DE CUONG ON TAP TOAN 9 HAY

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II LỚP 9
A) Phương trình bậc hai:
1. Nội dung 1:
Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b

x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
2. Nội dung 2:
a) * Phương trình trùng phương có dạng: ax
4
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
* Cách giải: Đặt t = x
2
với t ≥ 0, ta có phương trình bậc hai theo ẩn t: at
2
+ bt + c = 0
-> giải phương trình tìm t ≥ 0 => x
b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ
- Bước 2: Quy đồng và khử mẫu
- Bước 3: Giải PT vừa tìm được

- Bước 4: Kết luận.(Chú ý đối chiếu với ĐKXĐ)
c) * Phương trình tích có dạng: A.B.C = 0
* Cách giải: A.B.C = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0
3. Nội dung 3:
Hệ thức Viet
1. Định lí Vi
–
ét: Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =



2. Định lí Vi
–
ét đảo: Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P
≥
thì u, v là hai
nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0.
3. Cách tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a

.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
.
1
4. Nội dung 4:
Để phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
a) Có nghiệm khi
0∆ ≥
b) Có 2 nghiệm phân biệt khi
0∆ >
c) Vô nghiệm khi Δ < 0
d) Có 2 nghiệm cùng dấu khi
0
P 0
∆ ≥


>

5. Nội dung 5:
Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.

2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +

2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
Bài 2: Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương trình. Hãy tính
giá trị các biểu thức sau:
a) A = x
1
+ x
2
B = x
1
.x
2
b)
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2

1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
Bài 3: Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2

+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
2
e) Có 2 nghiệm dương khi
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


>

f) Có 2 nghiệm âm khi
0
P 0
S 0
∆ ≥



>


<

g) Có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hay P < 0.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 5: Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá
trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2

2
– 6x
1
x
2
.
+) Chứng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
Bài 6: Cho phương trình x
2
+ (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm m và nghiệm còn lại.
c) Tìm m để
1 2
2 1
x x
2
x x
+ =
.
d) Tìm m để
( ) ( )
1 2 1 2
2x x x 2x 0+ + ≥
.
e) Tìm biểu thức liên hệ giữa x

1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
Bài 7: Cho phương trình x
2
– 2 (m + 1 )x + m
2
- 2m + 3 = 0 (1).
a) Giải phương trình với m = 1 .
b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm kia .
Bài 8: Cho phương trình x
2
– ( m+1)x + m
2
– 2m + 2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 2 .
b) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó .
Với giá trị nào của m thì
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị bé nhất, lớn nhất
Bài 9 : Cho phương trình : x
2

- 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
1/ Giải phương trình với m = 3
2/ CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1): Tìm m để:
B = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) < 4.
Bài 10 : Cho phương trình:
01m1)x(2m2x
2
=−+−+
a, Giải phương trình với m = 2
b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m
c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x

2
= 1
Bài 11: Cho phương trình bặc hai:
0m1)x2(mx
22
=+++
a, Giải phương trình với m = 4
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
3
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -2, khi đó
tìm nghiệm còn lại
Bài 12: Cho phương trình: x
2
+ (2m - 1).x - m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) CMR: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn :
2
11
1
2
2
1
=
+
+

+ x
x
x
x

Bài 13 : Cho phương trình : x
2
- 2m.x + m
2
- 9 = 0
a) Định m để phương tình có một nghiệm bằng 4 .Tính nghiệm còn lại
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
x
1
.x
2
- 2 ( x
1
+ x
2
) < 23
Bài 14 : Cho phương trình : 3x
2
– ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
b) Giải phương trình với k = 1

c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép.
d) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm dương.
e) Tìm k để nghiệm x
1
; x
2
của phương trình thoả mãn : 3x
1
– 5x
2
= 6.
Bài 15. (1,5 điểm)
Cho phương trình x
2
– 2(m + 2)x + 3m + 1 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Chứng minh rằng biểu thức M = x
1
(3 – x
2
) + x
2
(3 – x
1
) không phụ thuộc vào m.

Bài 16: Cho phương trình ẩn x sau: x
2
– 6x + m + 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 7.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
26x x+ =
.
B) Parabol y = ax
2
(a ≠ 0)
- Vị trí của đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax
2
Phương trình hoành độ giao điểm chung của chúng là: ax
2
= mx + n ⇔ ax
2
- mx – n = 0 (*)
Điều kiện để (d) và (P)
a) Tiếp xúc nhau khi pt(*) có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi pt(*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
c) Có điểm chung khi pt(*) có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
d) Không có điểm chung khi pt(*) vô nghiệm ⇔ Δ < 0
e) Nếu còn nữa cứ lập luận pt(*) có……
Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho Parabol (P): y = x
2
và đường thẳng (d): y = –3x + 4
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bài 2: Cho hàm số y = – x
2
có đồ thị (P) và y = 2x – 3 có đồ thị (d)
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Bằng phương pháp đại số, hãy xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).
Bài 3: Cho hàm số : y =
2
3
2
x
( P )
4
a) Tớnh giỏ tr ca hm s ti x = 0 ; -1 ;
3
1

; -2 .
b) Bit f(x) =
2
1
;
3
2
;8;
2

9

tỡm x .
c) Xỏc nh m ng thng (D) : y = x + m 1 tip xỳc vi (P) .
Cõu 5: Cho hm s : y = -
2
2
1
x
a) Tỡm x bit f(x) = - 8 ; -
8
1
; 0 ; 2 .
b) Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A v B nm trờn th cú honh ln
lt l -2 v 1 .
Cõu 7: Cho ng thng (d) cú y = mx -
2
m
- 1 v parabol (P) cú y =
2
2
x
.
a) Tỡm m (d) tip xỳc vi (P).
b) Tớnh to cỏc tip im
Cõu 8: Cho parabol (P): y =
2
4
x

v ng thng (d): y =
1
2

x + n
a) Tỡm giỏ tr ca n ng thng (d) tip xỳc vi (P)
b) Tỡm giỏ tr ca n ng thng (d) ct (P) ti hai im.
c) Xỏc nh to giao im ca ng thng (d) vi (P) nu n = 1
Bi 3: (3,5) Cho Parabol (P): y =
1
4
x
2
v ng thng (d): y = mx + 1.
a) Chng minh vi mi giỏ tr ca m ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti hai im phõn bit.
b) Gi A, B l hai giao im ca (d) v (P). Tớnh din tớch tam giỏc OAB theo m (Vi O l gc ta
).
Cõu 3(2,5 im)
Trờn mt phng to Oxy, cho 2 im A(1;1), B(2;0) v th (P) ca hm s y= x
2
.
a) V th (P)
b) Gi d l ng thng i qua B v song song vi ng thng OA. Chng minh rng ng
thng d ct (P) ti hai im phõn bit C v D. Tớnh din tớch tam giỏc ACD (n v o trờn
cỏc trc to l cm).
C) Hệ phơng trình.
I) Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình

=
=



=
=+



=+
=+



=+
=+



=
=



=+
=
1815y10x

96y4x
6) ;
142y3x
35y2x
5) ;
142y5x
024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)
5
Bài 2: Giải các hệ phơng trình: :
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )

=
+
+
=
+
+








=+
+

+
=+



+=+
+=+



=+
=+
5

6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
( )
( )

=++++
=+





=++
=++







=
+


=
+
+

+

=
+

+
=
+

+







=
+

+
=
+
+
+
13.44yy548x4x2

72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
2) ;
1
2xy

3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc
Bài 1:
a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
( )
( )



=++
=+
32m3nyx2m
nmy1n2mx
b) Định a và b biết phơng trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ; x - y = 2m ; mx - (m -1)y = 2m - 1
b) mx + y = m

2
+ 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m -5 ; (2 - m)x - 2y = - m
2
+ 2m - 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình:



=
=+
12ymx
2myx
a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
D) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến
chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và
thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2:Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau khi đợc
3
1

quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định và
thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở về
A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết
rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngợc bằng nhau.
6

Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông
nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6
km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng.
Dạng 2: Toán làm chung và làn riêng (toán vòi nớc)
Bài 1:Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời thứ nhất
làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3
công việc. Hỏi một ng-
ời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 2:Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc
5
4
hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và
vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy trong bao lâu
mới đầy hồ.
Bài 3: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy
bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1:Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ
II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc
bao nhiêu chi tiết máy?.
Bài 2: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%,
còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ngời. Tính số dân của mỗi
tỉnh năm ngoái và năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.
Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn (thuộc đất

trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trọt là 4256
m
2
.
Bài 2: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích
tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m
2
. Tính
chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 3:Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam
giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm
2
. Tính hai cạnh góc
vuông.
Dạng 5: Toán về tìm số.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng
chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần
tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3.
Bài 3: Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng
4
1
.
Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24
5

. Tìm phân số đó.
Bài 4:Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử
và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
HèNH HC:
1. Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB, trờn ú cú im M. Trờn ng kớnh AB ly im C
sao cho AC < CB. K hai tip tuyn Ax v By ti A v B vi (O). ng thng qua M vuụng gúc
vi MC ct Ax P, ng thng qua C vuụng gúc vi CP ct By ti Q. Gi D l giao im ca CQ
v BM. Chng minh:
a) Cỏc t giỏc ACMP, CDME ni tip.
b) Ba im P, M, Q thng hng.
7
c) AB//DE.
2. Cho (O; R) và dây cung AB ( AB < 2R). Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC > AB. Từ C kẻ hai
tiếp tuyến với đường tròn tại P và K. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác ACP và PCB đồng dạng.
Từ đó suy ra CP
2
= CB.CA.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK, tính PH theo R.
d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP.
3. Từ điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ các đường vng góc hạ xuống ba
cạnh của tam giác
MH AB; MI BC; MK AC⊥ ⊥ ⊥
. Chứng minh:
a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp.
b) Ba điểm H, I, K nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Simson).

4. Cho đường tròn đường kính AB trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa AC, từ C kẻ đường
thẳng x vng góc với AB, trên x lấy điểm D (D≠C). Nối DA cắt đường tròn tại M, nối DB cắt
đường tròn tại K.
1. CM: Tứ giác ADCN nội tiếp
2. CM: AC là phân giác của góc KAD
3. Kéo dài MB cắt đường thẳng x tại s, C/m: S; A; N thẳng hàng
5. Cho (O) và một điểm A nằm ngồi (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với
(O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ
hai của đường thẳng CE với (O).
a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC
c. Chứng minh BI//MN.
d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) .M là điểm di động trên cung lớn BC , từ M dựng
đường vng góc với AB ,BC và AC lần lược tại H, K ,P .Chứng minh
a) BKMH nội tiếp
b) Tam giác MHK đồng dạng tam giác MAC
c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn nhất
THAM KHẢO
CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ II CỦA CÁC NĂM TRƯỚC.
ĐỀ 1: (2008-2009)
A/ Lý thuyết: (2 điểm). Học sinh chọn một trong hai đề sau:
Đề 1: Phát biểu đònh lý Vi- ét.
p dụng: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình: x
2
-11x + 30 = 0
Đề 2: Phát biểu và chứng minh đònh lý về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
B/ Bài tập bắt buộc: (8 điểm)
1/ Giải hệ phương trình:
8

2 5
3 10
x y
x y
+ =


− =

(1 điểm)
2/ Cho hai hàm số y = x
2
và y = -2x +3
a/ Vẽ đồ thò hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b/ Bằng phép toán, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thò. (2 điểm)
3/ Giải các phương trình sau:
a/ 3x
2
– 6x = 0
b/ x
4
– 4x
2
+3 = 0 (2 điểm)
4/ Cho tam giác ABC vuông ở A ( AC > AB). Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường
kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác ABCD nội tiếp
b/ ∠ABD = ∠ACD
b/ CA là tia phân giác của góc SCB.

ĐỀ 2:
Bài 1: (2 điểm)
Cho (P): y = x
2
và (d) : y = 3x – 2
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
– 2(m +1)x +m – 4 = 0 (1).
a. Giải phương trình khi m = - 2
b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh biểu thức A = x
1
(1 – x
2
) + x
2
(1
– x
1
) không phụ thuộc vào m.
Bài 3: (3 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A và điểm I trên AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở
D ( D khác I). Chứng minh:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE.
c) Các đường thẳng AB, CD, EI đồng quy.
ĐỀ 3:
Bài 1: (2 điểm)
a) Vẽ đồ thò 2 hàm số
2
1
2
y x=
và y = 2x – 2
b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thò trên.
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
– 6x + m = 0
a) Tìm giá của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
9
b) Tính theo m giá trò của biểu thức: A = x
1
x
2
– x
1
– x
2

.
Bài 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình:
Một nhóm HS tham gia lao động chuyển 105 thùng sách về thư viện của trường. Đến buổi lao động
có hai bạn bị ốm khơng tham gia được, vì vậy mỗi bạn phải chuyển thêm 6 thùng nữa mới hết số
sách cần chuyển. Hỏi số HS của nhóm đó?
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Qua đỉnh A kẻ 2 tia Ax và Ay nằm trong hình vuông sao cho
·
0
45xAy =
.
Cạnh Ax cắt BC ở M và cắt đường chéo BD ở N, cạnh Ay cắt CD ở P và cắt đường chéo BD ở
Q
a) Chứng minh tứ giác ABMQ nội tiếp được trong một đường tròn. Từ đó suy ra
∆
AQM là tam
giác vuông cân.
b) Chứng minh: 5 điểm M, N, P, Q, C thuộc một đường tròn.
c) Gọi giao điểm của MQ và NP là H. Chứng minh AH
⊥
MP
ĐỀ 4:
Bài 1: a. Giải hệ phương trình :
3 5
2 10
x y
x y
+ =



− + =

b. Giải phương trình : 2x
2
– 3x + 1 = 0
Bài 2: Cho (P): y = -x
2
a. Vẽ đồ thị của (P)
b. Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) cắt (P) tại điểm có
hồnh độ bằng -2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2?
Bài 3. Cho phương trình x
2
+3x+2m=0 (1)
a. Giả sử phương trình có hai nghiệm x
1
,x
2
.
Tính tổng S và tích P các nghiệm của phương trình (1)
b. Giải phương trình trên khi m= -20
c. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép
Bài 4: ( 3 Điểm ) Cho tam giác ABC vng tại A có AB =
1
2
BC, kẻ AH vng góc BC tại H. Gọi
D là điểm đối xứng của A qua H, E là giao điểm của DB và CA.
a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp được một đường tròn, xác định tâm O của đường
tròn đó.
b) Chứng minh: EB.ED = EA. EC
c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABDCvà

tứgiác ABDC biết AB =
3
cm.
ĐỀ 5
Bài 1: ( 2,5 Điểm )Cho hàm số y = 2x
2
(P) và hàm số y = 5x – 3 (D)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Xác định gíao điểm của hai đồ thị (P) và (D).
Bài 2: (1,5 Điểm ) Cho phương trình: 3x
2
– 4x + (m - 1) = 0.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 3: Cho phương trình: x
2
+
3
.x + 1 -
2
= 0. (1)
10
a) Chứng minh rằng pt(1) ln ln có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của pt. Hãy tính tổng
21
11

xx
+
Bài 4.Cho (O) đường kính AB=8cm ;Điểm M nằm trong đường tròn ; đường thẳng AM cắt (O) tại
C , đường thẳng BM cắt (O) tại D , đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại N , đường thẳng NM
cắt AB tại K .
a/ Tính chu vi và diện tích (O) ?
b/ Chứng minh : Tứ giác CMDN nội tiếp ? Xác định tâm I và Bán kính của (CMDN) ?
c/ Chứng minh các tứ giác ADMK;BKDN nội tiếp ?
d/ Chứng minh OC là tiếp tuyến của (I) ?
ĐỀ 6
Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x
2

+
3
.x -
5
= 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
và x
2
.
Khơng giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x
1
+ x
2
; b) x
1
.x

2
; c)
21
11
xx
+
; d) x
1
2
+ x
2
2
Bài 2 Cho phương trình : 2x
2
- kx + 8 = 0
a) Đònh k để phương trình có nghiệm kép . Tìm nghiệm kép đó.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
+ 3 . Tìm k để A = 10
Bài 3 Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình:
Hai xe ơ tơ khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 312km. Xe thứ
nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn xe thứ hai 4 km, nên đến sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tính vận tốc
của mỗi xe?
Bài 4 (3 điểm):
Trên nửa đường tròn (O; R),đường kính AD lấy điểm B và C sao cho cungAB = cung BC =
cungCD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H kéo dài AB cắt HC tại I ; BD và CH

cắt nhau tại E .
a/ Tứ giác OBCD là hình gì?
b/ Chứng minh tứ giác HDIB nội tiếp đường tròn.
c/ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O;R) tại B cắt tia HC tại F . Chứng minh ∠FBE = ∠FEB
Đề 7:(2008-20090
A. Lí thuyết: Chọn 1 trong hai câu sau:
Câu 1: a) phát biểu định lý Vi-ét về tổng và tích hai nghiệm của pt bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0)
b) Áp dụng: Cho pt
01).31(.3 =−−− xx
. (1) Tính tổng và tích hai nghiệm của pt(1)
Câu 2: a) Hãy nêu cơng thức tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình trụ(ghi rõ ký hiệu
trong cơng thức).
b) Áp dụng: Tính S
xq
và V của một hình trụ có R = 2a và độ dài đường sinh bằng a
B. Phần bắt buộc:
Câu 1: Cho PT bậc hai: x
2
+ mx – (m + 1) = 0. (1)
11
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Giải PT (1) khi cho m = 3.
Câu 2: Một đoàn xe dự định chở 28 tấn hàng. Đến ngày chở hàng có hai xe bị hỏng nên mỗi xe còn
lại phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa mới hết số hàng cần chuyển. Tìm số xe có ban đầu của đoàn.
Câu 3: Cho dường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm A, B. Từ một điểm
M thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), kẽ các tiếp tuyến MN và MP với đường tròn
đã cho (N, P là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ∠NMO = ∠NPO.
c) Gọi K là trung điểm của dây AB. Chứng minh bốn điểm O, M, N, K cùng nằm trên một
đường tròn.
d) Cho OM = 2R. Tính số đo góc NOP.
ĐỀ 8 (2009-2010)
Câu1: Cho phương trình bậc hai: x
2
- 2
01.3 =+x
và gọi hai nghiệm của pt là x
1
và x
2
. Không giải
pt, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x
1
+ x
2
b) x
1
.x
2
c) x
1
2
+ x
2
2
Câu 2: a) Viết công thức tính thể tích của hình trụ(có ghi rõ các kí hiệu trong công thức)

b) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, BC = a
3
. Tính thể tích hình sinh ra khi quay
hình chữ nhật một vòng quanh cạnh AB
Câu 3: Cho hàm số y = -2x
2
.
a) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -16.
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số cách đều hai trục toạ độ.
Câu 4: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m
2
. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó, biết
rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4 m và giảm chiều cao tương ứng đi 1 m thì diện tích của nó không
thay đổi.
Câu 5: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC ( E≠B, E≠C). Qua B kẽ đường thẳng vuông
góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
a) CMR: Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo góc CHK.
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
12