩ) ; R
2
= 4 (KΩ) ; L = 8 (mH) ; E

o
= 5 (V) ; e(t) = 10cos(10
3
t + 90
o
) + 4cos(2.10
3
t) (V).
ĐS: U
o
= - 5 (V) ; U
hd
= 7,18 (V)
Bài 7.8: Xem mạch điện hình 7. Hãy xác định các dòng điện i
L
(t) ; i
C
(t), công
suất tác dụng và công suất phản kháng trên hai nhánh của mạch. Biết: j(t) = 4 + 2cosω
o
t
+ 0,4cos2ω
o
t (mA) ; R
L
= 4 (Ω) ; R
C
= 1 (Ω) ; ω
o
L = 1/ω

o
C = 500 (Ω)
ĐS: i
L
(t) = 4 + 200cos(ω
o
t – 90
o
) + 0,133cos(2ω
o
t – 180
o
) (mA) ;
i
C
(t) = 200cos(ω
o
t + 90
o
) + 0,53cos2ω
o
t (mA) ; P
L
= 0,8 (W) ; Q
L
= 10 (VAr) ;
P
C
= 0,02 W ; Q
C

= - 10 VAr
Bài 7.9: Trên hai cực có đặt điện áp: u(t) = 3 + 3
2
cos(ω
o
t + 30
o
) + 2
2
cos2ω
o
t (V). Qua ha cực có dòng điện: i(t) = 1 + 2
2
cos(ω
o
t - 30
o
) +
2
cos(2ω
o
t + 60
o
) (A). Hãy xác định giá trị hiệu dụng của áp và dòng, công suất tác
dụng, công suất phản kháng, công suất biểu kiến và công suất méo dạng của hai cực.
ĐS: U
hd
= 4,7 (V) ; I
hd
= 2,45 (A) ; P = 7 (W) ; Q = 3,47 (VAr) ; S = 11,5 (VA) ;

T = 8,44 (VA)
Bài 7.10: Xem mạch điện hình 8. Hãy xác định dòng điện i(t), công suất tác dụng
trên điện trở và trị hiệu dụng của dòng điện i
R
(t). Cho biết: R = 100 (Ω) ; L = 0,1 (H) ;
C = 5 (µF)
ĐS: i(t) = 12,65cos(10
3
t + 101,57
o
) + 10cos(2.10
3
t + 96,87
o
) (mA) ;
P
R
= 7,9 (mW) ; I
Rhd
= 8,9 (mA)
Bài 7.11: Xem mạch điện hình 9. Nguồn e(t) tác động lên mạch có dạng như
hình 10. Biết: R = 10 (Ω) ; L = 31,8 (mH) ; C = 318 (µF). Hãy xác định biểu thức của
tín hiệu u(t) và trị hiệu dụng của nó nếu ta chỉ xét đế hài bậc 7 của tín hiệu ngõ ra u(t).
ĐS: u(t) = 50 + 63,6sin(100πt – 90
o
) + 2,48sin(300πt – 159,4
o
) + 0,519sin(500πt
– 168,2
o

) + 0,186sin(700πt – 171,7
o
) (V) ; U
hd
= 67,3 (V)
13
e(t)
L
C
R
u(t)
Hình 9
e(t),V
Hình 2
0
10
20
100
t(ms
)
30
Hình 10
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 7.1: Với tín hiệu g(t) như hình 11, f(t) = π + g(t)
g(t) là hàm đối xứng lẻ → các hệ số a
o
= 0 ; a
n
= 0

Và: b
n
= 2(
)tdtnsin)t(g
T
2
2/T
0
o
∫
ω
, với: T = 2π ; ω
o
= 1 ;
g(t) = t - π (trong ½ chu kỳ)
Vậy: b
n
=
tdtnsin)t(
2
4
0
o
∫
ωπ−
π
π
=
∫
ω

ω−
−
ω
ω−π−
π
π
π
0
o
o
0
o
o
dt)
n
tncos
(]
n
)tncos)(t(
[
2
= -
n
2
→ g(t) =
ntsin)
n
2
(
1n

∑
−
∞
=
→ f(t) = π -
∑
∞
=1n
ntsin
n
2
Bài 7.2: Với tín hiệu g(t) như hình 12, f(t) =
2
1
+ g(t)
g(t) là hàm đối xứng lẻ → các hệ số a
o
= 0 ; a
n
= 0
Ta có: g(t) =





<<
<<−−
2t0
2

1
0t2
2
1
; T = 4 ; ω
o
=
2
π

Do đó: b
n
= 2(
)tdtnsin)t(g
T
2
2/T
0
o
∫
ω
= 2(
)tdt
2
nsin
2
1
4
2
2/4

0
∫
π

=
∫
π
2
0
tdt
2
nsin
2
1
= -
2
0
]
2
n
t
2
ncos
[
2
1
π
π
=
π− )1n2(

2

→ g(t) =
∑
π
−
−π
∞
=1n
t
2
)1n2sin(
1n2
12

→ f(t) =
2
1
+
∑
π
−
−π
∞
=1n
t
2
)1n2sin(
1n2
12

14
π
f(t)
t(s)
0
2π
4π 6π
-2π
-4π
Hình 11
-π
f(t)
Hình 12
0
2
4
-2
1/2
t(s)
-1/2
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Bài 7.3: Ta có:
f(t) =



<<
<<
2t13
1t0t3

; T = 2 ; ω
o
=
π
Các hệ số: a
o
=
∫
1
0
tdt3
T
1
+
∫
2
1
dt3
T
1
=
1
0
2
]
2
t
[3.
2
1

+
2
1
]t[3.
2
1
=
2
3
4
3
+
=
4
9
a
n
=
tdtncost3
T
2
1
0
o
∫
ω
+
∫
ω
2

1
o
tdtncos3
T
2
=
1
0
]
n
tnsin
t{[3.
2
2
π
π
-
∫
π
π
1
0
}dt
n
tnsin
+
2
1
]
n

tnsin
[3.
2
2
π
π
=
1
0
2
]
)n(
tncos
[3
π
π
=
)1n(cos
)n(
3
2
−π
π
= -
22
)1n2(
6
π−
b
n

=
∫
ω
1
0
o
tdtnsint3
T
2
+
∫
ω
2
1
o
tdtnsin3
T
2
=
1
0
)]
n
tncos
(t{[3.
2
2
π
π−
-

∫
π
π−
1
0
dt)
n
tncos
(
}+
2
1
]
n
tncos
[3.
2
2
π
π−
=
)ncos{(
n
3
π−
π
+[-
}]
)n(
tnsin

1
0
2
π
π
-
)ncosn2(cos
n
3
π−π
π
= -
πn
3
→ f(t) = a
o
+
∑
ω+ω
∞
=1n
onon
)tnsinbtncosa(
=
4
9
-
∑
π
π

−
∑
−
π−
π
∞
=
∞
= 1n1n
22
n
tnsin3
)1n2(
t)1n2cos(6
Bài 7.4: Ta có:
f(t) =
{
π<<ππ+−
π<<
2tt
t0t
; T = 2π ; ω
o
= 1
Các hệ số: a
o
=
∫
π
0

tdt
T
1
+
∫
π+−
π
π
2
dt)t(
T
1
=
π
π
0
2
]
2
t
[
2
1
+
π
π
π+−
π
2
2

]t
2
t
[
2
1
= 0
a
n
=
tdtncost
T
2
0
o
∫
ω
π
+
∫
ωπ+−
π
π
2
o
tdtncos)t(
T
2
=
π

π
0
]
n
ntsin
t{[
2
2
-
∫
π
0
}dt
n
ntsin
+
π
π
π+−
π
2
]
n
ntsin
)t{[(
2
2
-
}dt)1(
n

ntsin
2
∫
−
π
π
15
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
=
π
π
0
2
]
n
ntcos
[
1
-
π
π
π
2
2
]
n
ntcos
[
1
=

]
)1n2(
2
[
1
2
−
−
π
-
]
)1n2(
2
[
1
2
−
π
=
π−
−
2
)1n2(
4
b
n
=
∫
ω
π

0
o
tdtnsint
T
2
+
∫
ωπ+−
π
π
2
o
tdtnsin)t(
T
2
=
π
−
π
0
)]
n
ntcos
(t{[
2
2
-
∫
−
π

0
}dt)
n
ntcos
(

+
π
π
−
π+−
π
2
)]
n
ntcos
)(t{[(
2
2
-
∫
−
−
π
π
2
}dt)1)(
n
ntcos
(

=
)
n
ncos
{(
1 ππ−
π
+
π
0
2
]
n
ntsin
[
} +
n
{
1 π
π
- [
}]
n
ntsin
2
2
π
π
=
1n2

2
−
→ f(t) = a
o
+
∑
ω+ω
∞
=1n
onon
)tnsinbtncosa(
=
∑
−
−
+−
−
−
∞
−1n
2
t)1n2sin(
1n2
2
t)1n2cos(
)1n2(
4
Bài 7.5: Phức hóa sơ đồ mạch như hình 13,
trong đó: jnω
o

L = jn(500)(0,02) = j10n
Ta có: i(t) = i
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay ở dạng phức:
I

= I
o
+
∑
∞
=1n
n
I

, với I
o
là thành phần D.C.;
n
I

là các thành phần hài bậc n, ở đây, theo biểu thức e(t) đã cho, ta chỉ xét 2 bậc n = 1 và n
=3. Do đó : i(t) = I
o

+
1
I

+
3
I

Ta có: I
o
=
R
E
o
=
5
100
= 20 (A) hay i
o
(t) = 20 (A) ;
n
I

=
n10jR
E
n
+

→

1
I

=
10jR
E
1
+

=
10j5
50
+
= 4,47∠- 63,43
o
(A) hay i
1
(t) = 4,47sin(500t – 63,43
o
) (A)
→
3
I

=
3.10jR
E
3
+


=
30j5
25
+
=0,822∠- 80,54
o
(A) hay i
3
(t)=0,822sin(1500t – 80,54
o
) (A)
Tóm lại: i(t) = 20 + 4,47sin(500t – 63,43
o
) + 0,822sin(1500t – 80,54
o
) (A)
Công suất ác dụng nguồn phát ra:
P = E
o
I
o
+
∑
ψ−ψ
∞
=1n
inennmnm
)cos(IE
2
1

16
j10n
5Ω
n
I

n
E

Hình 13
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
= 100(20) +
)cos(IE
2
1
)cos(IE
2
1
3i3em3m31i1em1m1
ψ−ψ+ψ−ψ
= 2000 +
2
1
{50.4,47cos[0
o
- (- 63,43
o
)] + 25.0,822cos[0
o

– (- 80,54
o
)]} = 2052 (W)
Tính P theo cách khác: P = R.I
hd
2
, với I
hd
=
∑
+
∞
=1n
2
n
2
o
I
2
1
I
→ I
hd
2
= 20
2
+
)822,047,4(
2
1

22
+
= 410,33 → P = 5(410,33) = 2052 (W)
Bài 7.6: ω = 2πf = 2π(50) = 100π (rad/s)
i
C
(t) = i(t) = i
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay
∑
+=
∞
=1n
no
III

Ta có: I
o
= 0 vì với thành phần D.C. (n=0), Z
C
= ∞ (tụ điện hở mạch)

n
n

n
Z
U
I


=
, với Z
n
= R + j(nω
o
L -
Cn
1
o
ω
) = 10 + j[nω(0,05) -
)10.5,22(n
1
6−
ω
]
→ Z
1
= 10 + j[100π(0,05) -
)5,22(100
10
6
π
] = 10 – j125,7631 = 126,16∠- 85,45

o
(Ω)
→
1
I

=
1
1
Z
U

=
o
45,8516,126
195
−∠
= 1,54∠85,5
o
hay i
1
(t) = 1,54sin(ωt + 84,5
o
) (A)
→ Z
3
= 10 + j[3.100π(0,05) -
)5,22(100.3
10
6

π
] = 10 (Ω)
→
3
I

=
3
3
Z
U

=
10
18060
o
∠
= 6∠180
o
hay i
3
(t) = 6sin(ωt + 180
o
) = - 6sinωt (A)
Tóm lại: i
C
(t) = i(t) = 0 + 1,54sin(ωt + 84,5
o
) - 6sinωt (A)
Ta có: u

C
(t) = u
Co
(t) +
∑
∞
=1n
Cn
)t(u
hay
∑
+=
∞
=1n
CnCoC
UUU

Thành phần D.C. của điện áp trên tụ điện: U
Co
= U
o
= 120 (V)
Các thành phần hài của điện áp trên tụ:
CnnCn
Z.IU

=
, vói Z
Cn
= - j

Cn
1
o
ω
→ Z
C1
= - j
)10.5,22(
1
6−
ω
= - j
)5,22(100
10
6
π
= - j141,47 = 141,47∠- 90
o
(Ω)
→
1C11C
ZIU

=
= (1,54∠85,5
o
)(141,47∠- 90
o
) = 218∠- 4,5
o

(V)
hay u
C1
(t) = 218sin(ωt – 4,5
o
) (V)
17
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
→ Z
C3
= - j
)10.5,22(3
1
6−
ω
= - j
)5,22(100.3
10
6
π
= - j47,16 = 47,16∠- 90
o
(Ω)
→
3C33C
ZIU

=
= (6∠180
o

)(47,16∠- 90
o
) = 283∠90
o
(V)
hay u
C3
(t) = 283sin(3ωt + 90
o
) = - 283sin(3ωt - 90
o
) (V)
Tóm lại: u
C
(t) = 120 + 218sin(ωt – 4,5
o
) - 283sin(3ωt - 90
o
)
Ta có: I
hd
=
∑
+
∞
=1n
2
n
2
o

I
2
1
I
=
)654,1(
2
1
22
+
= 4,38 (A)
U
Chd
=
∑
+
∞
=1n
2
Cn
2
Co
U
2
1
U
=
)283218(
2
1

120
222
++
= 279,6 (V)
Bài 7.7: Phương pháp xếp chồng
• Nối tắt nguồn D.C E
o
chỉ để nguồn e(t) tác động (hình 14):
'I

= I’
o
+
∑
∞
=1n
n
'I

Ta có: I’
o
=
o
Z
0
= 0 → I’
R1o
= I’
o
21

2
RR
R
+
= 0
Và:
n
'I

=
n
n
Z
E

, với Z
n
=jnω
o
L+
21
21
RR
R.R
+
= jn10
5
(8.10
-3
) +

33
33
10.410
)10.4(10
+
= 800 + j800n
→ Z
1
= 800 + j800 = 800
2
∠45
o
(Ω)
→
1
'I

=
1
1
Z
E

=
o
o
452800
9010
∠
∠

= 8,839∠45
o
(mA)
→
11R
'I

=
1
I

21
2
RR
R
+
= (8,839∠45
o
)(
33
3
10.410
10.4
+
) = 7,071∠45
o
(mA)
→ Z
2
= 800 + j2.800 = 1788,85∠63,43

o
(Ω)
→
2
'I

=
2
2
Z
E

=
o
o
43,6385,1788
04
∠
∠
= 2,236∠- 63,43
o
(mA)
→
12R
'I

=
2
I


21
2
RR
R
+
= (2,236∠- 63,43
o
)(
33
3
10.410
10.4
+
) = 1,789∠- 63,43
o
(mA)
18
R
1
''I

Hình 15
E
o
R
2
''U

1R
''I


R
1
'I

n
E

Hình 14
R
2
'U

1R
'I

jnω
o
L
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
• Nối tắt nguồn e(t) chỉ để nguồn D.C. E
o
tác động (hình 15):
''I

= I’’
o
(không có
các thành phần hài).
Ta có: I’’

o
= I’’
R10
=
1
o
R
E
=
3
10
5
= 5 (mA)
• Xếp chồng: I
R1o
= I’
R1o
+ I’’
R1o
= 0 + (- 5) = - 5 (mA)
11R
I

=
11R
'I

+
11R
''I


= 7,071∠45
o
+ 0 = 7,071∠45
o
(mA)
12R
I

=
12R
'I

+
12R
''I

= 1,789∠- 63,43
o
+ 0 = 1,789∠- 63,43
o
(mA)
Điện áp trên R
1
:
U

=
'U


+
''U

=
1R1
'I.R

+
1R1
''I.R


=
)'I'I'I(R
12R11Ro1R1

++
+
)''I''I''I(R
12R11Ro1R1

++
= 10
3
(0 + 7,071.10
-3
∠45
o
+ 1,789.10
-3

∠- 63,43
o
) + 10
3
(- 5 + 0 + 0)

(V)
hay u(t) = - 5 + 7,071cos(10
5
t + 45
o
) + 1,789cos(2.10
5
t – 63,43
o
) (V)
Suy ra trị trung bình điện áp trên R
1
: U
o
= - 5 (V)
Và trị hiệu dụng điện áp trên R
1
: U
hd
=
∑
+
∞
=1n

2
n1R
2
o1R
U
2
1
U
=
)789,1071,7(
2
1
5
222
++
= 7,18 (V)
Bài 7.8: Dòng qua cuộn dây i
L
(t) = i
Lo
(t) +
∑
∞
=1n
Ln
)t(i
hay
L
I


= I
Lo
+
∑
∞
=1n
Ln
I

Ta có: I
Lo
= Jo = 4 (mA) → i
Lo
(t) = 4 (mA)
Và:
Ln
I

=
n
J

(
Cn
1
jRLjnR
Cn
1
jR
o

CoL
o
C
ω
−+ω+
ω
−

→
1L
I

=
1
J

(
500j1500j4
500j1
−++
−
) = 2(0,2 – j100) = 200∠- 90
o
(A)
hay i
L1
(t) = 200cos(ω
o
t – 90
o

) (mA)
→
2L
I

=
2
J

(
2
500
j1500.2j4
2
500
j1
−++
−
) = 0,4(
750j5
250j1
+
−
) = - 0,133 – j0,0014
= 0,133∠- 180
o
(mA) hay i
L2
(t) = 0,133cos(2ω
o

t – 180
o
) (mA)
Tóm lại: i
L
(t) = 4 + 200cos(ω
o
t – 90
o
) + 0,133cos(2ω
o
t – 180
o
) (mA)
Dòng qua tụ điện i
C
(t) = i
Co
(t) +
∑
∞
=1n
Cn
)t(i
hay
C
I

= I
Co

+
∑
∞
=1n
Cn
I

Ta có: I
Co
= 0 → i
Co
(t) = 0, và:
Cn
I

=
n
J

-
Ln
I

19
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
→
1C
I

=

1
J

-
1L
I

= 2 + j200 = 200∠90
o
(mA) hay i
C1
(t) = 200cos((ω
o
t + 90
o
) (mA)
→
2C
I

=
2
J

-
2L
I

= 0,4 + 0,133 + j0,0014 = 0,53∠0
o

(mA)
hay i
C2
(t) = 0,53cos2ω
o
t (mA)
Tóm lại: i
C
(t) = 200cos(ω
o
t + 90
o
) + 0,53cos2ω
o
t (mA)
Công suất tác dụng trên nhánh điện cảm: P
L
= R
L
I
Lhd
2
Với:I
Lhd
2
=I
Lo
2
+
)II(

2
1
2
2L
2
1L
+
=10
-6
(4
2
+
2
1
(200
2
+0,133
2
)=0,02 → P
L
=4(0,02)=0,08 (W)
Công suất phản kháng trên nhánh điện cảm:
Q
L
=
2
1
∑
ψ−ψ
∞

=1n
iLnuLnLnmLnm
)sin(IU
, với U
Lmn
cho bởi:
Ln
U

=
Ln
I

(jnω
o
L)
→
1L
U

=
1L
I

(j500) = (200.10
-3
∠- 90
o
)(500∠90
o

) = 100 (V)
→
2L
U

=
2L
I

(j2.500) = (0,133.10
-3
∠- 180
o
)(1000∠90
o
) = 0,133∠- 90
o
(V)
Vậy: Q
L
=
2
1
{U
L1m
I
L1m
sin[0
o
– (- 90

o
)] + U
L2m
I
L2m
sin[- 90
o
– (- 180
o
)]}
=
2
1
(100.200.10
-3
sin90
o
+ 0,133.0,133.10
-3
sin90
o
) = 10 (VAr)
Công suất tác dụng trên nhánh điện dung: P
C
= R
C
I
Chd
2
Với: I

Chd
2
=I
Co
2
+
)II(
2
1
2
2C
2
1C
+
=10
-6

2
1
(200
2
+ 0,53
2
)= 0,02 → P
L
= 1(0,02)= 0,02 (W)
Công suất phản kháng trên nhánh điện dung:
Q
C
=

2
1
∑
ψ−ψ
∞
=1n
iCnuCnCnmCnm
)sin(IU
,với U
Cnm
cho bởi:
Cn
U

=
Cn
I

(-j
Cn
1
o
ω
)
→
1C
U

=
1C

I

(- j500) = (200.10
-3
∠90
o
)(500∠- 90
o
) = 100 (V)
→
2C
U

=
2C
I

(- j
2
500
) = (0,53.10
-3
∠0
o
)(250∠- 90
o
) = 0,133∠- 90
o
(V)
Vậy: Q

C
=
2
1
[U
C1m
I
C1m
sin(0
o
– 90
o
) + U
C2m
I
C2m
sin(- 90
o
– 0
o
)]
=
2
1
(100.200.10
-3
sin(- 90
o
) + 0,133.0,53.10
-3

sin(- 90
o
) = - 10 (VAr)
Bài 7.9: U
hd
=
∑
+
∞
=1n
2
n
2
o
U
2
1
U
=
222
)22()23[(
2
1
3 ++
= 4,7 (V)
I
hd
=
∑
+

∞
=1n
2
n
2
o
I
2
1
I
=
222
)2()22[(
2
1
1 ++
= 2,45 (A)
20
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
P = U
o
I
o
+
∑
ψ−ψ
∞
=1n
inunnmnm
)cos(IU

2
1

= 3.1 +
2
1
{3
2
.2
2
cos[30
o
– (- 30
o
)] + 2
2
.
2
cos(0
o
– 60
o
)} = 7 (W)
Q =
2
1
∑
ψ−ψ
∞
=1n

inunnmnm
)sin(IU

=
2
1
{3
2
.2
2
sin[30
o
– (- 30
o
)] + 2
2
.
2
sin(0
o
– 60
o
)} = 3,47 (VAr)
S = U
hd
I
hd
= 4,7(2,45) = 11,5 (VA)
T =
222

QPS −−
=
222
47,375,11 −−
= 8,44 (VA)
Bài 7.10: i(t) = i
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay
I

= I
o
+
∑
∞
=1n
n
I

Ta có: I
o
= 0 → i
o
(t) = 0, và

n
I

=
n
n
Z
E

, với Z
n
= - j
Cn
1
o
ω
+
LjnR
R)Ljn(
o
o
ω+
ω
= - j
)10.5(10n
1
63 −
+
1,0.10jn100
100)1,0.10jn(

3
3
+
= - j
n
200
+
jn1
n100j
+
→ Z
1
= - j200 +
j1
100j
+
= 50 – j150 = 158,114∠- 71,57
o
(Ω)
→
1
I

=
1
1
Z
E

=

o
o
57,71114,158
302
−∠
∠
= 12,65∠101,57
o
(mA)
hay i
1
(t) = 12,65cos(10
3
t + 101,57
o
) (mA)
→ Z
2
= - j
2
200
+
2j1
100.2j
+
= 80 – j60 = 100∠- 36,87
o
(Ω)
→
2

I

=
2
2
Z
E

=
o
o
87,36100
601
−∠
∠
= 10∠96,87
o
(mA)
hay i
2
(t) = 10cos(2.10
3
t + 96,87
o
) (mA)
Tóm lai: i(t) = 12,65cos(10
3
t + 101,57
o
) + 10cos(2.10

3
t + 96,87
o
) (mA)
Dòng qua R: i
R
(t) = i
Ro
(t) +
∑
∞
=1n
Rn
)t(i
hay
R
I

= I
Ro
+
∑
∞
=1n
Rn
I

21
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Ta có: I

Ro
= I
o
= 0 → i
Ro
(t) = 0, và
Rn
I

=
n
I

LjnR
Ljn
o
o
ω+
ω

→
1R
I

=
1
I

)1,0(10j100
)1,0(10j

3
3
+
= (12,65∠101,57
o
)(
100j100
100j
+
) = 8,9∠146,57
o
(mA)
hay i
R1
(t) = 8,9cos(10
3
t + 146,57
o
) (mA)
→
2R
I

=
2
I

)1,0(10.2j100
)1,0(10.2j
3

3
+
= (10∠96,87
o
)(
200j100
200j
+
) = 8,9∠123,14
o
(mA)
hay i
R2
(t) = 8,9cos(2.10
3
t + 123,14
o
) (mA)
Tóm lại: i
R
(t) = 8,9cos(10
3
t + 146,57
o
) + 8,9cos(2.10
3
t + 123,14
o
) (mA)
→ I

Rhd
=
∑
+
∞
=1n
2
Rn
2
Ro
I
2
1
I
=
)9,89,8(
2
1
22
+
= 8,9 (mA)
Và: P
R
= R.I
Rhd
2
= 100(8,9.10
-3
)
2

= 7,9 (mW)
Bài 7.11:

Với tín hiệu g(t) như hình 16, e(t) = 50 + g(t)
g(t) là hàm đối xứng lẻ → các hệ số a
o
= 0 ; a
n
= 0
Ta có: g(t) =



<<−
<<
)ms(20t10)V(50
)ms(10t0)V(50
; T=2.10
-2
(s) ; ω
o
=
2
10.2
2
−
π
=100π (rad/s)
Do đó: b
n

= 2(
)tdtnsin)t(g
T
2
2/T
0
o
∫
ω
= 2(
)tdt100nsin50
10.2
2
2
10
0
2
∫
π
−
−

=
∫
π
−2
10
0
4
tdt100nsin10

= -
2
10
0
4
]
100n
t100ncos
[10
−
π
π
=
π− )1n2(
200

→ g(t) =
∑
π−
−π
∞
=1n
t100)1n2sin(
1n2
1200

→ e(t) = 50 +
∑
π−
−π

∞
=1n
t100)1n2sin(
1n2
1200
= 50 +
π
200
sin100πt +
π3
200
sin300πt +
π5
200
sin500πt +
π7
200
sin700πt (V)
22
g(t),V
Hình 16
0
10
20
50
t(ms)
-50
30
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Dòng trong mạch chính: i(t) = i

o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay
I

= I
o
+
∑
∞
=1n
n
I

Ta có: I
o
=
R
E
o
=
10
50
= 5 (A) → i
o

(t) = 5 (A), và
n
I

=
n
n
Z
E

, với:
Z
n
= jnω
o
L +
Cn
1
jR
R)
Cn
1
j(
o
o
ω
−
ω
−
= jn100π(31,8.10

-3
) +
6
6
10.318.100n
1
j10
10)
10.318.100n
1
j(
−
−
π
−
π
−
= j10n +
n
10
j10
n
100
j
−
−
→ Z
1
= j10 +
10j10

100j
−
−
= 5 + j5 = 5
2
∠45
o
(Ω)
→
1
I

=
1
1
Z
E

=
o
4525
200
∠
π
= 9∠- 45
o
(A) hay i
1
(t) = 9sin(100πt – 45
o

) (A)
→ Z
3
= j3.10 +
3
10
j10
3
100
j
−
−
= 1 + j27 = 27,02∠87,88
o
(Ω)
→
3
I

=
3
3
Z
E

=
o
88,8702,27
3
200

∠
π
=0,785∠-87,88
o
(A) hay i
3
(t)=0,785sin(100πt–87,88
o
) (A)
→ Z
5
= j5.10 +
5
10
j10
5
100
j
−
−
= 0,385 + j48,077 = 48,079∠89,54
o
(Ω)
→
5
I

=
5
5

Z
E

=
o
54,89079,48
5
200
∠
π
=0,265∠-89,54
o
(A)hay i
5
(t)=0,265sin(100πt–89,54
o
) (A)
→ Z
7
= j7.10 +
7
10
j10
7
100
j
−
−
= 0,2 + j68,6 = 68,6∠89,83
o

(Ω)
23
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
→
7
I

=
7
7
Z
E

=
o
83,896,68
7
200
∠
π
=0,132∠-89,83
o
(A)hay i
7
(t)=0,132sin(100πt–89,83
o
) (A)
Tóm lại: i(t) = 5 + 9sin(100πt – 45
o
) + 0,785sin(100πt–87,88

o
) + 0,265sin(100πt–
89,54
o
) + 0,132sin(100πt–89,83
o
) (A)
Dòng qua R: i
R
(t) = i
Ro
(t) +
∑
∞
=1n
Rn
)t(i
hay
R
I

= I
Ro
+
∑
∞
=1n
Rn
I


Ta có: I
Ro
= I
o
= 5 (A) → i
Ro
(t) = 5 (A), và
Rn
I

=
n
I

Cn
1
jR
Cn
1
j
o
o
ω
−
ω
−
→
1R
I


=
1
I

6
6
10.318.100
1
j10
10.318.100
1
j
−
−
π
−
π
−
= (9∠- 45
o
)(
10j10
10j
−
−
) = 6,36∠- 90
o
(A)
hay i
R1

(t) = 6,36sin(100πt – 90
o
) (A)
→
3R
I

=
3
I

6
6
10.318.100.3
1
j10
10.318.100.3
1
j
−
−
π
−
π
−
= (0,785∠- 87,88
o
)(0,316∠- 71,57
o
)

= 0,248∠- 159,4
o
(A) hay i
R3
(t) = 0,248sin(300πt – 159,4
o
) (A)
→
5R
I

=
5
I

6
6
10.318.100.5
1
j10
10.318.100.5
1
j
−
−
π
−
π
−
= (0,265∠- 89,54

o
)(0,196∠- 78,68
o
)
= 0,0519∠- 168,2
o
(A) hay i
R5
(t) = 0,0519sin(500πt – 168,2
o
) (A)
→
7R
I

=
7
I

6
6
10.318.100.7
1
j10
10.318.100.7
1
j
−
−
π

−
π
−
= (0,132∠– 89,83
o
))(0,141∠- 81,87
o
)
= 0,0186∠- 171,7
o
(A) hay i
R7
(t) = 0,0186sin(700πt – 171,7
o
) (A)
Điện áp trên R: u(t) = u
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(u
hay
U

= U
o
+
∑

∞
=1n
n
U

Ta có: U
o
= RI
Ro
= 10(5) = 50 (V) → u
o
(t) = 50 (V), và
n
U

= R.
Rn
I

→
1
U

= R.
1R
I

= 10(6,36∠- 90
o
) = 63,6∠- 90

o
(V) hay u
1
(t) = 63,6sin(100πt – 90
o
) (V)
24
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
→
3
U

= R.
3R
I

= 10(0,248∠- 159,4
o
) = 2,48∠- 159,4
o
(V)
hay u
3
(t) = 2,48sin(300πt – 159,4
o
) (V)
→
5
U


= R.
5R
I

= 10(0,0519∠- 168,2
o
) = 0,519∠- 168,2
o
(V)
hay u
5
(t) = 0,519sin(500πt – 168,2
o
) (V)
→
7
U

= R.
7R
I

= 10(0,0186∠- 171,7
o
) = 0,186∠- 171,7
o
(V)
hay u
7
(t) = 0,186sin(700πt – 171,7

o
) (V)
Tóm lại: u(t) = 50 + 63,6sin(100πt – 90
o
) + 2,48sin(300πt – 159,4
o
) +
0,519sin(500πt – 168,2
o
) + 0,186sin(700πt – 171,7
o
) (V)
Trị hiệu dụng điện áp trên R: U
hd
=
∑
+
∞
=1n
2
n
2
o
U
2
1
U

=
)186,0519,048,26,63(

2
1
50
22222
++++
= 67,3 (V)
25
James WATT
1736 - 1819