Đáp án Đề thi học sinh giỏi (HSG) Toán 9 số 4

Phòng Giáo dục & đào tạo Hớng dẫn chấm học sinh giỏi
Huyện Lơng Sơn Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán
(Thời gian 150 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm) Mỗi ý trả lời đúng cho 1 điểm
1 2 3 4
C B B A
Câu 2: (1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm:
a. x
8
+ x
4
+ 1 = (x
4
)
2
+ 2x
2
+ 1 - x
4
= (x
4
- 1)
2
- x
4
= (x
4
- x
2
+ 1)(x

4
+ x
2
+ 1)
= (x
4
+ x
2
+ 1)(x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 1)
b. x
3
- x
2
- 4 = x
3
- 2x
2
+ x
2
- 2x + 2x - 4
= x
2
(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= (x - 2)(x
2
+ x + 2)

Câu 3: (2,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 1,25 điểm
a. Với x = 0 thì B = 0
Với x 0 ta có x
4
+ 1 2x
2
> 0
Khi đó:
2 2
4 2
1
1 2 2
x x
x x
=
+
Vậy max B =
1
2

1x =

b. Biến đổi
9 4 2 2 2 1+ = +

13 30 2 2 2 1A = + + +

( )
13 30 2 1 43 30 2A = + + = +

( )
5 3 2 5 3 2A = + = +
Câu 4: (3 điểm) A =
2
2
1 1 4 1
1 1 1
x x x x
x x x

+
+
ữ
+

.
2003x
x
+
a. Điều kiện x 1; x 0 (0,5đ)
Rút gọn đợc
2003x
A
x
+
=
(1đ)
b. Chỉ ra đợc x là ớc của 2003 (0,5đ)
x nhận các giá trị 1 (loại); x 2003 (0,5đ)
Kết luận: Với x = 2003 thì A nguyên (0,5đ)

Câu 5: (2,5 điểm)
Gọi thời gian phải tìm là x (x > 0)
Thời gian ngời đi du lịch từ A đến B là a phút (0,5đ)
Theo đầu bài trong a phút có
10
a
xe ngợc chiều. (0,5đ)
trong a phút có
15
a
xe cùng chiều vợt qua (0,5đ)
Nh vậy trong 2a phút có
10 15
a a
+
xe đi qua (kể cả hai chiều) (0,5đ)
Ta có phơng trình
2
10 15
a a a
x
= +
Giải phơng trình tính đợc x = 12. (0,5đ)
Câu 6: (6,5 điểm) Vẽ đúng hình, ghi đợc gt-kl cho 0,5đ
a.
ã
ã
KOM BHA=
(cạnh t. song song) (1đ)
Tơng tự:

ã
ã
HAB KMO=
(1đ)
ABH MKO :
(0,5đ) A
b.
1
2
MO MK
AH AB
= =
(0,5đ) E O

1
2
MO MI
AH AI
= =
(0,5đ) I K
Mặt khác
ã
ã
OMI HAI=
(so le) B
AIH MIO :
(1đ) M
Do đó:
1
2

IO IM IK
IH IA IB
= = =
(0,5đ) H C
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1
8
IO IM IK IO IM IK
IH IA IB IH IA IB
+ +
= = =
+ +
(0,5đ)
Vậy:
3 3 3
3 3 3
1 2
4
8
IO IM IK
IH IA IB
+ +
= =
+ +
(0,5đ)