tổng hợp tất cả các dạng và bài tập hình học phẳng ôn thi đại học

Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 1 -
BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC PHẲNG
BT1. Cho đường thẳng d không cắt đường tròn (C) tâm I và bán kính R.
a) Tìm điểm
(
)
M C
∈ sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng d là nh
ỏ
nh
ấ
t
b)

Tìm
đ
i
ể
m
(

)
N C
∈ sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
N
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng d là l
ớ
n nh
ấ
t
c)

Tìm
đ
i
ể
m
E d
∈
sao cho kho
ả
ng cách EI là nh
ỏ

nh
ấ
t.
d)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
sao cho
∆
vuông góc v
ớ
i d và
∆
c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B sao

cho AB l
ớ
n nh
ấ
t.
e)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
sao cho
∆
song song v
ớ
i d và
∆
c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i

ể
m A, B sao
cho AB l
ớ
n nh
ấ
t.
f)

G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đ
i
ể
m I lên
đườ
ng th
ẳ
ng d. T
ọ
a
độ

đ
i

ể
m H?
g)

G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c d. Hai ti
ế
p tuy
ế
n qua M ti
ế
p xúc v
ớ
i (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B. Tìm t
ọ
a
độ

c
ủ
a M
để
t
ứ
giác MAIB là hình vuông.
h)

G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c d. Hai ti
ế
p tuy
ế
n qua M ti
ế
p xúc v
ớ
i (C) t
ạ
i hai
đ
i

ể
m A, B. Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a M
để
tam giác ABM là tam giác
đề
u.
i)

G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c d. Hai ti
ế
p tuy
ế
n qua M ti
ế
p xúc v
ớ

i (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B. Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a M
để
t
ứ
giác MAIB có di
ệ
n tích b
ằ
ng …
j)

G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu

ộ
c d. Hai ti
ế
p tuy
ế
n qua M ti
ế
p xúc v
ớ
i (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B. Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a M
để
t
ứ
giác MAIB có chu vi b
ằ
ng …
BT2.
Trong m

ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 0
x y
∆ + + =
và
đườ
ng tròn
(
)
2 2
C : 4 2 0
x y x y
+ − − =
. Gọi
I
là tâm của
(

)
C
, M là đ
i
ể
m thu
ộ
c
∆
. Qua M k
ẻ
các ti
ế
p tuy
ế
n MA và
MB
đế
n
(
)
C
(A và B là các ti
ế
p
đ
i
ể
m).
a)

Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m M
để
t
ứ
giác MAIB có di
ệ
n tích b
ằ
ng 10.
b)

Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ

i
ể
m M
để
tam giác MAB là tam giác
đề
u.
c)

Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m M
để
tam giác MAB là tam giác vuông.
d)

Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ

a
đ
i
ể
m M
để
t
ứ
giác MAIB có chu vi b
ằ
ng
6 5
.
e)
Tìm tọa độ của điểm M để tam giác IAB là tam giác đều.
f) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác IAB là tam giác vuông.
g) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác IAB có diện tích lớn nhất.
BT3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
(
)
2 2
C : 2 6 6 0
x y x y
+ − − + =
và điểm
(
)
M 3;1

−
.
Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến
(
)
C
(A và B là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng
AB.
BT4. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
(
)
2 2
C : 2 6 6 0
x y x y
+ − − + =
có tâm là I và điểm
(
)
M 3;1
−
. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với IM và cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao
cho
AB 2 3
=
.
? Nêu PP viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng (đường tròn ngoại tiếp tam
giác)
BT5. Trong mặt phẳng

Oxy
, cho đường hai đường thẳng
1
: 2 0
d x y
+ − =
và
2
: 8 0
d x y
+ − =
, điểm
(
)
M 2;2
. Tìm tọa độ điểm
1
A
d
∈
và
2
B
d
∈
sao cho tam giác
MAB
vuông cân tại M.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com

Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 2 -
BT6. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường
thẳng AB là điểm
(
)
H 1; 1
− −
, đườ
ng phân giác trong c
ủ
a góc A có ph
ươ
ng trình
2 0
x y
− + =
và
đườ
ng
cao k
ẻ
t
ừ
B có ph
ươ
ng trình
4 3 1 0

x y
+ − =
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác A, B, C.
BT7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho
đườ
ng tròn
(
)
2 2
C : 4 4 6 0
x y x y

+ + + + =
có tâm là I và đường
thẳng
: 2 3 0
x my m
∆ + − + =
. Tìm
m
để đường thẳng
∆
cắt
(
)
C
tạ
i hai
đ
i
ể
m A và B sao cho di
ệ
n tích
tam giác IAB l
ớ
n nh
ấ
t.
BT8.
Trong m
ặ

t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có
đ
i
ể
m
(
)
I 6;2
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng chéo AC và BD.
Đ

i
ể
m
(
)
M 1;5
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB và trung
đ
i
ể
m E c
ủ
a c
ạ
nh CD thu
ộ
c
đườ
ng
th
ẳ
ng
: 5 0
x y

∆ + − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
BT9.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho
đườ
ng tròn
( )
2 2
16
C : 4 0
5
x y x

+ − + =
và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
: 0
x y
∆ − =
,
2
: 7 0
x y
∆ − =
. Đường tròn
(
)
1
C
tiếp xúc với hai đường thẳng
1 2
,
∆ ∆
và có tâm thuộc
đường tròn
(
)
C
. Viết phương trình đường tròn

(
)
1
C
.
BT10. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC cân tại A biết
(
)
A 1;4
−
và hai đỉnh còn lại thuộc
đường thẳng
: 4 0
x y
∆ − − =
, diện tích tam giác ABC bằng 18. Tìm độ các đỉnh B và C.
BT11. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC có
(
)
M 2;0
là trung điểm của cạnh AB. Đường
trung tuyến qua đỉnh A có phương trình
7 2 3 0
x y
− − =
và đường cao qua đỉnh A có phương trình là

6 4 0
x y
− − =
. Viết phương trình đường thẳng AC.
BT12. Trong mặt phẳng tọa độ
O
xy
, cho đường tròn
(
)
2 2
C : 2 0
x y x
+ − =
có tâm là I. Tìm tọa độ điểm
M thuộc
(
)
C
sao cho

0
IMO 30
=
(O là gốc tọa độ)
BT13. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng BC có phương trình
là
3. 3 0

x y
− − =
, đỉnh A và B thuộc trục hoành, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2.
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BT14. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
1
I ;0
2
 
 
 
là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD, phương trình đường thẳng
AB: 2 2 0
x y
− + =
và
AB 2AD
=
. Tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
BT15. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
(
)
A 2;0
và

(
)
B 6;4
. Viết phương trình đường tròn
(
)
C
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của
(
)
C
đến điểm B bằng 5.
BT16. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1
: 0
d x y
− =
và
2
: 2 1 0
d x y
+ − =
. Tìm tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc
1
d
, đỉnh C thuộc
2

d
và các đỉnh B, D thuộc trục
hoành.
BT17. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
(
)
C 2;0
và elip
( )
2 2
E : 1
4 1
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm A,
B thuộc
(
)
E
, biết rằng hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành, tam giác ABC đều.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 3 -
BT18. Giải hệ phương trình
(
)
(

)
(
)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 6 0
2 2 6
a b a b
a a b b
 − − + + =


− + = − + +



BT19.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

O
xy
, cho

đườ
ng tròn
(
)
2 2
C : 2 4 4 0
x y x y
+ − + − =
và
:3 4 0
d x y m
− + =
. Tìm
m
để trên
d
có duy nhất điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB
tới
(
)
C
(A, B là các tiế
p
đ
i
ể
m) sao cho tam giác ABC
đề
u.
BT20.

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho tam giác ABC có tr
ọ
ng tâm
4
G ;1
3
 
 
 
và
(
)
M 1;1
là trung
đ
i
ể
m
c
ủ

a c
ạ
nh BC,
đườ
ng cao
BH : 7 0
x y
+ − =
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh A, B, C.
BT21.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho tam giác ABC có
đườ
ng cao
AH: 6 0

x y
+ − =
và G là tr
ọ
ng
tâm c
ủ
a tam giác bi
ế
t r
ằ
ng
: 2 1 0
BG x y
− + =
và
: 1 0
CG x
− =
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh A, B, C.
BT22.
Trong m
ặ
t ph

ẳ
ng t
ọ
a
độ

O
xy
, cho
đườ
ng tròn
(
)
2 2
C : 2 4 2 0
x y x y
+ − + + =
. Đường tròn
(
)
C'
có
tâm
(
)
I' 5;1
cắt đường tròn
(
)
C

tại hai điểm M, N sao cho
MN 5
= . Viết phương trình đường tròn
(
)
C'
.
BT23. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết rằng các đỉnh B và C
thuộc đường thẳng
: 7 31 0
d x y
+ − =
, điểm
5
N 1;
2
 
 
 
thuộc đường thẳng AC, điểm
(
)
M 2; 3
−
thuộc
đường thẳng AB. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

BT1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d) : 2x – y – 5 = 0 và
đường tròn (C’):
2 2
20 50 0
x y x
+ − + =
. Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).

BT2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm
của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
BT3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
x y
2 2
1
25 16
+ =
. A, B là các điểm trên (E) sao cho:
1
AF BF
2
8
+ =
, với
F F
1 2
;
là các tiêu điểm. Tính

AF BF
2 1
+
.
BT4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua
A
(2; 1)
−
và tiếp xúc với các trục
toạ độ.
BT5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ
điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0.
BT6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) và phương trình các cạnh
AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0;
0
2
y
5
x
2
=
−
+
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
BT7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
1
2

; 0) . Đường thẳng chứa cạnh
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 4 -
AB có phương trình x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A có hoành độ âm .
BT8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt
thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
BT9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai
điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.
BT10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục
tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
BT11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
1 2 9
x y( ) ( )
− + + =
và đường
thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
BT12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
;

trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC.
BT13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình d
1
:
1 0
+ + =
x y
.
Phương trình đường cao vẽ từ B là d
2
:
2 2 0
− − =
x y
. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình
các cạnh bên của tam giác ABC.
BT14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E):
2 2
5 5
+ =
x y
, Parabol
2
( ): 10
=
P x y
. Hãy viết phương
trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
( ): 3 6 0
∆

+ − =
x y
, đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến
chung của Elip (E) với Parabol (P).

BT15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y –2 = 0,
cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C.
BT16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
ABC
∆
có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1). Biết AB = 2AM,
phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh của
ABC
∆
.
BT17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng (d
1
):
7 17 0
− + =
x y
, (d
2
):
5 0
+ − =
x y
. Viết

phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d
1
), (d
2
) một tam giác cân tại giao điểm của (d
1
), (d
2
).
BT18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt
hai đường thẳng (d
1
): x + y + 1 = 0, (d
2
): x – 2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.
BT19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các
tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất.
BT20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng
( ):3 5 0
∆
− − =
x y
sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
BT21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
:
3 4 5 0
x y
+ + =

;
∆
2
:
4 3 5 0
x y
– –
=
. Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn có tâm n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d: x – 6y – 10 = 0 và ti
ế
p xúc v
ớ
i ∆
1
, ∆
2
.

BT22.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho các
đ
i
ể
m M
1
(155; 48), M
2
(159; 50), M
3
(163; 54), M
4
(167; 58),
M
5
(171; 60). L
ậ

p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(163; 50) sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
ó g
ầ
n các
đ
i
ể
m
đ
ã
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học

- 5 -
cho nhất.
BT23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E):
2 2
1
4 1
+ =
x y
. Tìm toạ độ các điểm A, B
thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.
BT24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y
2
= 8x. Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của
(P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x
1
, x
2
. Chứng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4.
BT25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 25 và điểm M(7; 3). Lập
phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.
BT26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và
giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

BT27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y –
21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
BT28. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – 4 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
–
4y = 0. Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1).
BT29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường
tròn (C) có phương trình
2 2
( 2) ( 1) 25
− + + =
x y
theo một dây cung có độ dài bằng 8.
BT30. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d
1
: 3x –
4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phương trình d
2
: x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A.
BT31. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1
: 2 5 0
− + =
d x y
. d
2
: 3x + 6y – 7 = 0.
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d

1
và d
2
tạo ra
một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d
1
, d
2
.
BT32. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:
2 2
1
16 9
− =
x y
. Viết phương trình
chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
BT33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM:
2 1 0
x y
+ + =
và phân giác trong CD:
1 0
x y
+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
BT34. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1

: x + y + 5 = 0, d
2
: x + 2y – 7= 0 và tam
giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và

điểm C thuộc d
2
. Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
BT35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh:
A(–2;3),
1
;0 , (2;0)
4
 
 
 
B C
.
BT36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm
(
)
(
)
1 2
1;1 , 5;1
−F F
và tâm sai

0,6
=
e
.
BT37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ ABC có diện tích bằng
3
2
; trọng tâm
G của
∆
ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC.
BT38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
–
2x – 2y – 2 = 0, (C
2
): x
2
+ y
2
– 8x – 2y + 16 = 0.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 6 -
BT40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường

thẳng
( ): 3 0
− − =
d x y
và có hoành độ
9
2
=
I
x
, trung điểm của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình chữ nhật.
BT41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 4y – 5 = 0. Hãy viết phương trình
đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M
4 2
;
5 5
 
 
 

BT42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng
∆
định bởi:
2 2
( ) : 4 2 0; : 2 12 0

C x y x y x y
+ − − = ∆ + − =
. Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập
với nhau một góc 60
0
.
BT43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh
AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – 6 =
0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
BT44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C):
2 2
2 4 8 0
x y x y
+ + − − =
. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm
A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.
BT45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x
+ 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
BT46. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao
cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
BT47. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d
1
): x + y + 1 = 0, (d
2

): 2x – y – 1 = 0 .
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d
1
) và (d
2
) tương ứng tại A và B sao cho
2 0
+ =
  
MA MB

BT48. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình
2 2
1
9 4
− =
x y
. Giả sử (d) là một
tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ⊥(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một
đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó
BT49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2).
BT50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia
Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng
+
OA OB
nhỏ nhất.
BT51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ độ các đỉnh
A(2; 0), B(3; 0) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng
y x

=
. Xác định toạ độ các
điểm C, D.
BT52. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
2 4 5 0
x y x y
+ − − − =
và A(0; –1) ∈ (C). Tìm
toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho ∆ABC đều.
BT53. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P):
2
y x
=
và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N ∈
(P) sao cho
4
IM IN
=
 
.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 7 -
BT54. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là
(d
1
): x + y + 2 = 0, phương trình đường cao vẽ từ B là (d
2

): 2x – y + 1 = 0, cạnh AB đi qua M(1; –1). Tìm
phương trình cạnh AC.
BT55. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
2 2
4 9 36
+ =
x y
và điểm M(1; 1). Viết phương trình
đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm C, D sao cho MC = MD.
BT56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
2 2
5 16 80
+ =
x y
và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một
điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆MAB.
BT57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2x – y + 3 = 0.
Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với d một góc α có cosα
1
10
=
.
BT58. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (∆): 3x – 4y + 8 = 0. Lập
phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (∆).
BT59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 2 đường
chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x + y
– 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
BT60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y

2
+ 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: x +
my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A và B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất.
BT61. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết
phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
BT62. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) và hai đường trung tuyến của nó
có phương trình là: x – 2y + 1 = 0 và y – 1 = 0. Hãy viết phương trình các cạnh của ∆ABC.
BT63. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 25 và điểm M(7; 3). Lập
phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.
BT64. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2). Viết phương trình
đường thẳng đi qua A và chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2.
BT65. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5),
hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d):
x y
2 4 0
− + =
. Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D.
BT66. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y x y
2 2
6 2 5 0
+ − − + =
và đường thẳng (d):
x y
3 3 0

+ − =
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với
đường thẳng (d) một góc
0
45
.
BT67. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 1) ( 2) 9
− + + =
và đường thẳng d:
x y m
0
+ + =
. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới
đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm).
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 8 -
BT68. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d:
x y
1 0
− − =
và hai đường tròn có phương trình:
(C
1
):
x y

2 2
( 3) ( 4) 8
− + + =
, (C
2
):
x y
2 2
( 5) ( 4) 32
+ + − =
. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và
tiếp xúc ngoài với (C
1
) và (C
2
).
BT69. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai
cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d
1
:
x y
2 0
+ − =
và d
2
:
x y
2 6 3 0
+ + =
. Tìm toạ độ các đỉnh A,

B, C.
BT70. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5
và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d:
x y
3 8 0
− − =
. Tìm toạ độ điểm C.
BT71. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
A
4 7
;
5 5
 
 
 
và phương trình hai đường phân
giác trong BB′:
x y
2 1 0
− − =
và CC′:
x y
3 1 0
+ − =
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
BT72. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt
nằm trên các đường thẳng d:
x y
5 0
+ − =

, d
1
:
x
1 0
+ =
, d
2
:
y
2 0
+ =
. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC =
5 2
.
BT73. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
):
x y
2 2
13
+ =
và (C
2
):
x y
2 2
( 6) 25
− + =
. Gọi

A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo
hai dây cung có độ dài bằng nhau.
BT74. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
 
 
 
I
9 3
;
2 2
và trung
điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d:
x y
3 0
− − =
với trục Ox. Xác định toạ độ của các điểm A,
B, C, D biết y
A
> 0.
BT75. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh của một tam giác là

x y
5 –2 6 0
+ =
và
x y
4 7 –21 0
+ =
. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ
O.
BT76. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung
sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
BT77. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d
1
:
x y
1 0
+ + =
và d
2
:
x y
2 1 0
− − =
. Lập phương

trình đường thẳng d đi qua M(1; 1) và cắt d
1
, d
2
tương ứng tại A, B sao cho
MA MB
2 0
+ =
 

.
BT78. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y x y
2 2
2 2 3 0
+ − − − =
và điểm M(0; 2). Viết
phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.
BT79. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết
phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho ∆OAB có diện tích lớn nhất.
BT80. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường phân
giác trong (AD):
x y
2 5 0
+ − =
, đường trung tuyến (AM):
x y
4 13 10 0
+ − =
. Tìm toạ độ đỉnh B.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 9 -
BT81. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
x y
2 2
1
100 25
+ =
. Tìm các điểm M ∈ (E) sao cho

F MF
0
1 2
120
=
(F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E)).
BT82. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 3) ( 4) 35
− + − =
và điểm A(5; 5). Tìm trên
(C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
BT83. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm hai đường chéo AC và BD là

điểm
I(6; 2). Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆:
x y
5 0
+ − =
.
Viết phương trình đường thẳng AB.
BT84. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y x y
2 2
4 4 6 0
+ + + + =
và đường thẳng ∆ có
phương trình:
x my m
2 3 0
+ − + =
. Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B
sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
BT85. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
+ + =
C x y x
2 2
: 2 0
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng

30

.
BT86. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
(
)
− − =
d x y
:2 4 0
. Lập phương trình đường tròn
tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
BT87. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua
(
)
2;1
M và tạo với các trục tọa
độ một tam giác có diện tích bằng
4
.
BT88. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) , cho điểm
1
3;
2
M
 
 
 
. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua
điểm M và nhận
(

)
1
3;0
F −
làm tiêu điểm.
BT89. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
(
)
A
3;6
−
, trực tâm
(
)
H
2;1
, trọng tâm
G
4 7
;
3 3
 
 
 
. Xác định toạ độ các đỉnh B và C.
BT90. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0,
cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm
toạ độ các đỉnh A, B, C.
BT91. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
P( 7;8)

−
và hai đường thẳng
1
:2 5 3 0
d x y
+ + =
;
2
:5 2 7 0
d x y
− − =
cắt nhau tại A . Viết phương trình đường thẳng
3
d
đi qua P tạo với
1
d
,
2
d
thành tam giác cân
tại A và có diện tích bằng
29
2
.
BT92. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn
(C) có phương trình :
2 2
2 6 15 0
x y x y

+ − + − =
thành một dây cung có độ dài bằng 8.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 10 -
BT93. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh
BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
BT94. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng
∆
:
3 8 0
x y
+ + =
,
':3 4 10 0
x y
∆ − + =
và điểm
A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn tâm thuộc đường thẳng
∆
, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng
∆
’
BT95. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng:
d x y
1
:2 –3 0
+ =
,

d x y
2
:3 4 5 0
+ + =
,
d x y
3
: 4 3 2 0
+ + =
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d
1
và tiếp xúc với d
2
và d
3
.
BT96. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
( )
d
:
2 1 2 0
x my
+ + − =
và đường tròn có
phương trình
2 2
( ) : 2 4 4 0
+ − + − =
C x y x y . Gọi I là tâm đường tròn
( )

C
. Tìm m sao cho
( )
d
cắt
( )
C
tại hai điểm
phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
BT97. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C):
x y x y
2 2
–8 –4 –16 0
+ =
. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
BT98. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC
lần lượt là:
x y
2 –5 0
+ =
và
x y
3 – 7 0
+ =
. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm
F
(1; 3)
−
.

BT99. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là
(
)
3;0
−
và đi qua điểm
M
4 33
1;
5
 
 
 
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
BT100. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E
sao cho
AE EB
2
=
 
. Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là
G
13
2;
3
 
 
 
. Viết phương trình cạnh BC.
BT101. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao

CH x y
: 1 0
− + =
, phân
giác trong
BN x y
:2 5 0
+ + =
. Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC.
BT102. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm
của đường thẳng
d x y
1
: 3 0
− − =
và
d x y
2
: 6 0
+ − =
. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox.
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
BT103. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;-2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt
hai trục Ox, Oy tại B và C sao cho tam giác ABC cân.
BT104. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;-3); đường cao
:5 3 25 0
BH x y
+ − =

,
đườ
ng cao
:3 8 5 0
CH x y
+ − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng BC.
BT105.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;-3); trung tr
ự

c c
ủ
a c
ạ
nh AB có ph
ươ
ng
trình
3 2 4 0
x y
+ − =
và
(
)
4; 2
G
−
là tr
ọ
ng tâm giác ABC. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
c
ủ
a B và C.
BT106.
Trong m

ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho tam giác ABC có
1
: 5 0
B d x y
∈ + + =
và
2
: 2 7 0
C d x y
∈ + − =
,
tr
ọ
ng tâm
(
)
2;0
G và
(

)
2;3
A . Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh B, C c
ủ
a tam giác ABC.
BT107.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1

: 1 0
d x y
− + =
và
2
: 2 1 0
d x y
+ + =
,
đ
i
ể
m
(
)
2;1
M . Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t
1 2
,
d d

t
ạ
i A và B sao cho M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học
- 11 -
BT108. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 1 0
d x y
− + =
và
2
: 2 1 0
d x y
+ + =
, điểm

(
)
2;1
M . Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t
1 2
,
d d
t
ạ
i A và B sao cho
2.
MA MB
=
 
.
BT109. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
(
)
2; 7
A

−
và trung tuyến
:3 11 0
BM x y
+ + =
,
đương cao
: 2 7 0
CH x y
+ + =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
BT110.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho tam giác ABC có
(
)
1;2
A và trung tuy
ế
n
: 2 1 0
BM x y
+ + =
,
phân giác trong c
ủ
a góc

C
có ph
ươ
ng trình
1 0
x y
+ − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ

ng th
ẳ
ng BC.
BT111.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(2;1) và t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng 2x + 3y +4 = 0 m
ộ
t góc
0
45
.

BT112.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(4;1) và c
ắ
t hai tr
ụ
c Ox, Oy t
ạ
i A và B sao cho di
ệ
n tích
tam giác OAB nh
ỏ
nh
ấ
t.
BT113.
Cho hai
đ

i
ể
m A(0;6) và B(2;5). Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng x – 2y +2 = 0 sao cho MA + MB nh
ỏ

nh
ấ
t.
BT114.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn
đ
i qua A(1;2) và ti
ế
p xúc v

ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng 3x – 4y +2 = 0 t
ạ
i
đ
i
ể
m M(-2;-1)
BT115.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn qua hai
đ
i
ể
m A(2;3), B(-1;1) và có tâm thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng x – 3y – 11 = 0.

BT116.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn có bán kính b
ằ
ng
10
và tâm thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng 4x + 3y + 2 = 0, ti
ế
p xúc
v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng 3x + y – 3 = 0.
BT117.
Vi
ế

t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn có tâm thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng 4x + 3y – 2 = 0 và ti
ế
p xúc v
ớ
i hai
đườ
ng th
ẳ
ng
x + y + 4 = 0, 2x – y + 2 = 0.
BT118.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn có tâm I(3;1) và c
ắ
t

đườ
ng th
ẳ
ng x – 2y + 4 =0 t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B sao cho
AB = 4.





www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 141 -
Chuyên đề

Bài 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN CƠ BẢN
I. Các bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng
1. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua điểm
( ; )

A A
A x y
và có véctơ chỉ phương
( ; ).
d
u a b
=


VD 1.
Viết phương trình của đường thẳng (dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) của đường
thẳng
,
d
biết
d
đi qua điểm
A
và véctơ chỉ phương
,
d
u

trong các trường hợp sau:
a)
(3; 1), ( 2; 5).
d
A u
− = − −


b)
(2;0), (3;4).
d
A u =


c)
(7; 3), (0;3).
d
A u− =

d)
(1;1), (1;5).
d
A u =


2. Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
và có véctơ pháp tuyến
( ; ).
d
n a b
=


VD 2.
Viết phương trình của đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) của đường
thẳng
,
d
biết
d
đi qua điểm
A
và véctơ pháp tuyến
,
d
n

trong các trường hợp sau:
a)
(0;1), (1;2).
d
A n =

b)
( 1;2), ( 2; 3).
d
A n− = −


c)
(2;0), ( 1; 1).

d
A n
= − −

d)
(2;0), (3;4).
d
A n =


3. Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua hai
điểm
( ; ), ( ; ).
A A B B
A x y B x y

VD 3.
Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua hai điểm
, ,
A B
trong các trường hợp sau:
a)
(2; 1), ( 4; 5).
A B
−
b)

(3; 5), (3; 8).
A B

c)
(5; 3), (–2; 7).
A B
−
d)
( 1;2), (3; 6).
A B
− −

4. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng
d
(phương trình đoạn chắn) đi qua hai điểm
( ;0),
A a

(0; ),
B b

nằm trên các trục tọa độ với
. 0.
a b
≠

VD 4.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua hai điểm

,
A B
trong các trường hợp sau:
a)
(3; 0), (0; 5).
A B
b)
(–2; 0), (0; 6).
A B
−

c)
(0; 4), (–3; 0).
A B
d)
(0; 3), (0; 2).
A B
−

VD 5.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
M
và cùng với hai trục tọa độ tạo thành một
tam giác có diện tích
S
cho trước trong các trường hợp sau:
a)
(

)
–4;10 , 2.
OAB
M S
∆
=
b)
(
)
2;1 , 4.
OAB
M S
∆
=

c)
(
)
–3;–2 , 3.
OAB
M S
∆
=
d)
(
)
2; –1 , 4.
OAB
M S
∆

=

5. Dạng 5.

Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua hai
điểm
( ; )
M M
M x y
và có hệ số góc k.

VD 6.
Viết phương trình đường thẳng
d
trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
(1;2)
M
và có hệ số góc
3.
k
=

b) Đi qua điểm
( 3;2)
A
−
và tạo với chiều dương trục hoành một góc

45 .
o

c) Đi qua điểm
(3; 2)
B
và tạo với trục hoành một góc
60 .
o

VD 7.
Viết phương trình đường thẳng
d
trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
( 5; 8)
M
− −
và có hệ số góc
2.
k
= −

b) Đi qua điểm
(1; 3)
A
−
và tạo với chiều dương trục hoành một góc
60 .
o

c) Đi qua điểm
( 1; 2)
B
− −
và tạo với trục hoành một góc
30 .
o

HÌNH PH
Ẳ
NG OXY

8

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 142 -
6. Dạng 6.

Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua điểm
( ; )
o o
M x y

và song song với đường thẳng
: 0.
Ax By C
∆ + + =

Phạm vi áp dụng thường gặp: Trong các bài toán về đường thẳng đi qua một điểm và song song với
đường thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, tìm tọa độ trọng tâm tam giác, các bài toán
trong hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông,…

VD 8.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
M
và song song với đường thẳng
∆
trong các
trường hợp sau đây:
a)
(2; 3), : 4 10 1 0.
M x y
∆ − + =
b)
( 1; 7), : 2 0.
M y
− − ∆ − =

c)
1 3
( 5; 3), : , ( ).

3 5
x t
M t
y t
 = − −
− ∆ ∈

= − +

ℝ
d)
2
2
(5; 2), :
1 2
y
x
M
−
+
∆ = ⋅
−

VD 9.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M
và chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng
nhau (tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân) trong các trường hợp sau:
a)
(

)
4;10 .
M
−
b)
(
)
2;1 .
M

c)
(
)
3; 2 .
M
− −
d)
(
)
2; 1 .
M
−

VD 10.
Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết rằng trung điểm của các cạnh
, ,
BC CA AB

lần lượt là các điểm
, , .
M N P
Tìm tọa độ trọng tâm
G
của
,
ABC
∆
trong các trường hợp sau:
a)
(
)
(
)
(
)
1;1 , 5;7 , 1;4 .
M N P − b)
(
)
(
)
(
)
2;1 , 5;3 , 3; 4 .
M N P
−

c)

( )
3 1
2; , 1; , 1; 2 .
2 2
M N P
   
− − −
   
   
d)
( )
3 7
;2 , ;3 , 1;4 .
2 2
M N P
   
   
   

6. Dạng 6.

Viết phương trình đường thẳng
d
(dạng tham số, tổng quát, chính tắc nếu có) đi qua điểm
( ; )
o o
M x y
và vuông góc với đường thẳng
: 0.
Ax By C

∆ + + =

Phạm vi áp dụng thường gặp
: Trong các bài toán về đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với
đường thẳng cho trước, đường cao, đường trung trực trong tam giác, tìm trực tâm, tìm tâm bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác, tìm hình chiếu của một điểm lên đường, tìm điểm đối xứng của điểm
qua đường, viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một đường thẳng cho trước,
các bài toán trong hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang vuông,…
VD 11.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
∆
trong
các trường hợp sau đây:
a)
(4; 1), : 3 5 2015 0.
M x y
− ∆ − + =
b)
(2; 3), : 3 7 0.
M x y
− ∆ + − =

c)
3
2
(4; 6), :

3 10
y
x
M
−
+
− ∆ = ⋅
−
d)
2
(1;0), : , ( ).
1 4
x t
M t
y t
 =
∆ ∈

= −

ℝ

VD 12.
Viết phương trình các đường cao
, ,
AA BB CC
′ ′ ′
và tìm tọa độ trực tâm
H
trong

.
ABC
∆
Tìm
tâm đường tròn ngoại tiếp
,
ABC
∆
trong các trường hợp sau đây:
a)
: 2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0.
AB x y BC x y CA x y
− − = + + = − + =

b)
: 2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0.
AB x y BC x y CA x y
+ + = + − = − − =

c)
(
)
(
)
(
)
–3; –5 , 4; –6 , 3; 1 .
A B C d)
(
)

(
)
(
)
1; 2 , 5; 2 , 1;–3 .
A B C
VD 13.
Tìm hình chiếu H của điểm
M
lên đường thẳng
d
và điểm
M
′
đối xứng với
M
qua đường
thẳng
,
d
trong các trường hợp sau đây:
a)
(
)
2;1 , : 2 3 0.
M d x y
+ − =
b)
(
)

3; 1 , : 2 5 30 0.
M d x y
− + − =

c)
(
)
4;1 , : 2 4 0.
M d x y
− + =
d)
(
)
5;13 , : 2 3 3 0.
M d x y
− − − =

VD 14.
Lập phương trình đường thẳng
d
′
đối xứng với đường thẳng
d
qua đường thẳng
,
∆
trong
các trường hợp sau đây:
a)
: 2 1 0, : 3 4 2 0.

d x y x y
− + = ∆ − + =
b)
: 2 4 0, : 2 2 0.
d x y x y
− + = ∆ + − =

c)
: 1 0, : 3 3 0.
d x y x y
+ − = ∆ − + =
d)
: 2 3 1 0, : 2 3 1 0.
d x y x y
− + = ∆ − − =

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 143 -
II. Các bài toán liên quan đến khoảng cách – góc – phương trình đường phân giác
VD 15.
Hãy tính khoảng cách từ điểm
M
đến đương thẳng
∆
trong các trường hợp sau:

a)
(4; 5), :3 4 8 0.
M x y
− ∆ − + =
b)
(3; 5), : 1 0.
M x y
∆ + + =

c)
2
(4; 5), : , ( ).
2 3
x t
M t
y t
 =
− ∆ ∈

= +

ℝ
d)
1
2
(3;5), :
2 3
y
x
M

+
−
∆ = ⋅

VD 16.
Cho
,
ABC
∆
hãy tính diện tích tam giác
ABC
trong các trường hợp sau:
a)
(–1;–1), (2; –4), (4;3).
A B C
b)
(–2;14), (4; –2), (5;–4).
A B C

VD 17.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
A
và cách
B
một khoảng bằng
h
cho trước
trong các trường hợp sau:

a)
(–1; 2), (3; 5), 3.
A B h
=
b)
(–1; 3), (4; 2), 5.
A B h
=

c)
(5; 1), (2; – 3), 5.
A B h
=
d)
(3; 0), (0; 4), 4.
A B h
=

VD 18.
Viết phương trình đường thẳng
d
song song và cách đường thẳng
∆
một khoảng
h
trong các
trường hợp sau đây:
a)
: 2 3 0, 5.
x y h∆ − + = = b)

: 3 0, 5.
y h
∆ − = =

c)
: 2 0, 4.
x h
∆ − = =
d)
3
: ( ), 3.
2 4
x t
t h
y t

=
∆ ∈ =

= +

ℝ

VD 19.
Viết phương trình đường thẳng
d
song song với đường thẳng
∆
và cách
A

một khoảng
,
h

trong các trường hợp sau đây:
a)
: 3 4 12 0, (2;3), 2.
x y A h
∆ − + = =
b)
: 4 2 0, ( 2;3), 3.
x y A h
∆ + − = − =

c)
: 3 0, (3; 5), 5.
y A h
∆ − = − =
d)
: 2 0, (3;1), 4.
x A h
∆ − = =

VD 20.
Viết phương trình đường thẳng
d
cách đều hai điểm
, ,
A B
trong các trường hợp sau đây:

a)
(2; 5), (–1; 2), (5; 4).
M A B
b)
(1; 2), (2; 3), (4; –5).
M A B

c)
(10; 2), (3; 0), (–5; 4).
M A B
d)
(2; 3), (3; –1), (3; 5).
M A B

VD 21.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
M
và cách đều hai điểm
, ,
A B
trong các
trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
(

)
2; 5 , –1; 2 , 5; 4 .
M A B b)
(
)
(
)
(
)
1; 2 , 2; 3 , 4; –5 .
M A B
c)
(
)
(
)
(
)
10; 2 , 3; 0 , –5; 4 .
M A B d)
(
)
(
)
(
)
2; 3 , 3; –1 , 3; 5 .
M A B
VD 22.
Viết phương trình đường thẳng

,
d
biết rằng
d
cách điểm
A
một khoảng bằng
,
h
cách
B
một
khoảng bằng
,
k
trong các trường hợp sau:
a)
(
)
(
)
1; 1 , 2; 3 , 2, 4.
A B h k
= =
b)
(
)
(
)
2; 5 , –1; 2 , 1, 3.

A B h k
= =

VD 23.
Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a)
1 2
: 2 1 0, : 3 11 0.
d x y d x y
− − = + − =
b)
1 2
: 2 5 0, : 3 6 0.
d x y d x y
− + = + − =

c)
1 2
: 3 7 26 0, : 2 5 13 0.
d x y d x y
− + = + − =
d)
1 2
: 3 4 5 0, : 4 3 11 0.
d x y d x y
+ − = − + =

VD 24.
Tính số đo các góc trong tam giác
ABC

trong các trường hợp sau:
a)
: 2 3 21 0, : 2 3 9 0, : 3 2 6 0.
AB x y BC x y CA x y
− + = + + = − − =

b)
: 4 3 12 0, : 3 4 24 0, : 3 4 6 0.
AB x y BC x y CA x y
+ + = − − = + − =

c)
(
)
(
)
(
)
–3;–5 , 4;–6 , 3; 1 .
A B C d)
(
)
(
)
(
)
1; 2 , 5; 2 , 1;–3 .
A B C
VD 25.
Cho hai đường thẳng

d
và
.
∆
Tìm
m
để góc giữa hai đường thẳng đó bằng
α
trong các
trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
(
)
0
: 2 3 4 1 0, : 1 2 2 0, 45 .
d mx m y m m x m y m+ − + − = ∆ − + + + − = α =
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
0

: 3 1 3 0, : 2 1 1 0, 90 .
d m x m y m m x m y m+ − − + − = ∆ − + + − − = α =

VD 26.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
A
và tạo với đường thẳng
∆
một góc
α
với:
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 144 -
a)
(
)
0
6; 2 , : 3 2 6 0, 45 .
A x y∆ + − = α = b)
(
)
0
2;0 , : 3 3 0, 45 .

A x y− ∆ + − = α =
c)
(
)
0
2;5 , : 3 6 0, 60 .
A x y∆ + + = α = d)
(
)
0
1;3 , : 0, 30 .
A x y∆ − = α =
VD 27.
Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
1 2
,
d d
cho trước
trong các trường hợp sau đây:
a)
1 2
: 3 4 12 0, :12 5 20 0.
d x y d x y
− + = + − =
b)
1 2
: 3 4 9 0, : 8 6 1 0.
d x y d x y
− − = − + =

c)
1 2
: 3 6 0, : 3 2 0.
d x y d x y
+ − = + + =
d)
1 2
: 2 11 0, : 3 6 5 0.
d x y d x y
+ − = − − =

VD 28.
Cho
,
ABC
∆
hãy tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp
ABC
∆
trong các trường hợp sau:
a)
: 2 3 21 0, : 2 3 9 0, : 3 2 6 0.
AB x y BC x y CA x y
− + = + + = − − =

b)
: 4 3 12 0, : 3 4 24 0, : 3 4 6 0.
AB x y BC x y CA x y
+ + = − − = + − =

c)
(
)
(
)
(
)
–3;–5 , 4;–6 , 3; 1 .
A B C d)
(
)
(
)
(
)
1; 2 , 5; 2 , 1;–3 .
A B C
III. Các bài toán về viết phương trình đường tròn cơ bản
VD 29.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
có tâm
I
và đi qua điểm
,
A
trong các trường hợp sau:
a)
(

)
(
)
2; 4 , –1; 3 .
I A
b)
(
)
(
)
–3; 2 , 1;–1 .
I A

c)
(
)
(
)
3; 5 , 7; 2 .
I A
d)
(
)
(
)
0;0 , 4;4 .
I A

e)
(

)
(
)
–1; 0 , 3;–11 .
I A
f)
(
)
(
)
1; 2 , 5; 2 .
I A

VD 30.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
có tâm
I
và tiếp xúc với đường thẳng
∆
cho trước, trong
các trường hợp sau đây:
a)
(
)
3;4 , : 4 3 15 0.
I x y
∆ − + =
b)

(
)
2;3 , : 5 12 7 0.
I x y
∆ − − =

c)
(
)
3;2 , .
I Ox
− ∆ ≡
d)
(
)
3; 5 , .
I Oy
− − ∆ ≡

e)
(
)
1;2 , : 2 7 0.
I x y
− ∆ − + =
f)
(
)
0;0 , : 2 0.
I y x

∆ − =

VD 31.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
có đường kính
,
AB
trong các trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
–2; 3 , 6; 5 .
A B b)
(
)
(
)
0; 1 , 5; 1 .
A C
c)
(
)
(
)
–3; 4 , 7; 2 .
A B d)

(
)
(
)
5; 2 , 3; 6 .
A B
e)
(
)
(
)
1; 1 , 7; 5 .
A B f)
(
)
(
)
1; 5 , 1; 1 .
A B
−

VD 32.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
đi qua hai điểm
,
A B
và có tâm
I

nằm trên đường thẳng
,
∆
trong các trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
2; 3 , 1;1 , : 3 11 0.
A B x y
− ∆ − − =
b)
(
)
(
)
0; 4 , 2;6 , : 2 5 0.
A B x y
∆ − + =

c)
(
)
(
)
2;2 , 8;6 , : 5 3 6 0.
A B x y
∆ − + =
d)

(
)
(
)
1;0 , 1; 2 , : 1 0.
A B x y
− ∆ − − =

e)
(
)
(
)
1;2 , 3;0 , : 7 6 0.
A B x y
− ∆ + − =
f)
(
)
(
)
0;0 , 1;2 , : 0.
A B x y
∆ − =

VD 33.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
đi qua hai điểm

,
A B
và tiếp xúc với đường thẳng
,
∆

trong các trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
1;2 , 3;4 , : 3 3 0.
A B x y
∆ + − =
b)
(
)
(
)
6;3 , 3;2 , : 2 2 0.
A B x y
∆ + − =

c)
(
)
(
)
1; 2 , 2;1 , : 2 2 0.

A B x y
− − ∆ − + =
d)
(
)
(
)
2;0 , 4;2 , .
A B Oy
∆ ≡

VD 34.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
đi qua điểm
,
A
tiếp xúc với đường thẳng
∆
tại
,
B
trong
các trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)

2;6 , : 3 4 15, 1; 3 .
A x y B
− ∆ − = −
b)
(
)
(
)
2;1 , : 3 2 6, 4;3 .
A x y B
− ∆ − =

c)
(
)
(
)
6; 2 , , 6;0 .
A Ox B
− ∆ ≡
d)
(
)
(
)
4; 3 , : 2 3 0, 3;0 .
A x y B
− ∆ + − =

VD 35.

Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
, với
a)
(
)
2;3 ,
A

1
: 3 4 1 0,
x y
∆ − + =

2
: 4 3 7 0
x y
∆ + − =
.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 145 -

b)
(
)
1;3 ,
A
1
: 2 2 0,
x y
∆ + + =

2
: 2 9 0
x y
∆ − + =
.
c)
(
)
0;0 ,
A O
≡

1
: 4 0,
x y
∆ + − =

2
: 4 0
x y

∆ + + =
.
d)
(
)
3; 6 ,
A
−

1
,
Ox
∆ ≡

2
Oy
∆ ≡
.
VD 36.
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng
∆
1
,
∆
2
và có tâm nằm trên đường
thẳng d, với
a)
1
: 3 2 3 0,

x y
∆ + + =

2
: 2 3 15 0,
x y
∆ − + =

: 0
d x y
− =
.
b)
1
: 4 0,
x y
∆ + + =

2
: 7 4 0,
x y
∆ − + =

: 4 3 2 0
d x y
+ − =
.
c)
1
: 4 3 16 0,

x y
∆ − − =

2
: 3 4 3 0,
x y
∆ + + =

: 2 3 0
d x y
− + =
.
d)
1
: 4 2 0,
x y
∆ + − =

2
: 4 17 0,
x y
∆ + + =

: 5 0
d x y
− + =
.
VD 37.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với
a)

(
)
(
)
(
)
2; 0 , 0; –3 , 5;–3
A B C . b)
(
)
(
)
(
)
5; 3 , 6; 2 , 3; –1
A B C .
c)
(
)
(
)
(
)
1; 2 , 3; 1 , –3;–1
A B C
. d)
(
)
(
)

(
)
–1;–7 , –4; –3 , 0; 0
A B C O≡
.
VD 38.
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với
a)
(
)
(
)
(
)
2; 6 , –3;–4 , 5; 0
A B C . b)
(
)
(
)
(
)
2; 0 , 0; –3 , 5;–3
A B C .
VD 39.
Lập phương trình đường tròn
(
)
C
đối xứng với

( )
C
′
qua đường thẳng
:
d

a)
( ) ( ) ( )
2 2
' : 1 2 4,
C x y
− + − =

: 1 0.
d x y
− − =

b)
( ) ( ) ( )
2 2
' : 2 3 3,
C x y
− + − =

: 1 0.
d x y
+ − =

c)

(
)
2 2
' : 2 4 3 0,
C x y x y
+ − − + =

: 2 0.
d x
− =

IV. Các bài toán liên quan đến Elip cơ bản
VD 40.
Cho elip
( ).
E
Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai,
phương trình các đường chuẩn của
( ),
E
với
( )
E
có phương trình:
a)
( )
2
2
: 1.
9 4

y
x
E
+ =
b)
( )
2
2
: 1.
4 1
y
x
E
+ =

c)
(
)
2 2
:16 25 400.
E x y+ = d)
(
)
2 2
: 4 1.
E x y
+ =

e)
(

)
2 2
: 9 16 144.
E x y+ = f)
(
)
2 2
: 6 9 54.
E x x+ =
VD 41.
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau đây:
a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6.
c) Một tiêu điểm
1
(1;0)
F
và độ dài trục lớn
2.
=
d) Tiêu điểm
1
( 3;0)
F
−
và qua
3
1;
2
M
 

⋅
 
 
 

e) Qua hai điểm:
( )
3
1;0 , ;1
2
M N
 
⋅
 
 
 
f)
(
)
(
)
4; 3 , 2 2;3 .
M N−

g) Tiêu điểm
(
)
1
8;0
F − và tâm sai bằng

4
5
⋅
h) Trục nhỏ
6,
=
đường chuẩn
7 16.
x
= ±

i) Đi qua điểm
(8;12)
M
và có bán kính qua tiêu điểm bên trái của M bằng 20.
j) Đi qua điểm
(3; 2 3)
M
và có bán kính qua tiêu điểm bên trái của M bằng
4 3.

k) Có phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là
9, 3.
x y
= ± = ±

l) Đi qua điểm
3 4
;
5 5

M
 
 
 
và
1 2
MF F
∆ vuông tại M.
m) Hình chữ nhật cơ sở của
( )
E
có một cạnh nằm trên đường thẳng
: 2 0
d x
− =
và có độ dài
đường chéo bằng 6.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 146 -
n) Có đỉnh là
1
( 5;0)
A − và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có dạng là
2 2
( ) : 34.

C x y+ =

o) Có đỉnh là
1
(0;6)
B và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có dạng là
2 2
( ) : 61.
C x y+ =

p) Có độ dài trục lớn bằng
4 2,
các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của
( )
E
cùng nằm
trên một đường tròn.
VD 42.
Tìm những điểm trên elip
( )
2
2
: 1
16 7
y
x
E
+ =
có bán kính qua tiêu điểm bằng
5

2
⋅

VD 43.
Tìm những điểm M trên elip
( )
2
2
: 1
25 9
y
x
E
+ =
sao cho hiệu số 2 bán kính qua tiêu điểm
32
5
= ⋅

VD 44.
Cho elíp
( )
2
2
: 1
25 4
y
x
E
+ =

. Tìm những điểm M nằm trên
( )
E
sao cho số đo

1 2
F MF
là
a)
90 .
o
b)
120 .
o
c)
30 .
o

VD 45.
Tìm những điểm
( )
M E
∈
nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc
0 0 0 0
30 , 45 , 60 , 120 .

a)
2 2
( ): 9 25 225.

E x y+ =
b)
2 2
( ): 9 16 144.
E x y+ =
c)
2 2
( ): 7 16 112.
E x y+ =

VD 46.
Cho elip
2 2
( ): 9 9.
E x y
+ =
Tìm
( ),
M E
∈
sao cho:
a)
1 2
2 .
MF MF
=
b)
1 2
3 .
MF MF

=
d)
1 2 1 2
1 1 6
MF MF F F
+ = ⋅

V. Bài toán tìm điểm và bài toán cực trị cơ bản trong hình học phẳng Oxy
VD 47.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
,
Oxy
cho ba điểm:
(
)
(
)
(
)
1;0 , 3; 5 , 0;3 .
A B C− −
a) Chứng minh
, ,
A B C
là ba đỉnh của một tam giác và tính

cos .
CBA

b) Tìm tọa điểm

M
sao cho:
2 3 0.
MA MB MC
+ − =
   

c) Tìm tọa độ điểm
F
sao cho
5.
AF CF
= =

d) Tìm tọa độ điểm
N
sao cho
ABNC
là hình bình hành.
e) Tìm tập hợp điểm điểm
P
sao cho:
(
)
2 3 .
PA PB PC PB PC
+ − = −
    

VD 48.

Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho hai điểm
( 3;2), (1;1).
A B
−
Tìm điểm
M
trên trục tung sao cho:
a) Diện tích
AMB
∆
bằng 3. b)
2 2
P MA MB
= + đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số:
1
) 0;
4
a M
 
−
 
 
hoặc
11
0;
3

M
 
⋅
 
 

3
) 0;
2
b M
 
⋅
 
 

VD 49.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho hai điểm
(1; 1), (3;2).
A B
−
Tìm điểm
M
trên trục tung sao cho:
a) Góc

45 .
o

AMB
=
b)
7
, ( ).
2
AMB
S đv
dt
∆
=
Đáp số:
(
)
) 0; 4
a M
−
hoặc
(
)
0;6 .
M

(
)
) 0;1
b M
hoặc
(
)

0; 6 .
M
−

VD 50.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho điểm
(
)
2;1 .
A
Hãy tìm điểm
,
B Ox C Oy
∈ ∈
sao cho
ABC
∆

vuông tại
A
và có diện tích nhỏ nhất ?
Đáp số:
(
)
(
)
2;0 , 0;1 .

B C

VD 51.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có trọng tâm
(
)
(
)
0; 4 , 2; 4 .
G C
− −
Biết trung điểm
M
của
BC
nằm trên đường thẳng
: 2 0.
x y
∆ + − =
Tìm điểm
M
để độ dài đoạn
AB
ngắn nhất ?

Đáp số:
13 21
;
4 4
M
 
− ⋅
 
 

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 147 -
VD 52.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
vuông tại
.
A
Biết rằng đường thẳng
BC
qua điểm

1
2;
2
I
 
 
 

và tọa độ hai đỉnh
( 1;4), (1; 4).
A B
− −
Hãy tìm tọa độ đỉnh
C
?
Đáp số:
(3; 5).
C

VD 53.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho điểm
(2; 5)
C
−
và đường thẳng
: 3 4 4 0.
d x y

− + =
Tìm trên đường
thẳng
d
hai điểm
,
A B
đối xứng nhau qua điểm
5
2;
2
M
 
 
 
sao cho
15
ABC
S
∆
=
?
Đáp số:
(
)
(
)
0;1 , 4;4
A B
hoặc

(
)
4;4
A
hoặc
(
)
0;1 .
B

VD 54.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho bốn điểm
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0 , 2;4 , 1;4 , 3; 5 .
A B C D− −
Tìm tọa độ điểm
M
trên đường thẳng
: 3 5 0,
x y

∆ − − =
sao cho
D
MAB MC
S S
∆ ∆
=
?
Đáp số:
(
)
9; 32
M − −
hoặc
7
;2
3
M
 
⋅
 
 

VD 55.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho điểm
(
)

1;2
A − và đường thẳng
: 2 3 0.
d x y
− + =
Tìm trên đường
thẳng
d
hai điểm
,
B C
sao cho
ABC
∆
vuông tại
C
và
3 .
AC BC
=

Đáp số:
3 6
;
5 5
C
 
−
 
 

và
13 16
;
15 15
B
 
−
 
 
hoặc
1 4
;
3 3
B
 
− ⋅
 
 

VD 56.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho điểm
(
)
2;2
A
và
1 2

: 2 0, : 8 0.
d x y d x y
+ − = + − =
Tìm tọa độ điểm
,
B C
tương ứng thuộc
1 2
,
d d
sao
ABC
∆
vuông cân tại
A
?
Đáp số:
(
)
(
)
3; 1 , 5;3
B C− hoặc
(
)
(
)
1;3 , 3;5 .
B C−
VD 57.

Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
(
)
0; 2 .
A
−
Tìm tọa độ điểm
B
thuộc đường thẳng
: 2 0
d x y
− + =

sao cho đường cao
AH
và đường trung tuyến
OM
trong
OAB
∆
có độ dài bằng nhau ?
Đáp số:
(
)
1 3;1 3 .
B − ± ±
VD 58. (B – 2011).

Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho hai đường thẳng
1
: 4 0
d x y
− − =
và
2
: 2 2 0.
d x y
− − =

Tìm tọa độ điểm
2
,
N d
∈ sao cho
ON
cắt đường thẳng
1
d
tại điểm
M
thỏa:
. 8.
OM ON
=

Đáp số:
(
)
0; 2
N
−
hoặc
6 2
;
5 5
N
 
⋅
 
 

VD 59.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho điểm
(
)
2;1 .
A Tìm tọa độ điểm
B
trên trục hoành, tọa độ điểm
C

trên trục tung, sao cho

ABC
∆
vuông tại
A
và có diện tích lớn nhất, biết điểm
0.
B
x
<

Đáp số:
(
)
(
)
0;0 , 0;5 .
B O C≡

VD 60.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho điểm
(
)
1;3
A −
và đường thẳng
: 2 2 0.
d x y

− + =
Dựng hình
vuông
ABCD
sao cho hai đỉnh
, C
B
nằm trên đường thẳng
.
d
Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông
D,
ABC
biết rằng các tọa độ của
C
đều dương.
Đáp số:
(
)
(
)
(
)
0;1 , 2;2 , 1;4 .
B C D

VD 61.
Trong mặt phẳng
,

Oxy
cho
ABC
∆
vuông tại
A
có
(1;1), : 4 3 32 0.
B AC x y
+ − =
Trên tia
BC

lấy điểm
M
sao cho
. 75.
MB BC
=
Tìm tọa độ điểm
,
C
biết rằng bán kính đường tròn ngoại
tiếp
AMC
∆
bằng
5 5
2
⋅

Đáp số:
(
)
2;8
C hoặc
(
)
8;0 .
C
VD 62.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
(1;2), (4;3).
A B
Tìm điểm
M
trên trục hoành để

45 .
o
AMB =
Đáp số:
(1;0)
M
hoặc
(5;0).
M

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 148 -
VD 63.
Tìm trên đường thẳng
: 2 3 0
d x y
− + =
điểm
M
sao cho
2 2
M M
P x y
= + nhỏ nhất ?
Đáp số:
11 8
;
5 5
M
 
− ⋅
 
 

VD 64.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
hãy tìm điểm
M
trên trục hoành sao cho khoảng cách từ
M
đến hai
điểm
A
và
B
là nhỏ nhất trong các trường hợp sau đây:
a)
(1;2)
A
và
(3; 4).
B
b)
(1;1)
A
và
(2; 4).
B
−

Đáp số:
5

) ;0
3
a M
 
⋅
 
 

6
) ;0
5
b M
 
⋅
 
 

VD 65.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho hai điểm
(1;2), (0; 1)
A B
−
và đường thẳng
: 2 1.
d y x
= +
Hãy tìm

điểm
,
M d
∈
sao cho:
a)
MA MB
+
nhỏ nhất ? b)
MA MB
−
lớn nhất ?
Đáp số:
2 19
) ;
15 15
a M
 
⋅
 
 

) (2;5).
b M

VD 66.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho

(2;1).
M
Đường thẳng
d
cắt hai trục tọa độ tại
( ;0), (0; ),
A a B b
với
, 0.
a b
>
Hãy viết phương trình đường thẳng
d
trong các trường hợp sau:
a)
OAB
S
∆
nhỏ nhất. b)
OA OB
+
nhỏ nhất.
c)
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất.
Đáp số:
) : 2 4 0.

a d x y
+ − =

) : 2 2 2 0
) : 2 5 0
b d x y
c d x y

+ − − =

⋅

+ − =



VD 67.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
(1;1), (2;5), (4;7).
A B C
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
A
sao cho tổng
2. ( ; ) 3. ( ; )
P d B d C

= ∆ + ∆
đạt giá trị nhỏ nhất, đạt giá trị lớn nhất ?
Đáp số:
min
P
khi
: 2 1 0
x y
∆ − − =
và
max
P
khi
:11 26 37 0.
x y
∆ + − =

VD 68.
Cho elíp
( )
2
2
: 1
25 9
y
x
E
+ =
và đường thẳng
: 2 12 0.

d x y
− + =
. Tìm trên
( )
E
điểm M sao cho
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
d
là lớn nhất, nhỏ nhất.
VD 69.
Cho elíp
2 2
( ): 4 25
E x y
+ =
và đường thẳng
: 3 4 30 0.
d x y
+ − =
Tìm trên
( )
E
điểm M sao cho
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.
VD 70.
Cho elíp
( )
2
2
: 1

8 4
y
x
E
+ =
và đường thẳng
: 2 2 0
d x y
− + =
. Đường thẳng d cắt
( )
E
tại hai
điểm B, C. Tìm tọa độ điểm A trên
( )
E
sao cho ΔABC có diện tích lớn nhất.
VD 71.
Cho elíp
2 2
( ): 2 2
E x y
+ =
và đường thẳng
: 3 2 3 0.
d x y
− − =
Đường thẳng d cắt
( )
E

tại hai
điểm B, C. Tìm tọa độ điểm A trên
( )
E
sao cho ΔABC có diện tích lớn nhất.
VD 72.
Cho elíp
( )
2
2
: 1
16 9
y
x
E
+ =
và đường thẳng
: 3 4 12 0.
d x y
+ − =
Chứng minh rằng d luôn cắt
( )
E

tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn AB. Tìm tọa độ điểm
( )
C E
∈
sao cho:
a)

6.
ABC
S
∆
=
b)
ABC
S
∆
lớn nhất. c)
ABC
∆
vuông.
VD 73.
Cho elíp
( )
2
2
2 2
: 1
y
x
E
a b
+ =
và đường thẳng
: 0.
Ax By C
∆ + + =
. Chứng minh rằng điều kiện cần

và đủ để đường thẳng
∆
tiếp xúc với elíp
( )
E
là
2 2 2 2 2
.
a A b B C
+ =
VD 74.
Cho elíp
2 2
( ): 9 16 144
E x y+ =
. Gọi M là điểm di động trên elip
( )
E
. Chứng minh rằng biểu
thức:
2
1 2
.
P OM MF MF
= + là một hằng số không đổi.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 149 -
Bài 2. GIẢI TAM GIÁC


VD 75.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có phương trình cạnh
,
BC
hai đường cao lần lượt là
,
BB
′

.
CC
′
Hãy tìm tọa độ các đỉnh của
ABC
∆
và trực tâm của tam giác trong các trường hợp sau:
a)
: 4 12 0,
BC x y

+ − =

: 5 4 15 0,
BB x y
′
− − =

: 2 2 9 0.
CC x y
′
+ − =

b)
: 5 3 2 0,
BC x y
− + =

: 4 3 1 0,
BB x y
′
− + =

: 7 2 22 0.
CC x y
′
+ − =

c)
: 2 0,
BC x y

− + =

: 2 7 6 0,
BB x y
′
− − =

: 7 2 1 0.
CC x y
′
− − =

d)
: 5 3 2 0,
BC x y
− + =

: 2 1 0,
BB x y
′
− − =

: 3 1 0.
CC x y
′
+ − =

VD 76.
Trong mặt phẳng
,

Oxy
cho
ABC
∆
có tọa độ đỉnh
,
A
hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh có
phương trình lần lượt là
1 2
, .
d d
Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆

trong các trường hợp sau:
a)
(3;0),
A

1
: 2 2 9 0,
d x y
+ − =

2
: 3 12 1 0.
d x y
− − =

b)
(1;0),
A

1
: 2 1 0,
d x y
− + =

2
: 3 1 0.
d x y
+ − =

c)
(0;1),
A

1
: 2 1 0,
d x y
− − =

2
: 3 1 0.
d x y
+ − =

d)

(2;2),
A

1
: 9 3 4 0,
d x y
− − =

2
: 2 0.
d x y
+ − =

VD 77.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có tọa độ đỉnh
,
A
hai đường trung tuyến xuất phát từ hai
đỉnh có phương trình lần lượt là
1 2
, .
d d
Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp
ABC

∆
trong các trường hợp sau:
a)
(1;3),
A

1
: 2 1 0,
d x y
− + =

2
: 1 0.
d y
− =

b)
(3;9),
A

1
: 3 4 9 0,
d x y
− + =

2
: 6 0.
d y
− =

VD 78.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có phương trình cạnh
,
AB
hai đường trung tuyến
,
AM

.
BN
Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tính diện tích
ABC
∆
trong các trường hợp sau:
a)
: 2 7 0,
AB x y
− + =

: 5 0,
AM x y
+ − =

: 2 11 0.

BN x y
+ − =

b)
: 1 0,
AB x y
− + =

: 2 3 0,
AM x y
+ =

: 2 6 3 0.
BN x y
+ + =

VD 79.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có phương trình hai cạnh và tọa độ trung điểm của cạnh
thứ ba. Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc

BAC
của
ABC
∆

với các trường hợp sau đây:
a)
: 2 2 0,
AB x y
+ − =

: 3 3 0,
AC x y
+ − =

( 1;1).
M
−

b)
: 2 2 0,
AB x y
− − =

: 3 0,
AC x y
+ + =

(3;0).
M

c)
: 1 0,
AB x y
− + =

: 2 1 0,
AC x y
+ − =

(2;1).
M

d)
: 2 0,
AB x y
+ − =

: 2 6 3 0,
AC x y
+ + =

( 1;1).
M
−

VD 80.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có tọa độ đỉnh
,

A
một đường cao và một trung tuyến xuất
phát từ hai đỉnh lần lượt có phương trình là
1 2
, .
d d
Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tính số đo các
góc trong
ABC
∆
với các trường hợp sau đây:
a)
(4; 1),
A
−

1
: 2 3 12 0,
d x y
− + =

2
: 2 3 0.
d x y
+ =

b)
(2; 7),
A
−

1
: 3 11 0,
d x y
+ + =

2
: 2 7 0.
d x y
+ + =

c)
(0; 2),
A
−

1
: 2 1 0,
d x y
− + =

2
: 2 2 0.
d x y
− + =

d)
( 1; 2),
A
−

1
: 5 2 4 0,
d x y
− − =

2
: 5 7 20 0.
d x y
+ − =

VD 81.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có tọa độ đỉnh, phương trình đường trung tuyến
1
d
và
phương trình đường phân giác trong
2
.
d
Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tìm tọa độ trọng tâm
G

của

ABC
∆
trong các trường hợp sau:
a)
(1;2),
A

1
: 2 1 0,
d BM x y
≡ + + =

2
: 1 0.
d CD x y
≡ + − =

b)
(4; 1),
C
−

1
: 2 6 0,
d AM x y
≡ + − =

2
: 0.
d AD x y

≡ − =

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 150 -
c)
(4; 3),
C

1
: 4 13 10 0,
d x y
+ − =

2
: 2 5 0.
d x y
+ − =

VD 82.
Cho
ABC
∆
biết tọa độ một đỉnh, tọa độ trọng tâm
,
G

tọa độ trực tâm
.
H
Hãy viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
và tìm các đỉnh còn lại của tam giác trong các trường hợp:
a) Đỉnh
(2;3),
A
trọng tâm
5
4; ,
3
G
 
−
 
 
trực tâm
12
2;
7
H
 
⋅
 
 

b) Đỉnh
(1;2),
A
trọng tâm
(1;1),
G
trực tâm
2 10
;
3 3
H
 
⋅
 
 

c) Đỉnh
( 1; 2),
A
−
trọng tâm
(1;1),
G
trực tâm
(0; 3).
H
−

VD 83.
Trong mặt phẳng

,
Oxy
cho
ABC
∆
biết tọa độ một đỉnh, một đường cao có phương trình là
1
,
d
một đường phân giác trong xuất phát từ một đỉnh có phương trình là
2
.
d
Hãy tìm tọa độ
các đỉnh của
ABC
∆
và tìm tâm đường tròn ngoại tiếp trong các trường hợp sau đây:
a)
( 3;1),
C
−

1
: 3 12 0,
d AH x y
≡ + + =

2
: 7 32 0.

d AD x y
≡ + + =

b)
(2; 1),
B
−

1
: 3 4 27 0,
d AH x y
≡ − + =

2
D : 2 5 0.
d C x y
≡ + − =

VD 84.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
biết tọa độ một đỉnh, hai đường phân giác trong của hai
đỉnh lần lượt có phương trình là
1 2
, .
d d

Hãy tìm tọa độ các đỉnh
ABC
∆
trong các trường hợp:
a)
(2; 1),
A
−

1
: 2 1 0,
d BD x y
≡ − + =

2
: 3 0.
d CF x y
≡ + + =

b)
4 7
; ,
5 5
A
 
 
 

1
: 2 1 0,

d BD x y
≡ − − =

2
: 3 1 0.
d CF x y
≡ + − =

VD 85.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
biết đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác xuất
phát từ ba đỉnh lần lượt có phương trình là
1 2 3
, , .
d d d
Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
trong các trường hợp sau:
a)
1
: 2 1 0,
d CH x y
≡ + + =

2

: 1 0,
d BM x y
≡ − + =

3
: 3 0.
d AD x y
≡ + − =

b)
1
: 3 4 27 0,
d AH x y
≡ − + =

2
: 4 5 3 0,
d BM x y
≡ + − =

3
: : 2 5 0.
d CD x y
+ − =

VD 86.
Cho
ABC
∆
biết đường phân giác trong

: 2 0,
AD x y
+ + =
đường cao
: 2 1 0,
BH x y
− + =
điểm
(1;1)
M
nằm trên cạnh
AB
và diện tích tam giác
ABC
∆
bằng
27
4
⋅
Tìm
, ,
A B C
?
Đáp số:
1
(5; 7), ;2 , (3; 6).
2
A B C
 
− −

 
 

VD 87.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
vuông tại
,
A
có đỉnh
( 4;1),
C
−
phân giác trong góc
A
có
phương trình
5 0.
x y
+ − =
Viết phương trình các cạnh của
,
ABC
∆
biết
24, ( 0).

ABC A
S x
∆
= >

Đáp số:
(4;1), (4;7).
A B

VD 88.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có chân đường cao hạ từ đỉnh
A
là
17 1
; ,
5 5
 
−
 
 
chân đường
phân giác trong của góc
A
là

(5; 3)
D
và trung điểm của cạnh
AB
là
(0;1).
M
Tìm tọa độ C ?
Đáp số:
(9;11).
C

VD 89.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có trung tuyến và phân giác trong kẻ từ đỉnh
B
có
phương trình lần lượt là
1 2
: 8 15 0, : 5 11 0.
d x y d x y
+ + = − − =
Đường thẳng chứa cạnh
AB
đi

qua điểm
( 3; 8).
M
− −
Xác định tọa độ các điểm
, ,
A B C
biết
13, ( 0).
ABC A
S x
∆
= >

Đáp số:
(3;1), (1; 2), (7; 6).
A B C
− −

VD 90.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có đỉnh
(3; 3),
A
tâm đường tròn ngoại tiếp là

(2;1),
I
phương trình đường phân giác trong góc

BAC
là
0.
x y
− =
Tìm tọa độ các đỉnh
,
B C

biết rằng
8 5
5
BC =
và góc

BAC
nhọn.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 151 -
Đáp số:
8 6

(0;2), ;
5 5
B C
 
−
 
 
hoặc
8 6
; , (0;2).
5 5
B C
 
−
 
 

VD 91.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có tọa độ điểm
,
A
tâm đường tròn ngoại tiếp là
,
I

tâm đường tròn nội tiếp là
.
K
Hãy tìm tọa độ
,
B C
trong các trường hợp:
a)
(2;3),
A

(6;6),
I

(4;5), ( ).
B C
K x x
<

b)
(1;1),
A

(2;3),
I

(6;6).
K

Đáp số: a)
(2;9), (10;3).
B C
b)
23 7 15 17 15 23 7 15 17 15
; , ;
4 4 4 5
B C
   
− + + −
⋅
   
   
   

VD 92.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có chân đường cao hạ từ các đỉnh
, ,
A B C
đến các
cạnh đối diện lần lượt là
, , .
D E F
Tìm tọa độ các đỉnh

ABC
∆
trong các trường hợp sau:
a)
(2; 1),
D
−

(2;2),
E

( 2;2).
F
−

b)
( 2; 2),
D
− −

11 16
; ,
13 13
E
 
−
 
 

44 6

;
17 17
F
 
− − ⋅
 
 

VD 93.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
cân tại
,
A
các cạnh
,
BC AB
lần lượt có phương
trình là
1 2
,
d d
và
.
M AC
∈

Tìm tọa độ đỉnh
C
trong các trường hợp sau:
a)
1
: 3 1 0,
d BC x y
≡ − − =

2
: 5 0,
d AB x y
≡ − − =

( 4;1) .
M AC
− ∈

b)
1
: 3 7 0,
d BC x y
≡ − + =

2
: 2 5 0,
d AB x y
≡ + − =

(1; 3) .

M AC
− ∈

c)
1
: 2 3 5 0,
d BC x y
≡ − − =

2
: 1 0,
d BC x y
≡ + + =

(1;1) .
M AC
∈

VD 94.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
vuông cân tại
A
và
: 7 31 0.
BC x y

+ − =
Biểt rằng:
(7;7)
N AC
∈
và
(2; 3)
M AB
− ∈
mà
M
nằm ngoài đoạn
.
AB
Tìm tọa độ các đỉnh
ABC
∆
?
Đáp số:
( 1;1), ( 4;5), (3;4).
A B C
− −

VD 95.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho cho
ABC
∆

có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ
B

là
3 18 0,
x y
+ − =
phương trình đường thẳng trung trực đoạn thẳng
BC
là
3 19 279 0,
x y
+ − =

đỉnh
C
thuộc đường thẳng
: 2 5 0.
d x y
− + =
Tìm tọa độ đỉnh
A
biết rằng

135 .
o
BAC =
Đáp số:
(4;8).
A

VD 96.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có
(2;1)
M
là trung điểm cạnh
,
AC
điểm
(0; 3)
H
−
là chân đường cao kẻ từ
,
A
điểm
(23; 2)
E
−
thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ
từ
.
C
Tìm tọa độ điểm

B
biết
: 2 3 5 0
A d x y
∈ + − =
và
0.
C
x
>

Đáp số:
( 3; 4).
B
− −

VD 97.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
.
ABC
∆
Đường cao kẻ từ
B
có phương trình
2 1 0,
x y
− − =

tâm
đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là
(2; 2)
I
−
và điểm
( 1;2)
M
−
là trung điểm
.
BC
Tìm
A
?
Đáp số:
(7; 7).
A
−

VD 98.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho hai đường thẳng
1 2
: 2 2 1 0, : 4 2 3 0.

d x y d x y
+ − = − + =

Gọi
A
là giao điểm của
1
d
và
2
.
d
Viết phương trình đường thẳng đi qua
(4; 2)
M
−
và lần lượt
cắt
1 2
,
d d
tại
,
B C
sao cho
ABC
∆
cân tại
.
A

Đáp số:
(3 2) 10 2 2 0.
x y
− + − − =

VD 99.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho đường thẳng
: 0
d x y
− =
và điểm
(2;1).
M
Viết phương trình
đường thẳng
∆
cắt trục hoành tại
A
và cắt
d
tại
B
sao cho
AMB
∆
vuông cân tại

.
M

Đáp số:
: 2 0
x y
∆ + − =
hoặc
: 3 12 0.
x y
∆ + − =

VD 100.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có
5,
AB = đỉnh
( 1; 1),
C
− −
đường thẳng chứa cạnh
AB

có phương trình
2 3 0.

x y
+ − =
Trọng tâm
: 2 0.
G d x y
∈ + − =
Tìm tọa độ
,
A B
?
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 152 -
Đáp số:
1 3
4; , 6;
2 2
A B
   
− −
   
   
hoặc
3 1
6; , 4;
2 2

A B
   
− − ⋅
   
   

VD 101.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có tâm
3
I ; 0
2
 − 
 
 
và (T)
tiếp xúc với đường thẳng
: 4x 2y 19 0
∆ + − =
, đường phân giác trong của góc A có phương
trình d:
x y 1 0
− − =
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng ba
lần diện tích tam giác IBC và điểm A có tung độ âm.
Đáp số:
: 2 2 0
BC x y
+ − =
hoặc
: 4 2 11 0.

BC x y
+ + =

VD 102.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
(
)
A 0; 2
và đường thẳng
d : x 2y 2 0
− + =
. Tìm
trên d hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại A và
2 ,
AM AN
=
biết tọa độ của N là
các số nguyên.
Đáp số:
(
)
(
)
M 2;2 ,N 0;1 .

VD 103.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
,
Oxy
cho tam giác

ABC
có cạnh
AC
đi qua
(0, 1).
M
−
Biết
2 ,
AB AM
=
đường phân giác trong
: 0,
AD x y
− =
đường cao
: 2 3 0.
CH x y
+ + =
Tìm toạ độ
các đỉnh của tam giác
ABC
.
Đáp số:
1
(1;1), ( 3; 1), ; 2
2
A B C
 
− − − − ⋅

 
 

VD 104.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
,
Oxy
cho tam giác
ABC
cân tại đỉnh A có trọng tâm
4 1
;
3 3
G
 
 
 
,
phương trình đường thẳng
BC
là
2 4 0
x y
− − =
và phương trình đường thẳng
BG
là
7 4 8 0
x y
− − =

. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
?
Đáp số:
(
)
(
)
(
)
0; 3 , 4;0 , 0; 2 .
A C B
−

VD 105.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường
phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là
3 4 10 0
x y
+ + =
và
1 0,
x y
− + =
điểm
(0; 2)
M
thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng
2.
Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác
ABC
?
Đáp số:
1
(4;5); 3; ; (1;1)
4
A B C
 
− −
 
 
hoặc
31 33
;
25 25
C
 
⋅
 
 

VD 106.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng
hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
(
)
1; 1 ,
H
− −

đường phân giác trong
của góc A có phương trình
2 0
x y
− + =
và đường cao kẻ từ B có phương trình
4 3 1 0.
x y
+ − =

Đáp số:
10 3
,
3 4
C
 
− ⋅
 
 

VD 107.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm
9 3
M ;
2 2
 
−
 
 
là trung điểm của

cạnh AB, điểm
(
)
H 2;4
−
và điểm
(
)
I 1;1
−
lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Đáp số:
(
)
4;1
C hoặc
(
)
1;6 .
C −
VD 108.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là
H
17 1
;
5 5
 
−
 

 
, chân đường phân giác trong của góc A là
(
)
D 5;3
và trung điểm của cạnh AB là
(
)
M 0;1
. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp số:
(
)
9;11 .
C

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 153 -
VD 109.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết
trực tâm
(
)
H 1;0
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là

(
)
K 0;2
, trung điểm cạnh AB là
(
)
M 3;1
.
Đáp số:
: 2 4 0, : 3 8 0, : 3 4 2 0.
AC x y AB x y BC x y
− + = − − = + + =

VD 110.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm
(
)
H 3;2
−
. Gọi D,
E là chân đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng
d : x 3y 3 0
− − =
, điểm
(
)
F 2; 3
−
thuộc đường thẳng
DE

và
HD 2
=
. Tìm tọa độ điểm A.
Đáp số:
(3;0).
A

VD 111.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
(
)
(
)
1; 3 , 5;1 .
A B− −
Điểm M nằm
trên đoạn thẳng BC sao cho
2 .
MC MB
=
Tìm tọa độ điểm C biết rằng
5
MA AC
= =
và đường
thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên.
Đáp số:
( 4;1).
C

−

VD 112.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại C, các đường thẳng AB, AC lần lượt
có phương trình là
2 0
x y
+ =
và
6 0.
x y
− + =
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết
trọng tâm G nằm trên trục tung.
Đáp số:
( )
4 2 8 26
4; 2 , ; , ; .
3 3 3 3
A B C
   
− −
   
   

VD 113.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B,
AB 2BC
=
. Gọi D là trung

điểm của AB, E nằm trên đoạn thẳng AC sao cho
3 .
AC EC
=
Biết phương trình đường thẳng
chứa CD là
3 1 0
x y
− + =
và điểm
16
;1
3
E
 
⋅
 
 
Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
Đáp số:
(8; 3), (0; 3).
C A
−

VD 114.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm
(
)
H 1;3
−

, tâm đường tròn ngoại
tiếp
(
)
I 3; 3
−
và chân đường cao kẻ từ đỉnh A là
(
)
K 1;1
−
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Đáp số:
(
)
(
)
(
)
A 1; 5 , B 5;1 ,C 1;1
− −
hoặc
(
)
(
)
(
)
A 1; 5 , B 1;1 ,C 5;1 .
− −

VD 115.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
H(1;1)
là chân đường cao kẻ từ
đỉnh A,
M(3;0)
là trung điểm cạnh BC và



.
BAH HAM MAC
= = Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
Đáp số:
(1 3;1 2 3)
A + +
hoặc
(1 3;1 2 3).
A − +

VD 116.
Cho
ABC
∆
. Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Tìm
tọa độ của đỉnh A biết rằng
( )
11 13
7;1 , ; ,

5 5
E F
 
 
 
: 3 4 0, 0.
B
BC x y x
+ − = >

Đáp số:
(7;9).
A

VD 117.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có đường cao
,
AH
trung tuyến
CM
và đường
phân giác trong
.
BD

Biết rằng
( 4;1), (4; 2)
H M
− −
và
: 5 0.
BD x y
+ − =
Tìm tọa độ
A
?
Đáp số:
(4; 5).
A
−

VD 118.
Cho
ABC
∆
có trung điểm của cạnh BC là điểm
(3; 1),
M
−
đường thẳng chứa đường cao kẻ từ
đỉnh B đi qua điểm
( 1; 3).
E
− −
và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm

(1;3).
F
Tìm các
đỉnh, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là
(4; 2).
D
−

Đáp số:
(2;2), (1; 1), (5; 1).
A B C
− −

VD 119.
Cho
ABC
∆
vuông tại
,
A
cạnh
: 3 3 0,
BC x y
− − =
các đỉnh
A
và

B
thuộc
.
Ox
Bán kính
đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm.
Đáp số:
1 4 3 6 2 3
;
3 3
G
 
− − − −
⋅
 
 
 

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600


Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 154 -
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1.
Trong mặt phẳng
,
Oxy

cho
ABC
∆
có
( 1;0), ( 6;7), ( 2;2).
A B C
− − −

a) Viết phương trình các đường trung tuyến. Tìm tọa độ trọng tâm
G
và tính
ABC
S
∆
?
b) Tìm tọa độ
: 2 1 0
M d x y
∈ − − =
sao cho 3
MBC ABC
S S
∆ ∆
= ?
Đáp số:
3
( 3; 3),
2
ABC
G S

∆
− =
và
9 1
;
7 7
M
 
 
 
hoặc
9 8
;
7 7
M
 
− − ⋅
 
 

BT 2.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
cân tại
A
có trọng tâm

4 1
; , : 2 4 0
3 3
G BC x y
 
− − =
 
 
và
đường thẳng
: 7 4 8 0.
BG x y
− − =
Tìm
, , .
A B C

Đáp số:
(0; 3), (0; 2), (4;0).
A B C
−

BT 3.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
vuông cân tại

A
có trọng tâm
2
;0
3
G
 
 
 
và
(1; 1)
M
−
là
trung điểm của
.
BC
Tìm tọa độ ba đỉnh
, , .
A B C

Đáp số:
(0; 2), (4;0), ( 2; 2)
A B C
− −
hoặc
(0; 2), ( 2; 2), (4;0).
A B C
− −

BT 4.
Cho
ABC
∆
vuông tại
,
A
biết
B
và
C
đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phân giác trong
góc
B
của
ABC
∆
là đường thẳng
: 2 5 0
d x y
+ − =
. Tìm tọa độ các đỉnh của
ABC
∆
, biết đường
thẳng
AC
đi qua điểm
(6; 2).
K

Đáp số:
( ) ( )
31 17
; , 5;5 , 5; 5 .
5 5
A B C
 
− −
 
 

BT 5.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có các đường cao
: 1 0, : 3 1 0
BH x y CK x y
+ − = − + + =
và
cạnh
: 5 5 0.
BC x y
− − =
Viết phương trình của các cạnh còn lại của
ABC

∆
và đường cao AL ?
Đáp số:
: 3 1 0, : 3 0, : 5 3 0.
AB x y AC x y AL x y
+ − = − + = + − =

BT 6.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho các điểm
(1;2), ( 1;2)
A B
−
và đương thẳng d có phương
trình
: 2 1 0.
d x y
− + =
Hãy tìm tọa độ của điểm C thuộc đường thẳng d sao cho ba điểm
, ,
A B C
tạo thành tam giác và thỏa mãn
.
AB AC
=

Đáp số:
(3;2)

C
hoặc
1 2
;
5 5
C
 
− ⋅
 
 

BT 7.
Cho
ABC
∆
có trọng tâm
11
G 1;
3
 
 
 
, đường thẳng trung trực của cạnh BC có phương trình:
3 8 0
x y
− + =
và đường thẳng
AB
có phương trình
: 4 9 0.

AB x y
+ − =
Tìm
, , .
A B C

Đáp số:
(
)
(
)
(
)
1;5 , 3; 3 , 1;9 .
A B C− −

BT 8.
Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho
ABC
∆
có
: 9 11 5 0
BC x y
+ + =
và hai đường phân giác
trong góc
B

và
C
có phương trình lần lượt là
: 2 3 12 0, : 2 3 5 0.
B C
d x y d x y
− + = + + =
Viết
phương trình các cạnh của
ABC
∆
?
Đáp số:
( 3;2), (8; 7).
B C
− −

BT 9.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
cân tại
.
A
Gọi
D
là trung điểm của

,
AB
và có
11 5
; ,
3 3
I
 
 
 

13 5
;
3 3
E
 
 
 
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm
.
ACD
∆
Đường thẳng
,
AB CD
lần
lượt đi qua các điểm
( 3;0), (3; 1).
N M
− −

Tìm tọa độ các đỉnh của
ABC
∆
biết
0.
A
x
>

Đáp số:
(7;5), ( 1;1), (3; 3).
A B C
− −

BT 10.
Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho
ABC
∆
có chân đường cao hạ từ
C
xuống
AB
là
(4; 2),
H
trung
điểm của

BC
là
(3; 4),
M
tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là
(5; 3)
I
. Tìm tọa độ
A
?
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com