Đề HSG toán 7 2008-2009

PHềNG GD&T TAM O

KHO ST CHT LNG HC SINH GII
NM HC 2008 2009
MễN : TON 7
Thi gian : 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
Cõu 1.
a. Chng minh rng:
40
1
2004
1

7
1
6
1
5
1
65
1
3333
<++++<
b. Cho A = 1. 3. 5. 2009. Chứng minh rằng ba số : 2A - 1 ; 2A ; 2A + 1 đều không
phải là số chính phơng.
Cõu 2.
Cho f(x) l hm s xỏc nh vi mi x

0 v tha món:
a. f (1)= 1;
b. f (

x
1
) =
2
1
x
. f(x) vi mi x

0;
c. f (x
1
+x
2
) = f(x
1
) + f(x
2
) vi mi x
1
, x
2


0 v x
1
+ x
2


0

Chng minh rng :
7
5
7
5
=






f
Cõu 3.
a. Cho . Chứng minh rằng:
( abc

0 và các mẫu số khác không)
b. Tỡm mt s cú ba ch s bit rng s ú l bi ca 18 v cỏc ch s ca nú t l
vi 1:2:3.
Cõu 4. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia
đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI
= CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh:
AE = BC
Cõu 5. Cho tam giỏc ABC, I l giao im cỏc tia phõn giỏc gúc B v gúc C, M l
trung im ca BC. Bit gúc BIM = 90
0
v BI = 2 IM.
a. Tớnh gúc BAC;
b. V IH

AC. Chng minh rng BA = 3 IH.
L u ý: Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm !
CHNH THC

PHềNG GD&T TAM O
HNG DN CHM
KHO ST HC SINH GII
NM HC 2008 2009
MễN : TON 7
A. Hng dn chung
- Hng dn chm ch trỡnh by túm tt li gii theo mt cỏch, nu thớ sinh lm theo cỏch
khỏc ỳng, cỏc giỏm kho thng nht biu im ca hng dn cho im.
- Vi nhng ý ỏp ỏn cho t 0,5 im tr lờn, nu cn thit cỏc giỏm kho cú th thng
nht chia nh tng thang im.
- Thớ sinh lm ỳng n õu, cỏc giỏm kho vn dng cho im n ú.
- im ca ton bi l tng cỏc im thnh phn, khụng lm trũn.
B. ỏp ỏn v biu im.
Bi Hng dn gii Thang
im
1 a
t
Xột tng t ta cng cú
Tớnh VT ca BDT, ta cú:
Ta cú:
Phn ln hn, lm tng t. Xột
0.5
0.5
0.5
0.5

1b
Ta có 2A chia hết cho 2 nhng 2A không chia hết cho 4 nên 2A không là
số chính phơng.
2A - 1 = ( 2A - 3) + 2

2A - 1 chia cho 3 d 2

2A - 1 không là số
chính phơng.
Giả sử 2A + 1 = k
2
, k là số nguyên lẻ

2A = k
2
- 1 = (k - 1)(k + 1)

4
(Vì k - 1 và k + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên (k - 1)(k + 1) chia hết cho
4) Vô lý.
Vậy 2A + 1 không là số chính phơng.
Vậy 3 số 2A - 1, 2A, 2A + 1 không là số chính phơng.
0.5
0.5
1
2 Theo a); c) :
f(2) = f(1+1)= f(1)+f(1) = 2
f(3) = f(2+1)= f(2)+f(1) = 2+1 = 3
f(5) = f(3+2)= f(3)+f(2) = 3+2 = 5
f(7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = 7

Theo b) v cỏch phõn tớch f(7) ta cú :
f(
7
1
) =
2
7
1
f(7) =
2
7
1
.7 =
7
1
T ú ỏp dng c) ta c:
f(
7
2
) = f(
7
1
7
1
+
) = f(
7
1
)+f(
7

1
) =
7
1
+
7
1
=
7
2
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
f(
7
3
) = f(
7
1
7
2
+
) = f(
7
2
)+f(
7

1
) =
7
2
+
7
1
=
7
3
f(
7
5
) = f(
7
2
7
3
+
) = f(
7
3
)+f(
7
2
) =
7
3
+
7

2
=
7
5
0.5
0.5
3 a
Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
= (1)
(2)
=
c
zyx
9
44 +−
(3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra: =
c
zyx
b
zyx
9
44
9
2 +−
=
−+
⇒
zyx
c

zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 44
9
2
9
2
9
⇒

zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
.
0.5
0.5

0.5
0.5
3b Số x cần tìm chia hết cho 18= 9. 2; mà (9;2) = 1 nên x chia hết cho 2 và
x chia hết cho 9.
Gọi 3 chữ số của x là a; b; c
Theo giả thiết:
6321
cbacba ++
===
(1)
Vì x chia hết cho 9 nên a+b+c

9 , mà 1
≤
a+b+c
≤
27, do đó a+b+c
nhận một trong ba giá trị : 9; 18 ; 27. Kết hợp với (1) ta có a+b+c = 18
Do đó a= 3; b= 2.3 = 6, c= 3.3 = 9
Vì x phải chia hết cho 2 nên x = 396 hoặc 936.
0.5
0.5
0.5
0.5
4
1
§êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F

∆
ABM =

∆
DCM v×:
D
B
A
H
C
I
F
E
M
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
AMB = DMC (®®) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID
⊥
AC
Vµ FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Tõ (1) vµ (2) =>
∆
CAI =
∆
FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
vµ E FA = 1v (4)
MÆt kh¸c EAF = BAH (®®),
BAH = ACB ( cïng phô ABC)
=> EAF = ACB (5)
Tõ (3), (4) vµ (5) =>
∆

AFE =
∆
CAB
=>AE = BC
3
5

k
l
j
1
2
1
2
B
A
I
K
M
C
H
1
a Theo bài ra: BI= 2 IM, do đó lấy K là trung điểm của BI. Ta có
∆
KIM
vuông cân, IMK = 45
0
, KM là đường TB của
∆
BIC, do đó KM// IC

CIM = IMK = 45
0
Suy ra BIC = 135
0
, B1+C1= 45
0
, B+ C = 90
0
Vậy BAC =90
0
1.5
b Gọi E là giao điểm của BI và AC. Ta có BIC = 135
0
nên CIE = 45
0
. Do
∆
CIE =
∆
CIM (g.c.g) nên IE = IM
Do đó BK = KI= IE. Từ đó dễ dàng chứng minh được BA = 3 IH
1.5
Tổng điểm
20